Teorie měřidla - Gauge theory

Ve fyzice je teorie měřidla typem teorie pole, ve kterém se Lagrangian (a tedy i dynamika samotného systému) nemění (je invariantní ) v rámci místních transformací podle určitých hladkých rodin operací ( Lieovy skupiny ).

Termín měřidlo označuje jakýkoli specifický matematický formalismus, který reguluje nadbytečné stupně volnosti v Lagrangeově fyzickém systému. Transformace mezi možnými měřidly, nazývané měřicí transformace , tvoří Lieovu skupinu - označovanou jako skupina symetrie nebo měřicí skupina teorie. Spojena s žádným Lie skupinou je lež algebra ze skupiny generátorů . Pro každý generátor skupiny nutně vzniká odpovídající pole (obvykle vektorové pole ) nazývané pole měřidla . Pole měřidel jsou zahrnuta v Lagrangian, aby byla zajištěna jeho invariance v rámci místních skupinových transformací (nazývaných invariance měřidel ). Když je taková teorie kvantována , kvantům měřicích polí se říká měřicí bosony . Pokud je skupina symetrie nekomutativní, pak je měřicí teorie označována jako neabelská měřicí teorie , obvyklým příkladem je teorie Yang-Mills .

Lagranžany popsaly mnoho mocných fyzikálních teorií, které jsou v některých transformačních skupinách symetrie invariantní . Když jsou neměnné v rámci transformace shodně provedené na každém místě v časoprostoru , ve kterém se vyskytují fyzikální procesy, které se říká, že mají globální symetrii . Silnějším omezením je místní symetrie , základní kámen teorií rozchodů. Globální symetrie je ve skutečnosti jen lokální symetrie, jejíž parametry skupiny jsou v časoprostoru fixovány (stejně tak lze konstantní hodnotu chápat jako funkci určitého parametru, jehož výstup je vždy stejný).

Rozchodové teorie jsou důležité jako úspěšné polní teorie vysvětlující dynamiku elementárních částic . Kvantová elektrodynamika je abelianská měřicí teorie se skupinou symetrie U (1) a má jedno měřicí pole, elektromagnetický čtyřpotenciál , přičemž foton je měřicí boson. Standardní model je non-abelian kalibrační teorie s symetrie skupinou U (1) x SU (2) x SU (3), a má celkem dvanáct bosons měřidla: na foton , tři slabé bosony a osm gluonů .

Rozchodové teorie jsou také důležité při vysvětlování gravitace v teorii obecné relativity . Jeho případ je poněkud neobvyklý v tom, že měřicí pole je tenzor, tenzor Lanczos . Teorie kvantové gravitace , počínaje teorií měřené gravitace , také předpokládají existenci měřicího bosonu známého jako graviton . Na měřicí symetrie lze pohlížet jako na analogie principu obecné kovariance obecné relativity, ve které lze souřadnicový systém libovolně zvolit za libovolných diffeomorfismů časoprostoru. Měření invariance i invariance diffeomorfismu odráží nadbytečnost v popisu systému. Alternativní teorie gravitace, gravitační teorie gravitace , nahrazuje princip obecné kovariance skutečným principem měřidla novými obrysy polí.

Historicky byly tyto myšlenky poprvé uvedeny v kontextu klasického elektromagnetismu a později v obecné relativitě . Nicméně, moderní význam měřidla symetrií objevil poprvé v relativistické kvantové mechaniky z elektronů  - kvantové elektrodynamiky , pracoval na dole. Dnes jsou měřicí teorie užitečné v jiných kondenzovaných hmotách , jaderné a vysoké energetické fyzice .

