Spektrální hustota - Spectral density

Spektrální hustota fluorescenčního světla jako funkce optické vlnové délky ukazuje vrcholy při atomových přechodech, označené číslovanými šipkami.
Průběh hlasu v čase (vlevo) má široké spektrum zvukového výkonu (vpravo).

Výkonové spektrum z časových řad popisuje rozdělení energie do frekvenčních složek tvořících tento signál. Podle Fourierovy analýzy lze jakýkoli fyzický signál rozložit na několik diskrétních frekvencí nebo spektrum frekvencí v souvislém rozsahu. Statistický průměr určitého signálu nebo druhu signálu (včetně šumu ) analyzovaný z hlediska jeho frekvenčního obsahu se nazývá jeho spektrum .

Když je energie signálu soustředěna kolem konečného časového intervalu, zvláště pokud je její celková energie konečná, lze vypočítat spektrální hustotu energie . Běžněji se používá spektrální hustota výkonu (nebo jednoduše výkonové spektrum ), která platí pro signály existující po celou dobu nebo v dostatečně dlouhém časovém období (zejména ve vztahu k délce měření), které by také mohlo být u konce nekonečný časový interval. Spektrální hustota výkonu (PSD) pak odkazuje na spektrální distribuci energie, která by byla nalezena za jednotku času, protože celková energie takového signálu po celou dobu by byla obecně nekonečná. Součet nebo integrace spektrálních složek poskytuje celkový výkon (pro fyzikální proces) nebo rozptyl (ve statistickém procesu), identický s tím, co by bylo získáno integrací v časové oblasti, jak diktuje Parsevalova věta .

Spektrum fyzikálních procesů často obsahuje podstatné informace o povaze . Například výška a zabarvení hudebního nástroje jsou okamžitě určeny pomocí spektrální analýzy. Barva světelného zdroje je určena spektra elektrického pole elektromagnetické vlny je , jak kolísá na velmi vysoké frekvenci. Získání spektra z takových časových řad zahrnuje Fourierovu transformaci a zobecnění na základě Fourierovy analýzy. V mnoha případech se časová doména v praxi specificky nepoužívá, například když se k získání spektra světla ve spektrografu používá disperzní hranol nebo když je zvuk vnímán svým účinkem na sluchové receptory vnitřního ucha, každý z nichž je citlivý na konkrétní frekvenci.

Tento článek se však zaměřuje na situace, ve kterých je časová řada známá (přinejmenším ve statistickém smyslu) nebo přímo měřená (například mikrofonem vzorkovaným počítačem). Výkonové spektrum je důležité ve statistickém zpracování signálu a ve statistickém studiu stochastických procesů , stejně jako v mnoha dalších oborech fyziky a techniky . Typicky je proces funkcí času, ale lze podobně diskutovat o datech v prostorové doméně, která se rozkládají z hlediska prostorové frekvence .

Vysvětlení

Jakýkoli signál, který lze reprezentovat jako proměnnou, která se mění v čase, má odpovídající frekvenční spektrum. To zahrnuje známé entity, jako je viditelné světlo (vnímáno jako barva ), hudební noty (vnímáno jako výška ), rádio/TV (specifikováno jejich frekvencí nebo někdy vlnovou délkou ) a dokonce i pravidelná rotace Země. Když jsou tyto signály vnímány ve formě frekvenčního spektra, jsou odhaleny určité aspekty přijímaných signálů nebo základní procesy, které je produkují. V některých případech může frekvenční spektrum obsahovat zřetelný vrchol odpovídající složce sinusové vlny . A navíc mohou existovat vrcholy odpovídající harmonickým základním píkem, indikující periodický signál, který není jednoduše sinusový. Nebo může spojité spektrum vykazovat úzké frekvenční intervaly, které jsou silně zesíleny, odpovídající rezonancím, nebo frekvenční intervaly obsahující téměř nulový výkon, jak by bylo produkováno zářezovým filtrem .

