Graf funkce - Graph of a function

Graf funkce ${\ Displaystyle f (x) = x^{3} -9x.}$

V matematice je graf z funkce je množina uspořádaných dvojic , kde V obvyklém případě, kdy a jsou reálná čísla , tyto dvojice jsou kartézské souřadnice bodů ve dvourozměrném prostoru a tím tvoří podmnožinu této rovině. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle f (x) = y.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$

V případě funkcí dvou proměnných, tj. Funkcí, jejichž doména se skládá z dvojic, graf obvykle odkazuje na množinu uspořádaných trojic, kde místo dvojic jako ve výše uvedené definici. Tato množina je podmnožinou trojrozměrného prostoru ; pro spojitou reálně oceňovanou funkci dvou reálných proměnných je to plocha . ${\ displaystyle (x, y),}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ Displaystyle f (x, y) = z,}$${\ displaystyle ((x, y), z)}$

Graf funkce je speciální případ relace .

Ve vědě , strojírenství , technologii , financích a dalších oblastech jsou grafy nástroji používanými k mnoha účelům. V nejjednodušším případě je jedna proměnná vykreslena jako funkce jiné, obvykle pomocí obdélníkových os ; podrobnosti viz Plot (grafika) .

V moderních základech matematiky a typicky v teorii množin je funkce ve skutečnosti stejná jako její graf. Nicméně, to je často užitečné pro zobrazení funkce jako mapování , které se skládají jen ze vztahu mezi vstupem a výstupem, ale také tím, sada je doména, a která sada je codomain . Je třeba vzít v úvahu například tvrzení, že funkce je na ( surjektivní ) nebo ne na doméně. Graf funkce sám o sobě neurčuje doménu. Je běžné používat termíny funkce a graf funkce, protože i když jsou považovány za stejný objekt, naznačují jeho prohlížení z jiné perspektivy.

Graf funkce v intervalu [−2,+3]. Zobrazeny jsou také dva skutečné kořeny a lokální minimum, které jsou v intervalu.${\ Displaystyle f (x) = x^{4} -4x}$

Definice

Vzhledem k tomu, že mapování jinými slovy znamená funkci společně s její doménou a doménou, graf mapování je množina ${\ Displaystyle f: X \ až Y,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y,}$

$${\ Displaystyle G (f) = \ {(x, f (x)): x \ v X \},}$$

což je podmnožina . V abstraktní definici funkce se ve skutečnosti rovná${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle G (f)}$${\ displaystyle f.}$

Lze pozorovat, že pokud, pak je graf podmnožinou (přesně řečeno je, ale lze jej vložit do přirozeného izomorfismu). ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{m},}$${\ displaystyle G (f)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n+m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ times \ mathbb {R} ^{m},}$

Příklady

Funkce jedné proměnné

Graf funkce ${\ Displaystyle f (x, y) = \ sin \ left (x^{2} \ right) \ cdot \ cos \ left (y^{2} \ right).}$

Graf funkce definované pomocí ${\ Displaystyle f: \ {1,2,3 \} \ to \ {a, b, c, d \}}$

$${\ Displaystyle f (x) = {\ begin {cases} a, & {\ text {if}} x = 1, \\ d, & {\ text {if}} x = 2, \\ c, & { \ text {if}} x = 3, \ end {cases}}}$$

${\ Displaystyle \ {1,2,3 \} \ times \ {a, b, c, d \}}$

$${\ Displaystyle G (f) = \ {(1, a), (2, d), (3, c) \}.}$$

Z grafu je doména obnovena jako sada první komponenty každého páru v grafu . Podobně lze rozsah obnovit jako . Kodoménu však nelze určit pouze z grafu. ${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$${\ Displaystyle \ {1,2,3 \} = \ {x: \ {\ text {existuje}} y, {\ text {takový, že}} (x, y) \ v G (f) \}}$${\ Displaystyle \ {a, c, d \} = \ {y: {\ text {existuje}} x, {\ text {takový, že}} (x, y) \ v G (f) \}}$${\ Displaystyle \ {a, b, c, d \}}$

Graf krychlového polynomu na skutečné přímce

$${\ Displaystyle f (x) = x^{3} -9x}$$

$${\ displaystyle \ {(x, x^{3} -9x): x {\ text {je skutečné číslo}} \}.}$$

Pokud je tato sada vykreslena na karteziánské rovině , výsledkem je křivka (viz obrázek).

Funkce dvou proměnných

Graf grafu také ukazuje jeho gradient promítaný na spodní rovinu.${\ Displaystyle f (x, y) =-\ left (\ cos \ left (x^{2} \ right)+\ cos \ left (y^{2} \ right) \ right)^{2},}$

Graf goniometrické funkce

$${\ Displaystyle f (x, y) = \ sin (x^{2}) \ cos (y^{2})}$$

$${\ Displaystyle \ {(x, y, \ sin (x^{2}) \ cos (y^{2})): x {\ text {and}} y {\ text {jsou reálná čísla}} \} .}$$

Pokud je tato sada vykreslena na trojrozměrném kartézském souřadném systému , výsledkem je plocha (viz obrázek).

Často je užitečné ukázat na grafu, gradient funkce a několik úrovňových křivek. Křivky úrovně lze mapovat na funkční plochu nebo je lze promítat na spodní rovinu. Druhý obrázek ukazuje takový nákres grafu funkce:

$${\ Displaystyle f (x, y) =-(\ cos (x^{2})+\ cos (y^{2}))^{2}.}$$

Zobecnění

Graf funkce je obsažen v karteziánském součinu množin. - letadlo je kartézský součin dvou linek, se nazývají a , zatímco válec je kartézský produkt přímky a kružnice, jejíž výška, poloměr a úhel přiřadit přesných místech bodů. Vláknové svazky nejsou karteziánské produkty, ale zdají se být zblízka. Odpovídající představa grafu na svazku vláken se nazývá řez . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y,}$

The řekněme, že multifunkční sada je graf${\ displaystyle {\ mathcal {R}}: X \ rightrightarrows Y,}$${\ displaystyle \ operatorname {gr} {\ mathcal {R}}: = \ left \ {(x, y) \ in X \ times Y: y \ in {\ mathcal {R}} (x) \ right \} .}$

Viz také

Reference

• Zălinescu, Constantin (30. července 2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 .

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „ Funkční graf “. Od MathWorld - webový zdroj Wolfram.