Základní věta algebry - Fundamental theorem of algebra
Základní věty algebry uvádí, že každý ne konstantní jedné proměnné polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen . To zahrnuje polynomy se skutečnými koeficienty, protože každé reálné číslo je komplexní číslo s imaginární částí rovnou nule.
Ekvivalentně (podle definice), teorém říká, že pole z komplexních čísel je algebraicky zavřené .
Věta je také vyjádřena následovně: každý nenulový polynom s jednoduchou proměnnou stupně n s komplexními koeficienty má, počítáno s multiplicitou , přesně n složitých kořenů. Ekvivalenci těchto dvou tvrzení lze prokázat použitím postupného dělení polynomů .
Navzdory svému názvu neexistuje čistě algebraický důkaz věty, protože jakýkoli důkaz musí používat nějakou formu analytické úplnosti skutečných čísel , což není algebraický koncept . Navíc není pro moderní algebru zásadní ; jeho jméno bylo dáno v době, kdy byla algebra synonymem pro teorii rovnic .
Dějiny
Peter Roth ve své knize Arithmetica Philosophica (vydané v roce 1608 v Norimberku od Johanna Lantzenbergera) napsal, že polynomiální rovnice stupně n (se skutečnými koeficienty) může mít n řešení. Albert Girard ve své knize L'invention nouvelle en l'Algèbre (publikované v roce 1629) tvrdil, že polynomická rovnice stupně n má n řešení, ale neuváděl, že musí jít o reálná čísla. Dále dodal, že jeho tvrzení platí „pokud není rovnice neúplná“, čímž měl na mysli, že žádný koeficient není roven 0. Když však podrobně vysvětluje, co má na mysli, je zřejmé, že ve skutečnosti věří, že jeho tvrzení je vždy pravda; například ukazuje, že i když je rovnice neúplná, má čtyři řešení (počítání multiplicit): 1 (dvakrát) a
Jak bude opět uvedeno níže, ze základní věty algebry vyplývá, že každý nekonstantní polynom se skutečnými koeficienty lze zapsat jako součin polynomů se skutečnými koeficienty, jejichž stupně jsou buď 1 nebo 2. Nicméně v roce 1702 Leibniz chybně řekl že žádný polynom typu x 4 + 4 (s skutečný a odlišný od 0) lze zapsat takovým způsobem. Později Nikolaus Bernoulli učinil stejné tvrzení týkající se polynomu x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 4 , ale v roce 1742 dostal od Eulera dopis, ve kterém se ukázalo, že tento polynom je roven
s Také na to upozornil Euler
První pokus o prokázání věty provedl d'Alembert v roce 1746, ale jeho důkaz nebyl úplný. Kromě jiných problémů předpokládal implicitně větu (nyní známou jako Puiseuxova věta ), která by byla prokázána až o více než století později a pomocí základní věty algebry. Další pokusy provedli Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) a Laplace (1795). Tyto poslední čtyři pokusy implicitně předpokládaly Girardovo tvrzení; abychom byli přesnější, předpokládala se existence řešení a zbývalo dokázat jen to, že jejich forma byla a + bi pro některá reálná čísla a a b . V moderním pojetí Euler, de Foncenex, Lagrange a Laplace předpokládali existenci dělícího pole polynomu p ( z ).
Na konci 18. století byly vydány dva nové důkazy, které nepředpokládaly existenci kořenů, ale ani jeden nebyl úplný. Jeden z nich, kvůli Jamesi Woodovi a hlavně algebraický, byl publikován v roce 1798 a byl zcela ignorován. Woodův důkaz měl algebraickou mezeru. Druhý publikoval Gauss v roce 1799 a byl převážně geometrický, ale měl topologickou mezeru, kterou vyplnil pouze Alexander Ostrowski v roce 1920, jak je uvedeno v Smale (1981). První přísný důkaz publikoval Argand v roce 1806 (a znovu se vrátil v roce 1813); také zde byla poprvé uvedena základní věta algebry pro polynomy s komplexními koeficienty, nikoli jen pro skutečné koeficienty. Gauss produkoval dva další důkazy v roce 1816 a další neúplnou verzi svého původního důkazu v roce 1849.
První učebnice obsahuje důkaz věty byla Cauchyova ‚s Cours d'analyzovat de l'École Polytechnique Royale (1821). Obsahoval Argandův důkaz, ačkoli Argand za to není připsán.
