Metrika Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker - Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric

Část série na
Fyzikální kosmologie
Velký třesk  · Vesmír Věk vesmíru Chronologie vesmíru
Raný vesmír Inflace  · Nukleosyntéza Pozadí Gravitační vlna (GWB) Mikrovlnná trouba (CMB)  · Neutrino (CNB)
Rozšíření  · Budoucnost Hubbleův zákon  · Redshift Metrické rozšíření prostoru FLRW metrika  · Friedmannovy rovnice Nehomogenní kosmologie Budoucnost expandujícího vesmíru Konečný osud vesmíru
Komponenty  · Struktura Komponenty Model Lambda-CDM Temná energie  · Tmavá tekutina  · Temná hmota Struktura Tvar vesmíru Galaxy filament  · Formace galaxie Velká skupina kvasarů Rozsáhlá struktura Reionizace  · Tvorba struktury
Experimenty Iniciativa Black Hole (BHI) Bumerang Cosmic Background Explorer (COBE) Průzkum temné energie Projekt Illustris Planckova vesmírná observatoř Sloan Digital Sky Survey (SDSS) Průzkum 2dF Galaxy Redshift („2dF“) Wilkinsonova mikrovlnná anizotropní sonda (WMAP)
Vědci Aaronson Alfvén Alpher Bharadwaj Koperník de Sitter Dicke Ehlers Einstein Ellis Friedmanna Galileo Gamow Guth Hawking Hubble Lemaître Mather Newton Penrose Penzias Vtírat Schmidt Smoot Suntzeff Sunjajev Tolman Wilson Zeldovich Seznam kosmologů
Předmětová historie Objev kosmického mikrovlnného záření na pozadí Historie teorie velkého třesku Náboženské interpretace teorie velkého třesku Časová osa kosmologických teorií
Kategorie  Astronomický portál
proti t E

Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ( FLRW ; / f r jsem d m ə n l ə m ɛ t r ə  ... /   ) metrika je přesné řešení z Einstein polních rovnic z obecné teorie relativity ; popisuje homogenní , izotropní , expandující (nebo jinak se smršťující) vesmír, který je spojen s cestou , ale není nutně jednoduše spojen . Obecná forma metriky vyplývá z geometrických vlastností homogenity a izotropie; Einsteinovy ​​rovnice pole jsou potřebné pouze k odvození faktoru měřítka vesmíru jako funkce času. V závislosti na geografických nebo historických preferencích je skupina čtyř vědců - Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard P. Robertson a Arthur Geoffrey Walker - obvykle seskupena jako Friedmann nebo Friedmann – Robertson – Walker ( FRW ) nebo Robertson – Walker ( RW ) nebo Friedmann – Lemaître ( FL ). Tento model se někdy nazývá standardní model moderní kosmologie , ačkoli takový popis je také spojen s dále vyvinutým modelem Lambda-CDM . Model FLRW byl vyvinut samostatně jmenovanými autory ve 20. a 30. letech minulého století.

Obecná metrika

Metrika FLRW začíná předpokladem homogenity a izotropie prostoru. Také předpokládá, že prostorová složka metriky může být časově závislá. Obecná metrika, která splňuje tyto podmínky, je

${\ Displaystyle -c^{2} \ mathrm {d} \ tau^{2} = -c^{2} \ mathrm {d} t^{2}+{a (t)}^{2} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^{2}}$

kde se pohybuje v trojrozměrném prostoru rovnoměrného zakřivení, tj. eliptický prostor , euklidovský prostor nebo hyperbolický prostor . Obvykle se zapisuje jako funkce tří prostorových souřadnic, ale existuje několik konvencí, jak toho dosáhnout, podrobně níže. nezávisí na t - veškerá časová závislost je ve funkci a ( t ), známé jako „ faktor měřítka “. ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$

Polární souřadnice zmenšeného obvodu

V polárních souřadnicích se zmenšeným obvodem má prostorová metrika tvar

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}^{2} = {\ frac {\ mathrm {d} r^{2}} {1-kr^{2}}}+r^{2} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^{2}, \ quad {\ text {where}} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^{2} = \ mathrm {d} \ theta ^{ 2}+\ sin ^{2} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi ^{2}.}$

k je konstanta představující zakřivení prostoru. Existují dvě běžné konvence jednotek:

