Georg Cantor - Georg Cantor

Georg Cantor
Georg Cantor- colorized.jpg
Cantor, počátek 20. století
narozený
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

( 1845-03-03 )3. března 1845
Petrohrad , Ruská říše
Zemřel 06.01.1918 (1918-01-06)(ve věku 72)
Halle , provincie Sasko , Německá říše
Národnost Němec
Alma mater
Známý jako Teorie množin
Manžel / manželka
Vally Guttmannová
​
( m.  1874)​
Ocenění Sylvester medaile (1904)
Vědecká kariéra
Pole Matematika
Instituce University of Halle
Teze De aequationibus secundi gradus indeterminatis  (1867)
Doktorský poradce

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( / k Æ n t ɔːr / KAN -tor , Němec: [ɡeːɔʁk fɛʁdinant luːtvɪç fiːlɪp kantɔʁ] ; březen 3 [ OS únor 19] 1845-6 leden, 1918) byl německý matematik . Vytvořil teorii množin , která se stala základní teorií v matematice. Cantor stanovil důležitost vzájemné korespondence mezi členy dvou množin, definoval nekonečné a dobře uspořádané množiny a dokázal, že skutečná číslajsou početnější než přirozená čísla . Ve skutečnosti Cantorova metoda důkazu této věty implikuje existenci nekonečna nekonečností. Definoval základní a pořadová čísla a jejich aritmetiku. Cantorova práce má velký filozofický zájem, což si dobře uvědomoval.

Cantorova teorie transfinitních čísel byla původně považována za tak neintuitivní-až šokující-že narazila na odpor matematických současníků, jako byli Leopold Kronecker a Henri Poincaré a později Hermann Weyl a L. E. J. Brouwer , zatímco Ludwig Wittgenstein vznesl filozofické námitky . Cantor, oddaný luteránský křesťan , věřil, že mu tuto teorii sdělil Bůh. Někteří křesťanští teologové (zvláště neo-scholastici ) viděli Cantorovu práci jako výzvu k jedinečnosti absolutního nekonečna v božské přirozenosti-při jedné příležitosti ztotožňování teorie transfinitních čísel s panteismem  -návrh, který Cantor rázně odmítl.

Námitky proti Cantorově práci byly příležitostně divoké: veřejný odpor Leopolda Kroneckera a osobní útoky zahrnovaly popis Cantora jako „vědeckého šarlatána“, „odpadlíka“ a „kazitele mládí“. Kronecker namítal proti Cantorovým důkazům, že algebraická čísla jsou počitatelná a že transcendentální čísla jsou nepočitatelná, což jsou výsledky nyní zahrnuté ve standardním učebním plánu matematiky. Když Wittgenstein psal desítky let po Cantorově smrti, posteskl si, že matematika „prochází skrz skrz skrz zhoubné idiomy teorie množin“, kterou odmítl jako „naprostý nesmysl“, který je „směšný“ a „špatný“. Cantorovy opakující se záchvaty deprese od roku 1884 do konce života byly obviňovány z nepřátelského postoje mnoha jeho současníků, ačkoli někteří tyto epizody vysvětlovali jako pravděpodobné projevy bipolární poruchy .

Drsná kritika byla doplněna pozdějšími oceněními. V roce 1904 udělila Královská společnost Cantorovi medaili Sylvestera , nejvyšší vyznamenání, které může udělit za práci v matematice. David Hilbert to hájil před svými kritiky prohlášením: „Nikdo nás nevyloučí z ráje, který Cantor vytvořil.“

Život Georga Cantora

Mládí a studium

Cantor, kolem roku 1870

Georg Cantor se narodil v roce 1845 v západní obchodní kolonii Petrohradu v Rusku a ve městě vyrůstal až do svých jedenácti let. Cantor, nejstarší ze šesti dětí, byl považován za vynikajícího houslistu. Jeho dědeček Franz Böhm (1788–1846) ( bratr houslisty Josepha Böhma ) byl známý hudebník a sólista ruského císařského orchestru. Cantorův otec byl členem petrohradské burzy ; když onemocněl, přestěhovala se rodina v roce 1856 do Německa, nejprve do Wiesbadenu , poté do Frankfurtu , kde hledala mírnější zimy než Petrohrad. V roce 1860 Cantor absolvoval s vyznamenáním Realschule v Darmstadtu ; byly zaznamenány jeho výjimečné schopnosti v matematice, zejména trigonometrii . V srpnu 1862 pak absolvoval „Höhere Gewerbeschule Darmstadt“, nyní Technische Universität Darmstadt . V roce 1862 vstoupil Cantor do švýcarské federální polytechniky . Poté, co získal v červnu 1863 po otcově smrti značné dědictví, přesunul Cantor svá studia na univerzitu v Berlíně a navštěvoval přednášky Leopolda Kroneckera , Karla Weierstrasse a Ernsta Kummera . Léto 1866 strávil na univerzitě v Göttingenu , později v centru matematického výzkumu. Cantor byl dobrým studentem a v roce 1867 získal doktorát.

Učitel a výzkumník

Cantor předložil disertační práci na teorii čísel na univerzitě v Berlíně v roce 1867. Poté, co krátce vyučoval na berlínské dívčí škole, nastoupil na univerzitu v Halle , kde strávil celou svou kariéru. Získal potřebnou habilitaci za svou práci, také z teorie čísel, kterou předložil v roce 1869 po svém jmenování na Halle University .

V roce 1874 se Cantor oženil s Vally Guttmann. Měli šest dětí, poslední (Rudolph) narozené v roce 1886. Cantor byl schopen uživit rodinu i přes skromné ​​akademické platy, díky svému dědictví po otci. Během svatební cesty v pohoří Harz strávil Cantor hodně času v matematických diskusích s Richardem Dedekindem , kterého potkal před dvěma lety na dovolené ve Švýcarsku.