Ve fyzice může být signálem vlna, například elektromagnetická vlna , akustická vlna nebo vibrace mechanismu. Spektrální hustota výkonu (PSD) signálu popisuje energie přítomné v signálu jako funkce frekvence, na jednotku frekvence. Spektrální hustota výkonu se běžně vyjadřuje ve wattech na hertz (W/Hz).

Když je signál definován například pouze napětím , není s uvedenou amplitudou spojen žádný jedinečný výkon. V tomto případě se „síla“ jednoduše počítá jako druhá mocnina signálu, protože to by vždy bylo úměrné skutečnému výkonu dodanému tímto signálem do dané impedance . Lze tedy použít jednotky V 2  Hz −1 pro PSD a V 2  s Hz −1 pro ESD ( spektrální hustota energie ), přestože není specifikován žádný skutečný „výkon“ nebo „energie“.

Někdy se člověk setká s amplitudovou spektrální hustotou (ASD), což je druhá odmocnina PSD; ASD napěťového signálu má jednotky V Hz −1/2 . To je užitečné, když je tvar spektra poměrně konstantní, protože variace v ASD pak budou úměrné změnám v samotné úrovni napětí signálu. Je však matematicky upřednostňováno používat PSD, protože pouze v tom případě má oblast pod křivkou smysl z hlediska skutečného výkonu na celé frekvenci nebo přes uvedenou šířku pásma.

V obecném případě budou jednotkami PSD poměr jednotek rozptylu na jednotku frekvence; například řada hodnot posunu (v metrech) v čase (v sekundách) bude mít PSD v jednotkách m 2 /Hz. Pro analýzu náhodných vibrací se pro PSD zrychlení často používají jednotky g 2  Hz −1 . Zde g označuje sílu g .

Matematicky není nutné přiřadit fyzické rozměry signálu nebo nezávislé proměnné. V následující diskusi zůstane význam x (t) nespecifikován, ale bude se předpokládat, že nezávislou proměnnou bude čas.

Definice

Energetická spektrální hustota

Energetická spektrální hustota popisuje, jak je energie signálu nebo časové řady rozdělena s frekvencí. Zde je termín energie používán v obecném smyslu zpracování signálu; to znamená, že energie signálu je :

Energetická spektrální hustota je nejvhodnější pro přechodové děje-tj. Pulsní signály-s konečnou celkovou energií. Konečně nebo ne, Parsevalova věta (nebo Plancherelova věta) nám dává alternativní výraz pro energii signálu :

kde :

je hodnota Fourierovy transformace z na frekvenci (v Hz ). Věta platí také v případech diskrétního času. Protože integrál na pravé straně je energie signálu, integrand lze interpretovat jako funkci hustoty popisující energii obsaženou v signálu na frekvenci . Proto se energetiky spektrální hustota z je definován jako :

 

 

 

 

( Rovnice 1 )

Funkce a autokorelační z formy Fourierovy transformace pár, výsledek je znám jako Wiener-Chinčinova věty (viz také frekvenčního ).

Jako fyzický příklad toho, jak lze měřit energetickou spektrální hustotu signálu, předpokládejme, že představuje potenciál (ve voltech ) elektrického impulsu šířícího se podél přenosové linky s impedancí , a předpokládejme, že je vedení zakončeno odpovídajícím odporem (takže veškerá pulzní energie je dodávána do rezistoru a žádná se neodráží zpět). Podle Ohmova zákona je výkon dodaný rezistoru v čase roven , takže celková energie je nalezena integrací s ohledem na čas během trvání impulsu. Chcete -li zjistit hodnotu spektrální hustoty energie na frekvenci , lze mezi přenosové vedení a rezistor vložit pásmový filtr, který prochází pouze úzkým rozsahem frekvencí ( řekněme) v blízkosti požadované frekvence, a poté změřit celkovou energii rozptýlenou napříč odpor. Hodnota spektrální hustoty energie při se pak odhaduje na . V tomto případě, protože výkon má jednotky V 2 Ω −1 , energie má jednotky V 2  s Ω −1  = J, a proto odhad spektrální hustoty energie má jednotky J Hz −1 , podle potřeby. V mnoha situacích je běžné zapomenout na krok dělení tak, že energetická spektrální hustota má místo toho jednotky V 2  Hz −1 .

