Geodetické - Geodesic

V geometrii , je geodetické ( / ˌ jsem ə d ɛ s ɪ k , ˌ jsem -, - d -, - z ɪ k / ) je obyčejně křivka představuje v určitém smyslu nejkratší cestu ( oblouk ) mezi dvěma body na povrchu nebo obecněji v riemannianském potrubí . Termín má také význam v jakémkoli diferencovatelném potrubí se spojením . Jde o zobecnění pojmu „ přímka “ na obecnější nastavení.

Podstatné jméno geodetické a přídavné jméno geodetické pochází z geodézie , vědy o měření velikosti a tvaru Země , přičemž mnohé ze základních principů lze aplikovat na jakoukoli elipsoidní geometrii. V původním smyslu byla geodetika nejkratší cestou mezi dvěma body na zemském povrchu . Pro sférické Zemi , je to část z velkého kruhu (viz také ortodroma ). Termín byl zobecněn tak, aby zahrnoval měření v mnohem obecnějších matematických prostorech; například v teorii grafů lze uvažovat o geodetice mezi dvěma vrcholy /uzly grafu .

V Riemannian potrubí nebo submanifold, geodetika se vyznačují vlastností mizející geodetické zakřivení . Obecněji řečeno, v přítomnosti afinního spojení je geodetická definována jako křivka, jejíž tečné vektory zůstávají rovnoběžné, pokud jsou po ní transportovány . Použití těchto úvah v souvislosti Levi-Civita z několika Riemannových metrických obnoví předchozí představa.

Geodetika má v obecné relativitě zvláštní význam . Časově podobná geodetika v obecné relativitě popisuje pohyb volně padajících testovacích částic .

Úvod

Místně nejkratší cesta mezi dvěma danými body v zakřiveném prostoru, předpokládá se, že je Riemannian potrubí , může být definována pomocí rovnice pro délku části křivky (funkci f z otevřeném intervalu z R do prostoru), a poté minimalizace této délky mezi body pomocí variačního počtu . To má několik menších technických problémů, protože existuje nekonečně dimenzionální prostor různých způsobů parametrizace nejkratší cesty. Jednodušší je omezit množinu křivek na ty, které jsou parametrizovány „konstantní rychlostí“ 1, což znamená, že vzdálenost od f ( s ) do f ( t ) podél křivky se rovná | s - t |. Ekvivalentně lze použít jinou veličinu, nazývanou energie křivky; minimalizace energie vede ke stejným rovnicím pro geodetiku (zde „konstantní rychlost“ je důsledkem minimalizace). Intuitivně lze tuto druhou formulaci pochopit tak, že si všimneme, že elastický pás natažený mezi dvěma body zkrátí její délku, a tím minimalizuje svoji energii. Výsledný tvar pásu je geodetický.

Je možné, že několik různých křivek mezi dvěma body minimalizuje vzdálenost, jako je tomu v případě dvou diametrálně opačných bodů na kouli. V takovém případě je kterákoli z těchto křivek geodetická.

Sousedící segment geodetiky je opět geodetický.

Geodetika obecně není totéž jako „nejkratší křivky“ mezi dvěma body, ačkoli tyto dva pojmy spolu úzce souvisí. Rozdíl je v tom, že geodetika je pouze místně nejkratší vzdálenost mezi body a je parametrizována „konstantní rychlostí“. Jít „po dlouhé cestě“ po velkém kruhu mezi dvěma body koule je geodetická, ale ne nejkratší cesta mezi body. Mapa z jednotkového intervalu na reálné číselné ose k sobě udává nejkratší cestu mezi 0 a 1, ale není geodetická, protože rychlost odpovídajícího pohybu bodu není konstantní.

Geodetika je běžně k vidění při studiu Riemannovy geometrie a obecněji metrické geometrie . V obecné relativitě , geodetiky v časoprostoru popisují pohyb bodových částic pod vlivem gravitace. Zejména dráha padající skály, obíhající družice nebo tvar planetární dráhy jsou všechny geodetiky v zakřiveném časoprostoru. Obecněji se téma sub-Riemannovy geometrie zabývá cestami, kterými se objekty mohou ubírat, když nejsou volné, a jejich pohyb je omezen různými způsoby.