Cantor byl v roce 1872 povýšen na mimořádného profesora a v roce 1879 byl jmenován řádným profesorem. Dosáhnout druhé úrovně ve věku 34 let byl pozoruhodný úspěch, ale Cantor toužil po křesle na prestižnější univerzitě, zejména v Berlíně, v té době přední německá univerzita. Jeho práce však narážela na příliš velký odpor, než aby to bylo možné. Kronecker, který vedl matematiku v Berlíně až do své smrti v roce 1891, se stával stále více nesvůj z vyhlídky mít Cantora za kolegu a vnímal ho jako „kazitele mládí“, aby mohl své myšlenky učit mladší generaci matematiků. Ještě horší je, že Kronecker, dobře zavedená postava v matematické komunitě a Cantorův bývalý profesor, zásadně nesouhlasil s posláním Cantorovy práce od té doby, co záměrně odložil vydání Cantorovy první velké publikace v roce 1874. Kronecker, nyní považován za jednoho z zakladatelům konstruktivního hlediska v matematice se nelíbila velká část Cantorovy teorie množin, protože tvrdila existenci množin splňujících určité vlastnosti, aniž by uváděla konkrétní příklady množin, jejichž členové tyto vlastnosti skutečně splňovaly. Kdykoli Cantor požádal o místo v Berlíně, byl odmítnut a obvykle se to týkalo Kroneckera, takže Cantor uvěřil, že Kroneckerův postoj mu znemožní kdy opustit Halle.

V roce 1881 zemřel Cantorův kolega Halle Eduard Heine , který vytvořil volné křeslo. Halle přijal Cantorův návrh, aby byl nabídnut Dedekindovi, Heinrichovi M. Weberovi a Franzovi Mertensovi v uvedeném pořadí, ale každý židli poté, co jí byl nabídnut, odmítl. Friedrich Wangerin byl nakonec jmenován, ale nikdy nebyl blízko Cantora.

V roce 1882 skončila matematická korespondence mezi Cantorem a Dedekindem, zřejmě v důsledku Dedekindova poklesu křesla v Halle. Cantor také zahájil další důležitou korespondenci s Gösta Mittag-Leffler ve Švédsku a brzy začal publikovat v Mittag-Lefflerově deníku Acta Mathematica . Ale v roce 1885 byl Mittag-Leffler znepokojen filozofickou povahou a novou terminologií v dokumentu, který Cantor předložil Actě . Požádal Cantora, aby papír stáhl z Acty, dokud byl na důkazu, a napsal, že to bylo „... asi o sto let příliš brzy“. Cantor vyhověl, ale poté omezil svůj vztah a korespondenci s Mittag-Leffler a napsal třetí straně: „Kdyby si Mittag-Leffler přišel po svém, měl bych počkat do roku 1984, což se mi zdálo jako příliš velká poptávka! .. Ale samozřejmě už nikdy nechci vědět nic o Acta Mathematica . "

Cantor prodělal svůj první známý záchvat deprese v květnu 1884. Kritika jeho díla ho tíhla v mysli: každý z padesáti dvou dopisů, které v roce 1884 napsal Mittag-Lefflerovi, zmínil Kroneckera. Úryvek z jednoho z těchto dopisů odhaluje poškození Cantorova sebevědomí:

... nevím, kdy se vrátím k pokračování své vědecké práce. V tuto chvíli s tím nemohu dělat absolutně nic a omezuji se na nejnutnější povinnost svých přednášek; jak rád bych byl vědecky aktivní, kdybych měl jen potřebnou duševní svěžest.

Tato krize ho vedla k tomu, že se přihlásil na přednášku spíše o filozofii než o matematice. Zahájil také intenzivní studium alžbětinské literatury v myšlení, že by mohl existovat důkaz, že Francis Bacon napsal hry připisované Williamovi Shakespearovi (viz otázka shakespearovského autorství ); toto nakonec vyústilo ve dvě brožury, vydané v roce 1896 a 1897.

Cantor se brzy poté vzpamatoval a následně učinil další důležité příspěvky, včetně své diagonální argumentace a věty . Nikdy však již nedosáhl vysoké úrovně svých pozoruhodných prací z let 1874–84, a to ani po Kroneckerově smrti 29. prosince 1891. Nakonec hledal a dosáhl usmíření s Kroneckerem. Přesto filozofické neshody a potíže, které je dělily, přetrvávaly.

V roce 1889 se Cantor zasloužil o založení Německé matematické společnosti a předsedal jejímu prvnímu setkání v Halle v roce 1891, kde poprvé představil svůj diagonální argument; jeho pověst byla i přes Kroneckerův nesouhlas s jeho prací dostatečně silná, aby zajistila, že bude zvolen prvním prezidentem této společnosti. Kromě stranou nepřátelství, které vůči němu Kronecker projevoval, ho Cantor pozval, aby promluvil na schůzku, ale Kronecker toho nebyl schopen, protože jeho žena v té době umírala na zranění při nehodě na lyžích. Georg Cantor se také zasloužil o zřízení prvního mezinárodního kongresu matematiků , který se konal v Curychu ve Švýcarsku v roce 1897.

Pozdější roky a smrt

Po Cantorově hospitalizaci v roce 1884 neexistuje žádný záznam, že by byl v jakémkoli sanatoriu znovu až do roku 1899. Brzy po této druhé hospitalizaci 16. prosince náhle zemřel Cantorův nejmladší syn Rudolph (Cantor přednášel o svých názorech na baconskou teorii a Williama Shakespeara ) , a tato tragédie vyčerpala Cantora z velké části jeho vášně pro matematiku. Cantor byl znovu hospitalizován v roce 1903. O rok později byl rozhořčen a rozrušen papírem, který předložil Julius König na třetím mezinárodním kongresu matematiků . Článek se pokusil dokázat, že základní principy teorie transfinitních množin byly falešné. Vzhledem k tomu, že noviny byly přečteny před jeho dcerami a kolegy, Cantor vnímal, že byl veřejně ponížen. Ačkoli Ernst Zermelo předvedl o necelý den později, že Königův důkaz selhal, Cantor zůstal otřesen a na okamžik vyslýchal Boha. Cantor trpěl po zbytek svého života chronickou depresí, pro kterou byl několikrát omluven z učení a opakovaně uvězněn v různých sanatoriích. Události z roku 1904 předcházely sérii hospitalizací v intervalech dvou nebo tří let. Matematiku však úplně neopustil, přednášel o paradoxech teorie množin ( Burali-Fortiho paradox , Cantorův paradox a Russelův paradox ) na setkání Deutsche Mathematiker-Vereinigung v roce 1903 a zúčastnil se Mezinárodního kongresu matematiků v Heidelbergu. v roce 1904.