• k lze brát jako jednotky délky ⁻² , v takovém případě r má jednotky délky a a ( t ) je bez jednotek. k je pak Gaussovo zakřivení prostoru v době, kdy a ( t ) = 1. r se někdy nazývá zmenšený obvod, protože se rovná naměřenému obvodu kruhu (při hodnotě r ) se středem na počátku , děleno 2 n (jako je r o Schwarzschildovy souřadnic ). Kde je to vhodné, v současné kosmologické éře se často volí a ( t ) tak, aby se rovnalo 1, takže se měří vzdálenost .${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$
• Alternativně lze k považovat za součást sady {−1,0,+1} (pro záporné, nulové a kladné zakřivení). Pak r je bez jednotky a a ( t ) má jednotky délky. Když k = ± 1, a ( t ) je poloměr zakřivení prostoru a může být také zapsán R ( t ).

Nevýhodou souřadnic se sníženým obvodem je, že v případě pozitivního zakřivení pokrývají pouze polovinu 3-sféry-obvody za tímto bodem se začínají zmenšovat, což vede k degeneraci. (To není problém, pokud je prostor eliptický , tj. 3 koule s identifikovanými opačnými body.)

Hypersférické souřadnice

V hypersférických nebo křivkou normalizovaných souřadnicích je souřadnice r úměrná radiální vzdálenosti; to dává

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}^{2} = \ mathrm {d} r^{2}+S_ {k} (r)^{2} \, \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^{2}}$

kde je jako dříve a ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega}}$

${\ Displaystyle S_ {k} (r) = {\ begin {cases} {\ sqrt {k}}^{\,-1} \ sin (r {\ sqrt {k}}), & k> 0 \\ r , & k = 0 \\ {\ sqrt {| k |}}^{\,-1} \ sinh (r {\ sqrt {| k |}}), & k <0. \ end {případy}}}$

Stejně jako dříve existují dvě společné konvence jednotek:

• k lze brát jako jednotky délky ⁻² , v takovém případě r má jednotky délky a a ( t ) je bez jednotek. k je pak Gaussovo zakřivení prostoru v době, kdy a ( t ) = 1. Kde je to vhodné, a ( t ) je v současné kosmologické éře často zvoleno tak, aby se rovnalo 1, takže měří pohybující se vzdálenost .${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$
• Alternativně, jak je dříve, k může být použita patří do množiny {-1,0, + 1} (pro negativní, nula, a pozitivní zakřivení v tomto pořadí). Pak r je bez jednotky a a ( t ) má jednotky délky. Když k = ± 1, a ( t ) je poloměr zakřivení prostoru a může být také zapsán R ( t ). Všimněte si, že když k = +1, r je v podstatě třetí úhel spolu s θ a φ . Místo r lze použít  písmeno χ .

I když je obvykle definována po částech výše, S je analytická funkce jak k a r . Lze jej také zapsat jako mocninnou řadu

${\ Displaystyle S_ {k} (r) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n} k^{n} r^{2n+1}} { (2n+1)!}} = R-{\ frac {kr^{3}} {6}}+{\ frac {k^{2} r^{5}} {120}}-\ cdots}$

nebo jako

${\ Displaystyle S_ {k} (r) = r \; \ mathrm {sinc} \, (r {\ sqrt {k}}),}$

kde sinc je nenormalizovaná funkce sinc a je jednou z imaginárních, nulových nebo skutečných odmocnin k . Tyto definice platí pro všechny k . ${\ displaystyle {\ sqrt {k}}}$

Kartézské souřadnice

Když k = 0, lze psát jednoduše

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}^{2} = \ mathrm {d} x^{2}+\ mathrm {d} y^{2}+\ mathrm {d} z^{2 }.}$

To lze rozšířit na k ≠ 0 definováním

${\ Displaystyle x = r \ cos \ theta \,}$,

${\ Displaystyle y = r \ sin \ theta \ cos \ phi \,}$, a

${\ Displaystyle z = r \ sin \ theta \ sin \ phi \,}$,

kde r je jedna z radiálních souřadnic definovaných výše, ale toto je vzácné.