Tato definice generalizuje přímočaře na diskrétní signál s počitatelně nekonečným počtem hodnot , jako je signál vzorkovaný v diskrétních časech :

kde je diskrétní Fourierova transformace z   interval vzorkování je potřeba k udržení správné fyzické jednotky a zajistit, aby mohli obnovit nepřetržité případ limitu   Ale v matematických vědách interval je často nastavena na hodnotu 1, což zjednodušuje výsledky při na úkor obecnosti. (viz také normalizovaná frekvence )

Spektrální hustota výkonu

Výše uvedená definice spektrální hustoty energie je vhodná pro přechodové děje (pulsní signály), jejichž energie je soustředěna kolem jednoho časového okna; pak Fourierovy transformace signálů obecně existují. Pro spojité signály po celou dobu je třeba spíše definovat spektrální hustotu výkonu (PSD), která existuje pro stacionární procesy ; toto popisuje, jak je síla signálu nebo časové řady rozložena na frekvenci, jako v jednoduchém příkladu uvedeném dříve. Zde může být síla skutečnou fyzickou silou, nebo častěji, pro pohodlí s abstraktními signály, je jednoduše identifikována s druhou mocninou hodnoty signálu. Statistici například studují rozptyl funkce v čase (nebo nad jinou nezávislou proměnnou) a pomocí analogie s elektrickými signály (mimo jiné fyzikální procesy) je obvyklé označovat ji jako výkonové spektrum, i když neexistuje zapojená fyzická síla. Pokud bychom vytvořili zdroj fyzického napětí, který by následoval a aplikoval jej na svorky 1 ohmového rezistoru , pak by okamžitý výkon rozptýlený v tomto rezistoru byl dán watty .

Průměrný výkon signálu za celou dobu je tedy dán následujícím časovým průměrem, kde je perioda soustředěna na nějaký libovolný čas :

Kvůli řešení matematiky, která následuje, je však vhodnější zabývat se časovými limity v samotném signálu než časovými limity v mezích integrálu. Jako takové máme alternativní zastoupení průměrného výkonu, kde a je jednota v libovolném období a nula jinde.

Je zřejmé, že v případech, kdy výše uvedený výraz pro P je nenulový (i když T roste bez vazby), samotný integrál musí také růst bez vazby. To je důvod, proč v takových případech nemůžeme použít samotnou energetickou spektrální hustotu, což je rozdílný integrál.

Při analýze frekvenčního obsahu signálu by se dalo vypočítat obyčejnou Fourierovu transformaci ; nicméně pro mnoho zajímavých signálů Fourierova transformace formálně neexistuje. Bez ohledu na to nám Parsevalova věta říká, že průměrný výkon můžeme přepsat následovně.

Potom je spektrální hustota výkonu jednoduše definována jako integrand výše.

 

 

 

 

( Rovnice 2 )

Odtud můžeme také zobrazit jako Fourierova transformace časového konvoluce části a

Nyní, když vydělíme časovou konvoluci výše bodem a vezmeme limit jako , stane se autokorelační funkcí signálu bez oken , který je označen jako za předpokladu, že je ergodický , což platí ve většině, ale ne ve všech, praktické kufry ..

Odtud vidíme, opět za předpokladu ergodicity , že spektrální hustotu výkonu lze nalézt jako Fourierovu transformaci autokorelační funkce ( Wiener – Khinchinova věta ).

 

 

 

 

( Rovnice 3 )

Mnoho autorů používá tuto rovnost k definování spektrální hustoty výkonu.

