Číslo Grashof - Grashof number

Číslo Grashof ( Gr ) je číslo bezrozměrná v dynamiky tekutin a přenosu tepla , která aproximuje poměr vztlaku k viskózní síla působící na kapalinu. Často vzniká při studiu situací zahrnujících přirozenou konvekci a je analogický Reynoldsovu číslu . Věří se, že je pojmenována po Franzi Grashofovi . Ačkoli toto seskupení termínů již bylo používáno, bylo pojmenováno až kolem roku 1921, 28 let po smrti Franze Grashofa . Není úplně jasné, proč po něm skupina dostala jméno.

Definice

Přenos tepla

Volná konvekce je způsobena změnou hustoty tekutiny v důsledku změny teploty nebo gradientu. Hustota obvykle klesá v důsledku zvýšení teploty a způsobuje vzestup tekutiny. Tento pohyb je způsoben vztlakovou silou. Hlavní silou, která odolává pohybu, je viskózní síla. Grashofovo číslo je způsob, jak kvantifikovat protichůdné síly.

Číslo Grashof je:

${\ Displaystyle \ mathrm {Gr} _ {L} = {\ frac {g \ beta (T_ {s} -T _ {\ infty}) L ^{3}} {\ nu ^{2}}} \,}$ pro svislé ploché desky

${\ Displaystyle \ mathrm {Gr} _ {D} = {\ frac {g \ beta (T_ {s} -T _ {\ infty}) D ^{3}} {\ nu ^{2}}} \,}$ pro potrubí

${\ Displaystyle \ mathrm {Gr} _ {D} = {\ frac {g \ beta (T_ {s} -T _ {\ infty}) D ^{3}} {\ nu ^{2}}} \,}$ pro blafová těla

kde:

g je zrychlení způsobené gravitací Země

β je koeficient tepelné roztažnosti (rovný přibližně 1/ T , pro ideální plyny)

T _s je povrchová teplota

T _∞ je objemová teplota

L je svislá délka

D je průměr

ν je kinematická viskozita .

Předpisy L a D udávají základ stupnice délky pro Grashofovo číslo.

Přechod k turbulentnímu proudění nastává v rozsahu 108 ⁸ <Gr _L <10 ⁹ pro přirozené proudění ze svislých plochých desek. Při vyšších počtech Grashofu je mezní vrstva turbulentní; při nižším počtu Grashof, mezní vrstva je laminární, která se pohybuje v rozmezí 10 ³ <Gr _L <10 ⁶ .

Hromadný přenos

Existuje analogická forma Grashofova čísla používaná v případech problémů s přenosem hmoty přirozenou konvekcí . V případě přenosu hmoty je přirozená konvekce způsobena spíše koncentračními gradienty než teplotními gradienty.

${\ Displaystyle \ mathrm {Gr} _ {c} = {\ frac {g \ beta ^{*} (C_ {a, s} -C_ {a, a}) L ^{3}} {\ nu ^{ 2}}}}$

kde:

${\ Displaystyle \ beta ^{*} =-{\ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné C_ {a}}} \ vpravo) _ {T, p}}$

a:

g je zrychlení způsobené gravitací Země

C _{a, s} je koncentrace druhů a na povrchu

Ca _{, a} je koncentrace druhů a v okolním prostředí

L je charakteristická délka

ν je kinematická viskozita

ρ je hustota tekutiny

C je koncentrace druhu A

T je teplota (konstantní)

p je tlak (konstantní).

Vztah k jiným bezrozměrným číslům

Níže uvedené Rayleighovo číslo je bezrozměrné číslo, které charakterizuje problémy s prouděním při přenosu tepla. Pro Rayleighovo číslo existuje kritická hodnota , nad kterou dochází k pohybu tekutin.

