Funkční rovnice - Functional equation

V matematice je funkční rovnicí jakákoli rovnice, ve které neznámá představuje funkci . Rovnice často spojuje hodnotu funkce (nebo funkcí) v určitém bodě s jejími hodnotami v jiných bodech. Vlastnosti funkcí lze například určit zvážením typů funkčních rovnic, které splňují. Termín funkční rovnice obvykle označuje rovnice, které nelze jednoduše redukovat na algebraické rovnice nebo diferenciální rovnice .

Příklady

• Funkční rovnice

${\ Displaystyle f (s) = 2 ^{s} \ pi ^{s-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ Gamma (1-s) f ( 1 s)}$

je splněna funkcí Riemann zeta . Velké písmeno Γ označuje funkci gama .

• Funkce gama je jedinečným řešením následující soustavy tří rovnic:

${\ Displaystyle f (x) = {f (x+1) \ over x} \, \!}$

${\ Displaystyle f (y) f \ left (y+{\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2^{2y-1}}} f (2 roky )}$

${\ Displaystyle f (z) f (1-z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)} \, \! \, \, \,}$       ( Eulerův reflexní vzorec )

• Funkční rovnice

${\ Displaystyle f \ left ({az+b \ over cz+d} \ right) = (cz+d)^{k} f (z) \, \!}$

kde a , b , c , d jsou celá čísla vyhovující , tj. = 1, definuje f jako modulární formu řádu k .${\ displaystyle ad-bc = 1}$${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}}$

• Různé příklady, které nemusí nutně zahrnovat standardní nebo pojmenované funkce:

${\ Displaystyle f (x+y) = f (x)+f (y) \, \!}$( Cauchyova funkční rovnice ), uspokojená lineárními mapami

${\ Displaystyle f (x+y) = f (x) f (y), \, \!}$splněny všemi exponenciálními funkcemi

${\ Displaystyle f (xy) = f (x)+f (y) \, \!}$, uspokojeno všemi logaritmickými funkcemi

${\ Displaystyle f (xy) = f (x) f (y) \, \!}$, uspokojen všemi výkonovými funkcemi

${\ Displaystyle f (x+y)+f (xy) = 2 [f (x)+f (y)] \, \!}$(kvadratická rovnice nebo paralelogramový zákon )

${\ Displaystyle f ((x+y)/2) = (f (x)+f (y))/2 \, \!}$ (Jensen)

${\ Displaystyle g (x+y)+g (xy) = 2 [g (x) g (y)] \, \!}$ (d'Alembert)

${\ Displaystyle f (h (x)) = h (x+1) \, \!}$ ( Abelova rovnice )

${\ Displaystyle f (h (x)) = cf (x) \, \!}$ ( Schröderova rovnice ).

${\ Displaystyle f (h (x)) = (f (x))^{c} \, \!}$ ( Böttcherova rovnice ).

${\ Displaystyle f (h (x)) = h '(x) f (x) \, \!}$( Juliina rovnice ).

${\ Displaystyle \ omega (\ omega (x, u), v) = \ omega (x, u+v)}$( Překladová rovnice )

${\ Displaystyle f (xy) = \ sum g_ {l} (x) h_ {l} (y) \, \!}$ (Levi-Civita),

a dvojice rovnic

${\ Displaystyle f (x+y) = f (x) g (y)+f (y) g (x) \, \!}$( sínusový adiční vzorec a hyperbolický sinusový adiční vzorec ),

${\ Displaystyle g (x+y) = g (x) g (y) -f (y) f (x) \, \!}$( kosinový adiční vzorec ),

${\ Displaystyle g (x+y) = g (x) g (y)+f (y) f (x) \, \!}$( hyperbolický kosinový adiční vzorec ).

• Jednoduchá forma funkční rovnice je relací opakování . Formálně to zahrnuje nespecifikované funkce na celých číslech a také operátory posunu . Jedním takovým příkladem relace recidivy je

${\ Displaystyle a (n) = 3a (n-1)+4a (n-2) \, \!}$

• K komutativní a asociativní zákony jsou funkční rovnice. Ve své známé formě je asociativní zákon vyjádřen zápisem binární operace v infixovém zápisu ,

${\ Displaystyle (a \ circ b) \ circ c = a \ circle (b \ circ c) ~,}$

ale když píšeme ƒ ( s ,  b ) místo v  ○  b pak na asociativní zákon vypadá spíše jako konvenční funkční rovnice,

${\ Displaystyle f (f (a, b), c) = f (a, f (b, c)). \, \!}$

Jednou z vlastností, kterou mají všechny výše uvedené příklady společné, je to, že v každém případě jsou v argumentu neznámých funkcí dvě nebo více známých funkcí (někdy násobení konstantou, někdy přidání dvou proměnných, někdy funkce identity ). k vyřešení.