Zakřivení

Kartézské souřadnice

V obytném FLRW prostoru pomocí kartézských souřadnic, přeživší složek Ricci tensor jsou ${\ displaystyle (k = 0)}$

${\ Displaystyle R_ {tt} =-3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}}, \ quad R_ {xx} = R_ {yy} = R_ {zz} = c^{-2} (a {\ ddot {a}}+2 {\ dot {a}}^{2})}$

a Ricci je skalární

${\ Displaystyle R = 6c^{-2} \ left ({\ frac {{\ ddot {a}} (t)} {a (t)}}+{\ frac {{\ dot {a}}^{ 2} (t)} {a^{2} (t)}} \ right).}$

Sférické souřadnice

V obecnějším prostoru FLRW pomocí sférických souřadnic (výše nazývaných „polární souřadnice se zmenšeným obvodem“ výše) jsou přežívající komponenty Ricciho tenzoru

${\ displaystyle R_ {tt} =-3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}},}$

${\ Displaystyle R_ {rr} = {\ frac {c^{-2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ dot {a}}^{2} (t)) +2k} {1-kr^{2}}}}$

${\ Displaystyle R _ {\ theta \ theta} = r^{2} (c^{-2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ tečka {a}}^{2 } (t))+2k)}$

${\ Displaystyle R _ {\ phi \ phi} = r^{2} (c^{-2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ tečka {a}}^{2 } (t))+2k) \ sin ^{2} (\ theta)}$

a Ricci je skalární

${\ Displaystyle R = 6 \ left ({\ frac {{\ ddot {a}} (t)} {c^{2} a (t)}}+{\ frac {{\ dot {a}}^{ 2} (t)} {c^{2} a^{2} (t)}}+{\ frac {k} {a^{2} (t)}} \ right).}$

Řešení

Obecná relativita
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c^{4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip ekvivalence Speciální relativita Světová linie Pseudo-Riemannian potrubí
Jevy Keplerův problém Gravitační čočky Gravitační vlny Přetahování snímků Geodetický efekt Horizont událostí Jedinečnost Černá díra Vesmírný čas Časoprostorové diagramy Časoprostor Minkowski Einstein -Rosenův most
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmanna Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalismy ADM BSSN Post-newtonský Pokročilá teorie Kaluza – Kleinova teorie Kvantová gravitace
Řešení Schwarzschild ( interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl - Lewis - Papapetrou
Vědci Einstein Lorentz Hilberte Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní
Fyzikální portál  Kategorie
proti t E

Einsteinovy ​​rovnice pole se při odvozování obecné formy metriky nepoužívají: vyplývá to z geometrických vlastností homogenity a izotropie. Stanovení časové evoluce však vyžaduje Einsteinovy ​​rovnice pole spolu se způsobem výpočtu hustoty, jako je kosmologická stavová rovnice . ${\ displaystyle a (t)}$${\ displaystyle \ rho (t),}$

Tato metrika má analytické řešení Einsteinových polních rovnic poskytujících Friedmannovy rovnice, když se tenzor tenzoru energie a hybnosti obdobně považuje za izotropní a homogenní. Výsledné rovnice jsou: ${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c^{4}}} T _ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right)^{2}+{\ frac {kc^{2}} {a^{2}}}-{\ frac {\ Lambda c^{2}} {3}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}$

${\ Displaystyle 2 {\ frac {\ ddot {a}} {a}}+\ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right)^{2}+{\ frac {kc^ {2}} {a^{2}}}-\ Lambda c^{2} =-{\ frac {8 \ pi G} {c^{2}}} p.}$

Tyto rovnice jsou základem standardního kosmologického modelu Velkého třesku včetně současného modelu ΛCDM . Protože model FLRW předpokládá homogenitu, některé populární účty mylně tvrdí, že model velkého třesku nemůže odpovídat za pozorovanou hrudkovitost vesmíru. V přísně FLRW modelu neexistují žádné kupy galaxií, hvězd nebo lidí, protože se jedná o objekty mnohem hustší než typická část vesmíru. Nicméně model FLRW se používá jako první aproximace vývoje skutečného hrudkovitého vesmíru, protože se snadno vypočítává, a modely, které vypočítávají hrudkovitost ve vesmíru, se přidávají do modelů FLRW jako rozšíření. Většina kosmologů souhlasí s tím, že pozorovatelný vesmír je dobře aproximován téměř FLRW modelem , tj. Modelem, který sleduje FLRW metriku kromě prvotních fluktuací hustoty . Od roku 2003 se teoretické důsledky různých rozšíření modelu FLRW zdají být dobře srozumitelné a cílem je uvést je do souladu s pozorováními z COBE a WMAP .

Pokud je časoprostor spojen vícekrát , pak bude každá událost reprezentována více než jednou n -ticí souřadnic.