Žádný z dosud uvedených důkazů není konstruktivní . Byl to Weierstrass, kdo poprvé nastolil v polovině 19. století problém nalezení konstruktivního důkazu základní věty algebry. Své řešení, které je moderním pojmem kombinací metody Durand – Kerner s principem pokračování homotopie , představil v roce 1891. Další důkaz tohoto druhu získal Hellmuth Kneser v roce 1940 a zjednodušil jeho syn Martin Kneser v roce 1981.
Bez použití počitatelné volby není možné konstruktivně prokázat základní větu algebry pro komplexní čísla založená na reálných číslech Dedekind (která nejsou konstruktivně ekvivalentní reálným číslům Cauchy bez spočitatelné volby). Nicméně, Fred Richman ukázal přepracovanou verzi věty, které funguje.
Důkazy
Všechny níže uvedené důkazy zahrnují nějakou matematickou analýzu nebo alespoň topologický koncept kontinuity skutečných nebo komplexních funkcí. Některé také používají diferencovatelné nebo dokonce analytické funkce. Tato skutečnost vedla k poznámce, že základní věta algebry není ani základní, ani věta o algebře.
Některé důkazy věty pouze dokazují, že jakýkoli nekonstantní polynom se skutečnými koeficienty má nějaký složitý kořen. To stačí k vytvoření věty v obecném případě, protože vzhledem k nekonstantnímu polynomu p ( z ) s komplexními koeficienty je polynom
má pouze skutečné koeficienty, a pokud z je nula q ( z ), pak buď z, nebo jeho konjugát je kořenem p ( z ).
Velké množství nealgebraických důkazů věty využívá faktu (někdy nazývaného „růstové lemma“), že polynomiální funkce n (n) -tého stupně p ( z ), jejíž dominantní koeficient je 1, se chová jako z n, když | z | je dostatečně velký. Přesnější tvrzení je: existuje nějaké kladné skutečné číslo R takové, že:
když | z | > R .
Komplexně analytické důkazy
Najděte uzavřený disk D o poloměru r se středem na počátku tak, aby | p ( z ) | > | p (0) | kdykoli | z | ≥ r . Minimum | p ( z ) | na D , který musí existovat, protože D je kompaktní , je tedy dosaženo v určitém bodě z 0 uvnitř D , ale ne v žádném bodě jeho hranice. Princip maximálního modulu (aplikovaný na 1/ p ( z )) pak znamená, že p ( z 0 ) = 0. Jinými slovy, z 0 je nula p ( z ).
Variace tohoto důkazu nevyžaduje použití principu maximálního modulu (ve skutečnosti stejný argument s drobnými změnami také dokazuje princip maximálního modulu pro holomorfní funkce). Pokud protikladem předpokládáme, že a : = p ( z 0 ) ≠ 0, pak rozšířením p ( z ) v mocninách z - z 0 můžeme napsat
Zde jsou c j jednoduše koeficienty polynomu z → p ( z + z 0 ) a necháme k být index prvního koeficientu následujícího po konstantním členu, který je nenulový. Ale teď vidíme, že pro z dostatečně blízko k z 0 to má chování asymptoticky podobné jednoduššímu polynomu ,
v tom smyslu, že (jak se snadno kontroluje) funkce
je ohraničen nějakou kladnou konstantou M v nějakém sousedství z 0 . Pokud tedy definujeme a nechme , pak pro libovolně dostatečně malé kladné číslo r (aby platila výše uvedená M vázaná M ) pomocí trojúhelníkové nerovnosti vidíme, že
Když je r dostatečně blízko 0, tato horní hranice pro | p ( z ) | je přísně menší než | a |, v rozporu s definicí z 0 . (Geometricky jsme našli explicitní směr θ 0 takový, že pokud se člověk přiblíží k z 0 z tohoto směru, může získat hodnoty p ( z ) menší v absolutní hodnotě než | p ( z 0 ) |.)
V této linii myšlení lze získat další analytický důkaz, který pozoruje, že | p ( z ) | > | p (0) | mimo D , minimum | p ( z ) | na celé komplexní rovině je dosaženo při z 0 . Pokud | p ( z 0 ) | > 0, pak 1/ p je ohraničená holomorfní funkce v celé komplexní rovině, protože pro každé komplexní číslo z , | 1/ p ( z ) | ≤ | 1/ p ( z 0 ) |. Pokud použijeme Liouvilleovu větu , která říká, že ohraničená celá funkce musí být konstantní, znamenalo by to, že 1/ p je konstantní, a proto je p konstantní. To dává rozpor, a proto p ( z 0 ) = 0.
