Skupinový homomorfismus - Group homomorphism
Algebraická struktura → Teorie grup. Teorie grup |
---|
V matematice , daná dvěma skupinami , ( G , ∗) a ( H , ·), je homomorfismus skupiny od ( G , ∗) do ( H , ·) funkcí h : G → H taková, že pro všechna u a v v G to platí
kde operace skupina na levé straně rovnice je, že G a na pravé straně, která z H .
Z této vlastnosti lze odvodit, že h mapuje prvek identity e G z G na prvek identity e H z H ,
a také mapuje inverze na inverze v tom smyslu, že
Lze tedy říci, že h „je kompatibilní se strukturou skupiny“.
Starší zápisy pro homomorfismus h ( x ) mohou být x h nebo x h , i když to může být zaměněno jako index nebo obecný dolní index. V teorii automatů se někdy homomorfismy zapisují napravo od jejich argumentů bez závorek, takže h ( x ) se stává jednoduše xh .
V oblastech matematiky, kde se uvažuje o skupinách vybavených další strukturou, homomorfismus někdy znamená mapu, která respektuje nejen strukturu skupiny (jak je uvedeno výše), ale také strukturu navíc. Například homomorfismus topologických skupin je často vyžadován jako kontinuální.
Intuice
Účelem definování skupinového homomorfismu je vytvořit funkce, které zachovají algebraickou strukturu. Ekvivalentní definice skupinového homomorfismu je: Funkce h : G → H je skupinový homomorfismus, kdykoli
a ∗ b = c máme h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).
Jinými slovy, skupina H má v určitém smyslu podobnou algebraickou strukturu jako G a homomorfismus h to zachovává.
Typy
- Monomorfismus
- Skupinový homomorfismus, který je injektivní (nebo one-to-one); tj. zachovává odlišnost.
- Epimorfismus
- Skupinový homomorfismus, který je surjektivní (nebo na); tj. dosáhne každého bodu v doméně.
- Izomorfismus
- Skupinový homomorfismus, který je bijektivní ; tj. injektivní a surjektivní. Jeho inverzní je také skupinový homomorfismus. V tomto případě se skupiny G a H nazývají izomorfní ; liší se pouze v zápisu svých prvků a jsou shodné pro všechny praktické účely.
- Endomorfismus
- Homomorfismus, h : G → G ; doména a doména jsou stejné. Označovaný také jako endomorphism G .
- Automorfismus
- Endomorfismus, který je bijektivní, a tudíž izomorfismus. Soubor všech automorphisms ze skupiny G , s funkční složení jako provoz, tvoří sám o sobě skupinu, automorphism skupinu s G . Označuje to Aut ( G ). Jako příklad obsahuje skupina automorfismu ( Z , +) pouze dva prvky, transformaci identity a multiplikaci s −1; je izomorfní Z / 2 Z .
Obrázek a jádro
Definujeme jádro h jako množinu prvků v G, které jsou mapovány na identitu v H
a obraz h být
Jádro a obraz homomorfismu lze interpretovat jako měření toho, jak blízko je izomorfismu. V první izomorfismus věta uvádí, že obraz skupiny homomorfismu, h ( G ) je izomorfní kvocientu skupiny G / ker h .
Jádro H je normální podskupina z G a obraz H je podskupina z H :
Pokud a pouze pokud ker ( h ) = { e G }, homomorfismus, h , je skupinový monomorfismus ; tj. h je injective (one-to-one). Injekce přímo udává, že v jádře je jedinečný prvek, a jedinečný prvek v jádře dává injekci:
Příklady
- Uvažujme cyklickou skupinu Z / 3 Z = {0, 1, 2} a skupinu celých čísel Z s přidáním. Mapa h : Z → Z / 3 Z s h ( u ) = u mod 3 je skupinový homomorfismus. Je surjektivní a jeho jádro se skládá ze všech celých čísel, která jsou dělitelná 3.
- Zvažte skupinu
Pro jakékoli komplexní číslo u je funkce f u : G → C * definována:
- Uvažujme multiplikativní skupinu kladných reálných čísel ( R + , ⋅) pro libovolné komplexní číslo u funkce f u : R + → C definované:
- Exponenciální mapa získá skupina homomorphism ze skupiny reálných čísel R s přidáním ke skupině nenulových reálných čísel R * s násobením. Jádro je {0} a obrázek se skládá z kladných reálných čísel.
- Exponenciální mapa také poskytuje skupinový homomorfismus ze skupiny komplexních čísel C s přídavkem ke skupině nenulových komplexních čísel C * s násobením. Tato mapa je surjektivní a má jádro {2π ki : k ∈ Z }, jak je patrné z Eulerova vzorce . Pole jako R a C, která mají homomorfismy z jejich skupiny aditiv do jejich multiplikativní skupiny, se tedy nazývají exponenciální pole .
Kategorie skupin
Pokud h : G → H a K : H → K jsou homomorfizmy skupiny, pak tak je k ∘ H : G → K . To ukazuje, že třída všech skupin spolu se skupinovými homomorfismy jako morfizmy tvoří kategorii .
Homomorfismy abelianských skupin
Pokud G a H jsou abelianské (tj. Komutativní) skupiny, pak množina Hom ( G , H ) všech skupinových homomorfismů od G do H je sama o sobě abelianskou skupinou: součet h + k dvou homomorfismů je definován
- ( H + K ) ( u ) = h ( u ) + k ( u ) pro všechny u v G .
Komutativita H je nutná k prokázání, že h + k je opět skupinovým homomorfismem.
Přidání homomorfismů je kompatibilní se složením homomorfismů v následujícím smyslu: pokud f je v Hom ( K , G ) , h , k jsou prvky Hom ( G , H ) a g je v Hom ( H , L ) , pak
- ( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) a g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .
Jelikož složení je asociativní , to ukazuje, že množina konec ( G ) všech endomorphisms z abelian skupiny tvoří kruh , v okruhu endomorfismů z G . Například endomorphism kruh abelian skupiny sestávající z přímého součtu všech m kopií Z / n Z je izomorfní prstence m -by- m matrice se záznamy v Z / n Z . Výše uvedená kompatibilita také ukazuje, že kategorie všech abelianských skupin se skupinovými homomorfismy tvoří preadditivní kategorii ; existence přímých součtů a dobře chovaných jader dělá z této kategorie prototypický příklad abelianské kategorie .
Viz také
Reference
- Dummit, DS; Foote, R. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). Wiley. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7 .
- Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 , Zbl 0984,00001
externí odkazy
- Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. „Skupinový homomorfismus“ . MathWorld .