Trigonometrické tabulky - Trigonometric tables

Trigonometrie
Obrys Dějiny Používání Funkce  ( inverzní ) Zobecněná trigonometrie
Odkaz
Identity Přesné konstanty Tabulky Jednotkový kruh
Zákony a věty
Sines Kosiny Tangenty Kotangenty Pythagorova věta
Počet
Trigonometrická substituce Integrály  ( inverzní funkce ) Deriváty
proti t E

V matematice jsou tabulky goniometrických funkcí užitečné v řadě oblastí. Před existencí kapesních kalkulaček byly trigonometrické tabulky nezbytné pro navigaci , vědu a techniku . Výpočet matematických tabulek byl důležitou oblastí studia, která vedla k vývoji prvních mechanických výpočetních zařízení .

Moderní počítače a kapesní kalkulačky nyní generují hodnoty trigonometrických funkcí na vyžádání pomocí speciálních knihoven matematického kódu. Tyto knihovny často interně používají předem vypočítané tabulky a vypočítají požadovanou hodnotu pomocí vhodné metody interpolace . Interpolace jednoduchých vyhledávacích tabulek goniometrických funkcí se stále používá v počítačové grafice , kde může být vyžadována pouze mírná přesnost a rychlost je často prvořadá.

Další důležitou aplikací goniometrických tabulek a generačních schémat je algoritmus rychlé Fourierovy transformace (FFT), kde stejné hodnoty trigonometrických funkcí (nazývané twiddle faktory ) musí být v dané transformaci mnohokrát vyhodnoceny, zejména v běžném případě, kdy mnoho transformací jsou vypočteny stejné velikosti. V tomto případě je volání obecných rutin knihovny pokaždé nepřijatelně pomalé. Jednou z možností je jednou zavolat rutiny knihovny a vytvořit tabulku těch trigonometrických hodnot, které budou potřeba, ale k uložení tabulky to vyžaduje značnou paměť. Další možností, protože je vyžadována pravidelná posloupnost hodnot, je použít vzorec pro opakování k výpočtu trigonometrických hodnot za běhu. Významný výzkum byl věnován hledání přesných a stabilních schémat opakování, aby byla zachována přesnost FFT (která je velmi citlivá na trigonometrické chyby).

Výpočet na vyžádání

Moderní počítače a kalkulačky používají různé techniky k poskytování hodnot trigonometrických funkcí na vyžádání pro libovolné úhly (Kantabutra, 1996). Jednou z běžných metod, zejména u procesorů vyšší třídy s jednotkami s plovoucí desetinnou čárkou , je kombinace polynomu nebo racionální aproximace (například Chebyshevova aproximace , nejlepší jednotná aproximace, Padéova aproximace a typicky pro vyšší nebo variabilní přesnost řada Taylor a Laurent ) se zmenšením rozsahu a vyhledáním tabulky - nejprve vyhledají nejbližší úhel v malé tabulce a poté pomocí polynomu vypočítají korekci. Udržování přesnosti při provádění takové interpolace není triviální, ale lze k tomu použít metody jako Galovy přesné tabulky , redukce rozsahu Codyho a Waiteho a algoritmy redukce radiánů Payne a Hanek. Na jednodušších zařízeních, která postrádají multiplikátor hardwaru , existuje algoritmus s názvem CORDIC (stejně jako související techniky), který je efektivnější, protože používá pouze posuny a doplňky. Všechny tyto metody jsou běžně implementovány v hardwaru z důvodu výkonu.

Konkrétní polynom použitý k aproximaci goniometrické funkce je generován předem pomocí určité aproximace algoritmu aproximace minimaxu .

U výpočtů s velmi vysokou přesností , kdy je konvergence sériové expanze příliš pomalá, lze goniometrické funkce aproximovat aritmeticko-geometrickým průměrem , který sám aproximuje goniometrickou funkci ( komplexním ) eliptickým integrálem (Brent, 1976).

Trigonometrické funkce úhlů, které jsou racionálními násobky 2π, jsou algebraická čísla . Hodnoty pro a / b · 2n lze nalézt použitím de Moivre identity pro n = a do A b ^-tého kořen jednoty , který je také kořen polynomu x ^b - 1 v komplexní rovině . Například kosinus a sinus 2π ⋅ 5/37 jsou skutečnými a imaginárními částmi 5. síly 37. kořene jednoty cos (2π/37) + sin (2π/37) i, což je kořen stupně -37 polynomu x ³⁷  - 1. v tomto případě je kořen zjišťovací algoritmus, jako jsou Newtonovy metody , je mnohem jednodušší, než aritmetický-geometrický průměr algoritmy nad přičemž sbíhající v podobném asymptotické rychlostí. Tyto algoritmy jsou však vyžadovány pro transcendentální goniometrické konstanty.

Poloviční úhel a vzorce pro přidání úhlu

Historicky nejčasnější metodou, kterou byly trigonometrické tabulky počítány, a pravděpodobně nejběžnější až do příchodu počítačů, bylo opakovaně aplikovat goniometrické identity s polovičním úhlem a přidáním úhlu počínaje známou hodnotou (například sin (π/2) ) = 1, cos (π/2) = 0). Tuto metodu použil starověký astronom Ptolemaios , který je odvodil v Almagestu , pojednání o astronomii. V moderní podobě jsou identity, které odvodil, uvedeny následovně (se znaky určenými kvadrantem, ve kterém leží x ):

${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = \ pm {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} (1+ \ cos x)}}}$

${\ Displaystyle \ sin \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = \ pm {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} (1- \ cos x)}}}$

${\ Displaystyle \ sin (x \ pm y) = \ sin (x) \ cos (y) \ pm \ cos (x) \ sin (y) \,}$

${\ Displaystyle \ cos (x \ pm y) = \ cos (x) \ cos (y) \ mp \ sin (x) \ sin (y) \,}$

Ty byly použity ke konstrukci Ptolemaiovy tabulky akordů , která byla aplikována na astronomické problémy.