Dějiny

Nejdříve teorie pole mající symetrii byla Maxwellova formulace elektrodynamiky („ Dynamická teorie elektromagnetického pole “) v letech 1864–65, která uváděla, že jakékoli vektorové pole, jehož zvlnění zmizí - a lze ho tedy normálně zapsat jako gradient funkce - lze přidat k vektorovému potenciálu bez ovlivnění magnetického pole . Důležitost této symetrie zůstala v prvních formulacích bez povšimnutí. Podobně nepozorovaně odvodil Hilbert rovnice Einsteinova pole postulováním invariance akce při obecné transformaci souřadnic. Později Hermann Weyl , ve snaze sjednotit obecnou relativitu a elektromagnetismus , předpokládal, že Eichinvarianz nebo invariance při změně měřítka (nebo „měřidla“) může být také místní symetrií obecné relativity. Po vývoji kvantové mechaniky Weyl, Vladimir Fock a Fritz London upravili měřidlo nahrazením faktoru měřítka komplexní veličinou a transformaci měřítka změnili na změnu fáze , což je symetrie měřidla U (1). To vysvětluje pole elektromagnetické vliv na funkci vlnové části nabité kvantové mechanické částice . Jednalo se o první široce uznávanou teorii měřidla, kterou propagoval Pauli v roce 1941.

V roce 1954, když se Chen Ning Yang a Robert Mills pokoušeli vyřešit některé z velkých zmatků ve fyzice elementárních částic , zavedli neabelské teorie měřidel jako modely pro pochopení silné interakce držící pohromadě nukleony v atomových jádrech . (Ronald Shaw, pracující pod Abdusem Salamem , nezávisle představil stejný pojem ve své doktorské práci.) Zobecněním měřicí invariance elektromagnetismu se pokusili sestrojit teorii založenou na působení (neabelské) skupiny symetrie SU (2) na izospinovém dubletu protonů a neutronů . To je podobné působení U (1), skupiny na spinor polí z kvantové elektrodynamiky . Ve fyzice částic byl kladen důraz na používání kvantovaných teorií rozchodu .

Tato myšlenka později našel uplatnění v kvantové teorii pole na slabou sílu , a jeho sjednocení s elektromagnetismu v electroweak teorie. Teorie měřidel se staly ještě atraktivnějšími, když bylo zjištěno, že neabelské teorie měřidel reprodukovaly rys zvaný asymptotická svoboda . Asymptotická svoboda byla považována za důležitou charakteristiku silných interakcí. To motivovalo k hledání silné teorie siloměrů. Tato teorie, nyní známá jako kvantová chromodynamika , je rozchodová teorie s působením skupiny SU (3) na barevný triplet kvarků . Standardní model sjednocuje popis elektromagnetismu, slabých interakcí a silných interakcí v jazyce teorie přístrojů.

V sedmdesátých letech začal Michael Atiyah studovat matematiku řešení klasických Yang -Millsových rovnic. V roce 1983 Atiyahův student Simon Donaldson na této práci navázal, aby ukázal, že diferencovatelná klasifikace hladkých 4- variet je velmi odlišná od jejich klasifikace až po homeomorfismus . Michael Freedman použil Donaldsonovu práci k vystavení exotických R 4 s , tj. Exotických diferencovatelných struktur na euklidovském 4-dimenzionálním prostoru. To vedlo k rostoucímu zájmu o teorii měřidel pro ni samotnou, nezávisle na jejích úspěších v základní fyzice. V roce 1994 Edward Witten a Nathan Seiberg vynalezli měřicí teoretické techniky založené na supersymetrii, které umožnily výpočet určitých topologických invariantů (invarianty Seiberg-Witten ). Tyto příspěvky k matematice z teorie měřidel vedly k obnovenému zájmu o tuto oblast.

Význam kalibračních teorií ve fyzice je ilustrováno v obrovský úspěch matematického formalismu v poskytování jednotný rámec popsat kvantové teorie pole o elektromagnetismu , na slabé síly a velkou sílu . Tato teorie, známá jako standardní model , přesně popisuje experimentální předpovědi týkající se tří ze čtyř základních přírodních sil a je to měřicí teorie se skupinou měřidel SU (3) × SU (2) × U (1) . Moderní teorie, jako je teorie strun , stejně jako obecná relativita , jsou tak či onak rozchodovými teoriemi.

Viz Pickering pro více informací o historii teorií měřidel a kvantových polí.