Pokud jde o požadování všech řešení, může se stát, že by měly být použity podmínky z matematické analýzy ; například v případě Cauchyovy rovnice zmíněné výše jsou řešení, která jsou spojité funkce, ta 'rozumná', zatímco jiná řešení, která pravděpodobně nebudou mít praktickou aplikaci, mohou být konstruována (pomocí Hamelského základu pro reálná čísla jako vektorový prostor nad racionálními čísly ). Bohr-Mollerup věta je dalším dobře známým příkladem.

Řešení

Řešení funkčních rovnic může být velmi obtížné, ale existují některé běžné metody jejich řešení. Například v dynamickém programování se k řešení Bellmanovy funkční rovnice používá řada po sobě jdoucích aproximačních metod , včetně metod založených na iteracích pevných bodů . Některé třídy funkčních rovnic lze vyřešit pomocí počítačem podporovaných technik.

Hlavní metodou řešení elementárních funkčních rovnic je substituce. Často je užitečné dokázat surjektivitu nebo injekčnost a dokázat podivnost nebo sudost , je -li to možné. Je také užitečné hádat možná řešení. Indukce je užitečná technika, kterou lze použít, když je funkce definována pouze pro racionální nebo celočíselné hodnoty.

Diskuse o evolučních funkcích je aktuální. Zvažte například funkci

${\ Displaystyle f (x) = 1-x \ ,.}$

Skládání f samo o sobě dává Babbageovu funkční rovnici (1820),

${\ Displaystyle f (f (x)) = 1- (1-x) = x \ ,.}$

Funkční rovnici splňuje i několik dalších funkcí

${\ Displaystyle f (f (x)) = x}$

počítaje v to

${\ Displaystyle f (x) =-x \ ,,}$

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {a} {x}} \ ,,}$ a

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {bx} {1+cx}} ~,}$

který zahrnuje předchozí tři jako zvláštní případy nebo limity.

Příklad 1 . Najít všechny funkce f , které splňují

${\ Displaystyle f (x+y)^{2} = f (x)^{2}+f (y)^{2} \,}$

pro všechna x, y ∈ ℝ , za předpokladu, že ƒ je funkce s reálnou hodnotou .

Nechť x  =  y  = 0,

${\ Displaystyle f (0)^{2} = f (0)^{2}+f (0)^{2}. \,}$

Takže ƒ (0) ²  = 0 a ƒ (0) = 0.

Nyní nechť y  = - x ,

${\ Displaystyle f (xx)^{2} = f (x)^{2}+f (-x)^{2} \,}$

${\ Displaystyle f (0)^{2} = f (x)^{2}+f (-x)^{2} \,}$

${\ Displaystyle 0 = f (x)^{2}+f (-x)^{2} ~.}$

Čtverec skutečného čísla je nezáporný a součet nezáporných čísel je nulový právě tehdy, jsou -li obě čísla 0.

Takže ƒ (x) ²  = 0 pro všechna x a ƒ ( x ) = 0 je jediné řešení.

Viz také

• Funkční rovnice (funkce L)
• Bellmanova rovnice
• Dynamické programování
• Implicitní funkce
• Funkční diferenciální rovnice

Poznámky

Reference

• János Aczél , Přednášky o funkčních rovnicích a jejich aplikacích , Academic Press , 1966, přetištěno Dover Publications, ISBN  0486445232 .
• János Aczél & J. Dhombres, Funkční rovnice v několika proměnných , Cambridge University Press , 1989.
• C. Efthimiou, Úvod do funkčních rovnic , AMS, 2011, ISBN  978-0-8218-5314-6  ; online .
• Pl. Kannappan, Funkční rovnice a nerovnosti s aplikacemi , Springer, 2009.
• Marek Kuczma , Úvod do teorie funkčních rovnic a nerovností , druhé vydání, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Funkční rovnice ve skupinách , první vydání, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Small (3. dubna 2007). Funkční rovnice a jak je řešit . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

externí odkazy

• Funkční rovnice: Přesná řešení v EqWorld: Svět matematických rovnic.
• Funkční rovnice: Index na EqWorld: Svět matematických rovnic.
• IMO Compendium text (archivovaný) o funkčních rovnicích při řešení problémů.