${\ Displaystyle \ mathrm {Ra} _ {x} = \ mathrm {Gr} _ {x} \ mathrm {Pr}}$

Poměr Grashofova čísla k druhé mocnině Reynoldsova čísla lze použít k určení, že nucená nebo volná konvekce může být pro systém zanedbána , nebo pokud existuje kombinace těchto dvou. Tento charakteristický poměr se nazývá Richardsonovo číslo (Ri). Pokud je poměr mnohem menší než jedna, pak lze volnou konvekci ignorovat. Pokud je poměr mnohem větší než jedna, vynucená konvekce může být ignorována. Jinak je režim kombinován nucenou a volnou konvekcí.

${\ Displaystyle \ mathrm {Ri} = {\ frac {\ mathrm {Gr}} {\ mathrm {Re} ^{2}}} \ gg 1}$ vynucená konvekce může být ignorována

${\ Displaystyle \ mathrm {Ri} = {\ frac {\ mathrm {Gr}} {\ mathrm {Re} ^{2}}} \ cca 1}$ kombinovaná nucená a volná konvekce

${\ Displaystyle \ mathrm {Ri} = {\ frac {\ mathrm {Gr}} {\ mathrm {Re} ^{2}}} \ ll 1}$ bezplatné proudění může být opomíjeno

Derivace

Prvním krokem k odvození Grashofova čísla je manipulace s koeficientem objemového roztažení následujícím způsobem. ${\ displaystyle \ mathrm {\ beta}}$

${\ Displaystyle \ beta = {\ frac {1} {v}} \ left ({\ frac {\ částečný v} {\ částečný T}} \ vpravo) _ {p} = {\ frac {-1} {\ rho}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné T}} \ vpravo) _ {p}}$

Výše uvedená rovnice, která představuje specifický objem , není stejná jako v následujících částech této derivace, která bude představovat rychlost. Tento částečný vztah koeficientu objemové roztažnosti vzhledem k hustotě kapaliny při daném konstantním tlaku lze přepsat jako ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ mathrm {\ beta}}$${\ displaystyle \ mathrm {\ rho}}$

${\ Displaystyle \ rho = \ rho _ {0} (1- \ beta \ Delta T)}$

kde:

${\ displaystyle \ rho _ {0}}$ je sypná hustota tekutiny

${\ Displaystyle \ rho}$ je hustota mezní vrstvy

${\ displaystyle \ Delta T = (T-T_ {0})}$, teplotní rozdíl mezi mezní vrstvou a objemovou tekutinou.

Od tohoto bodu existují dva různé způsoby, jak zjistit číslo Grashof. Jedna zahrnuje energetickou rovnici, zatímco druhá zahrnuje vztlakovou sílu v důsledku rozdílu hustoty mezi mezní vrstvou a objemovou tekutinou.

Energetická rovnice

Tato diskuse zahrnující energetickou rovnici je s ohledem na rotačně symetrický tok. Tato analýza vezme v úvahu vliv gravitačního zrychlení na tok a přenos tepla. Následující matematické rovnice platí jak pro rotační symetrický tok, tak pro dvourozměrný rovinný tok.

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné s}} (\ rho ur_ {0}^{n})+{\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} (\ rho vr_ {0}^ {n}) = 0}$

kde:

${\ displaystyle s}$ je směr otáčení, tj. směr rovnoběžný s povrchem

${\ displaystyle u}$ je tangenciální rychlost, tj. rychlost rovnoběžná s povrchem

${\ displaystyle y}$ je rovinný směr, tj. směr kolmý k povrchu

${\ displaystyle v}$ je normální rychlost, tj. rychlost kolmá k povrchu

${\ displaystyle r_ {0}}$ je poloměr.

V této rovnici je horní index n pro rozlišení rotačně symetrického toku od rovinného. Následující charakteristiky této rovnice platí.

