Geometrický průměr - Geometric mean

Příklad geometrického průměru: (červená) je geometrický průměr a v příkladu, ve kterém je úsečka uvedena jako kolmice , animace na konci 10 s pauza.

V matematice, geometrický průměr je střední nebo průměrná , což indikuje centrální tendence nebo typické hodnoty ze sady čísel za použití produktu z jejich hodnot (na rozdíl od aritmetické střední hodnoty , která používá jejich součet). Geometrický průměr je definován jako n -tého kořenové části produktu z n čísel, tj, pro sadu čísel x 1 , x 2 , ..., x n , geometrický průměr je definován jako

Například geometrický průměr dvou čísel, řekněme 2 a 8, je pouze druhá odmocnina jejich součinu, tj . Jako další příklad je geometrický průměr tří čísel 4, 1 a 1/32 odmocninou jejich součinu (1/8), což je 1/2, tj . Geometrický průměr platí pouze pro kladná čísla.

Geometrický průměr se často používá pro sadu čísel, jejichž hodnoty mají být vynásobeny společně nebo jsou exponenciální povahy, jako například soubor čísel růstu: hodnoty lidské populace nebo úrokové sazby finanční investice v průběhu času.

Geometrický průměr lze chápat z hlediska geometrie . Geometrický průměr dvou čísel, a , je délka jedné strany čtverce, jehož plocha se rovná ploše obdélníku se stranami délek a . Podobně, geometrický průměr ze tří čísel, , , a , je délka jednoho okraje krychle , jejíž objem je stejný jako u kvádru o stranách, jejichž délky jsou shodné s třemi uvedenými čísly.

Geometrický průměr je jedním ze tří klasických pythagorejských průměrů společně s aritmetickým průměrem a harmonickým průměrem . Pro všechny kladné datové sady obsahující alespoň jeden pár nestejných hodnot je harmonický průměr vždy nejmenší ze tří průměrů, zatímco aritmetický průměr je vždy největší ze tří a geometrický průměr je vždy mezi nimi (viz Nerovnost aritmetiky a geometrické prostředky .)

Výpočet

Geometrický průměr datové sady je dán vztahem:

Výše uvedený obrázek používá značení velkých písmen k zobrazení série násobení. Každá strana znaménka rovnosti ukazuje, že množina hodnot se vynásobí za sebou (počet hodnot je reprezentován „n“), čímž se získá celkový součin množiny, a poté se vezme n -tý kořen celkového součinu uveďte geometrický průměr původní sady. Například v sadě čtyř čísel je součin je a geometrický průměr je čtvrtý kořen z 24 nebo ~ 2,213. Exponent na levé straně odpovídá převzetí n. Kořene. Například .

Iterační prostředky

Geometrický průměr datové sady je menší než aritmetický průměr datové sady, pokud nejsou všechny členy datové sady stejné, v takovém případě jsou geometrické a aritmetické průměry stejné. To umožňuje definici aritmeticko-geometrického průměru , průsečík těchto dvou, který vždy leží mezi nimi.

Geometrický průměr je také aritmeticko-harmonickým průměrem v tom smyslu, že pokud jsou definovány dvě posloupnosti ( ) a ( ):

a

kde je harmonický průměr předchozích hodnot těchto dvou posloupností, potom a bude konvergovat ke geometrickému průměru a .

To lze snadno vidět ze skutečnosti, že sekvence konvergují ke společnému limitu (což může ukázat Bolzano – Weierstrassova věta ) a ze skutečnosti, že je zachován geometrický průměr:

Nahrazení aritmetického a harmonického průměru dvojicí zobecněných prostředků opačných, konečných exponentů přináší stejný výsledek.

Vztah s logaritmy

Geometrický průměr může být také vyjádřen jako exponenciál aritmetického průměru logaritmů. Pomocí logaritmických identit k transformaci vzorce lze násobení vyjádřit jako součet a mocninu jako násobení:

Když

navíc, pokud jsou povoleny záporné hodnoty

kde m je počet záporných čísel.

Někdy se tomu říká log-průměr (nezaměňovat s logaritmickým průměrem ). Jednoduše se vypočítá aritmetický průměr logaritmicky transformovaných hodnot (tj. Aritmetický průměr na logové stupnici) a poté pomocí umocnění se vrátí výpočet do původního měřítka, tj. Je to zobecněný f-průměr s . Geometrický průměr 2 a 8 lze například vypočítat následovně, kde je libovolný základ logaritmu (běžně 2 nebo 10):

Vzhledem k výše uvedenému je vidět, že pro daný vzorek bodů je geometrický průměr minimalizátorem

,

vzhledem k tomu, že aritmetický průměr je minimalizátorem

.

Geometrický průměr tedy poskytuje souhrn vzorků, jejichž exponent nejlépe odpovídá exponentům vzorků (ve smyslu nejmenších čtverců).

Logická forma geometrického průměru je obecně preferovanou alternativou pro implementaci v počítačových jazycích, protože výpočet součinu mnoha čísel může vést k aritmetickému přetečení nebo aritmetickému podtečení . Je méně pravděpodobné, že k tomu dojde při součtu logaritmů pro každé číslo.

Srovnání s aritmetickým průměrem

Důkaz beze slov o nerovnosti aritmetických a geometrických průměrů :
PR je průměr kruhu se středem na O; její poloměr AO je aritmetický průměr z a b . Použití eukleidova věta , Trojúhelník PGR je nadmořská výška GQ je geometrický průměr . Pro jakýkoli poměr a : b , AO ≥ GQ.
Geometrický důkaz beze slov , že max  ( , b ) > střední kvadratická ( RMS ) nebo kvadratický průměr ( QM ) > aritmetický průměr ( AM ) > geometrický průměr ( GM ) > Harmonická střední ( HM ) > min  ( , b ) z dvě kladná čísla a a b

Geometrický průměr neprázdné sady dat (kladných) čísel je vždy nejvýše jejich aritmetickým průměrem. Rovnost je získána pouze tehdy, jsou -li všechna čísla v datové sadě stejná; jinak je geometrický průměr menší. Například geometrický průměr 242 a 288 se rovná 264, zatímco jejich aritmetický průměr je 265. Zejména to znamená, že když je sada neidentických čísel podrobena šíření zachovávajícímu průměr- tj. Prvky množiny jsou od sebe více „rozprostřeny“, přičemž aritmetický průměr zůstává beze změny - jejich geometrický průměr klesá.

Průměrná rychlost růstu

V mnoha případech je geometrický průměr nejlepším měřítkem k určení průměrné rychlosti růstu určité veličiny. (Pokud se například tržby za jeden rok zvýší o 80%a v příštím roce o 25%, je konečný výsledek stejný jako při konstantním tempu růstu 50%, protože geometrický průměr 1,80 a 1,25 je 1,50.) Aby bylo možné určit průměrnou míru růstu, není nutné brát součin naměřených rychlostí růstu v každém kroku. Nechte kvantitu udat jako posloupnost , kde je počet kroků od počátečního do konečného stavu. Rychlost růstu mezi postupnými měřeními a je . Geometrický průměr těchto rychlostí růstu je pak jen:

Aplikace na normalizované hodnoty

Základní vlastností geometrického průměru, která neplatí pro žádný jiný průměr, je to, že pro dvě sekvence a stejně dlouhé

Díky tomu je geometrický průměr jediným správným průměrem při průměrování normalizovaných výsledků; to znamená výsledky, které jsou prezentovány jako poměry k referenčním hodnotám. To je případ při prezentaci výkonu počítače s ohledem na referenční počítač nebo při výpočtu jednoho průměrného indexu z několika heterogenních zdrojů (například průměrná délka života, roky vzdělání a dětská úmrtnost). V tomto scénáři by použití aritmetického nebo harmonického průměru změnilo pořadí výsledků v závislosti na tom, co se používá jako reference. Vezměte si například následující srovnání doby provádění počítačových programů:

  Počítač A. Počítač B. Počítač C.
Program 1 1 10 20
Program 2 1000 100 20
Aritmetický průměr 500,5 55 20
Geometrický průměr 31,622. . . 31,622. . . 20
Harmonický průměr 1,998. . . 18,182. . . 20

Aritmetický a geometrický prostředek „souhlasí“ s tím, že počítač C je nejrychlejší. Prezentací vhodně normalizovaných hodnot a použitím aritmetického průměru však můžeme ukázat, že jeden z ostatních dvou počítačů je nejrychlejší. Normalizace podle výsledku A dává A jako nejrychlejší počítač podle aritmetického průměru:

  Počítač A. Počítač B. Počítač C.
Program 1 1 10 20
Program 2 1 0,1 0,02
Aritmetický průměr 1 5,05 10.01
Geometrický průměr 1 1 0,632. . .
Harmonický průměr 1 0,198. . . 0,039. . .

zatímco normalizace podle výsledku B dává B jako nejrychlejší počítač podle aritmetického průměru, ale A jako nejrychlejší podle harmonického průměru:

  Počítač A. Počítač B. Počítač C.
Program 1 0,1 1 2
Program 2 10 1 0,2
Aritmetický průměr 5,05 1 1.1
Geometrický průměr 1 1 0,632
Harmonický průměr 0,198. . . 1 0,363. . .

a normalizace výsledkem C dává C jako nejrychlejší počítač podle aritmetického průměru, ale A jako nejrychlejší podle harmonického průměru:

  Počítač A. Počítač B. Počítač C.
Program 1 0,05 0,5 1
Program 2 50 5 1
Aritmetický průměr 25,025 2,75 1
Geometrický průměr 1,581. . . 1,581. . . 1
Harmonický průměr 0,099. . . 0,909. . . 1

Ve všech případech zůstává pořadí dané geometrickým průměrem stejné jako pořadí získané s nenormalizovanými hodnotami.

Tato úvaha však byla zpochybněna. Poskytování konzistentních výsledků neznamená vždy poskytnutí správných výsledků. Obecně platí, že je přísnější přiřadit váhy každému z programů, vypočítat průměrnou váženou dobu provádění (pomocí aritmetického průměru) a poté tento výsledek normalizovat na jeden z počítačů. Tři výše uvedené tabulky dávají každému programu jinou váhu, což vysvětluje nekonzistentní výsledky aritmetických a harmonických prostředků (první tabulka dává oběma programům stejnou váhu, druhá dává druhému programu váhu 1/1000, a třetí dává váhu 1/100 druhému programu a 1/10 prvnímu). Pokud je to možné, je třeba se vyhnout použití geometrického průměru pro agregaci výkonnostních čísel, protože vynásobení časů provedení nemá žádný fyzický význam, na rozdíl od sčítání časů jako v aritmetickém průměru. Metriky, které jsou nepřímo úměrné času (zrychlení, IPC ), by měly být zprůměrovány pomocí harmonického průměru.

Geometrický průměr lze odvodit z generalizovaného průměru , jehož limit jde k nule. Podobně je to možné pro vážený geometrický průměr.

Geometrický průměr spojité funkce

Pokud je to spojitá reálná funkce, její geometrický průměr v tomto intervalu je

Převzetí funkce identity přes jednotkový interval například ukazuje, že geometrický průměr kladných čísel mezi 0 a 1 se rovná .

Aplikace

Proporcionální růst

Geometrický průměr je vhodnější než aritmetický průměr pro popis proporcionálního růstu, exponenciálního růstu (konstantní proporcionální růst) i různého růstu; v podnikání je geometrický průměr míry růstu známý jako složená roční míra růstu (CAGR). Geometrický průměr růstu za období poskytuje ekvivalentní konstantní rychlost růstu, která by poskytla stejné konečné množství.

Předpokládejme, že pomerančovník získá 100 pomerančů za rok a poté 180, 210 a 300 v následujících letech, takže růst je 80%, 16,6666% a 42,8571% v daném pořadí. Pomocí aritmetického průměru vypočítá (lineární) průměrný růst 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, tento součet pak dělen 3). Pokud však začneme se 100 pomeranči a necháme růst 46,5079% každý rok, výsledkem je 314 pomerančů, ne 300, takže lineární průměr nadhodnocuje meziroční růst.

Místo toho můžeme použít geometrický průměr. Pěstování s 80% odpovídá vynásobení 1,80, vezmeme tedy geometrický průměr 1,80, 1,166666 a 1,428571, tzn ; „průměrný“ růst za rok je tedy 44,2249%. Začneme -li 100 pomeranči a necháme počet každoročně růst o 44,2294%, výsledkem je 300 pomerančů.

Finanční

Pro výpočet finančních indexů byl čas od času použit geometrický průměr (průměrování je přes složky indexu). Například v minulosti index FT 30 používal geometrický průměr. Používá se také v nedávno zavedeném měřítku inflace „ RPIJ “ ve Velké Británii a v Evropské unii.

To má za následek podhodnocení pohybů v indexu ve srovnání s použitím aritmetického průměru.

Aplikace ve společenských vědách

Ačkoli je geometrický průměr ve výpočetních sociálních statistikách relativně vzácný, počínaje rokem 2010 přešel na tento způsob výpočtu Index lidského rozvoje OSN s odůvodněním, že lépe odráží nenahraditelnou povahu sestavovaných a porovnávaných statistik:

Geometrický průměr snižuje úroveň zaměnitelnosti mezi dimenzemi [srovnávané] a současně zajišťuje, že 1 % pokles předpokládané délky života při narození má stejný dopad na HDI jako 1 % pokles vzdělání nebo příjmu. Jako základ pro srovnání úspěchů tedy tato metoda také více respektuje vnitřní rozdíly napříč dimenzemi než prostý průměr.

Ne všechny hodnoty použité pro výpočet HDI (index lidského rozvoje) jsou normalizovány; někteří místo toho mají formu . Díky tomu je volba geometrického průměru méně zřejmá, než by se dalo očekávat od výše uvedené části „Vlastnosti“.

Rovnoměrně rozdělený sociální ekvivalent ekvivalentní příjmu spojený s Atkinsonovým indexem s parametrem averze vůči nerovnosti 1,0 je prostě geometrický průměr příjmů. U hodnot jiných než jedna je ekvivalentní hodnotou norma Lp dělená počtem prvků, přičemž p se rovná jedné minus parametr averze vůči nerovnosti.

