Funkce reálné proměnné - Function of a real variable

V matematické analýze , a aplikace v geometrii , aplikované matematiky , inženýrství a přírodních věd , je funkcí reálné proměnné je funkce jehož doména je na reálná čísla , nebo jejich podmnožinu z , který obsahuje interval pozitivní délky. Většina reálných funkcí, které jsou zvažovány a studovány, jsou v určitém intervalu diferencovatelné . Nejčastěji považované za takové funkce jsou reálné funkce , které jsou funkcemi reálné proměnné v reálném smyslu, tj. Funkcemi reálné proměnné, jejíž doménou je množina reálných čísel.

Codomain funkce skutečné proměnné však může být libovolná množina. Často se však předpokládá, že má strukturu - vektorového prostoru nad reálemi. To znamená, že codomain může být euklidovský prostor , vektor souřadnic , sada matic reálných čísel dané velikosti nebo - algebra , jako jsou komplexní čísla nebo čtveřice . Struktura -vektorový prostor codomainu indukuje strukturu -vektorového prostoru na funkcích. Pokud má codomain strukturu -algebry, totéž platí pro funkce.

Obraz z funkce reálné proměnné je křivka v codomain. V této souvislosti se funkce, která definuje křivku, nazývá parametrická rovnice křivky.

Když je doménou funkce reálné proměnné konečný trojrozměrný vektorový prostor , lze ji považovat za posloupnost reálných funkcí. To se často používá v aplikacích.

Skutečná funkce

Graf reálné funkce

Skutečná funkce je funkce od podmnožiny do, kde jako obvykle označuje množinu reálných čísel . To znamená, že doména reálné funkce je podmnožinou , a jeho codomain je Obecně se předpokládá, že doména obsahuje interval pozitivní délky.

Základní příklady

Pro mnoho běžně používaných reálných funkcí je doménou celá sada reálných čísel a funkce je spojitá a diferencovatelná v každém bodě domény. Jeden říká, že tyto funkce jsou definovány, spojité a diferencovatelné všude. To je případ:

Některé funkce jsou definovány všude, ale v některých bodech nejsou spojité. Například

Některé funkce jsou definovány a spojité všude, ale ne všude rozlišitelné. Například

  • Absolutní hodnota je definované a spojité všude, a je diferencovatelná všude kromě nuly.
  • Kubický kořen je definované a spojité všude, a je differentiable všude kromě nuly.

Mnoho běžných funkcí není definováno všude, ale jsou spojité a rozlišitelné všude, kde jsou definovány. Například:

  • Racionální funkce je podílem dvou polynomů funkcí, a není definován v nul jmenovatele.
  • Funkce tangenta není definována pro kde k je celé číslo.
  • Funkce logaritmu je definována pouze pro kladné hodnoty proměnné.

Některé funkce jsou spojité v celé své doméně a nejsou v některých bodech diferencovatelné. To je případ:

  • Druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporné hodnoty proměnné a není diferencovatelná na 0 (je diferencovatelná pro všechny kladné hodnoty proměnné).

Obecná definice

Reálná funkce reálné proměnné je funkce , která bere jako vstup reálné číslo , obvykle reprezentované proměnné x , pro výrobu další reálné číslo, je hodnota funkce, běžně označovaný f ( x ). Pro zjednodušení bude v tomto článku reálná funkce reálné proměnné jednoduše nazývána funkcí . Aby nedocházelo k nejasnostem, budou výslovně specifikovány ostatní typy funkcí, které se mohou vyskytnout.

Některé funkce jsou definovány pro všechny skutečné hodnoty proměnných (jeden říká, že jsou definovány všude), ale některé další funkce jsou definovány pouze v případě, že je hodnota proměnné převzata v podmnožině X v doméně funkce ,, která má vždy obsahovat kladný interval . Jinými slovy, skutečná hodnota reálné proměnné je funkcí

takže její doména X je podmnožinou ℝ, která obsahuje interval kladné délky.

Jednoduchým příkladem funkce v jedné proměnné může být:

což je druhá odmocnina z x .

obraz

Obraz z funkce je množina všech hodnot f , pokud proměnná x probíhá v celé oblasti f . Pro spojitou (definici viz níže) funkci s reálnou hodnotou s připojenou doménou je obraz buď interval, nebo jedna hodnota. V druhém případě je funkcí konstantní funkce .

Preimage dané reálné číslo y je množina roztocích podle rovnice y = f ( x ) .

