Frakční Brownův pohyb - Fractional Brownian motion

V teorii pravděpodobnosti je frakční Brownův pohyb ( fBm ), nazývaný také fraktální Brownův pohyb , zobecněním Brownova pohybu . Na rozdíl od klasického Brownova pohybu nemusí být přírůstky fBm nezávislé. fBm je Gaussův proces B _H ( t ) na [0,  T ] spojitého času , který začíná na nule, má očekávání nuly pro všechna t v [0,  T ] a má následující kovarianční funkci :

${\ Displaystyle E [B_ {H} (t) B_ {H} (s)] = {\ tfrac {1} {2}} (| t |^{2H}+| s |^{2H}-| ts |^{2H}),}$

kde H je skutečné číslo v (0, 1), nazývané Hurstův index nebo Hurstův parametr spojený se zlomkovým Brownovým pohybem. Hurstův exponent popisuje roztržitost výsledného pohybu, přičemž vyšší hodnota vede k plynulejšímu pohybu. Byl představen společností Mandelbrot & van Ness (1968) .

Hodnota H určuje, jakým procesem je fBm :

• pokud H = 1/2, pak je proces ve skutečnosti Brownovým pohybem nebo Wienerovým procesem ;
• pokud H > 1/2, pak jsou přírůstky procesu pozitivně korelovány ;
• pokud H <1/2, pak jsou přírůstky procesu negativně korelovány.

Proces přírůstku, X ( t ) = B _H ( t +1) - B _H ( t ), je známý jako zlomkový Gaussův šum .

Existuje také zobecnění zlomkového Brownova pohybu: frakční Brownův pohyb n -tého řádu , zkráceně n -fBm. n-fBm je gaussovský , sobě podobný, nestacionární proces, jehož přírůstky řádu n jsou stacionární. Pro n  = 1 je n-fBm klasický fBm.

Stejně jako Brownův pohyb, který generalizuje, je i frakční Brownův pohyb pojmenován po biologovi 19. století Robertu Brownovi ; zlomkový Gaussův šum je pojmenován po matematikovi Carlu Friedrichovi Gaussovi .

Pozadí a definice

Před zavedením frakčního Brownova pohybu Lévy (1953) použil k definování procesu zlomkový integrál Riemann – Liouville

${\ Displaystyle B_ {H} (t) = {\ frac {1} {\ Gamma (H+1/2)}} \ int _ {0}^{t} (ts)^{H-1/2} \, dB (s)}$

kde integrace je s ohledem na míru bílého šumu dB ( s ). Tento integrál se ukazuje jako nevhodný pro aplikace frakčního Brownova pohybu kvůli přílišnému zdůraznění původu ( Mandelbrot & van Ness 1968 , s. 424).

Cílem je místo toho použít jiný zlomkový integrál bílého šumu k definování procesu: Weylovský integrál

${\ Displaystyle B_ {H} (t) = B_ {H} (0)+{\ frac {1} {\ Gamma (H+1/2)}}} \ left \ {\ int _ {-\ infty}^ {0} \ left [(ts)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2} \ right] \, dB (s)+\ int _ {0}^{t} (ts)^{H-1/2} \, dB (s) \ vpravo \}}$

pro t  > 0 (a podobně pro t  <0).

Hlavní rozdíl mezi zlomkovým Brownovým pohybem a pravidelným Brownovým pohybem je ten, že zatímco přírůstky v Brownově pohybu jsou nezávislé, přírůstky pro zlomkový Brownův pohyb nejsou. Pokud H> 1/2, pak existuje pozitivní autokorelace: pokud v předchozích krocích dochází ke vzestupu, pak je pravděpodobné, že se bude zvyšovat i aktuální krok. Pokud je H <1/2, autokorelace je záporná.

Vlastnosti

Sebe podobnost

Tento proces je podobný sobě samému , protože pokud jde o rozdělení pravděpodobnosti :

${\ Displaystyle B_ {H} (zavináč) \ sim | a |^{H} B_ {H} (t).}$

Tato vlastnost je dána skutečností, že kovarianční funkce je homogenní řádu 2H a lze ji považovat za fraktální vlastnost. FBm lze také definovat jako jedinečný Gaussův proces s průměrem a nulou , který je na počátku nulový, se stacionárními a sobě podobnými přírůstky.

Stacionární přírůstky

Má stacionární přírůstky:

${\ Displaystyle B_ {H} (t) -B_ {H} (s) \; \ sim \; B_ {H} (ts).}$

Závislost na dlouhé vzdálenosti

Pro H > ½ proces vykazuje závislost na dlouhé vzdálenosti ,

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} E [B_ {H} (1) (B_ {H} (n+1) -B_ {H} (n))] = \ infty.}$

Pravidelnost

Ukázkové cesty se téměř nikde nedají odlišit . Nicméně, téměř všechny trajektorie jsou lokálně Hölder kontinuální o libovolném pořadí striktně nižší než H : pro každý takový trajektorii, pro každé T  > 0 a pro každé  e  > 0 existuje (náhodné) konstantu c tak, že

${\ Displaystyle | B_ {H} (t) -B_ {H} (s) | \ leq c | ts |^{H- \ varepsilon}}$

po dobu 0 <  s , t  <  T .