Popis

Globální a lokální symetrie

Globální symetrie

Ve fyzice matematický popis jakékoli fyzické situace obvykle obsahuje přebytečné stupně volnosti ; stejná fyzická situace je stejně dobře popsána mnoha ekvivalentními matematickými konfiguracemi. Například v newtonovské dynamice , pokud jsou dvě konfigurace propojeny galilejskou transformací ( setrvačná změna referenčního rámce), představují stejnou fyzickou situaci. Tyto transformace tvoří skupinusymetrií “ teorie a fyzická situace neodpovídá individuální matematické konfiguraci, ale třídě konfigurací, které spolu navzájem souvisejí prostřednictvím této skupiny symetrií.

Tuto myšlenku lze zobecnit tak, aby zahrnovala místní i globální symetrie, analogické s mnohem abstraktnějšími „změnami souřadnic“ v situaci, kdy neexistuje preferovaný „ setrvačný “ souřadnicový systém pokrývající celý fyzický systém. Teorie měřidla je matematický model, který má symetrie tohoto druhu, společně se sadou technik pro vytváření fyzikálních předpovědí v souladu se symetriemi modelu.

Příklad globální symetrie

Když veličina vyskytující se v matematické konfiguraci není jen číslo, ale má určitý geometrický význam, jako je rychlost nebo osa otáčení, její reprezentace jako čísla uspořádaná ve vektoru nebo matici se také změní transformací souřadnic. Pokud například jeden popis vzoru toku tekutiny uvádí, že rychlost tekutiny v sousedství ( x = 1, y = 0) je 1 m/s v kladném směru x , pak popis stejné situace, ve které souřadnicový systém byl otočen ve směru hodinových ručiček o 90 stupňů a uvádí, že rychlost tekutiny v sousedství ( x = 0, y = 1) je 1 m/s v kladném směru y . Transformace souřadnic ovlivnila jak souřadnicový systém používaný k identifikaci umístění měření, tak základ, ve kterém je vyjádřena jeho hodnota . Dokud je tato transformace prováděna globálně (ovlivňující základ souřadnic stejným způsobem v každém bodě), účinek na hodnoty, které představují rychlost změny určité veličiny podél nějaké cesty v prostoru a čase, když prochází bodem P, je stejně jako vliv na hodnoty, které jsou skutečně místní P .

Místní symetrie

Použití svazků vláken k popisu místních symetrií

Abychom mohli adekvátně popsat fyzikální situace ve složitějších teoriích, je často nutné zavést „souřadnicový základ“ pro některé objekty teorie, které nemají tento jednoduchý vztah k souřadnicím používaným k označování bodů v prostoru a čase. (Matematicky řečeno, teorie zahrnuje svazek vláken, ve kterém se vlákno v každém bodě základního prostoru skládá z možných souřadnicových základen pro použití při popisu hodnot objektů v tomto bodě.) Aby bylo možné vysvětlit matematickou konfiguraci, musí v každém bodě zvolit konkrétní souřadnicový základ ( místní část svazku vláken) a vyjádřit hodnoty objektů teorie (obvykle „ pole “ ve smyslu fyzika) pomocí tohoto základu. Dvě takové matematické konfigurace jsou ekvivalentní (popisují stejnou fyzickou situaci), pokud spolu souvisejí transformací této abstraktní souřadnicové základny (změna lokální sekce nebo transformace měřidla ).

Ve většině teorií měřidel je množina možných transformací na základě abstraktního měřidla v individuálním bodě prostoru a času konečnou dimenzionální Lieovou skupinou. Nejjednodušší takovou skupinou je U (1) , která se objevuje v moderní formulaci kvantové elektrodynamiky (QED) prostřednictvím použití komplexních čísel . QED je obecně považován za první a nejjednodušší teorii fyzického rozchodu. Soubor možných měřených transformací celé konfigurace dané měřicí teorie také tvoří skupinu, měřicí skupinu teorie. Prvek skupiny měřidel může být parametrizován plynule se měnící funkcí od bodů časoprostoru po (konečno-dimenzionální) Lieovu skupinu tak, že hodnota funkce a jejích derivátů v každém bodě představuje působení transformace měřidla na vlákno přes tento bod.