Doména

Doména z funkce více proměnných je podmnožinou ℝ, který se někdy explicitně definovány. Ve skutečnosti, je-li jeden omezuje doména X z funkce f na podmnožinu Y X , dostane formálně jinou funkci, omezení a f na Y , který je označený f | Y . V praxi často není na škodu identifikovat f a f | Y a vynechat dolní index | Y .

Naopak je někdy možné přirozeně zvětšit doménu dané funkce, například kontinuitou nebo analytickým pokračováním . To znamená, že není hodné výslovně definovat doménu funkce reálné proměnné.

Algebraická struktura

Aritmetické operace lze na funkce použít následujícím způsobem:

  • Pro každé reálné číslo r je konstantní funkce definována všude.
  • Pro každé reálné číslo r a každou funkci f má funkce stejnou doménu jako f (nebo je všude definována, pokud r = 0).
  • Pokud f a g jsou dvě funkce příslušných domén X a Y tak, že X Y obsahuje otevřenou podmnožinu ℝ, pak a jsou funkce, které mají domény, obsahující XY .

Z toho vyplývá, že funkce n proměnných, které jsou definovány všude, a funkce n proměnných, které jsou definovány v nějakém sousedství daného bodu, vytvářejí komutativní algebry nad reálemi (ℝ-algebry).

Podobně lze definovat, která je funkce, pouze pokud množina bodů ( x ) v doméně f tak, že f ( x )) 0 obsahuje otevřenou podmnožinu ℝ. Toto omezení znamená, že výše uvedené dvě algebry nejsou pole .

Spojitost a limit

Limita reálné funkce reálné proměnné.

Až do druhé poloviny 19. století matematici uvažovali pouze o spojitých funkcích . V té době byl pojem spojitosti pro funkce jedné nebo několika reálných proměnných zpracován poměrně dlouho před formálním vymezením topologického prostoru a spojitou mapou mezi topologickými prostory. Protože spojité funkce reálné proměnné jsou v matematice všudypřítomné, stojí za to definovat tento pojem bez odkazu na obecný pojem spojitých map mezi topologickým prostorem.

Pro definování spojitosti je užitečné vzít v úvahu funkci vzdálenosti ℝ, což je všude definovaná funkce 2 reálných proměnných:

Funkce f je spojitá v bodě, který je uvnitř její domény, pokud pro každé kladné reálné číslo ε existuje kladné reálné číslo φ takové, že pro všechny takové, že Jinými slovy, φ může být zvoleno dostatečně malé na to, aby obraz o f intervalu poloměru φ se středem na obsaženém v intervalu délky 2 ε se středem na A Funkce je spojitá, pokud je spojitá v každém bodě její domény.

Limit na skutečný-cenil funkce reálné proměnné je následující. Nechť a je bod v topologické uzávěrce domény X funkce f . Funkce f má limitu L, když x má sklon k a , je označeno

pokud je splněna následující podmínka: Pro každé kladné reálné číslo ε > 0 existuje kladné reálné číslo δ > 0 takové, že

pro všechna x v doméně taková

Pokud limit existuje, je jedinečný. Pokud je ve vnitřku domény limit existuje tehdy a jen tehdy, pokud je tato funkce spojitá v . V tomto případě máme

Když a je na hranici domény f , a pokud f má limit na a , druhý vzorec umožňuje „rozšířit o kontinuitu“ doménu f na a .

Počet

Jeden může sbírat řadu funkcí, každá z reálné proměnné, řekněme

do vektoru parametrizovaného x :

Derivací vektoru y jsou vektorové deriváty f i ( x ) pro i = 1, 2, ..., n :

Lze také provádět lineární integrály podél prostorové křivky parametrizované x , s pozičním vektorem r = r ( x ), integrací s ohledem na proměnnou x :

kde · je bodový součin a x = a a x = b jsou počáteční a koncové body křivky.

Věty

S definicemi integrace a derivací lze formulovat klíčové věty, včetně základní věty integrace počtu po částech a Taylorovy věty . Vyhodnocení směsi integrálů a derivací lze provést pomocí diferenciace vět pod znaménkem integrálu .

Implicitní funkce

Reálná implicitní funkce reálného proměnné není zapsán ve formě „ y = f ( x )“. Místo toho je mapování z prostoru ℝ 2 k nulovému prvku v ℝ (jen obyčejná nula 0):

a

je rovnice v proměnných. Implicitní funkce jsou obecnějším způsobem, jak reprezentovat funkce, protože pokud:

pak můžeme vždy definovat:

ale obrácení není vždy možné, tj. ne všechny implicitní funkce mají formu této rovnice.