V roce 1911 byl Cantor jedním z významných zahraničních vědců pozvaných na 500. výročí založení University of St. Andrews ve Skotsku. Cantor se zúčastnil v naději, že se setká s Bertrandem Russellem , jehož nově vydaná Principia Mathematica opakovaně citovala Cantorovu práci, ale k tomu nedošlo. Následující rok, St. Andrews udělil Cantor čestný doktorát, ale nemoc brání jeho získání titulu osobně.

Cantor odešel do důchodu v roce 1913, žil v chudobě a trpěl podvýživou během první světové války . Veřejná oslava jeho 70. narozenin byla kvůli válce zrušena. V červnu 1917 vstoupil naposledy do sanatoria a neustále psal své ženě s žádostí o povolení jít domů. Georg Cantor měl 6. ledna 1918 v sanatoriu, kde strávil poslední rok svého života, smrtelný infarkt.

Matematické práce

Cantorova práce v letech 1874 až 1884 je původem teorie množin . Před touto prací byl koncept množiny poměrně elementární, který byl implicitně používán od počátku matematiky, sahající až k Aristotelovým myšlenkám . Nikdo si neuvědomil, že teorie množin má nějaký netriviální obsah. Před Cantorem existovaly pouze konečné množiny (které jsou snadno pochopitelné) a „nekonečné“ (což bylo považováno za téma pro filozofickou, nikoli matematickou diskusi). Dokázáním, že existuje (nekonečně) mnoho možných velikostí pro nekonečné množiny, Cantor prokázal, že teorie množin není triviální a je třeba ji prostudovat. Teorie množin začala hrát v moderní matematice roli základní teorie v tom smyslu, že interpretuje tvrzení o matematických objektech (například číslech a funkcích) ze všech tradičních oblastí matematiky (jako je algebra , analýza a topologie ) v jediné teorii a poskytuje standardní sadu axiomů k jejich prokázání nebo vyvrácení. Základní pojmy teorie množin se nyní používají v celé matematice.

V jednom ze svých prvních příspěvků Cantor dokázal, že množina reálných čísel je „početnější“ než množina přirozených čísel ; toto poprvé ukázalo, že existuje nekonečné množiny různých velikostí . Byl také prvním, kdo ocenil důležitost korespondencí jeden na jednoho (dále jen „ korespondence 1 na 1“) v teorii množin. Tento koncept použil k definování konečných a nekonečných množin , přičemž jejich rozdělení rozdělil na počitatelné (nebo spočitatelně nekonečné) množiny a nepočítatelné množiny (nepočítaně nekonečné množiny).

Cantor vyvinul důležité pojmy v topologii a jejich vztah k mohutnosti . Ukázal například, že sada Cantor , objevená Henrym Johnem Stephenem Smithem v roce 1875, není nikde hustá , ale má stejnou mohutnost jako množina všech reálných čísel, zatímco racionály jsou všude husté, ale počitatelné. Ukázal také, že všechny spočitatelné husté lineární řády bez koncových bodů jsou řádově izomorfní k racionálním číslům .

Cantor zavedena základní konstrukce v teorie množin, jako je napájecí sady ze sady A , což je množina všech možných podmnožin z A . Později dokázal, že velikost výkonové sady A je striktně větší než velikost A , i když A je nekonečná množina; tento výsledek se brzy stal známým jako Cantorova věta . Cantor vyvinul celou teorii a aritmetiku nekonečných množin , nazývaných kardinály a řadovky , což rozšířilo aritmetiku přirozených čísel. Jeho notace pro základní čísla byla hebrejská písmena ( aleph ) s přirozeným indexem čísel; pro ordinály použil řecké písmeno ω ( omega ). Tato notace se používá dodnes.

Continuum hypotézu , který byl zaveden Cantor, byl uveden David Hilbert jako první ze svých třiadvaceti otevřených problémů ve svém projevu v roce 1900 mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Cantorova práce také přitahovala pozornost mimo Hilbertovo oslavované encomium. Americký filozof Charles Sanders Peirce ocenil Cantorovu teorii množin a po veřejných přednáškách, které Cantor pronesl na prvním mezinárodním kongresu matematiků konaném v Curychu v roce 1897, vyjádřili obdiv také Adolf Hurwitz a Jacques Hadamard . Na tomto kongresu Cantor obnovil své přátelství a korespondenci s Dedekindem. Od roku 1905 si Cantor dopisoval se svým britským obdivovatelem a překladatelem Philipem Jourdainem o historii teorie množin a o Cantorových náboženských představách. To bylo později zveřejněno, stejně jako několik jeho výkladových děl.

Teorie čísel, goniometrické řady a pořadové číslo

Prvních deset Cantorových prací se týkalo teorie čísel , tématu jeho diplomové práce. Na návrh Eduarda Heineho , profesora Halle, se Cantor obrátil k analýze . Heine navrhuje, aby Cantor vyřešit otevřený problém, který unikl Peter Gustav Lejeune Dirichletův , Rudolf Lipschitz , Bernhard Riemann , a Heine sám: jedinečnost reprezentace funkce pomocí trigonometrické řady . Cantor tento problém vyřešil v roce 1869. Během práce na tomto problému objevil transfinitní pořadové číslo, které se vyskytovalo jako indexy n v n -té odvozené sadě S n množiny S nul trigonometrické řady. Vzhledem k tomu, trigonometrické řady f (x) s S jako svůj soubor nul, Cantor objevil postup, který produkoval další trigonometrické řady, které měly S 1 jako jeho soubor nul, kde S 1 je množina koncových bodů v S . Pokud S k+1 je množina mezních bodů S k , pak by mohl sestrojit goniometrickou řadu, jejíž nuly jsou S k+1 . Protože sady S k byly uzavřeny, obsahovaly jejich koncové body a průnik nekonečné klesající posloupnosti množin S , S 1 , S 2 , S 3 , ... vytvořil limitní množinu, kterou bychom nyní nazvali S ω , a pak si všiml, že S ω bude muset mít také sadu mezních bodů S ω+1 atd. Měl příklady, které trvaly navždy, a tak zde byla přirozeně se vyskytující nekonečná posloupnost nekonečných čísel ω , ω  + 1, ω  + 2, ...

V letech 1870 a 1872, Cantor publikoval více dokumentů na trigonometrické řady, a rovněž papír definující iracionální čísla jako konvergentních sekvence z racionálních čísel . Dedekind, s nímž se Cantor spřátelil v roce 1872, citoval tento dokument později ten rok v novinách, kde poprvé představil svou oslavovanou definici skutečných čísel škrty Dedekind . Při rozšiřování pojmu čísla pomocí svého revolučního pojetí nekonečné mohutnosti byl Cantor paradoxně proti teoriím nekonečných mimik svých současníků Otto Stolze a Paula du Bois-Reymonda a popisoval je jako „ohavnost“ i „cholerový bacil“. matematika". Cantor také zveřejnil chybný „důkaz“ nesourodosti nekonečně malých .

Teorie množin

Ilustrace Cantorova diagonálního argumentu pro existenci nespočetných množin . Sekvence v dolní části se nemůže vyskytovat nikde v nekonečném seznamu sekvencí výše.

Počátek teorie množin jako odvětví matematiky je často poznamenán vydáním Cantorova článku z roku 1874 „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen“ („O vlastnosti sbírky všech skutečných algebraických čísel“). Tento papír byl prvním, který poskytl přísný důkaz, že existuje více než jeden druh nekonečna. Dříve se o všech nekonečných kolekcích implicitně předpokládalo, že jsou ekvinumerní (to znamená „stejné velikosti“ nebo stejného počtu prvků). Cantor dokázal, že shromažďování reálných čísel a shromažďování kladných celých čísel není rovnocenné. Jinými slovy, skutečná čísla nelze spočítat . Jeho důkaz se liší od diagonálního argumentu , který uvedl v roce 1891. Cantorův článek také obsahuje novou metodu konstrukce transcendentálních čísel . Transcendentální čísla poprvé sestrojil Joseph Liouville v roce 1844.

Tyto výsledky Cantor stanovil pomocí dvou konstrukcí. Jeho první konstrukce ukazuje, jak psát skutečná algebraická čísla jako posloupnost a 1 , a 2 , a 3 , .... Jinými slovy, skutečná algebraická čísla jsou spočítatelná. Cantor začíná svou druhou konstrukci s libovolným sledem reálných čísel. Pomocí této sekvence vytvoří vnořené intervaly, jejichž průsečík obsahuje skutečné číslo, které v sekvenci není. Protože každou posloupnost reálných čísel lze použít ke konstrukci reálného čísla, které není v posloupnosti, nelze skutečná čísla zapsat jako posloupnost - to znamená, že reálná čísla nelze spočítat. Použitím své konstrukce na posloupnost skutečných algebraických čísel Cantor vytvoří transcendentální číslo. Cantor poukazuje na to, že jeho konstrukce dokazují více - totiž poskytují nový důkaz Liouvilleovy věty: Každý interval obsahuje nekonečně mnoho transcendentálních čísel. Cantorův další článek obsahuje konstrukci, která dokazuje, že množina transcendentálních čísel má stejnou „sílu“ (viz níže) jako množina reálných čísel.

Mezi lety 1879 a 1884 Cantor publikoval sérii šesti článků v Mathematische Annalen, které dohromady tvořily úvod do jeho teorie množin. Ve stejné době narůstal odpor vůči Cantorovým myšlenkám v čele s Leopoldem Kroneckerem, který připustil matematické koncepty pouze tehdy, pokud je bylo možné sestrojit v konečném počtu kroků od přirozených čísel, což bral jako intuitivně dané. Pro Kroneckera byla Cantorova hierarchie nekonečností nepřípustná, protože přijetí konceptu skutečného nekonečna by otevřelo dveře paradoxům, které by zpochybnily platnost matematiky jako celku. Během tohoto období Cantor také představil sadu Cantor .

Pátý dokument z této série „ Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ („ Základy obecné teorie agregátů“ ), vydaný v roce 1883, byl nejdůležitějším ze šesti a byl vydán také jako samostatná monografie . Obsahoval Cantorovu odpověď jeho kritikům a ukázal, jak byla transfinitní čísla systematickým rozšířením přirozených čísel. Začíná definováním dobře uspořádaných sad. Pořadová čísla jsou pak představena jako typy objednávek dobře uspořádaných sad. Cantor poté definuje sčítání a násobení základních a řadových čísel. V roce 1885 Cantor rozšířil svou teorii typů řádů tak, že pořadová čísla se jednoduše stala zvláštním případem typů řádů.

V roce 1891 vydal dokument obsahující jeho elegantní „diagonální argument“ pro existenci nepočítatelné množiny. Byl použit stejný nápad dokázat cantorova věta : mohutnost elektrického souboru nastaveného A je přísně větší než mohutnost A . To stanovilo bohatost hierarchie nekonečných množin a základní a řadovou aritmetiku , kterou definoval Cantor. Jeho argument je zásadní při řešení problému zastavení a důkazu Gödelovy první věty o neúplnosti . Cantor napsal o Goldbachově domněnce v roce 1894.

Pasáž článku Georga Cantora s jeho stanovenou definicí

V letech 1895 a 1897 vydal Cantor dvoudílný referát v Mathematische Annalen pod redakcí Felixe Kleina ; toto byly jeho poslední významné články o teorii množin. První příspěvek začíná definováním množiny, podmnožiny atd. Způsoby, které by byly nyní do značné míry přijatelné. Zkontroluje se základní a řadová aritmetika. Cantor chtěl, aby druhý dokument obsahoval důkaz hypotézy kontinua, ale musel se spokojit s odhalením své teorie dobře uspořádaných množin a pořadových čísel. Cantor se pokouší dokázat, že pokud A a B jsou množiny s A ekvivalentní k podmnožině B a B ekvivalentní k podmnožině A , pak A a B jsou ekvivalentní. Ernst Schröder uvedl tuto větu o něco dříve, ale jeho důkaz, stejně jako Cantorův, byl chybný. Felix Bernstein předložil ve své doktorské práci z roku 1898 správný důkaz; odtud název Cantor – Bernstein – Schröderova věta .

Osobní korespondence

Hlavní článek: Bijection
Bijektivní funkce

Cantorův papír Crelle z roku 1874 jako první vyvolal pojem korespondence 1: 1 , ačkoli tuto frázi nepoužíval. Poté začal hledat korespondenci 1 ku 1 mezi body jednotkového čtverce a body segmentu jednotkové čáry . V dopise Richardu Dedekindovi z roku 1877 Cantor prokázal mnohem silnější výsledek: pro každé kladné celé číslo n existuje korespondence 1 ku 1 mezi body na segmentu jednotkové čáry a všemi body v n- dimenzionálním prostoru . O tomto objevu Cantor napsal Dedekindovi: „ Je le vois, mais je ne le crois pas! “ („Vidím to, ale nevěřím tomu!“) Výsledek, který považoval za tak úžasný, má důsledky pro geometrii a pojem dimenze .

V roce 1878 Cantor předložil do Crelle's Journal další dokument, ve kterém přesně definoval koncept korespondence 1: 1 a zavedl pojem „ moci “ (termín převzal od Jakoba Steinera ) nebo „ekvivalence“ množin: dvě sady jsou ekvivalentní (mají stejnou mocnost), pokud mezi nimi existuje korespondence 1: 1. Cantor definoval počitatelné množiny (nebo počitatelné množiny) jako množiny, které lze vložit do korespondence 1: 1 s přirozenými čísly , a dokázal, že racionální čísla jsou počitatelná. On také ukázal, že n rozměrný Euclidean prostoru R n má stejný výkon jako reálná čísla R , jak dělá countably nekonečné produkt kopií R . Zatímco jako koncept bezplatně používal počítatelnost, napsal slovo „počitatelné“ až v roce 1883. Cantor také diskutoval o svém uvažování o dimenzi a zdůraznil, že jeho mapování mezi jednotkovým intervalem a jednotkovým čtvercem nebylo spojité .

Tento dokument se nelíbil Kroneckerovi a Cantor ho chtěli stáhnout; Dedekind ho však přesvědčil, aby tak neučinil a Karl Weierstrass jeho vydání podpořil. Přesto Cantor už Crelleovi nikdy nic nepodal.

Hypotéza kontinua

Hlavní článek: Hypotéza kontinua

Cantor byl první, kdo zformuloval to, co se později stalo známým jako hypotéza kontinua nebo CH: neexistuje žádný soubor, jehož síla je větší než síla přirozených a menší než skutečných (nebo ekvivalentně, mohutnost realit je přesně taková alef-one, nikoli jen v nejmenším Aleph-One). Cantor věřil, že hypotéza kontinua je pravdivá, a snažil se ji mnoho let marně dokazovat . Jeho neschopnost dokázat hypotézu kontinua mu způsobila značnou úzkost.

Potíže, které měl Cantor při dokazování hypotézy kontinua, byly zdůrazněny pozdějším vývojem v oblasti matematiky: výsledek Kurta Gödela z roku 1940 a Paul Cohen z roku 1963 dohromady naznačují, že hypotézu kontinua nelze ani dokázat, ani vyvrátit pomocí standardního Zermela - Fraenkelova teorie množin plus axiom volby (kombinace označovaná jako „ ZFC “).

Absolutně nekonečná, dobře uspořádaná věta a paradoxy

V roce 1883 rozdělil Cantor nekonečno na transfinit a absolutno .

Transfinit je ve velikosti zvětšitelný, zatímco absolutní je nezvyšovatelný. Například řadová α je transfinitní, protože ji lze zvýšit na α + 1. Na druhé straně pořadové číslice tvoří absolutně nekonečnou posloupnost, kterou nelze zvětšit, protože k ní nelze přidat žádné větší pořadové číslo. V roce 1883 zavedl Cantor také zásadu řádného uspořádání „každou sadu lze dobře uspořádat“ a uvedl, že jde o „myšlenkový zákon“.

Cantor rozšířil svou práci o absolutním nekonečnu tím, že ji použil jako důkaz. Kolem roku 1895 začal svůj princip uspořádání dobře považovat za větu a pokusil se to dokázat. V roce 1899 poslal Dedekindovi důkaz ekvivalentní alefovy věty: mohutnost každé nekonečné množiny je aleph . Nejprve definoval dva typy multiplicit: konzistentní multiplicity (množiny) a nekonzistentní multiplicity (absolutně nekonečné multiplicity). Dále předpokládal, že ordinály tvoří množinu, dokázal, že to vede k rozporu, a dospěl k závěru, že ordinály tvoří nekonzistentní multiplicitu. Tuto nekonzistentní mnohost použil k prokázání alefovy věty. V roce 1932 Zermelo kritizoval stavbu v Cantorově důkazu.

Cantor se vyhnul paradoxům tím, že uznal, že existují dva typy multiplicit. V jeho teorii množin, když se předpokládá, že pořadnice tvoří množinu, výsledný rozpor implikuje pouze to, že pořadnice tvoří nekonzistentní multiplicitu. Naproti tomu Bertrand Russell považoval všechny kolekce za sady, což vede k paradoxům. V Russellově teorii množin tvoří ordinály množinu, takže výsledný rozpor znamená, že teorie je nekonzistentní . V letech 1901 až 1903 objevil Russell tři paradoxy naznačující, že jeho teorie množin je nekonzistentní: paradox Burali-Forti (který byl právě zmíněn), Cantorův paradox a Russellův paradox . Russell pojmenoval paradoxy po Cesare Burali-Forti a Cantorovi, přestože ani jeden z nich nevěřil, že našli paradoxy.

V roce 1908 vydal Zermelo svůj systém axiomů pro teorii množin . Měl dvě motivace pro rozvoj systému axiomu: odstranění paradoxů a zajištění jeho důkazu dobře uspořádané věty . Zermelo dokázal tuto větu v roce 1904 pomocí zvoleného axiomu , ale jeho důkaz byl kritizován z různých důvodů. Jeho reakce na kritiku zahrnovala jeho axiomový systém a nový důkaz dobře uspořádané věty. Jeho axiomy podporují tento nový důkaz a eliminují paradoxy omezováním tvorby množin.

V roce 1923 vyvinul John von Neumann systém axiomů, který eliminuje paradoxy použitím přístupu podobného Cantorovu - konkrétně identifikací sbírek, které nejsou sadami, a odlišným zacházením. Von Neumann prohlásil, že třída je příliš velká na to, aby byla množinou, pokud ji lze dát do souvztažnosti jeden s jedním se třídou všech sad. Definoval množinu jako třídu, která je členem nějaké třídy, a uvedl axiom: Třída není množina právě tehdy, pokud mezi ní a třídou všech množin existuje individuální korespondence. Tento axiom znamená, že tyto velké třídy nejsou sady, což eliminuje paradoxy, protože nemohou být členy žádné třídy. Von Neumann také použil svůj axiom k prokázání dobře uspořádané věty: Stejně jako Cantor předpokládal, že ordinály tvoří množinu. Výsledný rozpor znamená, že třída všech pořadových čísel není množina. Pak jeho axiom poskytuje individuální korespondenci mezi touto třídou a třídou všech množin. Tato korespondence dobře řadí třídu všech množin, z čehož vyplývá dobře uspořádaná věta. V roce 1930 definoval Zermelo modely teorie množin, které splňují von Neumannův axiom .

Filozofie, náboženství, literatura a Cantorova matematika

Koncept existence skutečného nekonečna byl důležitým společným zájmem v oblastech matematiky, filozofie a náboženství. Zachování pravoslaví vztahu mezi Bohem a matematikou, i když ne ve stejné formě, jakou zastávali jeho kritici, bylo pro Cantora dlouho starostí. Přímo se tomuto průniku mezi těmito disciplínami věnoval v úvodu svého Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre , kde zdůraznil souvislost mezi svým pohledem na nekonečno a filozofickým. Pro Cantora byly jeho matematické pohledy neodmyslitelně spojeny s jejich filozofickými a teologickými důsledky - identifikoval Absolutní nekonečno s Bohem a domníval se, že jeho práce na transfinitních číslech mu byla přímo sdělena Bohem, který si vybral Cantora, aby je odhalil svět. Byl oddaným luteránem, jehož výslovná křesťanská víra formovala jeho filozofii vědy. Joseph Dauben vysledoval účinek Cantorova křesťanského přesvědčení na vývoj teorie transfinitních množin.

Debata mezi matematiky vyrostla z opačných názorů ve filozofii matematiky ohledně podstaty skutečného nekonečna. Někteří zastávali názor, že nekonečno je abstrakce, která není matematicky legitimní, a popřeli jeho existenci. Proti Cantorovým teoriím se v této věci postavili matematici ze tří hlavních myšlenkových směrů ( konstruktivismus a jeho dvě odnože, intuicionismus a finitismus ). Pro konstruktivisty, jako je Kronecker, toto odmítnutí skutečného nekonečna pramení ze zásadního nesouhlasu s myšlenkou, že nekonstruktivní důkazy, jako je Cantorův diagonální argument, jsou dostatečným důkazem toho, že něco existuje, a naopak si myslí, že jsou nutné konstruktivní důkazy . Intuicionismus také odmítá myšlenku, že skutečné nekonečno je výrazem jakéhokoli druhu reality, ale dospívá k rozhodnutí jinou cestou než konstruktivismem. Zaprvé, Cantorův argument spočívá na logice, která má prokázat existenci transfinitních čísel jako skutečné matematické entity, zatímco intuici si myslí, že matematické entity nelze redukovat na logické věty, které mají původ v intuici mysli. Za druhé, pojem nekonečna jako výraz reality je sám o sobě v intuicionismu zakázán, protože lidská mysl nedokáže intuitivně sestrojit nekonečnou množinu. Matematici, jako L. E. J. Brouwer a především Henri Poincaré přijal intuitionist postoj proti Cantorově práce. A konečně, Wittgensteinovy útoky byly finitistické: věřil, že Cantorův diagonální argument zkombinoval intenzitu množiny základních nebo reálných čísel s jejím rozšířením , a tak spojil koncept pravidel pro generování sady se skutečnou sadou.

Někteří křesťanští teologové považovali Cantorovu práci za výzvu k jedinečnosti absolutního nekonečna v Boží přirozenosti. Zejména neo-tomistickou myslitelé viděl existenci skutečné nekonečna, která se skládala z něčeho jiného než Boha jako by byla ohrožena „Boží výhradní nárok na svrchovanou nekonečna“. Cantor silně věřil, že tento pohled je mylnou interpretací nekonečna, a byl přesvědčen, že teorie množin by mohla pomoci tuto chybu napravit: „... transfinitní druhy jsou stejně k dispozici záměrům Stvořitele a Jeho absolutní bezmezné vůli jako jsou konečná čísla. "

Cantor také věřil, že jeho teorie čísel transfinite běžel rozporu s oběma materialismu a determinismu  - a byl v šoku, když si uvědomil, že on byl jediný člen fakulty v Halle, který se nebude držet na deterministické filozofické přesvědčení.

Pro Cantora bylo důležité, že jeho filozofie poskytuje „organické vysvětlení“ přírody, a ve svém dokumentu Grundlagen z roku 1883 řekl, že k takovému vysvětlení by mohlo dojít pouze čerpáním zdrojů filozofie Spinoza a Leibniz. Při těchto tvrzeních mohl být Cantor ovlivněn FA Trendelenburg , jehož přednáškové kurzy navštěvoval v Berlíně, a na oplátku Cantor vytvořil latinský komentář ke knize 1 Spinozovy etiky . FA Trendelenburg byl také zkoušejícím Cantor's Habilitationsschrift .

V roce 1888 Cantor publikoval svou korespondenci s několika filozofy o filozofických implikacích jeho teorie množin. V rozsáhlém pokusu přesvědčit ostatní křesťanské myslitele a úřady, aby přijaly jeho názory, si Cantor dopisoval s křesťanskými filozofy, jako byl Tilman Pesch a Joseph Hontheim , a také s teology, jako je kardinál Johann Baptist Franzelin , který kdysi odpověděl rovněním teorie transfinitu čísla s panteismem . Cantor dokonce poslal jeden dopis přímo samotnému papeži Lvu XIII . A adresoval mu několik brožur.

Cantorova filozofie o povaze čísel ho vedla k potvrzení víry ve svobodu matematiky k vytváření a dokazování pojmů mimo oblast fyzických jevů jako výrazy ve vnitřní realitě. Jediným omezením tohoto metafyzického systému je, že všechny matematické koncepty musí být bez vnitřních rozporů a že vyplývají z existujících definic, axiomů a vět. Tato víra je shrnuta v jeho tvrzení, že „podstatou matematiky je její svoboda“. Tyto myšlenky jsou paralelní s myšlenkami Edmunda Husserla , s nímž se Cantor setkal v Halle.

Mezitím se sám Cantor zuřivě stavěl proti infinitesimálům a popisoval je jako „ohavnost“ i „cholerový bacil matematiky“.

Cantorův dokument z roku 1883 odhaluje, že si byl dobře vědom opozice, se kterou se jeho myšlenky setkávaly: „... Uvědomuji si, že se v tomto podniku stavím do určité opozice vůči názorům široce zastávaným ohledně matematického nekonečna a vůči názorům často hájeným na přírodu. čísel. "

Proto věnuje velký prostor ospravedlňování své dřívější práce a tvrdí, že matematické koncepty lze volně zavádět, pokud nejsou v rozporu a definovány v pojmech dříve přijatých. Cituje také Aristoteles, René Descartes , George Berkeley , Gottfried Leibniz a Bernard Bolzano o nekonečnu. Místo toho vždy silně odmítal Kantovu filozofii, a to ve sféře filozofie matematiky i metafyziky. Sdílel motto B. Russella „Kant nebo Cantor“ a definoval Kant „tamtéž sofistikovaný Filištín, který znal tak málo matematiky“.

Cantorův původ

Název na pamětní desce (v ruštině): „V této budově se narodil a žil v letech 1845 až 1854 velký matematik a tvůrce teorie množin Georg Cantor“, Vasilievský ostrov , Petrohrad.

Cantorovi prarodiče z otcovy strany pocházeli z Kodaně a uprchli do Ruska před narušením napoleonských válek . Přímých informací o nich je velmi málo. Cantorův otec Georg Waldemar Cantor byl vzděláván v luteránské misi v Petrohradě a jeho korespondence se synem je oba ukazuje jako oddané luterány. O původu nebo vzdělání Georga Waldemara se toho ví jen velmi málo. Cantorova matka Maria Anna Böhmová byla Rakušanka narozená v Petrohradě a pokřtěná římskokatolická ; po svatbě konvertovala k protestantismu . Existuje však dopis od Cantorova bratra Louise jejich matce, kde je uvedeno:

Více informací o Juden abstammen und Ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen Lieber ...

(„I kdybychom byli desetkrát potomky Židů, a přestože jsem v zásadě zcela zastáncem rovných práv Hebrejů, v sociálním životě dávám přednost křesťanům ...“), což by se dalo číst tak, že to znamená měla židovský původ.

Podle autorů životopisů Erica Temple Bell byl Cantor židovského původu, přestože oba rodiče byli pokřtěni. V článku z roku 1971 s názvem „Směrem k biografii Georga Cantora“ britský historik matematiky Ivor Grattan-Guinness zmiňuje ( Annals of Science 27, s. 345–391, 1971), že nebyl schopen najít důkazy o židovském původu. (Také uvádí, že Cantorova manželka Vally Guttmannová byla Židovka).

V dopise napsaném Paulu Tannerymu v roce 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paris, 1934, s. 306) Cantor uvádí, že jeho prarodiče z otcovy strany byli členy sefardské židovské komunity v Kodani. Cantor při popisu svého otce konkrétně uvádí: „Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde ....“ („Narodil se v Kodani z židovských (rozsvíceno:‚ izraelských ‘) rodičů z místní portugalsko-židovská komunita. “) Kromě toho byl Cantorův prastrýc z matčiny strany, maďarský houslista Josef Böhm , popisován jako židovský, což může znamenat, že Cantorova matka alespoň částečně pocházela z maďarské židovské komunity.

V dopise Bertrandu Russellovi popsal Cantor svůj původ a vnímání sebe sama takto:

Můj otec ani moje matka nebyli z německé krve, první byl Dán, rodený v Kopenhagenu, moje matka rakouského maďarského původu. Musíte vědět, pane, že nejsem pravidelný Germain , protože jsem se narodil 3. března 1845 v Saint Peterborough, hlavním městě Ruska, ale šel jsem se svým otcem a matkou a bratry a sestrou, jedenáct let v roce 1856 , do Německa.

Během třicátých let byla dokumentována prohlášení, která zpochybňovala tento židovský původ:

Častěji [tj. Než původ matky] byla diskutována otázka, zda Georg Cantor byl židovského původu. O tom je uvedeno v oznámení dánského genealogického institutu v Kodani z roku 1937 o jeho otci: „Tímto se dosvědčuje, že Georg Woldemar Cantor, narozený 1809 nebo 1814, není přítomen v registrech židovské komunity a že zcela bezpochyby nebyl Žid ... “

Životopisy

Až do 70. let 20. století byly hlavními akademickými publikacemi o Cantoru dvě krátké monografie Arthura Moritze Schönfliesa (1927) -převážně korespondence s Mittag-Lefflerem-a Fraenkela (1930). Oba byli z druhé a třetí ruky; ani jeden neměl moc na svůj osobní život. Mezera byla z velké části zaplněn Eric Temple Bell ‚s muži z matematiky (1937), který jedním z moderních životopisů Cantorův popisuje jako‚snad nejčtenější moderní knihu o historii matematiky ‘; a jako „jeden z nejhorších“. Bell představuje Cantorův vztah se svým otcem jako Oedipal , Cantorovy rozdíly s Kroneckerem jako hádka mezi dvěma Židy a Cantorovo šílenství jako romantické zoufalství nad tím, že si nezískal přijetí za svou matematiku. Grattan-Guinness (1971) zjistil, že žádné z těchto tvrzení nebylo pravdivé, ale vzhledem k absenci jakéhokoli jiného příběhu je lze nalézt v mnoha knihách mezidobí. Existují další legendy, nezávislé na Bellovi - včetně legendy, která označuje Cantorova otce za nalezence, kterou do Petrohradu poslali neznámí rodiče. Kritika Bellovy knihy je obsažena v biografii Josepha Daubena . Píše Dauben:

Cantor věnoval část své nejvíce vituperativní korespondence a také části Beiträge útoku na to, co v jednom bodě popsal jako „ nekonečně malý Cholera bacillus matematiky“, který se z Německa rozšířil díky práci Thomae , du Bois Reymond a Stolz , nakazit italskou matematiku ... Jakékoli přijetí nekonečně malých čísel nutně znamenalo, že jeho vlastní teorie čísel byla neúplná. Přijetí díla Thomaeho, du Bois-Reymonda, Stolze a Veronese tedy znamenalo popřít dokonalost Cantorova vlastního stvoření. Je pochopitelné, že Cantor zahájil důkladnou kampaň, která měla všemožně zdiskreditovat Veroneseinu práci.

Viz také

Poznámky

Reference

Bibliografie

Se staršími prameny z Cantorova života je třeba zacházet opatrně. Viz část § Životopisy výše.

Primární literatura v angličtině

Primární literatura v němčině

Sekundární literatura

  • Aczel, Amir D. (2000). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Search for Infinity . New York: Four Walls Eight Windows Publishing.. ISBN  0-7607-7778-0 . Populární léčba nekonečna, ve které je Cantor často zmiňován.
  • Dauben, Joseph W. (červen 1983). „Georg Cantor a původy teorie transfinitních množin“. Scientific American . 248 (6): 122–131. Bibcode : 1983SciAm.248f.122D . doi : 10,1038/scientificamerican0683-122 .
  • Ferreirós, José (2007). Labyrint myšlenky: Historie teorie množin a její role v matematickém myšlení . Basilej, Švýcarsko: Birkhäuser.. ISBN  3-7643-8349-6 Obsahuje podrobné zpracování příspěvků Cantora i Dedekinda k teorii množin.
  • Halmos, Paul (1998) [1960]. Naivní teorie množin . New York a Berlín: Springer.. ISBN  3-540-90092-6
  • Hilbert, David (1926). „Über das Unendliche“ . Mathematische Annalen . 95 : 161–190. doi : 10,1007/BF01206605 . S2CID  121888793 .
  • Hill, CO; Rosado Haddock, GE (2000). Husserl nebo Frege? Význam, objektivita a matematika . Chicago: Otevřený dvůr.. ISBN  0-8126-9538-0 Tři kapitoly a 18 rejstříkových záznamů o Cantoru .
  • Meschkowski, Herbert (1983). Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, život, práce a vliv, v němčině) . Vieweg, Braunschweig.
  • Newstead, Anne (2009). „Cantor on Infinity in Nature, Number, and the Divine Mind“ [1] , American Catholic Philosophical Quarterly , 83 (4): 532–553, https://doi.org/10.5840/acpq200983444 . S uznáním průkopnické historické práce Daubena tento článek dále podrobně pojednává o Cantorově vztahu k filozofii Spinoza a Leibniz a o jeho zapojení do Pantheismusstreit . Krátce je zmíněno Cantorovo učení z FATrendelenburgu.
  • Penrose, Roger (2004). Cesta do reality . Alfred A. Knopf.. ISBN  0-679-77631-1 Kapitola 16 ilustruje, jak kantorské myšlení intrikuje předního současného teoretického fyzika .
  • Rucker, Rudy (2005) [1982]. Nekonečno a mysl . Princeton University Press.. ISBN  0-553-25531-2 Zabývá se podobnými tématy jako Aczel, ale hlouběji.
  • Rodych, Victor (2007). „Wittgensteinova filozofie matematiky“ . V Edward N. Zalta (ed.). Stanfordská encyklopedie filozofie . Metaphysics Research Lab, Stanford University..
  • Leonida Lazzari, L'infinito di Cantor . Editrice Pitagora, Bologna, 2008.

externí odkazy