Tento článek představuje matematický formalismus podílející se na definování, hledání a dokazování existence geodetik v případě riemannianských variet . Článek Spojení Levi-Civita pojednává o obecnějším případě pseudoriemanianského variet a geodetika (obecná relativita) podrobněji o speciálním případě obecné relativity.

Příklady

Pokud je hmyz umístěn na povrch a neustále kráčí „vpřed“, podle definice vystopuje geodetický.

Nejznámějšími příklady jsou přímky v euklidovské geometrii . Na kouli jsou obrazy geodetiky velké kruhy . Nejkratší cesta z bodu A do bodu B na kouli je dána kratší oblouk velkého kruhu procházejícího A a B . Pokud A a B jsou antipodální body , pak mezi nimi existuje nekonečně mnoho nejkratších cest. Geodetika na elipsoidu se chová složitěji než na kouli; zejména nejsou obecně uzavřeny (viz obrázek).

Trojúhelníky

Geodetický trojúhelník na kouli.

Geodetické trojúhelník je tvořena geodetik spojujícími každý out pár ze tří bodů na daném povrchu. Na kouli jsou geodetika velké kruhové oblouky, které tvoří sférický trojúhelník .

Geodetické trojúhelníky v prostorech kladného (nahoře), záporného (uprostřed) a nulového (dole) zakřivení.

Metrická geometrie

V metrické geometrii , je geodetické je křivka, která je všude lokálně vzdálenost Minimalizátor. Přesněji řečeno, je křivka γ  : IM z intervalu I reals do metrického prostoru M je geodetická případě, že je konstantní v ≥ 0 tak, že pro každý tI existuje okolí J o t v I , jako že pro jakékoli t 1 ,  t 2J máme

To generalizuje pojem geodetiky pro riemannianská potrubí. V metrické geometrii je však uvažovaná geodetika často vybavena přirozenou parametrizací , tj. Ve výše uvedené identitě v  = 1 a

Pokud je poslední rovnost splněna pro všechna t 1 , t 2I , nazývá se geodetika minimalizující geodetická nebo nejkratší cesta .

Metrický prostor obecně nemusí mít žádnou geodetiku, kromě konstantních křivek. Na druhé straně jsou jakékoli dva body v metrickém prostoru délky spojeny minimalizační sekvencí rektifikovatelných cest , ačkoli tato minimalizační sekvence nemusí konvergovat ke geodetické.

Riemannova geometrie

V riemannianském rozdělovači M s metrickým tenzorem g je délka L spojitě diferencovatelné křivky γ: [ a , b ] →  M je definována vztahem

Vzdálenost d ( p ,  q ) mezi dvěma body p a q z M je definován jako infima délky bere přes všechny kontinuální, po částech průběžně diferencovatelné křivky γ: [ , b ] →  M tak, že y ( ) =  p a γ ( b ) =  q . V riemannovské geometrii jsou všechny geodetiky lokálně cesty minimalizující vzdálenost, ale opak není pravda. Ve skutečnosti jsou geodetiky pouze cesty, které jsou lokálně minimalizující vzdálenost a parametrizovány úměrně délce oblouku. Dalším ekvivalentním způsobem definování geodetiky na riemannianském potrubí je definovat je jako minima následující akce nebo energeticky funkční

Všechna minima E jsou také minima L , ale L je větší množina, protože cesty, které jsou minimem L, lze libovolně znovu parametrizovat (beze změny jejich délky), zatímco minima E ne. Pro kusovou křivku (obecněji křivku) dává Cauchy -Schwarzova nerovnost

s rovností právě tehdy, je -li rovna konstantní ae; cesta by měla být vedena konstantní rychlostí. Stává se, že minimalizátory také minimalizují , protože se ukázalo, že jsou afinně parametrizovány, a nerovnost je rovnost. Užitečnost tohoto přístupu spočívá v tom, že problém hledání minimalizátorů E je robustnějším variačním problémem. Ve skutečnosti, E je „konvexní funkce“ z , takže v každé třídě isotopy „rozumných“ funkcí, jeden by se očekávat, že existence, jednoznačnost a pravidelnost minimizers. Naproti tomu „minimalizátory“ funkčních obecně nejsou příliš pravidelné, protože jsou povoleny libovolné reparametrizace.