Transformace měřidla s konstantními parametry v každém bodě prostoru a času je analogická tuhé rotaci geometrického souřadného systému; představuje globální symetrii reprezentace měřidla. Stejně jako v případě tuhé rotace tato transformace měřidla ovlivňuje výrazy, které představují rychlost změny na cestě určité veličiny závislé na měřidle, stejným způsobem jako ty, které představují skutečně místní veličinu. Transformace měřidla, jejíž parametr není konstantní funkcí, se označuje jako místní symetrie ; jeho účinek na výrazy zahrnující derivát je kvalitativně odlišný od účinků na výrazy, které nikoli. (To je analogické s neinerciální změnou referenčního rámce, která může vyvolat Coriolisův efekt .)

Rozchodová pole

„Gauge covariant“ verze teorie měřidla odpovídá za tento efekt zavedením měřicího pole (v matematickém jazyce, spojení Ehresmann ) a formulováním všech rychlostí změny z hlediska kovariantní derivace s ohledem na toto spojení. Pole měřidla se stává nezbytnou součástí popisu matematické konfigurace. Konfigurace, ve které lze pole měřidla eliminovat transformací měřidla, má tu vlastnost, že jeho síla pole (v matematickém jazyce jeho zakřivení ) je všude nulová; teorie měřidla není omezena na tyto konfigurace. Jinými slovy, rozlišovací charakteristikou měřicí teorie je, že měřicí pole nekompenzuje pouze špatnou volbu souřadnicového systému; obecně neexistuje transformace měřidla, díky které by pole měřidla zmizelo.

Při analýze dynamiky teorie měřidla musí být pole měřidla považováno za dynamickou proměnnou, podobně jako jiné objekty v popisu fyzické situace. Kromě interakce s jinými objekty prostřednictvím kovariantního derivátu pole měřidla typicky přispívá energií ve formě výrazu „vlastní energie“. Rovnice pro teorii měřidla lze získat:

  • počínaje naivní odpovědí bez měřicího pole (ve kterém se deriváty objevují v „holé“ formě);
  • výčet těch globálních symetrií teorie, které lze charakterizovat spojitým parametrem (obecně abstraktní ekvivalent úhlu rotace);
  • výpočet opravných podmínek, které vyplývají z toho, že se parametr symetrie může měnit od místa k místu; a
  • reinterpretace těchto korekčních výrazů jako vazeb k jednomu nebo více měřicím polím a dávání těchto polí odpovídajících termínů vlastní energie a dynamického chování.

To je smysl, ve kterém měřicí teorie „rozšiřuje“ globální symetrii na místní symetrii a velmi se podobá historickému vývoji měřicí teorie gravitace známé jako obecná relativita .

Fyzikální experimenty

Měřicí teorie používané k modelování výsledků fyzikálních experimentů se zabývají:

  • omezení vesmíru možných konfigurací na ty, které jsou v souladu s informacemi použitými k nastavení experimentu, a poté
  • výpočet rozdělení pravděpodobnosti možných výsledků, které je experiment určen k měření.

Bez odkazu na konkrétní souřadnicový systém, včetně volby měřidla, nemůžeme vyjádřit matematické popisy „informací o nastavení“ a „možných výsledků měření“ nebo „okrajových podmínek“ experimentu. Jeden předpokládá adekvátní experiment izolovaný od „vnějšího“ vlivu, který je sám o sobě měřidlem závislým tvrzením. Výpočty závislosti na nesprávném zacházení v okrajových podmínkách jsou častým zdrojem anomálií a přístupy k vyhýbání se anomáliím klasifikují teorie měřidel.

Teorie kontinua

Dvě výše zmíněné teorie měřidel, kontinuální elektrodynamika a obecná relativita, jsou teoriemi kontinuálního pole. Techniky výpočtu v teorii kontinua implicitně předpokládají, že:

  • vzhledem ke zcela pevné volbě měřidla jsou okrajové podmínky individuální konfigurace zcela popsány
  • vzhledem k úplně pevnému rozchodu a úplnému souboru okrajových podmínek určuje nejmenší akce jedinečnou matematickou konfiguraci, a tedy jedinečnou fyzickou situaci v souladu s těmito hranicemi
  • upevnění měřidla nezpůsobuje ve výpočtu žádné anomálie, a to buď kvůli závislosti měřidla při popisu dílčích informací o okrajových podmínkách, nebo kvůli neúplnosti teorie.