Geometrie

Výška pravoúhlého trojúhelníku od jeho pravého úhlu k jeho přeponě je geometrický průměr délek segmentů, na které je přepona rozdělena. Pomocí Pythagorovy věty o 3 trojúhelnících stran ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) a ( s , h , q  ) ,

V případě pravoúhlého trojúhelníku je jeho nadmořská výška délkou čáry probíhající kolmo od přepony k jejímu 90 ° vrcholu. Představte si, že tato čára rozděluje přeponu na dva segmenty, přičemž geometrický průměr těchto délek segmentů je délkou nadmořské výšky. Tato vlastnost je známá jako věta o geometrickém průměru .

V elipse je semi-minor osa geometrickým průměrem maximální a minimální vzdálenosti elipsy od ohniska ; je to také geometrický průměr osy semi-major a semi-latus rectum . Semihlavní osa elipsy je geometrický průměr vzdálenosti od středu k buď zaměření a vzdálenosti od středu na obě directrix .

Vzdálenost k horizontu části koule , je přibližně stejná, jako geometrický průměr vzdálenosti nejbližšímu bodu koule a vzdálenosti k nejvzdálenějším bodem oblasti, pokud je vzdálenost k nejbližšímu bodu koule je malý.

Geometrický průměr je použit jak při aproximaci kvadratury kruhu podle SA Ramanujana (1914), tak při konstrukci Heptadecagonu podle „zaslaného TP Stowellem, připsáno do Leybournova matematického úložiště, 1818“ .

Poměry stran

Porovnání stejných ploch poměrů stran, které používá Kerns Powers k odvození standardu SMPTE 16: 9 .   TV 4: 3/1,33 v červené barvě,   1,66 v oranžové barvě,   16: 9/1,7 7 v modré barvě ,  1,85 žlutě,   Panavision /2.2 v barvě lila a  CinemaScope / 2,35 ve fialové barvě.

Geometrický průměr byl použit při volbě kompromisního poměru stran u filmu a videa: vzhledem ke dvěma poměrům stran poskytuje jejich geometrický průměr kompromis, který zkresluje nebo ořezává v jistém smyslu stejně. Konkrétně se dva obdélníky se stejnou plochou (se stejným středem a rovnoběžnými stranami) různých poměrů stran protínají v obdélníku, jehož poměr stran je geometrický průměr, a jejich trup (nejmenší obdélník, který oba obsahuje) má rovněž poměr stran jejich geometrický průměr.

Při volbě poměru stran 16: 9 pomocí SMPTE s vyvážením 2,35 a 4: 3 byl zvolen geometrický průměr , a proto ... byl vybrán. Toto empiricky objevil Kerns Powers, který vystřihl obdélníky se stejnými plochami a vytvaroval je tak, aby odpovídaly každému z populárních poměrů stran. Když se překrývaly se zarovnanými středovými body, zjistil, že všechny tyto obdélníky s poměrem stran zapadají do vnějšího obdélníku s poměrem stran 1,77: 1 a všechny také pokryly menší společný vnitřní obdélník se stejným poměrem stran 1,77: 1. Hodnota nalezená Powersem je přesně geometrický průměr extrémních poměrů stran 4: 3 (1,33: 1) a CinemaScope (2,35: 1), který se shodou okolností blíží ( ). Mezilehlé poměry nemají na výsledek žádný vliv, pouze dva extrémní poměry.   

Použitím stejné geometrické průměrné techniky na 16: 9 a 4: 3 se přibližně získá poměr stran 14: 9 ( ...), který se rovněž používá jako kompromis mezi těmito poměry. V tomto případě 14: 9 je přesně aritmetický průměr z a , protože 14 je v průměru 16 a 12, zatímco přesný geometrický průměr je , ale dva různé způsoby , aritmetické a geometrické, jsou přibližně stejné, protože obě čísla jsou dostatečně blízko navzájem (rozdíl menší než 2%).

Spektrální plochost

Při zpracování signálu je spektrální plochost , míra toho, jak ploché nebo špičaté spektrum je, definována jako poměr geometrického průměru výkonového spektra k jeho aritmetickému průměru.

Antireflexní vrstvy

V optické povlaky, kde je potřeba odraz být minimalizován mezi dvěma médii na indexy lomu n 0 a n 2 , optimální indexu lomu n 1 o antireflexní vrstvou je dán geometrický průměr: .

Subtraktivní míchání barev

Křivka spektrální odrazivosti pro nátěrové směsi (stejné tónování síly, opacity a ředění ) je přibližně geometrický průměr jednotlivých křivky odrazivosti laky vypočtenými při každé vlnové délce jejich spekter .

Zpracování obrazu

Geometrický průměr filtr se používá jako hluk filtr zpracování obrazu .

Viz také

Poznámky a reference

externí odkazy