Funkce Gompertz - Gompertz function

Gompertz křivka nebo funkce Gompertz je druh matematického modelu pro časové řady , pojmenoval Benjamin Gompertzova (1779-1865). Je to sigmoidní funkce, která popisuje růst jako nejpomalejší na začátku a na konci daného časového období. K pravé nebo budoucí hodnotové asymptotě funkce přistupuje křivka mnohem postupněji než k asymptotě levé nebo nižší hodnoty. To je v kontrastu s jednoduchou logistickou funkcí, ve které se k oběma asymptotám křivka přibližuje symetricky. Je to zvláštní případ zobecněné logistické funkce . Funkce byla původně navržena tak, aby popisovala lidskou úmrtnost, ale od té doby byla upravena tak, aby byla aplikována v biologii, s ohledem na popis populací.

Dějiny

Benjamin Gompertz (1779–1865) byl pojistný matematik v Londýně, který měl soukromé vzdělání. Byl zvolen členem Královské společnosti v roce 1819. Funkce byla poprvé představena v jeho příspěvku ze dne 16. června 1825 v dolní části stránky 518. Funkce Gompertz zredukovala významnou sbírku dat v životních tabulkách do jediné funkce. Vychází z předpokladu, že úmrtnost exponenciálně roste s tím, jak člověk stárne. Výsledná Gompertzova funkce je pro počet jedinců žijících v daném věku jako funkce věku.

Dřívější práce na konstrukci funkčních modelů úmrtnosti provedl francouzský matematik Abraham de Moivre (1667–1754) v 50. letech 17. století. De Moivre však předpokládal, že úmrtnost je konstantní. Rozšíření Gompertzovy práce navrhl anglický pojistný matematik a matematik William Matthew Makeham (1826–1891) v roce 1860, který přidal ke Gompertzově exponenciálně rostoucí míře konstantní úmrtnost.


Grafy Gompertzových křivek ukazující účinek změny jedné z a, b, c při zachování ostatních konstantních
Různé
Různé
Různé

Vzorec

kde
  • a je asymptota, protože
  • b nastavuje posunutí podél osy x (překládá graf doleva nebo doprava). Když b = log (2), f (0) = a/2, také nazývaný poloviční bod.
  • c nastavuje rychlost růstu ( y škálování)
  • e je Eulerovo číslo ( e = 2,71828 ...)

Vlastnosti

Polovinu cesty najdeme řešením pro t.

Bod maximální rychlosti nárůstu ( ) se zjistí řešením pro t.
Zvýšení o je

Derivace

Funkční křivku lze odvodit z Gompertzova zákona o úmrtnosti , který uvádí, že míra absolutní úmrtnosti (rozpadu) exponenciálně klesá s aktuální velikostí. Matematicky,

kde

  • je rychlost růstu
  • k je libovolná konstanta.

Příklad použití

Mezi příklady použití křivek Gompertz patří:

  • Využívání mobilních telefonů , kde byly zpočátku vysoké náklady (takže příjem byl pomalý), následovalo období rychlého růstu, po kterém následovalo zpomalení příjmu, když bylo dosaženo nasycení
  • Populace ve stísněném prostoru, protože porodnost se nejprve zvyšuje a poté se zpomaluje, když je dosaženo limitů zdrojů
  • Modelování růstu nádorů
  • Modelování dopadu trhu na finance a agregované subnárodní půjčky dynamicky.
  • Podrobný popis růstu populace u dravých zvířat s ohledem na vztahy predátor-kořist
  • Modelování bakteriálních buněk v populaci
  • Zkoumání šíření nemoci

Aplikace

Gompertzova křivka

Populační biologie se zabývá zejména funkcí Gompertz. Tato funkce je zvláště užitečná při popisu rychlého růstu určité populace organismů, přičemž je také schopna vysvětlit případnou horizontální asymptotu, jakmile je stanovena nosnost (počet buněk v buňce/počet obyvatel).

Je modelován následovně:

kde:

  • t je čas
  • N 0 je počáteční množství buněk
  • N I je počet plató buněk/populace
  • b je počáteční rychlost růstu nádoru

Tato funkce zohledňující počet plató buněk je užitečná při přesném napodobování dynamiky populace v reálném životě . Funkce také dodržuje funkci sigmoidu , což je nejrozšířenější konvence obecně popisující růst populace. Funkce navíc využívá počáteční rychlost růstu, která je běžně pozorována v populacích bakteriálních a rakovinných buněk, které procházejí fází log a rychle rostou. Navzdory své popularitě je funkční počáteční rychlost růstu nádoru obtížně předurčitelná s ohledem na různé mikrokosmy přítomné u pacienta nebo různé faktory prostředí v případě populační biologie. U pacientů s rakovinou hrají při určování rychlosti růstu nádoru roli faktory jako věk, strava, etnický původ, genetické dispozice, metabolismus , životní styl a původ metastáz . Očekává se také, že se na základě těchto faktorů změní nosnost, a proto je popsání takových jevů obtížné.

Metabolická křivka

Metabolická funkce se zabývá zejména účtováním rychlosti metabolismu v organismu. Tuto funkci lze použít ke sledování nádorových buněk; rychlost metabolismu je dynamická a je velmi flexibilní, takže je přesnější v podrobném popisu růstu rakoviny. Metabolická křivka bere v úvahu energii, kterou tělo poskytuje při udržování a vytváření tkáně. Tuto energii lze považovat za metabolismus a v buněčném dělení se řídí specifickým vzorcem. K modelování takového růstu lze použít úsporu energie , bez ohledu na různé hmotnosti a doby vývoje. Všechny taxony sdílejí podobný vzorec růstu a tento model ve výsledku považuje buněčné dělení za základ vývoje nádoru.