Určení pravděpodobnosti možných výsledků měření se provádí podle:

  • stanovení rozdělení pravděpodobnosti na všechny fyzické situace určené okrajovými podmínkami v souladu s informacemi o nastavení
  • stanovení rozdělení pravděpodobnosti výsledků měření pro každou možnou fyzickou situaci
  • spojením těchto dvou rozdělení pravděpodobnosti získáte distribuci možných výsledků měření v souladu s informacemi o nastavení

Tyto předpoklady mají dostatečnou platnost v celé řadě energetických měřítek a experimentálních podmínek, aby těmto teoriím umožnily přesné předpovědi téměř všech jevů, se kterými se setkáváme v každodenním životě: světlo, teplo a elektřina, zatmění, lety do vesmíru atd. Selhávají pouze v nejmenším a největším měřítku v důsledku opomenutí v samotných teoriích, a když se rozpadají samotné matematické techniky, zejména v případě turbulencí a dalších chaotických jevů.

Teorie kvantového pole

Kromě těchto klasických teorií kontinuálního pole jsou nejznámějšími měřicími teoriemi kvantové polní teorie , včetně kvantové elektrodynamiky a standardního modelu fyziky elementárních částic. Počáteční bod teorie kvantového pole je velmi podobný tomu z jeho analoga kontinua: integrál akceloměru a kovariantu, který charakterizuje "přípustné" fyzikální situace podle principu nejmenší akce . Teorie kontinua a kvantové teorie se však výrazně liší v tom, jak zvládají přebytečné stupně volnosti reprezentované transformacemi měřidel. Teorie kontinua a většina pedagogických postupů nejjednodušších teorií kvantového pole používají předpis pro stanovení měřidla ke snížení oběžné dráhy matematických konfigurací, které představují danou fyzickou situaci na menší oběžnou dráhu související s menší skupinou měřidel (skupina globální symetrie, nebo možná dokonce i triviální skupina).

Sofistikovanější teorie kvantového pole, zejména ty, které zahrnují neabelskou měřicí skupinu, narušují symetrii měřidel v rámci technik perturbační teorie zavedením dalších polí ( duchové Faddeev-Popov ) a protinávorů motivovaných zrušením anomálií , v přístupu známém jako BRST kvantování . I když jsou tyto obavy v jednom smyslu vysoce technické, jsou také úzce spojeny s povahou měření, limity znalosti fyzikální situace a interakcemi mezi neúplně specifikovanými experimentálními podmínkami a neúplně chápanou fyzikální teorií. Matematické techniky, které byly vyvinuty, aby byly měřitelné teorie zpracovatelné, našly mnoho dalších aplikací, od fyziky pevných látek a krystalografie až po nízko dimenzionální topologii .

Teorie klasického rozchodu

Klasický elektromagnetismus

Historicky prvním příkladem objevené symetrie měřidla byl klasický elektromagnetismus . V elektrostatiky , lze buď diskutovat elektrického pole E , nebo jeho odpovídající elektrický potenciál , V . Znalost jedné umožňuje najít druhou, kromě toho, že potenciály lišící se konstantou , odpovídají stejnému elektrickému poli. Důvodem je to, že se elektrické pole týká změn potenciálu z jednoho bodu v prostoru do druhého a konstanta C by se při odečítání zrušila, aby se zjistila změna potenciálu. Z hlediska vektorového počtu , je elektrické pole je spád potenciálu, . Zobecněním ze statické elektřiny na elektromagnetismus máme druhý potenciál, vektorový potenciál A , s

Transformace obecného rozchodu nyní nejsou jen, ale

kde f je jakákoli dvakrát spojitě diferencovatelná funkce, která závisí na poloze a čase. Pole zůstávají pod transformací měřidla stejná, a proto jsou Maxwellovy rovnice stále splněny. To znamená, že Maxwellovy rovnice mají měrnou symetrii.

Příklad: Scalar O ( n ) gauge theory

Zbývající část této části vyžaduje určitou znalost klasické nebo kvantové teorie pole a používání Lagrangiánů .
Definice v této sekci: skupina měřidla , měřidlo pole , interakce Lagrangeovy , měřidlo boson .