${\ displaystyle n}$ = 1: rotačně symetrický tok

${\ displaystyle n}$ = 0: planární, dvourozměrný tok

${\ displaystyle g}$ je gravitační zrychlení

Tato rovnice se s přidáním vlastností fyzikální tekutiny rozšiřuje na následující:

${\ Displaystyle \ rho \ left (u {\ frac {\ částečný u} {\ částečný s}}+v {\ frac {\ částečný u} {\ částečný y}} \ pravý) = {\ frac {\ částečný} {\ částečné y}} \ vlevo (\ mu {\ frac {\ částečné u} {\ částečné y}} \ vpravo)-{\ frac {dp} {ds}}+\ rho g.}$

Odtud můžeme rovnici hybnosti dále zjednodušit nastavením sypné rychlosti tekutiny na 0 ( u = 0).

${\ displaystyle {\ frac {dp} {ds}} = \ rho _ {0} g}$

Tento vztah ukazuje, že tlakový gradient je jednoduše součinem hustoty sypké tekutiny a gravitačního zrychlení. Dalším krokem je zapojení tlakového gradientu do rovnice hybnosti.

${\ Displaystyle \ rho \ left (u {\ frac {\ částečný u} {\ částečný s}}+v {\ frac {\ částečný u} {\ částečný y}} \ pravý) = \ mu \ left ({\ frac {\ částečné ^{2} u} {\ částečné y ^{2}}} \ vpravo)+\ rho g \ beta (T-T_ {0})}$

Další zjednodušení rovnice hybnosti přichází tak, že do rovnice hybnosti je dosazen koeficient objemové roztažnosti , výše uvedený vztah hustoty a vztah kinematické viskozity . ${\ Displaystyle \ rho _ {0}-\ rho = \ beta \ rho (T-T_ {0})}$${\ displaystyle \ nu = {\ frac {\ mu} {\ rho}}}$

${\ Displaystyle u \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial s}} \ right)+v \ left ({\ frac {\ partial v} {\ částečné y}} \ right) = \ nu \ vlevo ({\ frac {\ částečný ^{2} u} {\ částečný y ^{2}}} \ vpravo)+g \ beta (T-T_ {0})}$

Abychom z tohoto bodu našli Grashofovo číslo, musí být předchozí rovnice nedimenzionalizovaná. To znamená, že každá proměnná v rovnici by neměla mít žádný rozměr a místo toho by měla být poměrem charakteristickým pro geometrii a nastavení problému. To se provádí vydělením každé proměnné odpovídajícími konstantními veličinami. Délky jsou rozděleny charakteristickou délku . Rychlosti jsou rozděleny příslušnými referenčními rychlostmi , které, vzhledem k Reynoldsovu číslu, udávají . Teploty jsou rozděleny příslušným teplotním rozdílem, . Tyto bezrozměrné parametry vypadají následovně: ${\ displaystyle L_ {c}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V = {\ frac {\ mathrm {Re} _ {L} \ nu} {L_ {c}}}}$${\ displaystyle (T_ {s} -T_ {0})}$

${\ displaystyle s^{*} = {\ frac {s} {L_ {c}}}}$,

${\ displaystyle y^{*} = {\ frac {y} {L_ {c}}}}$,

${\ displaystyle u^{*} = {\ frac {u} {V}}}$,

${\ displaystyle v^{*} = {\ frac {v} {V}}}$,

${\ displaystyle T^{*} = {\ frac {(T-T_ {0})} {(T_ {s} -T_ {0})}}}$.

Hvězdičky představují bezrozměrný parametr. Zkombinováním těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti vznikne následující zjednodušená rovnice.

${\ Displaystyle u^{*} {\ frac {\ částečné u^{*}} {\ částečné s^{*}}}+v^{*} {\ frac {\ částečné u^{*}} {\ částečné y^{*}}} = \ vlevo [{\ frac {g \ beta (T_ {s} -T_ {0}) L_ {c}^{3}} {\ nu^{2}}} \ vpravo ] {\ frac {T^{*}} {\ mathrm {Re} _ {L}^{2}}}+{\ frac {1} {\ mathrm {Re} _ {L}}} {\ frac { \ částečné^{2} u^{*}} {\ částečné {y^{*}}^{2}}}}$

kde:

${\ displaystyle T_ {s}}$ je povrchová teplota

${\ displaystyle T_ {0}}$ je teplota sypké kapaliny

${\ displaystyle L_ {c}}$ je charakteristická délka.