Ještě další analytický důkaz využívá princip argumentu . Nechť R je kladné reálné číslo dostatečně velké, aby každý kořen p ( z ) měl absolutní hodnotu menší než R ; takové číslo musí existovat, protože každá nekonstantní polynomická funkce stupně n má maximálně n nul. Pro každé r > R zvažte číslo
kde c ( r ) je kruh se středem 0 s poloměrem r orientovaným proti směru hodinových ručiček; pak princip argumentu říká, že toto číslo je počet N nul p ( z ) v otevřené kouli se středem 0 s poloměrem r , což, protože r > R , je celkový počet nul p ( z ). Na druhou stranu integrál n / z podél c ( r ) dělený 2π i je roven n . Ale rozdíl mezi těmito dvěma čísly je
Integrovaný čitatel racionálního výrazu má stupeň nejvýše n - 1 a stupeň jmenovatele je n + 1. Proto výše uvedené číslo má tendenci k 0 jako r → + ∞. Ale číslo je také rovno N - n a tedy N = n .
Ještě další komplexně analytický důkaz lze podat kombinací lineární algebry s Cauchyovou větou . Abychom zjistili, že každý komplexní polynom stupně n > 0 má nulu, stačí ukázat, že každá složitá čtvercová matice velikosti n > 0 má (komplexní) vlastní číslo . Důkazem posledně uvedeného tvrzení je rozpor .
Nechť A je komplexní čtvercová matice o velikosti n > 0 a nechť I n je jednotková matice stejné velikosti. Předpokládejme, že A nemá vlastní čísla. Zvážit rozpouštědlo funkci
což je meromorfní funkce na komplexní rovině s hodnotami ve vektorovém prostoru matic. Vlastní čísla A jsou přesně póly R ( z ). Protože za předpokladu A nemá vlastní čísla, funkce R ( z ) je celá funkce a Cauchyova věta naznačuje, že
Na druhé straně R ( z ) rozšířený jako geometrická řada dává:
Uvedený vzorec platí mimo uzavřený kotouč o poloměru (dále provozovatel normu z A ). Nechte pak
(ve kterém pouze součet k = 0 má nenulový integrál). To je rozpor, a tak A má vlastní číslo.
A konečně , Rouche věta dává možná nejkratší důkaz věty.
Topologické důkazy
Předpokládejme minimum | p ( z ) | na celé komplexní rovině je dosaženo při z 0 ; bylo vidět na důkazu, který používá Liouvilleovu větu, že takové číslo musí existovat. P ( z ) můžeme psát jako polynom v z - z 0 : existuje nějaké přirozené číslo k a existuje několik komplexních čísel c k , c k + 1 , ..., c n tak, že c k ≠ 0 a:
Je -li p ( z 0 ) nenulové, vyplývá z toho, že pokud a je k -tý kořen - p ( z 0 )/ c k a je -li t kladné a dostatečně malé, pak | p ( z 0 + ta ) | <| p ( z 0 ) |, což je nemožné, protože | p ( z 0 ) | je minimum | p | Na D .
Pro další topologický důkaz rozporem předpokládejme, že polynom p ( z ) nemá žádné kořeny, a proto se nikdy nerovná 0. Představte si polynom jako mapu ze komplexní roviny do komplexní roviny. Mapuje jakýkoli kruh | z | = R do uzavřené smyčky, křivka P ( R ). Budeme uvažovat, co se stane na vinutí počtu z P ( R ), a v extrémních když R je velmi velký, a když R = 0. Když R je dostatečně velký počet, pak přední termín z n o p ( z ) dominuje všechny ostatní kombinované termíny; jinými slovy,
Když z prochází kruhu jednou proti směru hodinových ručiček a pak navíjí n krát proti směru hodinových ručiček kolem původu (0,0), a P ( R ), rovněž. Na druhém extrému, s | z | = 0, křivka P (0) je pouze jediným bodem p (0), který musí být nenulový, protože p ( z ) není nikdy nula. Proto p (0) musí být odlišné od počátku (0,0), který označuje 0 v komplexní rovině. Počet vinutí P (0) kolem počátku (0,0) je tedy 0. Nyní kontinuální změna R bude smyčku deformovat nepřetržitě . Při některých R se musí číslo vinutí změnit. Ale to může dojít pouze v případě, že křivka P ( R ) obsahuje počátek (0,0) na nějakou R . Ale pak pro nějaké z na tom kruhu | z | = R máme p ( z ) = 0, což je v rozporu s naším původním předpokladem. Proto p ( z ) má alespoň jednu nulu.
