Skupinová struktura a axiom výběru - Group structure and the axiom of choice

Ernst Zermelo v roce 1904 prokázal wellorderingovou větu pomocí tzv. Axiomu volby .

V matematice skupina je sada spolu s binární operací na nastavenou nazývá násobení , že se řídí skupina axiomy . Axiom výběru je axiom ZFC teorie množin , které v jednom ročníku se uvádí, že každý soubor může být wellordered .

V teorii množin ZF , tj. ZFC bez zvoleného axiomu, jsou následující tvrzení ekvivalentní:

Pro každou neprázdnou množinu $X$ existuje binární operace $•$ taková, že $(X, •)$ je skupina.
Axiom volby je pravdivý.

Skupinová struktura implikuje axiom výběru

V této části se předpokládá, že každá sada $X$ může být vybavena strukturou skupiny $(X, •)$ .

Nechť $X$ je množina. Nechť $ℵ (X)$ být počet Hartogs na $X$ . Toto je nejmenší počet hlavní tak, že neexistuje žádná injekce z $ℵ (X)$ do $X$ . Existuje bez předpokladu axiomu výběru. Předpokládejme zde technickou jednoduchost důkazu, že $X$ nemá pořadové číslo . Nechť $•$ označíme násobení ve skupině $(X \cup ℵ (X), •)$ .

Pro libovolné $x \in X$ existuje $α \in ℵ (X)$ takové, že $x • α \in ℵ (X)$ . Předpokládejme, že ne. Pak existuje $y \in X$ takové, že $y • α \in X$ pro všechna $α \in ℵ (X)$ . Ale podle teorie základních skupin jsou $y • α$ různé, protože rozsahy α přes $ℵ (X)$ ( i ). Tak takový $y$ podávají injekce od $ℵ (X)$ do $X$ . To je nemožné, protože $ℵ (X),$ je takové, že hlavní vrtat žádné $X$ existuje.

Nyní definujte mapu $j$ z $X$ do $ℵ (X) \times ℵ (X)$ obdařeného lexikografickým wellorderingem zasláním $x \in X$ na nejmenší $(α, β) \in ℵ (X) \times ℵ (X)$ takové, že $x • α = β$ . Z výše uvedeného důvodu mapa $j$ existuje a je jedinečná, protože nejméně prvků podmnožin svařovaných sad je jedinečných. Podle teorie základních skupin je to injektivní.

Nakonec definujte svařování na $X$ o $x < y,$ pokud $j (x) < j (y)$ . Z toho vyplývá, že každou množinu $X$ lze svařovat, a tedy že axiom výběru je pravdivý.

Aby klíčová vlastnost vyjádřená v bodě ( i ) výše zůstala, a tedy celý důkaz, stačí, aby $X$ bylo rušivé magma , např. Kvazigroup . Vlastnost zrušení je dostatečná k zajištění, že $y • α$ jsou všechny odlišné.

Axiom volby implikuje skupinovou strukturu

Jakákoli neprázdná konečná množina má skupinovou strukturu jako cyklická skupina generovaná jakýmkoli prvkem. Za předpokladu axiomu výběru, každá nekonečná množina $X$ je ekvipotentní s jedinečným číslem kardinál | $X$ | což se rovná alefovi . Použitím zvoleného axiomu lze ukázat, že pro libovolnou rodinu $S$ množin $| ⋃ S | \leq | S | \times sup {| s | : s \in S}$ ( A ). Navíc tím, že Tarski věty o výběru , další ekvivalent axiomu výběru, $| X | n = | X |$ pro všechna konečná $n$ ( B ).

Nechť $X$ mít nekonečnou řadu a nechat $F$ množinu všech konečných podmnožin $X$ . Tam je přírodní násobení $•$ na $F$ . Pro $f, g \in F$ nechť $f • g = f Δ g$ , kde $Δ$ značí symetrický rozdíl . Toto se změní $(F, •)$ na skupinu s prázdnou množinou, $Ø$ , která je identitou a každý prvek je svou vlastní inverzí; $f Δ f = Ø$ . Asociativní vlastnost, tj $(f Δ g) Δ h = f ó (g Δ h)$ se ověřuje pomocí základních vlastností svazku a nastavený rozdíl . Tak $F$ je skupina s násobení $delta$ .

Jakákoli sada, kterou lze uvést do bijekce se skupinou, se stane skupinou prostřednictvím bijekce. Ukáže se, že $| X | = | F |$ , a tudíž existuje vzájemná korespondence mezi $X$ a skupinou $(F, •)$ . Pro $n = 0,1,2, ...$ , nechť $F n$ je podmnožina $F$ skládající se ze všech podmnožin mohutnosti přesně $n$ . Pak $F$ je disjunktní sjednocení z $F n$ . Počet podmnožin $X$ mohutnosti $n$ je nejvýše $| X | n$ , protože každá podskupina s $n$ prvků je prvek $n$ -násobnou kartézského produktu $X n$ z $X$ . Takže $| F n | \leq | X | n = | X |$ pro všechna $n$ ( C ) podle ( B ).

Po sloučení těchto výsledků je vidět, že $| F | = | ⋃ n \in ω F n | \leq ℵ 0 \cdot | X | = | X |$ podle ( A ) a ( C ). Také $| F | \geq | X |$ , protože $F$ obsahuje všechny singletony. Tedy $| X | \leq | F |$ a $| F | \leq | X |$ , tedy, podle Schröder – Bernsteinovy věty , $| F | = | X |$ . To přesně znamená, že mezi $X$ a $F$ existuje bijekce $j$ . A konečně, pro $x$ $,$ $y$ $\in$ $X$ definovat $x$ $•$ $y$ $=$ $j$ $-1$ $($ $j$ $($ $x$ $) Δ$ $j$ $($ $y$ $))$ . Tím se $($ $X$ $, •)$ změní na skupinu. Proto každá sada připouští strukturu skupiny.

Sada ZF bez struktury skupiny

Existují modely ZF, ve kterých selhává axiom výběru. V takovém modelu existují sady, které nelze dobře uspořádat (nazývejte je „sady, které nelze svařovat“). Nechť $X$ je jakákoli taková množina. Nyní zvažte množinu $Y = X \cup ℵ (X)$ . Pokud by $Y$ mělo mít skupinovou strukturu, pak podle konstrukce v první sekci může být $X$ dobře uspořádáno. Tento rozpor ukazuje, že na množině $Y$ neexistuje žádná skupinová struktura .

Pokud je sada taková, že ji nelze obdařit skupinovou strukturou, pak je nutně nevratná. Jinak konstrukce ve druhé části přináší skupinovou strukturu. Tyto vlastnosti však nejsou ekvivalentní. Jmenovitě je možné, aby sady, které nelze dobře objednat, měly skupinovou strukturu.

Například pokud je libovolná množina, pak má skupinovou strukturu se symetrickým rozdílem jako skupinová operace. Samozřejmě, pokud nelze dobře objednat, pak ani nemůže . Jeden zajímavý příklad sad, které nemohou nést skupinovou strukturu, je ze sad s následujícími dvěma vlastnostmi: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X}$ je nekonečná Dedekindova konečná množina. Jinými slovy, nemá žádnou nespočetně nekonečnou podmnožinu. ${\ displaystyle X}$
Pokud je rozdělena do konečných množin, pak až na konečně mnoho z nich jsou singletony. ${\ displaystyle X}$

Chcete-li vidět, že kombinace těchto dvou nemůže připustit skupinovou strukturu, všimněte si, že vzhledem k tomu, že každá permutace takové množiny musí mít pouze konečné oběžné dráhy, a téměř všechny z nich jsou nutně singletony, což znamená, že většina prvků není permutací přesunuta. Nyní zvažte permutace dané , pro které není neutrálním prvkem, existuje nekonečně mnoho takových , takže alespoň jeden z nich není neutrálním prvkem. Vynásobením dává to ve skutečnosti prvek identity, který je rozporem. ${\ displaystyle x \ mapsto a \ cdot x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a \ cdot x = x}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle a}$

Existence takové sady je konzistentní, například v prvním Cohenově modelu. Překvapivě však být nekonečnou Dedekindově konečnou množinou nestačí k vyloučení skupinové struktury, protože je konzistentní, že existují nekonečné Dedekindovo-konečné množiny s Dedekindovo-konečnými výkonovými sadami. ${\ displaystyle X}$

Poznámky

Reference

Hajnal, A .; Kertész, A. (1972). "Některé nové algebraické ekvivalenty zvoleného axiomu". Publ. Matematika. Debrecín . 19 : 339–340.
Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (červenec 1985). Ekvivalenty Axiomu volby II . Severní Holandsko / Elsevier. ISBN 0-444-87708-8 .
Jech, Thomas (2002). Teorie množin, vydání třetího tisíciletí (revidované a rozšířené) . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Cohen, Paul J. (1966). Teorie množin a hypotéza kontinua . Benjamin, New York.
Adkins; Weintraub (1992). Algebra . Postgraduální texty z matematiky. 136 . Springer.

Languages

In other projects