  • B = energetický organismus využívá v klidu
  • N C = počet buněk v daném organismu
  • B C = rychlost metabolismu jednotlivé buňky
  • N C B C = energie potřebná k udržení stávající tkáně
  • E C = energie potřebná k vytvoření nové tkáně z jednotlivé buňky

Rozlišování mezi energií použitou v klidu a rychlostí metabolické rychlosti umožňuje modelu přesněji určit rychlost růstu. Energie v klidu je nižší než energie použitá k udržení tkáně a společně představují energii potřebnou k udržení stávající tkáně. Použití těchto dvou faktorů spolu s energií potřebnou k vytvoření nové tkáně komplexně mapuje rychlost růstu a navíc vede k přesnému znázornění fáze zpoždění .

Růst nádorů

V 60. letech 20. století AK Laird poprvé úspěšně použil Gompertzovu křivku, aby odpovídal údajům o růstu nádorů. Ve skutečnosti jsou nádory buněčné populace rostoucí v omezeném prostoru, kde je dostupnost živin omezená. Označením velikosti nádoru jako X (t) je užitečné napsat Gompertzovu křivku následovně:

kde:

  • X (0) je velikost tumoru v počátečním čase pozorování;
  • K je nosnost, tj. Maximální velikost, které lze dosáhnout s dostupnými živinami. Ve skutečnosti je to:

nezávisle na X (0)> 0. Všimněte si, že při absenci terapií atd. Je to obvykle X (0) <K, zatímco v přítomnosti terapií to může být X (0)> K;

  • α je konstanta související s proliferační schopností buněk.
  • log () odkazuje na přirozený log .

Je možné ukázat, že dynamika X (t) se řídí Gompertzovou diferenciální rovnicí:

tj. je v rozdělené formě:

F (X) je okamžitá rychlost proliferace buněčné populace, jejíž klesající povaha je dána konkurencí o živiny v důsledku nárůstu buněčné populace, podobně jako rychlost logistického růstu. Existuje však zásadní rozdíl: v logistickém případě je míra proliferace u malé buněčné populace konečná:

vzhledem k tomu, že v případě Gompertz je míra šíření neomezená:

Jak si všimli Steel a Wheldon, míra proliferace buněčné populace je nakonec omezena časem buněčného dělení. To by tedy mohl být důkaz, že Gompertzova rovnice není dobrá pro modelování růstu malých nádorů. Kromě toho bylo v poslední době zaznamenáno, že včetně interakce s imunitním systémem by Gompertz a další zákony charakterizované neomezeným F (0) vylučovaly možnost imunitního dohledu.

Teoretická studie Fornalski et al. ukázal biofyzikální základ Gompertzovy křivky pro růst rakoviny s výjimkou velmi rané fáze, kde je vhodnější parabolická funkce. Zjistili také, že Gompertzova křivka popisuje nejtypičtější případ mezi širokou rodinou funkcí dynamiky rakoviny.

Růst Gompertz a logistický růst

Gompertzova diferenciální rovnice

je limitující případ zobecněné logistické diferenciální rovnice

(kde je kladné reálné číslo) od

.

V grafu zobecněné logistické funkce when je navíc inflexní bod

a jeden v grafu funkce Gompertz, když

.

Modelování trajektorie infekce COVID-19

Zobecněná logistická funkce (Richardsova růstová křivka) v epidemiologickém modelování

Generalizované logistická funkce , také nazývána Richards růstová křivka, je široce používán v modelování COVID-19 infekce trajektorie. Trajektorie infekce je denní časová řada dat kumulativního počtu nakažených případů pro subjekt, jako je země, město, stát atd. V literatuře existují varianty parametrizace: jednou z často používaných forem je

kde jsou reálná čísla, a je kladné reálné číslo. Flexibilita křivky je dána parametrem : (i) pokud se pak křivka redukuje na logistickou funkci, a (ii) pokud konverguje k nule, pak křivka konverguje k Gompertzově funkci. V epidemiologické modelování , a představují konečné velikosti epidemie, míra infekce, a lag fáze, v tomto pořadí. Když jsou označeni, podívejte se na pravý panel na ukázkovou trajektorii infekce .

Extrapolované trajektorie infekcí ve 40 zemích vážně zasažených COVID-19 a velkým průměrem populace do 14. května


Jednou z výhod používání růstové funkce, jako je generalizovaná logistická funkce v epidemiologickém modelování, je její relativně snadné rozšíření na rámec víceúrovňového modelu pomocí růstové funkce k popisu trajektorií infekce od více subjektů (země, města, státy atd.). Viz výše uvedený obrázek. Takový rámec modelování lze také široce nazývat nelineární model se smíšenými efekty nebo hierarchický nelineární model.


Gomp-ex zákon růstu

Na základě výše uvedených úvah Wheldon navrhl matematický model růstu nádoru, nazývaný Gomp-Ex model, který mírně modifikuje Gompertzův zákon. V modelu Gomp-Ex se předpokládá, že zpočátku neexistuje žádná soutěž o zdroje, takže se buněčná populace rozšiřuje podle exponenciálního zákona. Existuje však kritický práh velikosti , který pro . Ve většině scénářů platí předpoklad, že neexistuje žádná soutěž o zdroje. Může to však být ovlivněno omezujícími faktory , které vyžadují vytvoření proměnných dílčích faktorů.

růst se řídí Gompertzovým zákonem:

aby:

Zde je několik numerických odhadů pro :

  • pro lidské nádory
  • pro myší (myší) nádory

Viz také

Reference

externí odkazy