Algebraické důkazy
Tyto důkazy fundamentální věty o algebře musí využívat následující dvě fakta o reálných číslech, která nejsou algebraická, ale vyžadují pouze malé množství analýzy (přesněji věta o mezních hodnotách v obou případech):
- každý polynom s lichým stupněm a skutečnými koeficienty má nějaký skutečný kořen;
- každé nezáporné reálné číslo má druhou odmocninu.
Druhý fakt spolu s kvadratickým vzorcem implikuje větu pro skutečné kvadratické polynomy. Jinými slovy, algebraické důkazy základní věty ve skutečnosti ukazují, že je-li R jakékoli pole se skutečným uzavřením , pak je jeho rozšíření C = R ( √ −1 ) algebraicky uzavřeno.
Indukcí
Jak bylo uvedeno výše, stačí zkontrolovat tvrzení „každý nekonstantní polynom p ( z ) se skutečnými koeficienty má složitý kořen“. Toto tvrzení lze prokázat indukcí na největší nezáporné celé číslo k, tak, že 2 k rozděluje stupeň n o p ( Z ). Nechť je koeficient z n v p ( z ) a nechat F být rozdělení pole z p ( z více) C ; jinými slovy, pole F obsahuje C , a tam jsou prvky z 1 , z 2 , ..., z n v F tak, že
Pokud k = 0, pak n je liché, a proto p ( z ) má skutečný kořen. Nyní předpokládejme, že n = 2 k m (s m lichým a k > 0) a že věta je již prokázána, když má stupeň polynomu tvar 2 k - 1 m ′ s m ′ lichý. Pro skutečné číslo t definujte:
Pak jsou koeficienty q t ( z ) symetrické polynomy v z i se skutečnými koeficienty. Proto je lze vyjádřit jako polynomy se skutečnými koeficienty v elementárních symetrických polynomech , tj. V - a 1 , a 2 , ..., (−1) n a n . Takže q t ( z ) má ve skutečnosti skutečné koeficienty. Kromě toho je stupeň q t ( z ) n ( n - 1)/2 = 2 k −1 m ( n - 1) a m ( n - 1) je liché číslo. Takže za použití indukční hypotézy má q t alespoň jeden komplexní kořen; jinými slovy, z i + z j + tz i z j je komplexní pro dva odlišné prvky i a j od {1, ..., n }. Protože existuje více reálných čísel než párů ( i , j ), lze najít odlišná reálná čísla t a s tak, že z i + z j + tz i z j a z i + z j + sz i z j jsou složité (pro stejné i a j ). Tak, a to jak z i + z j i z i z j jsou komplexní čísla. Je snadné zkontrolovat, že každé komplexní číslo má komplexní odmocninu, takže každý složitý polynom stupně 2 má složitý kořen podle kvadratického vzorce. Z toho vyplývá, že z i a z j jsou komplexní čísla, protože jsou kořeny kvadratického polynomu z 2 - ( z i + z j ) z + z i z j .
Joseph Shipman v roce 2007 ukázal, že předpoklad, že polynomy lichého stupně mají kořeny, je silnější, než je nutné; jakékoli pole, ve kterém mají polynomy primárního stupně kořeny, je algebraicky uzavřené (takže „liché“ lze nahradit „lichým prvočíslem“ a to platí pro pole všech charakteristik). Pro axiomatizaci algebraicky uzavřených polí je to nejlepší možné, protože pokud je vyloučeno jediné prvočíslo, existují protipříklady. Tyto protipříklady se však spoléhají na to, že -1 bude mít druhou odmocninu. Vezmeme -li pole, kde −1 nemá druhou odmocninu a každý polynom stupně n ∈ I má kořen, kde I je libovolná pevná nekonečná množina lichých čísel, pak každý polynom f ( x ) lichého stupně má kořen ( protože ( x 2 + 1) k f ( x ) má kořen, kde k je zvoleno tak, aby deg ( f ) + 2 k ∈ I ). Mohsen Aliabadi zobecnil Shipmanův výsledek v roce 2013 a poskytl nezávislý důkaz, že dostatečnou podmínkou pro algebraické uzavření libovolného pole (jakékoli charakteristiky) je, že má kořen pro každý polynom primárního stupně.