Bezrozměrný parametr uzavřený v závorkách v předchozí rovnici je znám jako Grashofovo číslo:

${\ Displaystyle \ mathrm {Gr} = {\ frac {g \ beta (T_ {s} -T_ {0}) L_ {c} ^{3}} {\ nu ^{2}}}.}$

Buckinghamova π věta

Další forma rozměrové analýzy, která vyústí v Grashofovo číslo, je známá jako Buckinghamova π věta . Tato metoda zohledňuje vztlakovou sílu na jednotku objemu v důsledku rozdílu hustoty v mezní vrstvě a objemové tekutině. ${\ displaystyle F_ {b}}$

${\ Displaystyle F_ {b} = (\ rho -\ rho _ {0}) g}$

Tuto rovnici lze upravit tak, aby

${\ Displaystyle F_ {b} = \ beta g \ rho _ {0} \ Delta T.}$

Seznam proměnných, které se používají v Buckinghamově metodě π, je uveden níže spolu s jejich symboly a rozměry.

Variabilní	Symbol	Rozměry
Významná délka	${\ displaystyle L}$	${\ displaystyle \ mathrm {L}}$
Viskozita kapaliny	${\ Displaystyle \ mu}$	${\ displaystyle \ mathrm {\ frac {M} {Lt}}}$
Tepelná kapacita kapaliny	${\ displaystyle c_ {p}}$	${\ displaystyle \ mathrm {\ frac {Q} {MT}}}$
Tepelná vodivost kapaliny	${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle \ mathrm {\ frac {Q} {LtT}}}$
Koeficient objemové expanze	${\ displaystyle \ beta}$	${\ displaystyle \ mathrm {\ frac {1} {T}}}$
Gravitační zrychlení	${\ displaystyle g}$	${\ displaystyle \ mathrm {\ frac {L} {t^{2}}}}$
Teplotní rozdíl	${\ displaystyle \ Delta T}$	${\ displaystyle \ mathrm {T}}$
Součinitel prostupu tepla	${\ displaystyle h}$	${\ displaystyle \ mathrm {\ frac {Q} {L^{2} tT}}}$

S odkazem na Buckinghamovu π větu existuje 9 - 5 = 4 bezrozměrné skupiny. Jako referenční proměnné zvolte L , k , g a . Tak skupiny jsou následující: ${\ Displaystyle \ mu,}$ ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} = L^{a} \ mu^{b} k^{c} \ beta^{d} g^{e} c_ {p}}$,

${\ Displaystyle \ pi _ {2} = L^{f} \ mu^{g} k^{h} \ beta^{i} g^{j} \ rho}$,

${\ Displaystyle \ pi _ {3} = L^{k} \ mu^{l} k^{m} \ beta^{n} g^{o} \ Delta T}$,

${\ Displaystyle \ pi _ {4} = L^{q} \ mu^{r} k^{s} \ beta^{t} g^{u} h}$.