Dimenze

S pravděpodobností 1, graf B _H ( t ) má jak Hausdorffovy rozměr a krabice rozměr 2- H .

Integrace

Pokud jde o pravidelný Brownův pohyb, lze definovat stochastické integrály s ohledem na zlomkový Brownův pohyb, obvykle nazývaný „zlomkové stochastické integrály“. Obecně však na rozdíl od integrálů s ohledem na pravidelný Brownův pohyb nejsou zlomkové stochastické integrály semimartingales .

Interpretace frekvenční domény

Stejně jako na Brownův pohyb lze pohlížet jako na bílý šum filtrovaný (tj. Integrovaný), frakční Brownův pohyb je bílý šum filtrovaný (odpovídá zlomkové integraci ). ${\ displaystyle \ omega ^{-1}}$${\ displaystyle \ omega ^{-H-1/2}}$

Ukázkové cesty

Praktické počítačové realizace fBm lze generovat , i když jsou pouze konečnou aproximací. Zvolené cesty vzorků lze považovat za zobrazení diskrétních vzorkovaných bodů v procesu fBm . Níže jsou uvedeny tři realizace, každá s 1000 body fBm s parametrem Hurst 0,75.

"H" = 0,75 realizace 1

„H“ = 0,75 realizace 2

„H“ = 0,75 realizace 3

Realizace tří různých typů fBm jsou uvedeny níže, každý ukazuje 1000 bodů, první s Hurst parametrem 0,15, druhý s Hurst parametrem 0,55 a třetí s Hurst parametrem 0,95. Čím vyšší je parametr Hurst, tím bude křivka hladší.

"H" = 0,15

"H" = 0,55

"H" = 0,95

Metoda 1 simulace

Lze simulovat vzorkovací cesty fBm pomocí metod pro generování stacionárních gaussovských procesů se známou kovarianční funkcí. Nejjednodušší metoda se opírá o Choleskyho dekompoziční metodu kovarianční matice (vysvětleno níže), která na mřížce velikosti má složitost řádu . Složitější, ale výpočetně rychlejší metodou je metoda oběžného zalévání podle Dietrich & Newsam (1997) . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle O (n^{3})}$

Předpokládejme, že chceme občas simulovat hodnoty fBM pomocí Choleskyho dekompoziční metody . ${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n}}$

• Vytvořte matici kde .${\ Displaystyle \ Gamma = {\ bigl (} R (t_ {i}, \, t_ {j}), i, j = 1, \ ldots, \, n {\ bigr)}}$${\ Displaystyle \, R (t, s) = (s^{2H}+t^{2H}-| ts |^{2H})/2}$
• Vypočítejte druhou odmocninu matice , tzn . Volně řečeno, je matice „standardní odchylky“ spojená s maticí rozptyl-kovarianční .${\ displaystyle \, \ Sigma}$${\ displaystyle \, \ Gamma}$${\ displaystyle \, \ Sigma ^{2} = \ Gamma}$${\ displaystyle \, \ Sigma}$${\ displaystyle \, \ Gamma}$
• Zkonstruovat vektor z n tažená čísla nezávisle v souladu se standardní Gaussova rozdělení,${\ displaystyle \, v}$
• Pokud definujeme, pak se získá vzorová cesta fBm .${\ displaystyle \, u = \ Sigma v}$${\ displaystyle \, u}$

Abychom mohli počítat , můžeme použít například Choleskyho dekompoziční metodu . Alternativní metoda používá vlastní hodnoty o : ${\ displaystyle \, \ Sigma}$${\ displaystyle \, \ Gamma}$

• Vzhledem k tomu, je symetrická , pozitivně definitní matice, to znamená, že všechny vlastní čísla z uspokojení , ( ).${\ displaystyle \, \ Gamma}$ ${\ displaystyle \, \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \, \ Gamma}$${\ Displaystyle \, \ lambda _ {i} \ geq 0}$${\ Displaystyle i = 1, \ tečky, n}$
• Nechť je diagonální matice vlastních hodnot, tj. Kde je Kroneckerova delta . Definujeme jako diagonální matici se záznamy , tzn .${\ displaystyle \, \ Lambda}$${\ Displaystyle \ Lambda _ {ij} = \ lambda _ {i} \, \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ Displaystyle \ Lambda ^{1/2}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}^{1/2}}$${\ Displaystyle \ Lambda _ {ij}^{1/2} = \ lambda _ {i}^{1/2} \, \ delta _ {ij}}$