Tyto Euler-Lagrangeovy rovnice pohybu pro funkční E jsou pak uvedeny v místních souřadnic

kde jsou Christoffelovy symboly metriky. Toto je geodetická rovnice , diskutovaná níže .

Variační počet

Pro zkoumání energeticky funkčních E lze použít techniky klasického počtu variací . První variace energie je definována v místních souřadnicích

Tyto kritické body z první varianty jsou přesně geodesics. Druhá varianta je definována

V příslušném smyslu vznikají nuly druhé varianty podél geodetického γ podél Jacobiho polí . Jacobiho pole jsou tedy považována za variace prostřednictvím geodetiky.

Aplikací variačních technik z klasické mechaniky lze geodetiku považovat také za hamiltonovské toky . Jsou to řešení souvisejících Hamiltonových rovnic , přičemž (pseudo-) Riemannova metrika je brána jako hamiltoniánská .

Afinní geodetika

Geodetické na hladké potrubí M s afinní spojení ∇ je definována jako křivky y ( t ) tak, že paralelně doprava podél křivky zachovává tečný vektor ke křivce, takže

 

 

 

 

( 1 )

v každém bodě křivky, kde je derivace vzhledem k . Přesněji, aby se definovala jeho kovarianční derivace , je nutné nejprve rozšířit na spojitě diferencovatelné vektorové pole v otevřené sadě . Výsledná hodnota ( 1 ) je však nezávislá na volbě rozšíření.

Pomocí lokálních souřadnic na M můžeme geodetickou rovnici (pomocí součtové konvence ) zapsat jako

kde jsou souřadnice křivky γ ( t ) a jsou Christoffelovy symboly spojení ∇. Toto je obyčejná diferenciální rovnice pro souřadnice. Má jedinečné řešení dané počáteční polohou a počáteční rychlostí. Z hlediska klasické mechaniky lze tedy geodetiku považovat za trajektorie volných částic v potrubí. Rovnice skutečně znamená, že vektor zrychlení křivky nemá žádné složky ve směru povrchu (a proto je kolmý na tečnou rovinu povrchu v každém bodě křivky). Pohyb je tedy zcela určen ohybem povrchu. To je také myšlenka obecné relativity, kde se částice pohybují na geodetice a ohýbání je způsobeno gravitací.

Existence a jedinečnost

Lokální existence a jednoznačnost teorém pro geodetik uvádí, že geodesics na hladké potrubí s afinní připojení existují a jsou jedinečné. Přesněji:

Pro jakýkoli bod p v M a pro jakýkoli vektor V v T p M ( tečný prostor k M v p ) existuje jedinečná geodetika  : IM taková, že
a
kde I je maximální otevřený interval v R obsahující 0.

Důkaz této věty vyplývá z teorie obyčejných diferenciálních rovnic tím , že si všiml, že geodetická rovnice je ODR druhého řádu. Existence a jedinečnost pak vyplývají z Picardovy – Lindelöfovy věty pro řešení ODE s předepsanými počátečními podmínkami. γ závisí plynule na obou pV .

Obecně platí, že jsem nemusí být všechny R , jako například pro otevřenou disku v R 2 . Každý γ se vztahuje na všechny tehdy a jen tehdy, pokud M je geodesically kompletní .

Geodetický tok

Geodetický tok je místní R - působení na tečný svazek TM potrubí M definovaného následujícím způsobem

kde t  ∈  R , V  ∈  TM a označuje geodetické s počátečními daty . Tak, ( V ) = exp ( tV ) je exponenciální mapa vektoru tV . Uzavřená dráha z geodetických odpovídá průtoku do uzavřené přímou čarou na  M .

