Frustum - Frustum

Sada pyramidových frustů
Příklady: Pentagonální a hranaté frustum
Tváře	n lichoběžníky , 2 n -úhelníky
Hrany	3 n
Vrcholy	2 n
Skupina symetrie	C n v , [1, n ], (* nn )
Vlastnosti	konvexní

V geometrii , je komolý kužel (množný: frusta nebo komolé ) je část pevné látky (obvykle kužel nebo jehlan ), která leží mezi jedním nebo dvěma rovnoběžnými rovinami řezání to. Přímo komolý kužel je paralelní zkrácení z pravé pyramidy nebo pravého kužele.

V počítačové grafice je frustrace prohlížení trojrozměrná oblast, která je viditelná na obrazovce. Je tvořena ořezanou pyramidou; zejména frustum culling je metoda určování skrytého povrchu .

V leteckém a kosmickém průmyslu je frustrem kapotáž mezi dvěma stupni vícestupňové rakety (jako je Saturn V ), která má tvar komolého kužele.

Pokud jsou všechny hrany nuceny být identické , z frustu se stane jednotný hranol .

Prvky, speciální případy a související pojmy

Náměstí frustum

Pravidelný osmistěn může být rozšířen na 3 tvářích, aby vytvořil trojúhelníkový frustum

Osa frustumu je osa původního kužele nebo pyramidy. Frustum je kruhové, pokud má kruhové základy; je správné, pokud je osa kolmá k oběma základnám, a šikmá jinak.

Výška frustu je kolmá vzdálenost mezi rovinami obou základen.

Na čípky a pyramidy lze pohlížet jako na degenerované případy frusta, kdy jedna z řezných rovin prochází vrcholem (takže odpovídající základna se zmenší do bodu). Pyramidální frusta jsou podtřídou prismatoidů .

Dvě frusty spojené na svých základnách vytvořily bifrustum .

Vzorec

Objem

Objemový vzorec frusta čtvercové pyramidy zavedla staroegyptská matematika v takzvaném moskevském matematickém papyru , napsaném ve 13. dynastii ( asi  1850 př . N. L. ):

${\ Displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} h \ left (a^{2}+ab+b^{2} \ right).}$

kde a a b jsou délky základny a horní strany zkrácené pyramidy, a h je výška. Egypťané znali správný vzorec pro získání objemu zkrácené čtvercové pyramidy, ale v moskevském papyru není uveden důkaz této rovnice.

Objem kónické nebo pyramidovou komolého je objem pevné látky před krájením vrcholové off, minus objem špice:

${\ displaystyle V = {\ frac {h_ {1} B_ {1} -h_ {2} B_ {2}} {3}}}$

kde B ₁ je plocha jedné základny, B ₂ je plocha druhé základny a h ₁ , h ₂ jsou kolmé výšky od vrcholu k rovinám obou základen.

Vezmeme-li v úvahu, že

${\ displaystyle {\ frac {B_ {1}} {h_ {1}^{2}}} = {\ frac {B_ {2}} {h_ {2}^{2}}} = {\ frac {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} {h_ {1} h_ {2}}} = \ alpha}$,

vzorec pro objem lze vyjádřit pouze jako součin této úměrnosti α/3 a rozdílu kostek výšek h ₁ a h ₂ .

${\ Displaystyle V = {\ frac {h_ {1} \ alpha h_ {1}^{2} -h_ {2} \ alpha h_ {2}^{2}} {3}} = {\ frac {\ alpha } {3}} (h_ {1}^{3} -h_ {2}^{3})}$

Součinitelem rozdílu dvou kostek, a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) , dostaneme h ₁ - h ₂ = h , výšku frustu a α * ( h ₁ ² + h ₁ h ₂ + h ₂ ²/3) .

Distribucí α a nahrazením její definice se získá heroniánský průměr oblastí B ₁ a B ₂ . Alternativní vzorec je tedy

${\ Displaystyle V = {\ frac {h} {3}} \ left (B_ {1}+{\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}}+B_ {2} \ right)}$.