Síla signálu v daném frekvenčním pásmu , kde lze vypočítat integrací přes frekvenci. Protože k pozitivním a negativním frekvenčním pásmům lze přičíst stejné množství energie, což odpovídá faktoru 2 v následující formě (takové triviální faktory závisí na použitých konvencích):

Obecněji lze k odhadu časově proměnné spektrální hustoty použít podobné techniky. V tomto případě je časový interval spíše konečný než se blíží nekonečnu. To má za následek snížení spektrálního pokrytí a rozlišení, protože frekvence menší než nejsou vzorkovány, a výsledky na frekvencích, které nejsou celočíselným násobkem, nejsou nezávislé. Při použití jediné takové časové řady bude odhadované výkonové spektrum velmi „hlučné“; to však lze zmírnit, pokud je možné vyhodnotit očekávanou hodnotu (ve výše uvedené rovnici) pomocí velkého (nebo nekonečného) počtu krátkodobých spekter odpovídajících statistickým souborům realizací vyhodnocovaných za určené časové okno.

Stejně jako u spektrální hustoty energie lze definici spektrální hustoty energie zobecnit na diskrétní časové proměnné . Stejně jako dříve můžeme uvažovat o okně se signálem vzorkovaným v diskrétních časech za celkovou dobu měření .

Všimněte si, že jeden odhad PSD lze získat prostřednictvím konečného počtu vzorků. Stejně jako dříve je skutečného PSD dosaženo, když (a tedy ) se blíží nekonečnu a formálně se aplikuje očekávaná hodnota. V aplikaci v reálném světě by člověk typicky průměroval PSD s konečným měřením během mnoha pokusů, aby získal přesnější odhad teoretické PSD fyzikálního procesu, který je základem jednotlivých měření. Tento vypočítaný PSD se někdy nazývá periodogram . Tento periodogram konverguje ke skutečné PSD, protože počet odhadů a průměrný časový interval se blíží nekonečnu (Brown & Hwang).

Pokud dva signály mají oba výkonové spektrální hustoty, pak lze podobně vypočítat křížovou spektrální hustotu ; jako PSD souvisí s autokorelací, tak je křížová spektrální hustota související s křížovou korelací .

Vlastnosti spektrální hustoty výkonu

Některé vlastnosti PSD zahrnují:

  • Výkonové spektrum je stále reálný a nezáporné, a spektrum reálného oceněny procesu je rovněž i funkce frekvence: .
  • Pro spojitý stochastický proces x (t) lze autokorelační funkci R xx (t) rekonstruovat z jejího výkonového spektra S xx (f) pomocí inverzní Fourierovy transformace
  • Pomocí Parsevalovy věty lze vypočítat rozptyl (průměrný výkon) procesu integrací výkonového spektra na všech frekvencích:
  • Pro skutečný proces x (t) se spektrální hustotou výkonu lze vypočítat integrované spektrum nebo spektrální distribuci výkonu , která určuje průměrný výkon omezený pásmem obsažený ve frekvencích od DC do f pomocí:
Všimněte si toho, že předchozí výraz pro celkový výkon (rozptyl signálu) je speciální případ, kde f → ∞.

Spektrální hustota křížové síly

Vzhledem k tomu, dva signály a , z nichž každý vykazují výkonové spektrální hustoty a je možné definovat příčný spektrální hustota výkonu ( CPSD ) nebo příčný spektrální hustota ( CSD ). Pro začátek uvažujme průměrný výkon takového kombinovaného signálu.

Pomocí stejného zápisu a metod, jaké byly použity pro derivaci spektrální hustoty výkonu, využijeme Parsevalovu větu a získáme

kde opět příspěvky a jsou již pochopeny. Všimněte si toho , takže plný příspěvek k příčnému výkonu je obecně z dvojnásobku skutečné části každého jednotlivého CPSD . Stejně jako dříve odsud přepracujeme tyto produkty jako Fourierovu transformaci časové konvoluce, která se po dělení periodou a jejímu omezení stane Fourierovou transformací funkce vzájemné korelace .

kde je vzájemná korelace z s a je vzájemné korelace na s . S ohledem na to je PSD považován za zvláštní případ CSD pro . Pro případ, že a jsou napěťové nebo proudové signály, jejich přidružené amplitudy spektrální hustoty a jsou striktně pozitivním konvencí. Proto je při typickém zpracování signálu plná CPSD pouze jednou z CPSD s měřítkem faktoru dva.