Následující příklad ilustruje, jak lze neměnnost místního měřidla heuristicky „motivovat“ počínaje vlastnostmi globální symetrie a jak vede k interakci mezi původně neinteragujícími poli.

Uvažujme sadu n neinteragujících skutečných skalárních polí se stejnou hmotností m . Tento systém je popsán akcí, která je součtem (obvyklých) akcí pro každé skalární pole

Lagrangian (hustota) lze kompaktně napsat jako

zavedením vektoru polí

Termín je parciální derivace z podél rozměru .

Nyní je jasné, že Lagrangian je při transformaci neměnný

kdykoli G je konstantní matice patřící do n -by- n ortogonální skupiny O ( n ). To je vidět zachovat Lagrangian, protože derivát transformuje stejně a obě veličiny se objevují uvnitř bodových produktů v Lagrangian (ortogonální transformace zachovávají bodový produkt).

To charakterizuje globální symetrii tohoto konkrétního Lagrangian a skupina symetrie se často nazývá skupina měřidel ; matematický termín je skupina struktur , zvláště v teorii G-struktur . Noetherova věta mimochodem naznačuje, že invariance v rámci této skupiny transformací vede k zachování proudů

kde T A matrice jsou generátory SO ( n skupinu). Pro každý generátor existuje jeden zachovaný proud.

Nyní požadavek, aby tento Lagrangian měl místní O ( n ) -varianci, vyžaduje, aby G maticím (které byly dříve konstantní) bylo umožněno stát se funkcemi časoprostorových souřadnic x .

V tomto případě matice G „neprocházejí“ deriváty, když G = G ( x ),

Neschopnost derivátu dojíždět s „G“ zavádí další termín (v souladu s pravidlem součinu), který kazí invariantnost Lagrangian. Abychom to napravili, definujeme nový derivační operátor tak, aby derivace opět transformovala identicky s

Tento nový „derivát“ se nazývá (měřidlo) kovariantní derivát a má formu

Kde g se nazývá vazebná konstanta; veličina definující sílu interakce. Po jednoduchém výpočtu vidíme, že pole měřidla A ( x ) se musí transformovat následovně

Pole měřidla je prvkem algebry Lie, a lze jej tedy rozšířit jako

Existuje tedy tolik polí měřidla, kolik je generátorů Lieovy algebry.

Nakonec máme nyní místně měřený invariant Lagrangian

Pauli používá termín transformace měřidla prvního typu k transformaci transformátoru , zatímco kompenzační transformace v se nazývá transformace měřidla druhého typu .

Feynmanův diagram skalárních bosonů interagujících prostřednictvím měřicího bosonu

Rozdíl mezi tímto Lagrangianem a původním Lagrangianem, který je globálně nezměněný, je patrně interakční Lagrangian

Tento termín zavádí interakce mezi n skalárními poli právě jako důsledek poptávky po invariance místního měřidla. Aby však byla tato interakce fyzická a nebyla zcela libovolná, musí se mediátor A ( x ) šířit ve vesmíru. To je řešeno v další části přidáním dalšího výrazu do Lagrangian. V kvantizované verzi získané klasické teorie pole se kvanta měřicího pole A ( x ) nazývají měřicí bosony . Interpretace Lagrangeových interakcí v teorii kvantového pole spočívá ve vzájemném působení skalárních bosonů výměnou těchto měřicích bosonů.

Lagrangian Yang – Mills pro pole měřidla

Obraz teorie klasického měřidla vyvinutý v předchozí části je téměř úplný, s výjimkou skutečnosti, že k definování kovariantních derivátů D je třeba znát hodnotu měřicího pole ve všech časoprostorových bodech. Namísto ručního zadávání hodnot tohoto pole může být uvedeno jako řešení rovnice pole. Dále vyžadující, aby Lagrangian, který generuje tuto rovnici pole, byl také místně měřený jako invariant, jedna možná forma pro pole měřidla Lagrangian je

kde jsou získány z potenciálů , které jsou součástí , od

a jsou strukturní konstanty Lieovy algebry generátorů skupiny měřidel. Tato formulace Lagrangian se nazývá akce Yang -Mills . Existují i ​​jiné akce invariantního rozchodu (např. Nelineární elektrodynamika , akce Born – Infeld , model Chern – Simons , termín theta atd.).