Z Galoisovy teorie
Další algebraický důkaz fundamentální věty lze podat pomocí Galoisovy teorie . Stačí ukázat, že C nemá správné rozšíření konečného pole . Nechť K / C je konečné rozšíření. Vzhledem k tomu, normální uzávěr z K nad R má ještě konečný stupeň nad C (nebo R ), můžeme předpokládat, bez újmy na obecnosti , že K je normální rozšíření o R (odtud je to Galois rozšíření , jako každý algebraické rozšíření pole z charakteristické 0 je oddělitelné ). Nechť G je skupina Galois tohoto rozšíření a nechť H být Sylow 2-podskupina G tak, že pořadí z H je mocninou 2, a index z H v G je lichý. V základní teorém teorie Osnova , existuje subextension L o K / R tak, že Gal ( K / L ) = H . Protože [ L : R ] = [ G : H ] je liché a neexistují žádné nelineární neredukovatelné skutečné polynomy lichého stupně, musíme mít L = R , takže [ K : R ] a [ K : C ] jsou mocniny 2 . Předpokládáme-li jako protiklad, že [ K : C ]> 1, dospějeme k závěru, že 2-skupina Gal ( K / C ) obsahuje podskupinu indexu 2, takže existuje subextenze M o C stupně 2. Nicméně C nemá žádné rozšíření stupně 2, protože každý kvadratický komplexní polynom má komplexní kořen, jak bylo uvedeno výše. To ukazuje, že [ K : C ] = 1, a tedy K = C , čímž je důkaz dokončen.
Geometrické důkazy
Existuje ještě další způsob, jak přistoupit k základní větě algebry, díky JM Almira a A. Romero: pomocí Riemannian geometrických argumentů. Hlavní myšlenkou je dokázat, že existence nekonstantního polynomu p ( z ) bez nul znamená existenci ploché riemannovské metriky nad sférou S 2 . To vede k rozporu, protože koule není plochá.
Riemannianský povrch ( M , g ) je údajně plochý, pokud je jeho Gaussovo zakřivení, které označujeme K g , identicky nulové. Nyní, Gauss-Bonnet teorém , když se aplikuje na oblast S 2 , tvrzení, že
což dokazuje, že koule není plochá.
Předpokládejme nyní, že n > 0 a
pro každé komplexní číslo z . Pojďme definovat
Je zřejmé, že p * ( z ) ≠ 0 pro všechna Z v C . Uvažujme polynom f ( z ) = p ( z ) p* ( z ). Pak f ( z ) ≠ 0 pro každé Z v C . Kromě toho,
Tuto funkční rovnici můžeme použít k prokázání, že g , dané
pro w v C , a
pro w ∈ S 2 \ {0}, je dobře definovaná Riemannova metrika přes sféru S 2 (kterou identifikujeme s rozšířenou komplexní rovinou C ∪ {∞}).
Jednoduchý výpočet to ukazuje
protože skutečná část analytické funkce je harmonická. To dokazuje, že K g = 0.
Důsledky
Protože základní větu algebry lze chápat jako tvrzení, že pole komplexních čísel je algebraicky uzavřeno , vyplývá z toho, že jakákoli věta týkající se algebraicky uzavřených polí platí pro pole komplexních čísel. Zde je několik dalších důsledků věty, které se týkají buď pole reálných čísel, nebo vztahu mezi polem reálných čísel a polem komplexních čísel:
- Pole komplexních čísel je algebraickým uzavřením pole reálných čísel.
- Každý polynom v jedné proměnné z, s komplexní koeficienty je výsledkem komplexní konstanty a polynomů tvaru Z + je s komplex.
- Každý polynom v jedné proměnné x s reálnými koeficienty mohou být jednoznačně zapsat jako součin konstanty, polynomy tvaru x + s a skutečné, a polynomy formy x 2 + ax + b s a b skutečné a s 2 - 4 b <0 (což je totéž jako tvrdit, že polynom x 2 + ax + b nemá skutečné kořeny). (Podle Abel – Ruffiniho věty nejsou reálná čísla a a b nutně vyjádřitelná z hlediska koeficientů polynomu, základních aritmetických operací a extrakce n -tých kořenů.) Z toho vyplývá, že počet nereálných komplexní kořeny jsou vždy sudé a zůstávají, i když se počítají s jejich mnohostí.
