Friedmannovy rovnice - Friedmann equations

Tyto Friedmann rovnice jsou soubor rovnic v kosmologii , které řídí expanzi vesmíru v homogenní a izotropní modely vesmíru v rámci obecné teorie relativity . Poprvé byly odvozeny od Alexander Friedmann v roce 1922 z Einsteinových rovnic pole z gravitace pro The Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metrický a v perfektním tekutinu s danou objemovou hmotností a tlaku . Rovnice pro záporné prostorové zakřivení dal Friedmann v roce 1924. ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle p}$

Předpoklady

Friedmannovy rovnice začínají zjednodušujícím předpokladem, že vesmír je prostorově homogenní a izotropní , tj. Kosmologický princip ; empiricky je to odůvodněno na stupnicích větších než ~ 100 Mpc . Kosmologický princip znamená, že metrika vesmíru musí mít formu

{\ displaystyle ds ^ {2} = a (t) ^ {2} \, ds_ {3} ^ {2} -c ^ {2} \, dt ^ {2}}

kde je trojrozměrná metrika, která musí být jednou z (a) plochého prostoru, (b) koule konstantního pozitivního zakřivení nebo (c) hyperbolického prostoru s konstantní zápornou křivkou. Tato metrika se nazývá Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker (FLRW). Níže popsaný parametr má v těchto třech případech hodnotu 0, 1, -1 nebo Gaussovu křivku . Právě tato skutečnost nám umožňuje rozumně hovořit o „ faktoru měřítka “ . ${\ displaystyle ds_ {3} ^ {2}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle a (t)}$

Einsteinovy rovnice nyní souvisejí s vývojem tohoto faktoru měřítka s tlakem a energií hmoty ve vesmíru. Z metriky FLRW vypočítáme symboly Christoffel , poté Ricciho tenzor . S tenzorem napětí a energie pro dokonalou tekutinu je dosadíme do Einsteinových polních rovnic a výsledné rovnice jsou popsány níže.

Rovnice

Pro modelování homogenního, izotropního vesmíru existují dvě nezávislé Friedmannovy rovnice. První je:

{\ displaystyle {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2}} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G \ rho + \ Lambda c ^ { 2}} {3}}}

který je odvozen od složky 00 Einsteinových polních rovnic . Druhým je:

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2} }} \ vpravo) + {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {3}}}

který je odvozen z první spolu se stopou Einsteinových polních rovnic (rozměr těchto dvou rovnic je čas ⁻² ).

${\ displaystyle a}$ je měřítkový faktor , G , Λ a c jsou univerzální konstanty ( G je Newtonova gravitační konstanta , Λ je kosmologická konstanta (její rozměr je délka ⁻² ) a c je rychlost světla ve vakuu ). ρ a p jsou objemová hmotnostní hustota (a nikoli objemová energetická hustota) a tlak. k je konstantní v celém konkrétním řešení, ale může se u jednotlivých řešení lišit.

V předcházejících rovnicích , ρ, a p jsou funkcemi času. je prostorové zakřivení v kterémkoli časovém úseku vesmíru; to se rovná jedné šestině prostorového Ricciho křivosti R od té doby ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle k \ nad a ^ {2}}$

{\ displaystyle R = {\ frac {6} {c ^ {2} a ^ {2}}} ({\ ddot {a}} a + {\ dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2} )}

v modelu Friedmann. je parametr Hubble . ${\ displaystyle H \ equiv {\ frac {\ dot {a}} {a}}}$

Vidíme, že ve Friedmannových rovnicích a (t) nezávisí na tom, který souřadnicový systém jsme vybrali pro prostorové řezy. Existují dvě běžně používané volby pro a k, které popisují stejnou fyziku: ${\ displaystyle a}$

k = +1, 0 nebo −1 v závislosti na tom, zda je tvar vesmíru uzavřená 3-koule , plochý (tj. euklidovský prostor ) nebo otevřený 3- hyperboloid . Pokud k = +1, pak je poloměr zakřivení vesmíru. Pokud k = 0, pak může být fixováno na libovolné kladné číslo v jednom konkrétním čase. Pokud k = −1, pak (volně řečeno) lze říci, že jde o poloměr zakřivení vesmíru. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle i \ cdot a}$
${\ displaystyle a}$ je měřítkový faktor, který je v současné době považován za 1. je prostorové zakřivení kdy (tj. dnes). V případě, že tvar vesmíru je hyperspherical a je poloměr zakřivení ( v dnešní), potom . Pokud je pozitivní, pak je vesmír hypersférický. Pokud je nula, pak je vesmír plochý . Pokud je záporné, pak je vesmír hyperbolický . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle a = 1}$ ${\ displaystyle R_ {t}}$ ${\ displaystyle R_ {0}}$ ${\ displaystyle a = R_ {t} / R_ {0}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$