V tomto Lagrangeově výrazu neexistuje pole, jehož transformace vyvažuje ten . Neměnnost tohoto výrazu při měřených transformacích je zvláštním případem apriori klasické (geometrické) symetrie. Aby bylo možné provést kvantizaci, musí být tato symetrie omezena, přičemž postup je označován jako upevnění měřidla , ale i po omezení mohou být možné transformace měřidla.

Kompletní Lagrangian pro teorii měřidla je nyní

Příklad: elektrodynamika

Jako jednoduchou aplikaci formalismu vyvinutou v předchozích částech zvažte případ elektrodynamiky , pouze s elektronovým polem. Akce holých kostí, která generuje Diracovu rovnici elektronového pole, je

Globální symetrie pro tento systém je

Skupina měřidel je zde U (1) , pouze rotace fázového úhlu pole, přičemž konkrétní rotace je určena konstantou θ .

„Lokalizace“ této symetrie znamená nahrazení θ číslem θ ( x ) . Vhodný kovariantní derivát je pak

Identifikace „náboje“ e (nezaměňovat s matematickou konstantou e v popisu symetrie) s obvyklým elektrickým nábojem (toto je původ použití výrazu v teoriích měřidel) a měřicího pole A ( x ) s Čtyř- vektorového potenciálu z elektromagnetického pole výsledků v interakci Lagrangeovy

kde jsou čtyři vektory elektrického proudu v Diracově poli . Je tedy vidět, že princip měřidla přirozeně zavádí takzvané minimální propojení elektromagnetického pole s elektronovým polem.

Když přidáme Lagrangian pro pole měřidla z hlediska tenzoru intenzity pole přesně jako v elektrodynamice, získáme Lagrangian používaný jako výchozí bod v kvantové elektrodynamice .

Matematický formalismus

Měřicí teorie jsou obvykle diskutovány v jazyce diferenciální geometrie . Matematicky je měřidlo jen volbou (místní) části nějakého hlavního svazku . Transformace měřidlo je jen transformace mezi dvěma takovými úseky.

Ačkoli v teorii měřidel převládá studium spojení (především proto, že je studováno hlavně fyziky vysokých energií ), myšlenka spojení není pro teorii měřidel obecně stěžejní. Výsledek obecné teorie měřidla ukazuje, že afinní reprezentace (tj. Afinní moduly ) transformátorů měřidla lze klasifikovat jako úseky svazku paprsků splňující určité vlastnosti. Existují reprezentace, které se transformují kovariantně bodově (nazývané fyziky měřicí transformace prvního druhu), reprezentace, které se transformují jako forma spojení (nazývané fyziky měřicí transformace druhého druhu, afinní reprezentace) - a další obecnější reprezentace, jako např. pole B v teorii BF . Existuje více obecných nelineárních reprezentací (realizací), ale ty jsou extrémně komplikované. Nelineární sigma modely se přesto transformují nelineárně, takže existují aplikace.

Pokud existuje hlavní svazek P, jehož základním prostorem je prostor nebo časoprostor a skupina struktur je Lieova skupina, pak úseky P tvoří hlavní homogenní prostor skupiny transformací měřidla.

Connections (gauge connection) definují tento hlavní svazek, přičemž v každém přidruženém vektorovém svazku vzniká kovariantní derivace ∇ . Pokud je zvolen lokální rámec (lokální základ řezů), pak je tato kovariantní derivace reprezentována spojovacím tvarem A , 1-formou v Lieově algebře , která se ve fyzice nazývá měřicí potenciál . Zjevně se nejedná o vnitřní, ale o rámcově závislou veličinu. Zakřivení forma F , lež algebry hodnotou 2-forma , která je vnitřní množství, je vytvořeno z formy pomocí připojení

kde d znamená vnější derivát a znamená klínový produkt . ( je prvkem vektorového prostoru zasazeného do generátorů , a proto se součásti navzájem nekomutují. Klínový součin tedy nezmizí.)