U diskrétních signálů x n a y n je vztah mezi příčnou spektrální hustotou a křížovou kovariancí

Odhad

Cílem odhadu spektrální hustoty je odhadnout spektrální hustotu náhodného signálu ze sekvence časových vzorků. V závislosti na tom, co je o signálu známo, mohou techniky odhadu zahrnovat parametrické nebo neparametrické přístupy a mohou být založeny na analýze časové nebo frekvenční oblasti. Běžná parametrická technika například zahrnuje přizpůsobení pozorování autoregresnímu modelu . Běžnou neparametrickou technikou je periodogram .

Spektrální hustota se obvykle odhaduje pomocí Fourierových transformačních metod (jako je Welchova metoda ), ale lze použít i jiné techniky, jako je metoda maximální entropie .

Související pojmy

  • Spektrální těžiště signálu je na střed její spektrální funkce hustoty, tj frekvenci, která rozděluje rozdělení na dvě stejné části.
  • Spektrální frekvence hrana signálu je rozšíření předchozího konceptu na jakémkoli poměru namísto dvě stejné části.
  • Spektrální hustota je funkcí frekvence, nikoli funkcí času. Spektrální hustota malého okna delšího signálu však může být vypočítána a vynesena proti času spojenému s oknem. Takovému grafu se říká spektrogram . To je základem řady technik spektrální analýzy, jako je krátkodobá Fourierova transformace a vlnky .
  • "Spektrum" obecně znamená spektrální hustotu výkonu, jak je diskutováno výše, která zobrazuje rozložení obsahu signálu na frekvenci. To je nelze zaměňovat s frekvenční odezvu části přenosové funkce , které také obsahuje fázi (nebo ekvivalentně, reálnou a imaginární část jako funkce frekvence). U přenosových funkcí (např. Bodeho graf , chirp ) může být kompletní frekvenční odezva vykreslena ve dvou částech, amplituda versus frekvence a fáze versus frekvence - fázová spektrální hustota , fázové spektrum nebo spektrální fáze (nebo méně často, jako skutečné a imaginární části přenosové funkce). Impulzní odezvy (v časové doméně) , nemůže být obecně jednoznačně získat z amplitudy spektrální části hustota samotného bez funkce fáze. Ačkoli se jedná také o páry Fourierových transformací, neexistuje symetrie (jako u autokorelace), která by nutila Fourierovu transformaci mít skutečnou hodnotu. Viz Ultrashort puls#Spektrální fáze , fázový šum , skupinové zpoždění .

Aplikace

Elektrotechnika

Spektrogram rádiového signálu FM s frekvencí na horizontální ose a časem zvyšujícím se nahoru na vertikální ose.

Koncept a použití výkonového spektra signálu je zásadní v elektrotechnice , zejména v elektronických komunikačních systémech , včetně radiových komunikací , radarů a souvisejících systémů, plus technologie pasivního dálkového průzkumu . K pozorování a měření výkonových spekter signálů se používají elektronické přístroje zvané spektrální analyzátory .

Spektrální analyzátor měří velikost krátkodobé Fourierovy transformace (STFT) vstupního signálu. Pokud lze analyzovaný signál považovat za stacionární proces, je STFT dobrým vyhlazeným odhadem jeho spektrální hustoty výkonu.

Kosmologie

Prvotní fluktuace , variace hustoty v raném vesmíru, jsou kvantifikovány energetickým spektrem, které dává sílu variací jako funkci prostorového měřítka.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy