Skupinový homomorfismus - Group homomorphism

Obrázek skupinového homomorfismu ( h ) z G (vlevo) do H (vpravo). Menší ovál uvnitř H je obrazem h . N je jádro z h a aN je coset z N .

V matematice , daná dvěma skupinami , ( G , ∗) a ( H , ·), je homomorfismus skupiny od ( G , ∗) do ( H , ·) funkcí h  : G H taková, že pro všechna u a v v G to platí

kde operace skupina na levé straně rovnice je, že G a na pravé straně, která z H .

Z této vlastnosti lze odvodit, že h mapuje prvek identity e G z G na prvek identity e H z H ,

a také mapuje inverze na inverze v tom smyslu, že

Lze tedy říci, že h „je kompatibilní se strukturou skupiny“.

Starší zápisy pro homomorfismus h ( x ) mohou být x h nebo x h , i když to může být zaměněno jako index nebo obecný dolní index. V teorii automatů se někdy homomorfismy zapisují napravo od jejich argumentů bez závorek, takže h ( x ) se stává jednoduše xh .

V oblastech matematiky, kde se uvažuje o skupinách vybavených další strukturou, homomorfismus někdy znamená mapu, která respektuje nejen strukturu skupiny (jak je uvedeno výše), ale také strukturu navíc. Například homomorfismus topologických skupin je často vyžadován jako kontinuální.

Intuice

Účelem definování skupinového homomorfismu je vytvořit funkce, které zachovají algebraickou strukturu. Ekvivalentní definice skupinového homomorfismu je: Funkce h  : G H je skupinový homomorfismus, kdykoli

a b = c   máme   h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

Jinými slovy, skupina H má v určitém smyslu podobnou algebraickou strukturu jako G a homomorfismus h to zachovává.

Typy

Monomorfismus
Skupinový homomorfismus, který je injektivní (nebo one-to-one); tj. zachovává odlišnost.
Epimorfismus
Skupinový homomorfismus, který je surjektivní (nebo na); tj. dosáhne každého bodu v doméně.
Izomorfismus
Skupinový homomorfismus, který je bijektivní ; tj. injektivní a surjektivní. Jeho inverzní je také skupinový homomorfismus. V tomto případě se skupiny G a H nazývají izomorfní ; liší se pouze v zápisu svých prvků a jsou shodné pro všechny praktické účely.
Endomorfismus
Homomorfismus, h : G G ; doména a doména jsou stejné. Označovaný také jako endomorphism G .
Automorfismus
Endomorfismus, který je bijektivní, a tudíž izomorfismus. Soubor všech automorphisms ze skupiny G , s funkční složení jako provoz, tvoří sám o sobě skupinu, automorphism skupinu s G . Označuje to Aut ( G ). Jako příklad obsahuje skupina automorfismu ( Z , +) pouze dva prvky, transformaci identity a multiplikaci s −1; je izomorfní Z / 2 Z .

Obrázek a jádro

Definujeme jádro h jako množinu prvků v G, které jsou mapovány na identitu v H

a obraz h být

Jádro a obraz homomorfismu lze interpretovat jako měření toho, jak blízko je izomorfismu. V první izomorfismus věta uvádí, že obraz skupiny homomorfismu, h ( G ) je izomorfní kvocientu skupiny G / ker h .

Jádro H je normální podskupina z G a obraz H je podskupina z H :

Pokud a pouze pokud ker ( h ) = { e G }, homomorfismus, h , je skupinový monomorfismus ; tj. h je injective (one-to-one). Injekce přímo udává, že v jádře je jedinečný prvek, a jedinečný prvek v jádře dává injekci:

Příklady

  • Uvažujme cyklickou skupinu Z / 3 Z = {0, 1, 2} a skupinu celých čísel Z s přidáním. Mapa h  : Z Z / 3 Z s h ( u ) = u mod 3 je skupinový homomorfismus. Je surjektivní a jeho jádro se skládá ze všech celých čísel, která jsou dělitelná 3.
  • Zvažte skupinu

    Pro jakékoli komplexní číslo u je funkce f u  : G C * definována:

    je skupinový homomorfismus.
  • Uvažujme multiplikativní skupinu kladných reálných čísel ( R + , ⋅) pro libovolné komplexní číslo u funkce f u  : R + C definované:
    je skupinový homomorfismus.
  • Exponenciální mapa získá skupina homomorphism ze skupiny reálných čísel R s přidáním ke skupině nenulových reálných čísel R * s násobením. Jádro je {0} a obrázek se skládá z kladných reálných čísel.
  • Exponenciální mapa také poskytuje skupinový homomorfismus ze skupiny komplexních čísel C s přídavkem ke skupině nenulových komplexních čísel C * s násobením. Tato mapa je surjektivní a má jádro {2π ki  : k Z }, jak je patrné z Eulerova vzorce . Pole jako R a C, která mají homomorfismy z jejich skupiny aditiv do jejich multiplikativní skupiny, se tedy nazývají exponenciální pole .

Kategorie skupin

Pokud h  : G H a K  : H K jsou homomorfizmy skupiny, pak tak je k H  : G K . To ukazuje, že třída všech skupin spolu se skupinovými homomorfismy jako morfizmy tvoří kategorii .

Homomorfismy abelianských skupin

Pokud G a H jsou abelianské (tj. Komutativní) skupiny, pak množina Hom ( G , H ) všech skupinových homomorfismů od G do H je sama o sobě abelianskou skupinou: součet h + k dvou homomorfismů je definován

( H + K ) ( u ) = h ( u ) + k ( u ) pro všechny u v G .

Komutativita H je nutná k prokázání, že h + k je opět skupinovým homomorfismem.

Přidání homomorfismů je kompatibilní se složením homomorfismů v následujícím smyslu: pokud f je v Hom ( K , G ) , h , k jsou prvky Hom ( G , H ) a g je v Hom ( H , L ) , pak

( h + k ) ∘ f = ( h f ) + ( k f )    a    g ∘ ( h + k ) = ( g h ) + ( g k ) .

Jelikož složení je asociativní , to ukazuje, že množina konec ( G ) všech endomorphisms z abelian skupiny tvoří kruh , v okruhu endomorfismů z G . Například endomorphism kruh abelian skupiny sestávající z přímého součtu všech m kopií Z / n Z je izomorfní prstence m -by- m matrice se záznamy v Z / n Z . Výše uvedená kompatibilita také ukazuje, že kategorie všech abelianských skupin se skupinovými homomorfismy tvoří preadditivní kategorii ; existence přímých součtů a dobře chovaných jader dělá z této kategorie prototypický příklad abelianské kategorie .

Viz také

Reference

  • Dummit, DS; Foote, R. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). Wiley. 71–72. ISBN   978-0-471-43334-7 .
  • Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0984,00001

externí odkazy