Geodetické zakřivení - Geodesic curvature

V Riemannian geometrii je geodetická zakřivení křivky opatření, jak daleko je křivka od bytí geodetická . V daném potrubí je geodetické zakřivení je jen obvyklé zakřivení o (viz níže). Nicméně, když je omezen ležet na podvarietě části (např křivek na povrchu ), geodetické zakřivení označuje zakřivení v a liší se obvykle v rozmezí od zakřivení v okolním potrubí . The (okolní) zakřivení z závisí na dvou faktorech: na zakřivení submanifold ve směru (dále jen normální zakřivení ), která závisí pouze na směru křivky, a zakřivení je vidět na (geodesic zakřivení ), která je množství druhé objednávky. Vztah mezi nimi je . Zejména mají geodetická jádra nulové geodetické zakřivení (jsou „přímá“), takže to vysvětluje, proč se zdají být zakřivené v okolním prostoru, kdykoli je dílčí potrubí. ${\ displaystyle k_ {g}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ bar {M}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ bar {M}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ bar {M}}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle k_ {n}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k_ {g}}$${\ displaystyle k = {\ sqrt {k_ {g} ^ {2} + k_ {n} ^ {2}}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k = k_ {n}}$

Definice

Uvažujme křivku v potrubí , parametrizovanou arclength , s jednotkovým tečným vektorem . Jeho zakřivení je normou v kovariantní derivátu o : . Pokud leží na , geodetické zakřivení je normou projekce kovariantní derivace na tečný prostor do podmanifoldu. Normální zakřivení je naopak normou projekce na normálním svazku do podmanifoldu v uvažovaném bodě. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ bar {M}}}$${\ displaystyle T = d \ gamma / ds}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle k = \ | DT / ds \ |}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle DT / ds}$${\ displaystyle DT / ds}$

Pokud je potrubí v okolí euklidovský prostor , pak je kovarianční derivace jen obvyklou derivací . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle DT / ds}$${\ displaystyle dT / ds}$

Příklad

Dovolit být jednotková koule v trojrozměrném euklidovském prostoru. Normální zakřivení je shodně 1, nezávisle na uvažovaném směru. Velké kruhy mají zakřivení , takže mají nulové geodetické zakřivení, a jsou tedy geodetické. Menší kruhy o poloměru budou mít zakřivení a geodetické zakřivení . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 1 / r}$${\ displaystyle k_ {g} = {\ frac {\ sqrt {1-r ^ {2}}} {r}}}$

Některé výsledky zahrnující geodetické zakřivení

• Geodetické zakřivení není nic jiného než obvyklé zakřivení křivky, když se počítá s vnitřním podříznutím . Nezávisí to na způsobu, jakým se nachází podrozdělovač .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ bar {M}}}$
• Geodetika má nulové geodetické zakřivení, což odpovídá tomu, že je kolmé na tečný prostor k .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle DT / ds}$${\ displaystyle M}$
• Na druhou stranu normální zakřivení silně závisí na tom, jak podmanifold leží v okolním prostoru, ale okrajově na křivce: záleží pouze na bodě na submanifoldu a směru , ale ne na .${\ displaystyle k_ {n}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle DT / ds}$
• Obecně Riemannian geometrii, že derivát je vypočítán pomocí připojení Levi-Civita okolního potrubí: . To se rozdělí do tečnou částí a normální části k submanifold: . Tečná část je obvyklou derivací v (jedná se o konkrétní případ Gaussovy rovnice v Gauss-Codazziho rovnicích ), zatímco normální část je , kde označuje druhou základní formu .${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}}}$${\ displaystyle DT / ds = {\ bar {\ nabla}} _ {T} T}$${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}} _ {T} T = \ nabla _ {T} T + ({\ bar {\ nabla}} _ {T} T) ^ {\ perp}}$${\ displaystyle \ nabla _ {T} T}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathrm {I \! I} (T, T)}$${\ displaystyle \ mathrm {já \! já}}$
• Gauss-Bonnet teorém .

Viz také

• Zakřivení
• Rám Darboux
• Gauss – Codazziho rovnice

Reference

• do Carmo, Manfredo P. (1976), Diferenciální geometrie křivek a povrchů , Prentice-Hall, ISBN  0-13-212589-7
• Guggenheimer, Heinrich (1977), "Povrchy", Diferenciální geometrie , Dover, ISBN  0-486-63433-7.
• Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994], „ Geodesic curvature“ , v Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Geodetické zakřivení“ . MathWorld .