Řešení těchto skupin dává: ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} = {\ frac {\ mu (c_ {p})} {k}} = \ mathrm {Pr}}$,

${\ Displaystyle \ pi _ {2} = {\ frac {l ^{3} g \ rho ^{2}} {\ mu ^{2}}}}$,

${\ displaystyle \ pi _ {3} = \ beta \ Delta T}$,

${\ Displaystyle \ pi _ {4} = {\ frac {hL} {k}} = \ mathrm {Nu}}$

Ze dvou skupin a produktu tvoří Grashofovo číslo: ${\ displaystyle \ pi _ {2}}$${\ displaystyle \ pi _ {3},}$

${\ Displaystyle \ pi _ {2} \ pi _ {3} = {\ frac {\ beta g \ rho ^{2} \ Delta TL ^{3}} {\ mu ^{2}}} = \ mathrm { GR} .}$

Převzetí a předchozí rovnici lze vykreslit jako stejný výsledek odvozením Grashofova čísla z energetické rovnice. ${\ displaystyle \ nu = {\ frac {\ mu} {\ rho}}}$${\ displaystyle \ Delta T = (T_ {s} -T_ {0})}$

${\ displaystyle \ mathrm {Gr} = {\ frac {\ beta g \ Delta TL ^{3}} {\ nu ^{2}}}}$

Při nucené konvekci řídí tok tekutiny Reynoldsovo číslo . V přirozené konvekci je však Grashofovo číslo bezrozměrným parametrem, který řídí tok tekutiny. Použití energetické rovnice a vztlakové síly v kombinaci s rozměrovou analýzou poskytuje dva různé způsoby, jak odvodit Grashofovo číslo.

Fyzické uvažování

Je také možné odvodit číslo Grashof podle fyzické definice čísla následujícím způsobem:

Výše uvedený výraz, zejména závěrečná část na pravé straně, se však mírně liší od Grashofova čísla, které se objevuje v literatuře. Následující rozměrově správné měřítko z hlediska dynamické viskozity lze použít k získání konečné podoby.

Zápis nad měřítkem v Gr dává;

Fyzické uvažování je užitečné k pochopení významu čísla. Na druhé straně lze následující charakteristiku rychlosti použít jako charakteristickou hodnotu rychlosti pro vytváření určitých rychlostí nedimenzionálních.

Účinky Grashofova čísla na tok různých tekutin

V nedávném výzkumu provedeném na účincích Grashofova čísla na proudění různých tekutin poháněných konvekcí přes různé povrchy. Pomocí sklonu lineární regresní přímky přes datové body se dospělo k závěru, že zvýšení hodnoty Grashofova čísla nebo jakéhokoli parametru souvisejícího se vztlakem znamená zvýšení teploty stěny a to způsobí, že vazba (vazby) mezi tekutinou se stane slabší, pevnost vnitřního tření se sníží, gravitace se stane dostatečně silnou (tj. činí specifickou hmotnost znatelně odlišnou mezi bezprostředními vrstvami tekutiny sousedícími se stěnou). Účinky parametru vztlaku jsou velmi významné v laminárním proudění v mezní vrstvě vytvořené na svisle se pohybujícím válci. Toho lze dosáhnout pouze tehdy, když se vezme v úvahu předepsaná povrchová teplota (PST) a předepsaný tepelný tok stěny (WHF). Lze usoudit, že parametr vztlaku má na místní Nusseltovo číslo zanedbatelný pozitivní vliv. To platí pouze v případě, že velikost Prandtlova čísla je malá nebo se uvažuje předepsaný tepelný tok stěny (WHF). Sherwoodovo číslo, Bejanovo číslo, generace entropie, Stantonovo číslo a tlakový gradient zvyšují vlastnosti parametru souvisejícího se vztlakem, zatímco profily koncentrace, třecí síla a pohyblivý mikroorganismus vlastnosti snižují.

Reference

Další čtení

• Cengel, Yunus A. (2003). Přenos tepla a hmoty: Praktický přístup (3. vyd.). Boston: McGraw Hill.
• Eckert, Ernst RG ; Drake, Robert M. (1972). Analýza přenosu tepla a hmoty . New York: McGraw Hill.
• Jaluria, Yogesh (1980). Přenos tepla a hmoty přirozenou konvekcí . New York: Pergamon Press.
• Welty, James R. (1976). Základy hybnosti, tepla a přenosu hmoty . New York: John Wiley & Sons.