Výklad

Výše uvedená dvojice rovnic je ekvivalentní následující dvojici rovnic

${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} =-3 {\ frac {\ dot {a}} {a}} \ left (\ rho +{\ frac {p} {c^{2}}} \ right )}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} =-{\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho +{\ frac {3p} {c^{2} }} \ right)+{\ frac {\ Lambda c^{2}} {3}}}$

s , index prostorového zakřivení, sloužící jako konstanta integrace pro první rovnici. ${\ displaystyle k}$

První rovnici lze odvodit také z termodynamických úvah a je ekvivalentní prvnímu termodynamickému zákonu za předpokladu, že rozpínání vesmíru je adiabatický proces (což se implicitně předpokládá při odvozování metriky Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker).

Druhá rovnice uvádí, že jak hustota energie, tak tlak způsobují snížení rychlosti expanze vesmíru , tj. Obě způsobují zpomalení expanze vesmíru. To je důsledek gravitace , přičemž tlak hraje podle principů obecné relativity podobnou roli jako hustota energie (nebo hmotnosti) . Kosmologická konstanta , na druhé straně, způsobuje zrychlení rozpínání vesmíru. ${\ displaystyle {\ dot {a}}}$

Kosmologická konstanta

Pojem kosmologické konstanty lze vynechat, pokud provedeme následující náhrady

${\ Displaystyle \ rho \ rightarrow \ rho +{\ frac {\ Lambda c^{2}} {8 \ pi G}}}$

${\ Displaystyle p \ rightarrow p-{\ frac {\ Lambda c^{4}} {8 \ pi G}}.}$

Proto lze kosmologickou konstantu interpretovat tak, že vychází z formy energie, která má podtlak, který se rovná velikosti (pozitivní) hustotě energie:

${\ Displaystyle p =-\ rho c^{2}. \,}$

Taková forma energie - zobecnění pojmu kosmologické konstanty - je známá jako temná energie .

Ve skutečnosti, abychom získali termín, který způsobuje zrychlení expanze vesmíru, stačí mít skalární pole, které splňuje

${\ Displaystyle p <-{\ frac {\ rho c^{2}} {3}}. \,}$

Takovému poli se někdy říká kvintesence .

Newtonovská interpretace

Důvodem jsou McCrea a Milne, i když někdy nesprávně připisován Friedmannovi. Friedmannovy rovnice jsou ekvivalentní této dvojici rovnic:

${\ displaystyle -a^{3} {\ dot {\ rho}} = 3a^{2} {\ dot {a}} \ rho +{\ frac {3a^{2} p {\ dot {a}} } {c^{2}}} \,}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {a}}^{2}} {2}}-{\ frac {G {\ frac {4 \ pi a^{3}} {3}} \ rho} { a}} =-{\ frac {kc^{2}} {2}} \ ,.}$

První rovnice říká, že snížení hmotnosti obsažené v pevné krychli (jejíž strana je momentálně a ) je množství, které odejde stranami v důsledku rozpínání vesmíru plus hmotnostní ekvivalent práce odvedené tlakem na materiál být vyloučen. Jedná se o zachování hmoty a energie ( první termodynamický zákon ) obsaženého v části vesmíru.

Druhá rovnice říká, že kinetická energie (při pohledu na původ) částice o jednotkové hmotnosti pohybující se s expanzí plus její (negativní) gravitační potenciální energie (vzhledem k hmotnosti obsažené v sféře hmoty blíže původu) je stejná na konstantu související se zakřivením vesmíru. Jinými slovy, energie (vzhledem k původu) společně se pohybující částice ve volném pádu je zachována. Obecná relativita pouze přidává spojení mezi prostorovým zakřivením vesmíru a energií takové částice: pozitivní celková energie znamená negativní zakřivení a negativní celková energie znamená pozitivní zakřivení.

Předpokládá se, že s kosmologickou konstantou bude zacházeno jako s temnou energií, a proto se spojí do hustoty a tlaku.

Během Planckovy epochy nelze opomenout kvantové efekty. Mohou tedy způsobit odchylku od Friedmannových rovnic.

Jméno a historie

Sovětský matematik Alexander Friedmann poprvé odvodil hlavní výsledky modelu FLRW v letech 1922 a 1924. Ačkoli jeho dílo publikoval prestižní fyzikální časopis Zeitschrift für Physik , jeho současníci zůstali relativně bez povšimnutí. Friedmann byl v přímé komunikaci s Albertem Einsteinem , který jménem Zeitschrift für Physik působil jako vědecký rozhodčí Friedmannovy práce. Nakonec Einstein uznal správnost Friedmannových výpočtů, ale nedokázal ocenit fyzický význam Friedmannových předpovědí.