Volavka Alexandrijská je známá tím, že odvodila tento vzorec a spolu s ním narazila na imaginární jednotku , odmocninu záporné jednotky.

Zejména objem kruhového kuželového frustu je

${\ Displaystyle V = {\ frac {\ pi h} {3}} \ left (r_ {1}^{2}+r_ {1} r_ {2}+r_ {2}^{2} \ right)}$

kde r ₁ , r ₂ jsou poloměry obou základen.

Objem pyramidálního komína, jehož základem jsou n -stranné pravidelné polygony, je

${\ Displaystyle V = {\ frac {nh} {12}} \ left (a_ {1}^{2}+a_ {1} a_ {2}+a_ {2}^{2} \ right) \ cot { \ frac {\ pi} {n}}}$

kde ₁ a ₂ jsou strany obou základen.

Plocha povrchu

Kónické frustum

3D model kónického frustu.

Pro pravé kruhové kuželovité frustum

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {Lateral surface area}} & = \ pi \ left (r_ {1}+r_ {2} \ right) s \\ & = \ pi \ left (r_ {1 }+r_ {2} \ right) {\ sqrt {\ left (r_ {1} -r_ {2} \ right)^{2}+h^{2}}} \ end {zarovnaný}}}$

a

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {Total surface area}} & = \ pi \ left (\ left (r_ {1}+r_ {2} \ right) s+r_ {1}^{2} +r_ {2}^{2} \ right) \\ & = \ pi \ left (\ left (r_ {1}+r_ {2} \ right) {\ sqrt {\ left (r_ {1} -r_ { 2} \ right)^{2}+h^{2}}}+r_ {1}^{2}+r_ {2}^{2} \ right) \ end {zarovnáno}}}$

kde r ₁ a r ₂ jsou základní a horní poloměry, a s je šikmá výška frustu.

Plocha pravého frustu, jehož základy jsou podobné pravidelným n -stranným polygonům, je

${\ Displaystyle A = {\ frac {n} {4}} \ left [\ left (a_ {1}^{2}+a_ {2}^{2} \ right) \ cot {\ frac {\ pi} {n}}+{\ sqrt {\ left (a_ {1}^{2} -a_ {2}^{2} \ right)^{2} \ sec^{2} {\ frac {\ pi} { n}}+4h^{2} \ vlevo (a_ {1}+a_ {2} \ vpravo)^{2}}} \ vpravo]}$

kde ₁ a ₂ jsou strany obou základen.

Příklady

Čokolády značky Rolo se přibližují pravému kruhovému kuželovitému frustu, i když nejsou nahoře ploché.

• Na zadní straně (zadní straně) jednodolarové bankovky Spojených států se na zadní straně Velké pečeti Spojených států objevuje pyramidální frustum , převyšující Oko prozřetelnosti .
• Zikkuraty , stupňovité pyramidy a některé starověké indiánské mohyly také tvoří komín jedné nebo více pyramid, s přidanými dalšími funkcemi, jako jsou schody.
• Čínské pyramidy .
• John Hancock Center v Chicagu , Illinois je komolý kužel, jehož základy jsou obdélníky.
• Washington Monument je úzký čtverec na bázi pyramidové komolý zakončena malým pyramidy.
• Prohlížení komolý kužel v 3D počítačové grafice je použitelný virtuálního fotografické a video kamera má zorné pole modelovaných jako pyramidovou komolého.
• V anglickém překladu povídkové sbírky Stanislawa Lema Kyberiada báseň Láska a tenzorová algebra tvrdí, že „každé frustum touží být kuželem“.
• Kbelíky a typická stínítka jsou každodenními příklady kuželovitých frustů.
• Sklenice na pití a některé vesmírné kapsle jsou také příklady.

Viz také

• Sférické frustum

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Odvození vzorce pro objem frustumů pyramidy a kužele (Mathalino.com)
• Weisstein, Eric W. „Pyramidální frustum“ . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Kónické frustum“ . MathWorld .
• Papírové modely frustums (zkrácené pyramidy)
• Papírový model frustum (komolý kužel)
• Navrhněte papírové modely kónického frustu (komolé kužely)