Nekonečně malé měřicí transformace tvoří Lieovu algebru, která se vyznačuje hladkým skalárem s hodnotou Lie-algebry , ε. Při takové nekonečně malé transformaci měřidla,

kde je Lieova závorka?

Jedna hezká věc je, že pokud , kde D je kovarianční derivát

Také, což znamená, že se transformuje kovariantně.

Ne všechny transformace měřidel lze generovat nekonečně malými transformacemi měřidel obecně. Příkladem je, když je základna potrubí je kompaktní potrubí bez hranice tak, že homotopy třída mapování z tohoto potrubí ke skupině lži je netriviální. Příklad najdete v instanci .

Akce Yang – Mills je nyní dána

kde * znamená Hodgeův duál a integrál je definován jako v diferenciální geometrii .

Veličinou, která je invariantní měřidlem (tj. Invariantní při transformacích měřidla), je Wilsonova smyčka , která je definována na jakékoli uzavřené dráze, γ, následujícím způsobem:

kde χ je znak komplexní reprezentace ρ a představuje operátor seřazený podle cesty.

Formalismus teorie měřidel se přenáší do obecného prostředí. Stačí například požádat, aby vektorový balíček měl metrické připojení ; když to člověk udělá, zjistí, že metrické spojení splňuje pohybové rovnice Yang – Mills.

Kvantizace teorií rozchodů

Rozchodové teorie mohou být kvantovány specializací metod, které jsou použitelné pro jakoukoli kvantovou teorii pole . Vzhledem k jemnostem uloženým omezeními rozchodu (viz výše část Matematický formalismus) je však třeba vyřešit mnoho technických problémů, které v jiných polních teoriích nevznikají. Bohatší struktura teorií rozchodů zároveň umožňuje zjednodušení některých výpočtů: například Ward identity spojují různé renormalizační konstanty.

Metody a cíle

První kvantovanou teorií měřidel byla kvantová elektrodynamika (QED). První metody vyvinuté pro toto zahrnovaly upevnění měřidla a poté aplikaci kanonické kvantizace . K řešení tohoto problému byla také vyvinuta metoda Gupta – Bleuler . Teorie neabelského rozchodu jsou nyní zpracovávány různými způsoby. Metody kvantování jsou popsány v článku o kvantování .

Hlavním bodem kvantování je schopnost vypočítat kvantové amplitudy pro různé procesy povolené teorií. Technicky se redukují na výpočty určitých korelačních funkcí ve vakuu . To zahrnuje renormalizaci teorie.

Když je běžící vazba teorie dostatečně malá, pak lze všechna potřebná množství vypočítat v poruchové teorii . Kvantizační schémata určená ke zjednodušení takových výpočtů (jako je kanonická kvantizace ) lze nazvat perturbativní kvantizační schémata . V současné době některé z těchto metod vedou k nejpřesnějším experimentálním testům měřicích teorií.

Ve většině teorií měřidel však existuje mnoho zajímavých otázek, které nejsou ničivé. Kvantizační schémata vhodná pro tyto problémy (jako je například teorie mřížkových měřidel ) mohou být nazývána neperturbativní kvantizační schémata . Přesné výpočty v takových schématech často vyžadují superpočítače , a proto jsou v současné době méně rozvinuté než jiná schémata.

Anomálie

Některé z symetrií klasické teorie jsou pak považovány za neplatné v kvantové teorii; jev nazývaný anomálie . Mezi nejznámější patří:

Čistý rozchod

Čistý rozchod je sada konfigurací polí získaná transformací měřidla na konfiguraci nulového pole, tj. Měřicí transformace nuly. Jedná se tedy o konkrétní „oběžnou dráhu“ v prostoru konfigurace pole.

V abelianském případě, kde je čistý rozchod pouze sadou konfigurací polí pro všechny f ( x ) .

Viz také

Reference

Bibliografie

Obecní čtenáři
  • Schumm, Bruce (2004) Hluboké věci . Johns Hopkins University Press. Esp. chpt. 8. Vážný pokus fyzika vysvětlit teorii měřidel a standardní model s malou formální matematikou.
Texty
Články

externí odkazy