- Každá racionální funkce v jedné proměnné x se skutečnými koeficienty může být zapsána jako součet polynomiální funkce s racionálními funkcemi tvaru a /( x - b ) n (kde n je přirozené číslo a a a b jsou reálné čísla) a racionální funkce tvaru ( ax + b )/( x 2 + cx + d ) n (kde n je přirozené číslo a a , b , c , a d jsou reálná čísla, která c 2 - 4 d <0). Důsledkem toho je, že každý racionální funkce jedné proměnné a reálnými koeficienty má základní primitivní .
- Každé algebraické rozšíření reálného pole je izomorfní buď ke skutečnému poli, nebo ke komplexnímu poli.
Vazby na nuly polynomu
Zatímco základní věta algebry uvádí výsledek obecné existence, je zajímavé, jak z teoretického, tak z praktického hlediska, mít informace o umístění nul daného polynomu. Jednodušší výsledek v tomto směru je hranicí modulu: všechny nuly ζ monického polynomu splňují nerovnost | ζ | ≤ R ∞ , kde
Všimněte si, že, jak již bylo řečeno, toto ještě není výsledkem existence, ale spíše příkladem toho, čemu se říká apriorní hranice: říká, že pokud existují řešení, pak leží uvnitř uzavřeného středového disku původu a poloměru R ∞ . Jakmile je však spojen se základní větou algebry, říká se, že disk ve skutečnosti obsahuje alespoň jedno řešení. Obecněji, vázaný může být podáván přímo, pokud jde o jakékoliv p-normou z n -vector koeficientů , která je | ζ | ≤ R p , kde R p je právě q -norm z 2-vektoru q bytí konjugátu exponent p , pro libovolné 1 ≤ p ≤ ∞. Modul jakéhokoli řešení je tedy také ohraničen
pro 1 < p <∞, a zejména
(kde definujeme a n znamená 1, což je rozumné, protože 1 je skutečně n -tý koeficient našeho polynomu). Případ generického polynomu stupně n ,
je samozřejmě redukováno na případ moniky, dělení všech koeficientů a n ≠ 0. Rovněž v případě, že 0 není kořen, tj . 0 ≠ 0, meze zespodu na kořenech ζ následují bezprostředně jako hranice shora na , to znamená kořeny
A konečně, je vzdálenost od kořenů £ s libovolným bodem může být odhadnuta z nad a pod, vidí jako nuly polynomu , jehož koeficienty jsou Taylorův rozvoj z P ( Z ) na
Nechť ζ je kořen polynomu
za účelem prokázání nerovnosti | ζ | ≤ R p můžeme samozřejmě předpokládat | ζ | > 1. Zápis rovnice jako
a pomocí Hölderovy nerovnosti nacházíme
Nyní, pokud p = 1, toto je
tím pádem
V případě 1 < p ≤ ∞, s přihlédnutím k součtovému vzorci pro geometrickou progresi , máme
tím pádem
a zjednodušení,
Proto
platí pro všechny 1 ≤ p ≤ ∞.
Viz také
- Weierstrassova faktorizační věta , zobecnění věty na další celé funkce
- Eilenbergova – Nivenova věta , zobecnění věty na polynomy s kvartérními koeficienty a proměnnými
Reference
Citace
Historické prameny
- Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1 ère partie: Analyze Algébrique , Paris: Éditions Jacques Gabay (publikováno 1992), ISBN 978-2-87647-053-8(tr. Kurz analýzy Královské polytechnické akademie , část 1: Algebraická analýza)
- Euler, Leonhard (1751), „Recherches sur les racines imaginaires des équations“ , Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin , Berlin, 5 , s. 222–288. Anglický překlad: Euler, Leonhard (1751), „Vyšetřování imaginárních kořenů rovnic“ (PDF) , Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin , Berlin, 5 , s. 222–288
- Gauss, Carl Friedrich (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam racionalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse , Helmstedt : C. G. Fleckeisen (tr. Nový důkaz věty, že každou integrální racionální algebraickou funkci jedné proměnné lze rozdělit na reálné faktory prvního nebo druhého stupně).
-
Gauss, Carl Friedrich (1866), Carl Friedrich Gauss Werke , Band III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
- Demonstrace nových teorematik všech funkcí, algebraických racionálních integramů, unius variabilis ve faktorech, primi sec secundi gradus resolvi posse (1799), s. 1–31. , str. 1, v Knihách Google - první důkaz.