Jsou možné různé další permutace těchto identit: například některé rané goniometrické tabulky používaly nikoli sinus a kosinus, ale sinus a versine .

Rychlá, ale nepřesná aproximace

Rychlý, ale nepřesný algoritmus pro výpočet tabulky N aproximací s _n pro sin (2 π n / N ) a c _n pro cos (2π n / N ) je:

s ₀ = 0

c ₀ = 1

s _{n +1} = s _n + d × c _n

c _{n +1} = c _n - d × s _n

pro n = 0, ..., N  - 1, kde d = 2π / N .

Toto je jednoduše Eulerova metoda pro integraci diferenciální rovnice :

${\ Displaystyle ds/dt = c}$

${\ Displaystyle dc/dt = -s}$

s počátečními podmínkami s (0) = 0 a c (0) = 1, jejichž analytické řešení je s = sin ( t ) a c = cos ( t ).

Bohužel, toto není vhodný algoritmus pro generování sine tabulek, protože má závažné chyby, úměrné 1 / N .

Například pro N = 256 je maximální chyba v hodnotách sinusů ~ 0,061 ( s ₂₀₂ = −1,0368 místo −0,9757). Pro N = 1024 je maximální chyba v hodnotách sinusů ~ 0,015 ( s ₈₀₃ = −0,99321 namísto −0,97832), asi 4krát menší. Pokud by byly získané hodnoty sinusů a kosinusů vykresleny, nakreslil by tento algoritmus spíše logaritmickou spirálu než kruh.

Lepší, ale stále nedokonalý vzorec pro opakování

Jednoduchý vzorec opakování pro generování trigonometrických tabulek je založen na Eulerově vzorci a vztahu:

${\ Displaystyle e^{i (\ theta +\ Delta)} = e^{i \ theta} \ times e^{i \ Delta \ theta}}$

To vede k následujícímu opakování pro výpočet trigonometrických hodnot s _n a c _n, jak je uvedeno výše:

c ₀ = 1

s ₀ = 0

c _{n +1} = w _r c _n - w _i s _n

s _{n +1} = w _i c _n + w _r s _n

pro n = 0, ..., N  - 1, kde w _r = cos (2π/ N ) a w _i = sin (2π/ N ). Tyto dvě výchozí trigonometrické hodnoty jsou zpravidla založeny na stávající funkce knihovny (ale může být také najít např použitím Newtonovu metodu v komplexní rovině řešit pro primitivní kořen z z ^N  - 1).

Tato metoda by vytvořila přesnou tabulku v přesné aritmetice, ale má chyby v aritmetice s pohyblivou řádovou čárkou s konečnou přesností . Ve skutečnosti chyby rostou jako O (ε  N ) (v nejhorších i průměrných případech), kde ε je přesnost s plovoucí desetinnou čárkou.

Významným zlepšením je použití následující úpravy výše uvedeného, ​​triku (kvůli Singletonovi, 1967), který se často používá ke generování trigonometrických hodnot pro implementace FFT:

c ₀ = 1

s ₀ = 0

c _{n +1} = c _n  - (α c _n  + β s _n )

s _{n +1} = s _n  + (β  c _n  - α  s _n )

kde α = 2 sin ² (π/ N ) a β = sin (2π/ N ). Chyby této metody jsou mnohem menší, O (ε √ N ) v průměru a O (ε  N ) v nejhorším případě, ale stále je dostatečně velká, aby podstatně snížila přesnost FFT velkých velikostí.

Viz také

• Aryabhataův sinusový stůl
• KORDICKÉ
• Přesné trigonometrické konstanty
• Madhavův sinusový stůl
• Numerická analýza
• Plimpton 322
• Prosthaphaeresis

Reference

• Carl B. Boyer (1991) A History of Mathematics , 2. vydání, John Wiley & Sons .
• Manfred Tasche a Hansmartin Zeuner (2002) „Vylepšená analýza chyb zaokrouhlení pro předem vypočítané twiddle faktory“, Journal for Computational Analysis and Applications 4 (1): 1–18.
• James C. Schatzman (1996) „Přesnost diskrétní Fourierovy transformace a rychlá Fourierova transformace“, SIAM Journal on Scientific Computing 17 (5): 1150–1166.
• Vitit Kantabutra (1996) „O hardwaru pro výpočet exponenciálních a goniometrických funkcí,“ Transakce IEEE na počítačích 45 (3): 328–339.
• RP Brent (1976) „ Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions “, Journal of the Association for Computing Machinery 23: 242–251.
• Singleton, Richard C. (1967) „O výpočtu rychlé Fourierovy transformace“, Communications of the ACM 10: 647–654.
• William J. Cody Jr., William Waite, Softwarová příručka pro základní funkce , Prentice-Hall, 1980, ISBN  0-13-822064-6 .
• Mary H. Payne, Robert N. Hanek, Radiánová redukce pro goniometrické funkce , ACM SIGNUM Newsletter 18: 19-24, 1983.
• Gal, Shmuel a Bachelis, Boris (1991) „Přesná elementární matematická knihovna pro standard IEEE s plovoucí desetinnou čárkou“, ACM Transactions on Mathematical Software .