Friedmann zemřel v roce 1925. V roce 1927 Georges Lemaître , belgický kněz, astronom a periodický profesor fyziky na Katolické univerzitě v Lovani , dosáhl nezávisle na podobných výsledcích jako Friedmann a publikoval je v Annales de la Société Scientifique de Bruxelles ( Annals of the Scientific Society of Brussels). Tváří v tvář observačním důkazům o expanzi vesmíru, které získal Edwin Hubble na konci dvacátých let, si Lemaîtrových výsledků všiml zejména Arthur Eddington a v letech 1930–31 byl Lemaîtreův papír přeložen do angličtiny a publikován v Měsíčních oznámeních Královská astronomická společnost .

Howard P. Robertson z USA a Arthur Geoffrey Walker z Velké Británie problém dále zkoumali ve třicátých letech minulého století. V roce 1935 Robertson a Walker důsledně dokázali, že metrika FLRW je jediná v časoprostoru, která je prostorově homogenní a izotropní (jak je uvedeno výše, toto je geometrický výsledek a není vázán konkrétně na rovnice obecné relativity, které se vždy předpokládaly Friedmann a Lemaître).

Toto řešení, často nazýván Robertson-Walker metrický , protože se ukázalo jeho obecné vlastnosti, se liší od dynamického „Friedmann-Lemaitre“ modely , které jsou specifické řešení v ( t ), který předpokládá, že pouze příspěvky zdůraznit energie jsou studené hmota („prach“), záření a kosmologická konstanta.

Einsteinův poloměr vesmíru

Einsteinův poloměr vesmíru je poloměr zakřivení prostoru Einsteinova vesmíru , dlouho opuštěný statický model, který měl představovat náš vesmír v idealizované podobě. Uvedení

${\ displaystyle {\ dot {a}} = {\ ddot {a}} = 0}$

ve Friedmannově rovnici je poloměr zakřivení prostoru tohoto vesmíru (Einsteinův poloměr)

${\ displaystyle R_ {E} = c/{\ sqrt {4 \ pi G \ rho}}}}$,

kde je rychlost světla, je Newtonova gravitační konstanta , a je hustota prostoru tohoto vesmíru. Číselná hodnota Einsteinova poloměru je řádově 10 ¹⁰ světelných let . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ rho}$

Důkaz

Díky kombinaci pozorovacích dat z některých experimentů, jako jsou WMAP a Planck, s teoretickými výsledky Ehlersovy -Gerenovy -Sachsovy věty a její generalizace, se astrofyzici nyní shodují, že vesmír je téměř homogenní a izotropní (když je zprůměrován ve velmi velkém měřítku), a tedy téměř FLRW časoprostor. Jak již bylo řečeno, pokusy potvrdit čistě kinematickou interpretaci dipólu Kosmického mikrovlnného pozadí (CMB) prostřednictvím studií rádiových galaxií a kvasarů ukazují nesouhlas v rozsahu. Když to vezmeme za nominální hodnotu, tato pozorování jsou v rozporu s tím, že je vesmír popsán metrikou FLRW. Kromě toho lze tvrdit, že v kosmologii FLRW je maximální hodnota Hubbleovy konstanty tolerována současnými pozorováními, km/s/Mpc, a v závislosti na tom, jak se místní determinace sbíhají, to může poukazovat na vysvětlení nad rámec metriky FLRW. Kromě těchto spekulací je třeba zdůraznit, že metrika FLRW je platnou první aproximací pro vesmír. ${\ displaystyle H_ {0} = 71 \ pm 1}$

Reference

Další čtení

• North JD: (1965) The Measure of the Universe - a history of modern cosmology , Oxford Univ. Press, Dover dotisk 1990, ISBN  0-486-66517-8
• Harrison, ER (1967), „Klasifikace uniformních kosmologických modelů“, Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti , 137 : 69–79, Bibcode : 1967MNRAS.137 ... 69H , doi : 10,1093/mnras/137,1,69
• d'Inverno, Ray (1992), Introducing Einstein's Relativity , Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8. (Obzvláště jasný a stručný úvod do modelů FLRW najdete v kapitole 23.)