- Demonstrace novy altera theorematis omnem functionem algebraicam racionalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp. 32–56. , str. 32, v Knihách Google - druhý důkaz.
- Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp. 57–64. , str. 57, v Knihách Google - třetí důkaz.
- Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), s. 71–103. , str. 71, v Knihách Google - čtvrtý důkaz.
- Kneser, Hellmuth (1940), „Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus“ , Mathematische Zeitschrift , 46 , s. 287–302, doi : 10,1007/BF01181442 , ISSN 0025-5874(Základní věta algebry a intuice ).
- Kneser, Martin (1981), „Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra“ , Mathematische Zeitschrift , 177 (2), pp. 285–287, doi : 10.1007/BF01214206 , ISSN 0025-5874(tr. Rozšíření díla Hellmutha Knesera o základní větě algebry).
- Ostrowski, Alexander (1920), „Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra“ , Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2 (tr. K prvnímu a čtvrtému gaussovskému důkazu základní věty o algebře).
- Weierstraß, Karl (1891), „Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen“, Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaft . (tr. Nový důkaz věty, že každou integrální racionální funkci jedné proměnné lze reprezentovat jako součin lineárních funkcí stejné proměnné).
Nedávná literatura
- Almira, JM; Romero, A. (2007), „Ještě další aplikace Gauss-Bonnetovy věty pro sféru“ , Bulletin Belgické matematické společnosti , 14 , s. 341–342
- Almira, JM; Romero, A. (2012), „Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra“ (PDF) , Differential Geometry - Dynamical Systems , 14 , pp. 1–4
- de Oliveira, ORB (2011), „Základní věta o algebře: elementární a přímý důkaz“, Mathematical Intelligencer , 33 (2), s. 1–2, doi : 10,1007/s00283-011-9199-2
- de Oliveira, ORB (2012), „The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations“, American Mathematical Monthly , 119 (9), pp. 753–758, arXiv : 1110.0165 , doi : 10,4169/amer.math.monthly 0,119,09,753
- Dobře, Benjamine; Rosenberger, Gerhard (1997), Základní věta algebry , Pregraduální texty z matematiky , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94657-3, MR 1454356
- Gersten, SM; Stallings, John R. (1988), „O Gaussově prvním důkazu základní věty o algebře“, Proceedings of the AMS , 103 (1), s. 331–332, doi : 10.2307/2047574 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2047574
- Gilain, Christian (1991), „Sur l'histoire du théorème fundamentální de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral“, Archiv pro historii přesných věd , 42 (2), s. 91–136, doi : 10,1007 / BF00496870 , ISSN 0003-9519(tr. K historii základní věty algebry: teorie rovnic a integrální počet .)
- Netto, Eugen ; Le Vavasseur, Raymond (1916), „Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental“, in Meyer, François; Molk, Jules (eds.), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, sv. 2 , Éditions Jacques Gabay (publikováno 1992), ISBN 978-2-87647-101-6 (tř. Racionální funkce §80–88: základní věta).
- Remmert, Reinhold (1991), „Základní věta o algebře“, v Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich (eds.), Numbers , Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97497-2
- Shipman, Joseph (2007), „Zlepšení základní věty o algebře“, Mathematical Intelligencer , 29 (4), s. 9–14, doi : 10.1007/BF02986170 , ISSN 0343-6993
- Smale, Steve (1981), „Základní věta o algebře a teorii složitosti“, Bulletin of American Mathematical Society , New Series, 4 (1) [3]
- Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics , Dover , ISBN 978-0-486-64690-9
- Smithies, Frank (2000), „Zapomenutý papír o základní větě algebry“, Notes & Records of the Royal Society , 54 (3), str. 333–341, doi : 10,1098/rsnr.2000.0116 , ISSN 0035-9149
- Taylor, Paul (2. června 2007), druhý Gaussův důkaz základní věty o algebře - Anglický překlad druhého Gaussova důkazu.
- van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra , I (7. vydání.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-40624-4
externí odkazy
- Algebra, základní věta Encyklopedie matematiky
- Základní věta o algebře - sbírka důkazů
- Od základní věty algebry k astrofyzice: „Harmonická“ cesta
- Gaussův první důkaz (v latině) v Knihách Google
- Gaussův první důkaz (v latině) v Knihách Google
- Důkaz systému Mizar : http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74