Použitím první rovnice lze druhou rovnici znovu vyjádřit jako

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = - 3H \ vlevo (\ rho + {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ vpravo),}

který vylučuje a vyjadřuje zachování masové energie ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} {} _ {; \ beta} = 0.}$

Tyto rovnice jsou někdy zjednodušeny nahrazením

{\ displaystyle \ rho \ to \ rho - {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {8 \ pi G}}}

{\ displaystyle p \ to p + {\ frac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}}

dát:

{\ displaystyle H ^ {2} = \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho - {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ dot {H}} + H ^ {2} = {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ vlevo (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2}}} \ vpravo).}

Zjednodušená forma druhé rovnice je při této transformaci neměnná.

Hubbleův parametr se může časem měnit, pokud jsou jiné části rovnice časově závislé (zejména hmotnostní hustota, vakuová energie nebo prostorové zakřivení). Vyhodnocení parametru Hubble v současné době poskytuje Hubbleovu konstantu, což je konstanta proporcionality Hubbleova zákona . Aplikované na tekutinu s danou stavovou rovnicí , Friedmannovy rovnice poskytují časový vývoj a geometrii vesmíru jako funkci hustoty kapaliny.

Někteří kosmologové nazývají druhou z těchto dvou rovnic Friedmannovou zrychlovací rovnicí a vyhrazují termín Friedmannova rovnice pouze pro první rovnici.

Parametr hustoty

Parametr hustoty je definován jako poměr skutečné (nebo pozorované) hustoty ke kritické hustotě Friedmannova vesmíru. Vztah mezi skutečnou hustotou a kritickou hustotou určuje celkovou geometrii vesmíru; když jsou stejné, geometrie vesmíru je plochá (euklidovská). V dřívějších modelech, které neobsahovaly kosmologický konstantní člen , byla kritická hustota původně definována jako předěl mezi rozpínajícím se a smršťujícím se vesmírem. ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ rho _ {c}}$

K dnešnímu dni se kritická hustota odhaduje na přibližně pět atomů ( monatomického vodíku ) na metr krychlový, zatímco průměrná hustota obyčejné hmoty ve vesmíru se považuje za 0,2–0,25 atomů na metr krychlový.

Odhadované relativní rozdělení složek energetické hustoty vesmíru. Temná energie dominuje celkové energii (74%), zatímco temná hmota (22%) tvoří většinu hmoty. Ze zbývajících baryonických látek (4%) je kompaktní pouze jedna desetina. V únoru 2015 evropský výzkumný tým za kosmologickou sondou Planck vydal nová data, která tyto hodnoty upravila na 4,9% obyčejné hmoty, 25,9% temné hmoty a 69,1% temné energie.

Mnohem větší hustota pochází z neidentifikované temné hmoty ; jak obyčejná, tak temná hmota přispívají ve prospěch kontrakce vesmíru. Největší část však pochází z takzvané temné energie , která odpovídá termínu kosmologické konstanty. Přestože je celková hustota rovna kritické hustotě (přesně, až do chyby měření), temná energie nevede ke kontrakci vesmíru, ale může zrychlit jeho expanzi. Vesmír se proto pravděpodobně bude rozpínat navždy.

Výraz pro kritickou hustotu lze najít za předpokladu, že Λ bude nula (jako je tomu u všech základních Friedmannových vesmírů) a nastavení normalizovaného prostorového zakřivení, k , rovného nule. Když jsou substituce aplikovány na první z Friedmannových rovnic, najdeme:

{\ displaystyle \ rho _ {c} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}} = 1,8788 \ krát 10 ^ {- 26} h ^ {2} {\ rm {kg}} \ , {\ rm {m}} ^ {- 3} = 2,7754 \ krát 10 ^ {11} h ^ {2} M _ {\ odot} \, {\ rm {Mpc}} ^ {- 3},}

(kde h = H _o / (100 km / s / Mpc). Pro H _o = 67,4 km / s / Mpc, tj. h = 0,674, ρ _c = 8,5 × 10 ⁻²⁷ kg / m ³ )

Parametr hustoty (užitečný pro porovnání různých kosmologických modelů) je poté definován jako:

{\ displaystyle \ Omega \ equiv {\ frac {\ rho} {\ rho _ {c}}} = {\ frac {8 \ pi G \ rho} {3H ^ {2}}}.}