Výsledek má skutečnou hodnotu, protože . ${\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ geq 0}$

• Nechat vlastní vektor spojený s vlastní hodnotou . Definujte jako matici, jejíž -th sloupec je vlastní vektor .${\ displaystyle \, v_ {i}}$${\ displaystyle \, \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \, P}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \, v_ {i}}$

Všimněte si, že protože vlastní vektory jsou lineárně nezávislé, matice je invertibilní. ${\ displaystyle \, P}$

• Z toho potom vyplývá, že protože .${\ Displaystyle \ Sigma = P \, \ Lambda ^{1/2} \, P ^{-1}}$${\ Displaystyle \ Gamma = P \, \ Lambda \, P^{-1}}$

Metoda 2 simulace

To je také známo

${\ Displaystyle B_ {H} (t) = \ int _ {0}^{t} K_ {H} (t, s) \, dB (s)}$

kde B je standardní Brownův pohyb a

${\ Displaystyle K_ {H} (t, s) = {\ frac {(ts)^{H-{\ frac {1} {2}}}} {\ Gamma (H+{\ frac {1} {2} })}} \; _ {2} F_ {1} \ vlevo (H-{\ frac {1} {2}}; \, {\ frac {1} {2}}-H; \; H+{\ frac {1} {2}}; \, 1-{\ frac {t} {s}} \ right).}$

Kde je Eulerův hypergeometrický integrál . ${\ displaystyle _ {2} F_ {1}}$

Řekněme, že chceme simulovat fBm v bodech . ${\ Displaystyle 0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {n} = T}$

• Sestrojte vektor n čísel nakreslených podle standardní Gaussovy distribuce.
• Vynásobte to po částech √ T / n, abyste získali přírůstky Brownova pohybu na [0,  T ]. Označte tento vektor pomocí .${\ Displaystyle (\ delta B_ {1}, \ ldots, \ delta B_ {n})}$
• Pro každého počítejte${\ displaystyle t_ {j}}$

${\ Displaystyle B_ {H} (t_ {j}) = {\ frac {n} {T}} \ sum _ {i = 0}^{j-1} \ int _ {t_ {i}}^{t_ {i+1}} K_ {H} (t_ {j}, \, s) \, ds \ \ delta B_ {i}.}$

Integrál může být efektivně vypočítán Gaussovou kvadraturou .

Viz také

• Brownův povrch
• Autoregresivní zlomkově integrovaný klouzavý průměr
• Multifractal : Zobecněný rámec zlomkových Brownových pohybů.
• Růžový šum
• Distribuce Tweedie

Poznámky

Reference

• Beran, J. (1994), Statistics for Long-Memory Processes , Chapman & Hall, ISBN 0-412-04901-5.
• Craigmile PF (2003), „Simulace třídy stacionárních gaussovských procesů pomocí Davies – Harteho algoritmu, s aplikací na procesy s dlouhou pamětí“, Journal of Times Series Analysis , 24: 505–511.
• Dieker, T. (2004). Simulace zlomkového Brownova pohybu (PDF) (diplomová práce) . Citováno 29. prosince 2012 .
• Dietrich, ČR; Newsam, GN (1997), „Rychlá a přesná simulace stacionárních gaussovských procesů prostřednictvím cirkulačního vkládání kovarianční matice.“, SIAM Journal on Scientific Computing , 18 (4): 1088–1107, doi : 10,1137/s1064827592240555.
• Lévy, P. (1953), Náhodné funkce: Obecná teorie se speciálními odkazy na Laplaciánské náhodné funkce , University of California Publications in Statistics, 1 , s. 331–390.
• Mandelbrot, B .; van Ness, JW (1968), „Frakční Brownovy pohyby, zlomkové zvuky a aplikace“, SIAM Review , 10 (4): 422–437, Bibcode : 1968SIAMR..10..422M , doi : 10,1137/1010093 , JSTOR  2027184.
• Orey, Steven (1970), „Gaussovské ukázkové funkce a Hausdorffova dimenze úrovňových přejezdů“, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete , 15 (3): 249–256, doi : 10,1007/BF00534922.
• Perrin E. a kol. (2001), „ frakční Brownův pohyb n. Řádu a frakční Gaussovy zvuky “, IEEE Transactions on Signal Processing , 49: 1049-1059. doi : 10,1109/78,917808
• Samorodnitsky G., Taqqu MS (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes , Chapter 7: „Self-similar processes“ (Chapman & Hall).

Další čtení

• Sainty, P. (1992), „Konstrukce komplexního frakčního Brownova pohybu řádu N “, Journal of Mathematical Physics , 33 (9): 3128, Bibcode : 1992JMP .... 33.3128S , doi : 10.1063/1.529976.