Na (pseudo-) riemannianském potrubí je geodetický tok identifikován s hamiltonovským tokem na kotangentním svazku. Hamiltonovské je pak dána inverzní (pseudo) Riemannian metrický, posuzováno ve vztahu k kanonické jedné formě . Tok zejména zachovává (pseudo-) Riemannovu metriku , tzn

Zejména když V je jednotkový vektor, zůstává jednotkovou rychlostí v celém rozsahu, takže geodetický tok je tečný k jednotkovému tangentovému svazku . Liouvilleova věta implikuje neměnnost kinematického měřítka na svazku jednotkových tečen.

Geodetický sprej

Geodetický tok definuje rodinu křivek v tangenciálním svazku . Deriváty těchto křivek definují vektorové pole v celkovém prostoru tangentového svazku, známé jako geodetický sprej .

Přesněji řečeno, afinní spojení vede k rozdělení dvojitého tangentového svazku TT M na horizontální a vertikální svazky :

Geodetický sprej je jedinečné horizontální vektorové pole W uspokojující

v každém bodě v  ∈ T M ; zde π  : TT M  → T M označuje posun (diferenciál) podél projekce π: T M  →  M spojený s tangenciálním svazkem.

Obecněji, stejná konstrukce umožňuje konstrukci vektorového pole pro jakékoli Ehresmannovo spojení na tangenciálním svazku. Aby bylo výsledné vektorové pole rozprašováním (na odstraněném tangenciálním svazku T M  \ {0}), stačí, aby bylo spojení při pozitivních změnách měřítka rovnocenné: nemusí být lineární. To znamená (srov. Ehresmannovo spojení#Vektorové svazky a kovariantní deriváty ) stačí, aby horizontální rozdělení vyhovovalo

pro každé X  ∈ T M  \ {0} a λ> 0. Zde d ( S λ ) je posun vpřed podél skalární homotety. Zvláštním případem nelineárního spojení vzniklého tímto způsobem je případ spojený s Finslerovým potrubím .

Afinní a projektivní geodetika

Rovnice ( 1 ) je při afinních reparametrizacích neměnná; tj. parametrizace formuláře

kde a a b jsou konstantní reálná čísla. Kromě určení určité třídy vložených křivek tedy geodetická rovnice také určuje preferovanou třídu parametrizací na každé z křivek. V souladu s tím se řešení ( 1 ) nazývají geodetika s afinním parametrem .

Afinní spojení je určeno jeho rodinou afinitně parametrizovaných geodetik až do torze ( Spivak 1999 , kapitola 6, dodatek I). Samotné torze ve skutečnosti rodinu geodetik neovlivňuje, protože geodetická rovnice závisí pouze na symetrické části spojení. Přesněji, pokud jsou dvě spojení taková, že rozdíl tenzoru

je na zešikmení symetrický , pak a mají stejné geodetiky se stejným afinních parametrizace. Kromě toho existuje jedinečné spojení se stejnou geodetikou jako , ale s mizející torzí.

Geodetika bez konkrétní parametrizace je popsána projektivním spojením .

Výpočtové metody

Kimmel a další navrhli účinná řešení pro minimální geodetický problém na površích představovaných jako eikonální rovnice .

Test stužky

Test stužky provedl majitel Vsauce Michael Stevens
Zakřivená čára nakreslená pomocí testu pásky je přímka na rovném povrchu. Důvodem je, že z kužele lze vytvořit 2-d půlkruh.

„Test“ na pásu karet je způsob nalezení geodetiky na trojrozměrném zakřiveném tvaru.

Když je stužka navinuta kolem kužele, část pásky se nedotýká povrchu kužele. Pokud je páska navinuta kolem jiné zakřivené dráhy a všechny částice na pásu se dotýkají povrchu kužele, je cesta geodetická .

Aplikace

Geodetika slouží jako základ pro výpočet:

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení

externí odkazy