Tento termín se původně používal jako prostředek k určení prostorové geometrie vesmíru, kde je kritická hustota, pro kterou je prostorová geometrie plochá (neboli euklidovská). Za předpokladu nulové hustoty vakuové energie, pokud je větší než jednota, jsou vesmírné části vesmíru uzavřeny; vesmír se nakonec zastaví a poté se zhroutí. Pokud je menší než jednota, jsou otevřené; a vesmír se rozpíná navždy. Lze však také zahrnout podmínky prostorového zakřivení a vakuové energie do obecnějšího výrazu, v takovém případě se tento parametr hustoty rovná přesně jednotě. Pak už jde o měření různých složek, obvykle označovaných indexem. Podle modelu ΛCDM existují důležité složky způsobené baryony , studenou temnou hmotou a temnou energií . Prostorová geometrie vesmíru byla naměřena sondou WMAP tak, aby byla téměř plochá. To znamená, že vesmír lze dobře aproximovat modelem, kde je parametr prostorového zakřivení nula; to však nemusí nutně znamenat, že vesmír je nekonečný: může se stát, že vesmír je mnohem větší než ta část, kterou vidíme. (Stejně tak skutečnost, že Země je přibližně plochá v rozsahu Nizozemska , neznamená, že Země je plochá: znamená to jen, že je mnohem větší než Nizozemsko.) ${\ displaystyle \ rho _ {c}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle k}$

První Friedmannova rovnice je často vnímána z hlediska současných hodnot parametrů hustoty, tj

{\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {-3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}.}

Zde je hustota záření dnes (tj. Kdy ), hustota hmoty ( tmavá plus baryonická ) dnes, dnes „hustota prostorového zakřivení“ a dnes kosmologická konstanta nebo vakuová hustota. ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle a = 1}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, k} = 1- \ Omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$

Užitečná řešení

Friedmannovy rovnice lze vyřešit přesně za přítomnosti dokonalé tekutiny se stavovou rovnicí

{\ displaystyle p = w \ rho c ^ {2},}

kde je tlak , je hustota hmoty tekutiny v zapalovacím rámu a je nějaká konstanta. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle w}$

V prostorově plochém případě ( k = 0) je řešení pro měřítkový faktor

{\ displaystyle a (t) = a_ {0} \, t ^ {\ frac {2} {3 (w + 1)}}}

kde je nějaká integrační konstanta, která má být stanovena volbou počátečních podmínek. Tato skupina označených řešení je pro kosmologii nesmírně důležitá. Např. Popisuje vesmír ovládaný hmotou , kde je tlak zanedbatelný vzhledem k hustotě hmoty. Z obecného řešení lze snadno zjistit, že ve vesmíru ovládaném hmotou jde o faktor měřítka ${\ displaystyle a_ {0}}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle w = 0}$

{\ displaystyle a (t) \ propto t ^ {2/3}}

hmotou dominuje

Dalším důležitým příkladem je případ vesmíru ovládaného radiací , tj. Kdy . Tohle vede k ${\ displaystyle w = 1/3}$

{\ displaystyle a (t) \ propto t ^ {1/2}}

záření dominovalo

Všimněte si, že toto řešení není platné pro nadvládu nad kosmologickou konstantou, která odpovídá an . V tomto případě je hustota energie konstantní a měřítkový faktor roste exponenciálně. ${\ displaystyle w = -1}$

Řešení pro další hodnoty k lze nalézt na Tersic, Balsa. „Přednášky o astrofyzice“ (PDF) . Vyvolány 20 July 2011 ..

Směsi

Pokud je hmota směsí dvou nebo více neinteragujících tekutin, každá s takovou stavovou rovnicí, pak

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {f} = - 3H \ vlevo (\ rho _ {f} + {\ frac {p_ {f}} {c ^ {2}}} \ vpravo) \, }

platí zvlášť pro každou takovou tekutinu f . V každém případě,

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {f} = - 3H \ left (\ rho _ {f} + w_ {f} \ rho _ {f} \ right) \,}

ze kterého dostaneme

{\ displaystyle {\ rho} _ {f} \ propto a ^ {- 3 (1 + w_ {f})} \ ,.}

Například lze vytvořit lineární kombinaci takových výrazů

{\ displaystyle \ rho = Aa ^ {- 3} + Ba ^ {- 4} + Ca ^ {0} \,}

kde: A je hustota „prachu“ (běžná hmota, w = 0), když = 1; B je hustota záření ( w = 1/3), když = 1; a C je hustota „temné energie“ ( w = -1). Jeden to pak dosadí ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho - {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}} \,}

a řeší se jako funkce času. ${\ displaystyle a}$

Podrobné odvození

Aby byla řešení jasnější, můžeme odvodit úplné vztahy z první Friedmanovy rovnice:

{\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {-3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}}

s

{\ displaystyle H = {\ frac {\ dot {a}} {a}}}

{\ displaystyle {H ^ {2}} = H_ {0} ^ {2} (\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda})}

{\ displaystyle H = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ dot {a}} {a}} = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda})}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a ^ {2})}}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} a = \ mathrm {d} tH_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a ^ { -1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a ^ {2})}}}

Přeskupení a změna pro použití proměnných a pro integraci ${\ displaystyle a '}$ ${\ displaystyle t '}$

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a' ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a '^ {- 1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a' ^ {2})}}}}

Lze nalézt řešení závislosti faktoru měřítka s ohledem na čas pro vesmíry, kde dominuje každá složka. V každém z nich jsme také předpokládali, že , což je stejné jako za předpokladu, že dominujícím zdrojem hustoty energie je . ${\ displaystyle \ Omega _ {0, k} \ přibližně 0}$ ${\ displaystyle \ cca 1}$

Pro hmotu dominovaly vesmíry, kde a stejně jako . ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M} >> \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M} \ přibližně 1}$

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, M} a' ^ {- 1} )}}}}

{\ displaystyle tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, M}}} = ({\ frac {2} {3}} a '^ {\ frac {3} {2}}) | _ { 0} ^ {a}}

{\ displaystyle ({\ frac {3} {2}} tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, M}}}) ^ {\ frac {2} {3}} = a (t)}

který obnovuje výše uvedené ${\ displaystyle a \ propto t ^ {\ frac {2} {3}}}$

Pro Radiace dominovaly vesmíry, kde a stejně jako ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R} >> \ Omega _ {0, M}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R} \ přibližně 1}$

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a' ^ {- 2} )}}}}

{\ displaystyle tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, R}}} = {\ frac {a '^ {2}} {2}} | _ {0} ^ {a}}

{\ displaystyle (2tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, R}}}) ^ {\ frac {1} {2}} = a (t)}

Pro ovládané vesmíry, kde a také , a kde nyní změníme své hranice integrace z na a podobně na . ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} >> \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} \ přibližně 1}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} = \ int _ {a_ {i}} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ { 0, \ Lambda} a '^ {2})}}}}

{\ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}} = \ mathrm {ln} (| a '|) | _ {a_ {i}} ^ {a}}

{\ displaystyle a_ {i} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}} = a (t)}

Řešení s ovládaným vesmírem je zvláště zajímavé, protože druhá derivace s ohledem na čas je pozitivní, nenulová; jinými slovy naznačující zrychlující se expanzi vesmíru, čímž se stává kandidátem na temnou energii : ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ rho _ {lambda}}$

{\ displaystyle a (t) = a_ {i} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} a (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = a_ {i} (H_ {0}) ^ {2} \ Omega _ {0, \ Lambda} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}}}

Pokud byly naše předpoklady konstrukcí , byly a byly měřeny jako pozitivní, což nutilo zrychlení větší než nula. ${\ displaystyle a_ {i}> 0}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} \ přibližně 1}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$

Změna měřítka Friedmannova rovnice

Nastavit , kde a jsou dnes samostatně faktor měřítka a Hubbleův parametr . Pak můžeme mít ${\ displaystyle {\ tilde {a}} = {\ frac {a} {a_ {0}}}, \; \ rho _ {c} = {\ frac {3H_ {0} ^ {2}} {8 \ pi G}}, \; \ Omega = {\ frac {\ rho} {\ rho _ {c}}}, \; t = {\ frac {\ tilde {t}} {H_ {0}}}, \ ; \ Omega _ {c} = - {\ frac {kc ^ {2}} {H_ {0} ^ {2} a_ {0} ^ {2}}} \;}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {d {\ tilde {a}}} {d {\ tilde {t}}}} \ vpravo) ^ {2} + U_ { \ text {eff}} ({\ tilde {a}}) = {\ frac {1} {2}} \ Omega _ {c}}

kde . Pro jakoukoli formu efektivního potenciálu existuje stavová rovnice, která jej vyprodukuje. ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} ({\ tilde {a}}) = {\ frac {- \ Omega {\ tilde {a}} ^ {2}} {2}} \;}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} ({\ tilde {a}}) \;}$ ${\ displaystyle p = p (\ rho)}$

Viz také

Poznámky

Další čtení

Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Expanze" . Kosmologie . Berlín: Springer. str. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.

Languages

In other projects