Jednorozměrné prostorové křivky v ℝ n

Prostorová křivka ve 3D. Polohový vektor r je parametrized skalární t . Při r = a je červená čára tečna ke křivce a modrá rovina je kolmá ke křivce.

Formulace

Vzhledem k funkcím r 1 = r 1 ( t ) , r 2 = r 2 ( t ) , ..., r n = r n ( t ) všechny společné proměnné t , takže:

nebo společně:

pak parametrizovaná n -tuple,

popisuje jednorozměrnou prostorovou křivku .

Tečna od křivky

V bodě r ( t = c ) = a = ( a 1 , a 2 , ..., a n ) pro nějakou konstantu t = c jsou uvedeny rovnice jednorozměrné tečny ke křivce v tomto bodě pokud jde o běžných derivátů z r 1 ( t ), R 2 ( t ), ..., r n ( t ), a r s ohledem na t :

Normální rovina ke křivce

Rovnice n -rozměrné nadroviny kolmé k tečné přímce při r = a je:

nebo pokud jde o bodový produkt :

kde p = ( p 1 , p 2 , ..., p n ) jsou body v rovině , nikoli na prostorové křivce.

Vztah ke kinematice

Kinematické veličiny klasické částice: hmotnost m , poloha r , rychlost v , zrychlení a .

Fyzikální a geometrická interpretace d r ( t ) / dt je „ rychlost “ bodové částice pohybující se po dráze r ( t ), která r považuje za vektorové souřadnice prostorové polohy parametrizované časem t , a je vektorem tečna k prostorové křivce pro všechna t v okamžitém směru pohybu. Při t = c má prostorová křivka tečný vektor d r ( t ) / dt | t = c a nadrovina kolmá k prostorové křivce v t = c je také kolmá k tečně v t = c . Libovolný vektor v této rovině ( p - a ) musí být kolmý na d r ( t ) / dt | t = c .

Podobně d 2 r ( t ) / dt 2 je „ zrychlení “ částice a je vektorem kolmým ke křivce směřující podél poloměru zakřivení .

Funkce oceněné maticí

Matrice může být také funkce jedné proměnné. Například rotační matice ve 2d:

je maticová funkce úhlu otočení o počátku. Podobně, ve speciální relativitě , Lorentzova transformační matice pro čistou podporu (bez rotací):

je funkcí boostovacího parametru β = v / c , ve kterém v je relativní rychlost mezi referenčními snímky (spojitá proměnná) a c je rychlost světla , konstanta.

Banachovy a Hilbertovy prostory a kvantová mechanika

Zevšeobecněním předchozí části může výstup funkce skutečné proměnné ležet také v Banachově prostoru nebo Hilbertově prostoru. V těchto prostorech je definováno dělení, násobení a limity, takže stále platí pojmy jako derivace a integrál. K tomu dochází obzvláště často v kvantové mechanice, kde se bere derivace ket nebo operátoru . K tomu dochází například v obecné časově závislé Schrödingerově rovnici :

kde jeden vezme derivaci vlnové funkce, která může být prvkem několika různých Hilbertových prostorů.

Komplexní funkce reálné proměnné

Komplexními hodnotami funkce reálné proměnné mohou být definovány relaxační, v definici funkcí reálné s hodnotou omezení codomain na reálných čísel, a umožňuje komplexní hodnoty.

Pokud f ( x ) je taková komplexní hodnotná funkce, může být rozložena jako

f ( x ) = g ( x ) + ih ( x ) ,

kde g a h jsou funkce se skutečnou hodnotou. Jinými slovy, studium komplexních hodnotných funkcí se snadno redukuje na studium dvojic funkcí se skutečnými hodnotami.

Mohutnost množin funkcí reálné proměnné

Mohutnost množiny reálných funkcí reálné proměnné, je , což je přísně větší než mohutnost kontinua (tj soubor všech reálných čísel). Tuto skutečnost snadno ověří kardinální aritmetika:

Kromě toho, pokud je množina taková , pak je mohutnost množiny také , protože

Avšak množina spojitých funkcí má striktně menší mohutnost mohutnost kontinua . To vyplývá ze skutečnosti, že spojitá funkce je zcela určena její hodnotou v husté podmnožině její domény. Mohutnost množiny spojitých funkcí se skutečnou hodnotou na realitách tedy není větší než mohutnost množiny funkcí se skutečnou hodnotou racionální proměnné. Kardinální aritmetikou:

Na druhou stranu, protože existuje jasná bijekce mezi a soubor konstantních funkcí , který tvoří podmnožinu , musí také platit. Z tohoto důvodu, .

Viz také

Reference

externí odkazy