Teorie skupin -Group theory

Populární hlavolam Rubikova kostka vynalezený v roce 1974 Ernő Rubikem byl použit jako ilustrace permutačních skupin . Viz skupina Rubikova kostka .

V matematice a abstraktní algebře studuje teorie skupin algebraické struktury známé jako skupiny . Pojetí skupiny je centrální pro abstraktní algebru: jiné známé algebraické struktury, takový jako prsteny , pole a vektorové prostory , moci všichni být viděni jako skupiny obdařené dalšími operacemi a axiómy . Skupiny se v matematice opakují a metody teorie grup ovlivnily mnoho částí algebry. Lineární algebraické grupy a Lieovy grupy jsou dvě větve teorie grup, které zaznamenaly pokroky a staly se samostatnými obory.

Různé fyzikální systémy, jako jsou krystaly a atom vodíku , a tři ze čtyř známých základních sil ve vesmíru, mohou být modelovány skupinami symetrie . Tak teorie grup a blízce příbuzná teorie reprezentace mají mnoho důležitých aplikací ve fyzice , chemii a vědě o materiálech . Teorie skupin je také ústřední pro kryptografii veřejného klíče .

Raná historie teorie grup se datuje od 19. století. Jedním z nejdůležitějších matematických úspěchů 20. století bylo společné úsilí, které zabíralo více než 10 000 stránek časopisu a většinou publikovalo v letech 1960 až 2004, které vyvrcholilo kompletní klasifikací konečných jednoduchých grup .

Hlavní třídy skupin

Rozsah uvažovaných skupin se postupně rozšířil z konečných permutačních grup a speciálních příkladů maticových grup na abstraktní grupy , které mohou být specifikovány prostřednictvím prezentace generátory a vztahy .

Permutační skupiny

První třídou skupin, které podstoupily systematickou studii, byly permutační skupiny . Vzhledem k jakékoli množině X a sbírce G bijekcí X do sebe (známé jako permutace ), která je uzavřena pod kompozicemi a inverzemi, je G skupina působící na X . Jestliže X sestává z n prvků a G sestává ze všech permutací, G je symetrická skupina S n ; obecně je jakákoli permutační skupina G podskupinou symetrické skupiny X. Raná konstrukce kvůli Cayleymu vystavovala jakoukoli skupinu jako permutační skupinu, působící na sebe ( X = G ) pomocí levé pravidelné reprezentace .

V mnoha případech lze strukturu permutační grupy studovat pomocí vlastností jejího působení na odpovídající množinu. Například tímto způsobem dokážeme, že pro n ≥ 5 je střídající se grupa A n jednoduchá , tj. nepřipouští žádné správné normální podgrupy . Tato skutečnost hraje klíčovou roli v nemožnosti řešení obecné algebraické rovnice stupně n ≥ 5 v radikálech .

Maticové skupiny

Další důležitá třída grup je dána maticovými grupami neboli lineárními grupami . Zde G je množina skládající se z invertibilních matic daného řádu n nad polem K , které je uzavřeno pod součiny a inverze. Taková grupa působí na n - rozměrný vektorový prostor Kn lineárními transformacemi . Tato akce činí skupiny matic koncepčně podobnými permutačním skupinám a geometrie akce může být užitečně využita ke stanovení vlastností skupiny G .

Transformační skupiny

Permutační grupy a maticové grupy jsou speciálními případy transformačních grup : grup, které působí na určitý prostor X při zachování jeho vlastní struktury. V případě permutačních skupin je X množina; pro maticové skupiny je X vektorový prostor . Pojem transformační grupy úzce souvisí s pojmem grupa symetrie : transformační grupy se často skládají ze všech transformací, které zachovávají určitou strukturu.

Teorie transformačních grup tvoří most spojující teorii grup s diferenciální geometrií . Dlouhá řada výzkumů, pocházející od Lie a Kleina , zvažuje skupinové akce na varietách pomocí homeomorfismů nebo difeomorfismů . Skupiny samotné mohou být diskrétní nebo spojité .

Abstraktní skupiny

Většina skupin zvažovaných v první fázi vývoje teorie grup byla „konkrétní“, která byla realizována prostřednictvím čísel, permutací nebo matic. Až koncem devatenáctého století se začala prosazovat myšlenka abstraktní grupy jako množiny s operacemi splňujícími určitý systém axiomů. Typickým způsobem specifikace abstraktní skupiny je prezentace pomocí generátorů a vztahů ,

Významný zdroj abstraktních grup je dán konstrukcí faktorové grupy nebo kvocientové grupy , G / H , grupy G normální podgrupou H. Třídní skupiny algebraických číselných polí byly mezi nejčasnější příklady skupin faktoru, hodně zájmu v teorii čísel . Jestliže je skupina G permutační skupinou na množině X , faktorová skupina G / H již na X nepůsobí ; ale myšlenka abstraktní skupiny umožňuje, aby se člověk tímto rozporem netrápil.

Změna perspektivy z konkrétních na abstraktní grupy činí přirozeným uvažovat vlastnosti grup, které jsou nezávislé na konkrétní realizaci, nebo v moderním jazyce invariantní podle izomorfismu , stejně jako třídy grup s danou takovou vlastností: konečné grupy , periodické grupy , jednoduché grupy , řešitelné grupy a tak dále. Namísto zkoumání vlastností jednotlivé skupiny se člověk snaží stanovit výsledky, které platí pro celou třídu skupin. Nové paradigma mělo prvořadý význam pro vývoj matematiky: předznamenalo vytvoření abstraktní algebry v dílech Hilberta , Emila Artina , Emmy Noetherové a matematiků jejich školy.

Skupiny s doplňkovou strukturou

K důležitému rozpracování představy o skupině dochází, je-li G vybaveno další strukturou, zejména topologickým prostorem , diferencovatelnou varietou nebo algebraickou rozmanitostí . Pokud skupinové operace m (násobení) a i (inverze),

jsou kompatibilní s touto strukturou, to znamená, že jsou spojité , hladké nebo pravidelné (ve smyslu algebraické geometrie) mapy, pak G je topologická grupa , Lieova grupa nebo algebraická grupa .

Přítomnost zvláštní struktury spojuje tyto typy skupin s jinými matematickými disciplínami a znamená, že pro jejich studium je k dispozici více nástrojů. Topologické grupy tvoří přirozenou doménu pro abstraktní harmonickou analýzu , zatímco Lieovy grupy (často realizované jako transformační grupy) jsou hlavními pilíři diferenciální geometrie a teorie jednotné reprezentace . Určité klasifikační otázky, které nelze vyřešit obecně, lze přistupovat a řešit pro speciální podtřídy skupin. Kompaktní spojené Lieovy grupy tak byly kompletně klasifikovány. Mezi nekonečnými abstraktními skupinami a topologickými skupinami existuje plodný vztah: kdykoli lze skupinu Γ realizovat jako mříž v topologické skupině G , geometrie a analýza týkající se G přinesou důležité výsledky o Γ . Poměrně nedávný trend v teorii konečných grup využívá jejich spojení s kompaktními topologickými grupami ( profinitní grupy ): například jedna p -adická analytická grupa G má rodinu kvocientů, které jsou konečnými p - grupami různých řádů a vlastností. z G převést do vlastností jeho konečných kvocientů.

Odvětví teorie grup

Teorie konečných grup

Během dvacátého století matematici do velké hloubky zkoumali některé aspekty teorie konečných grup, zejména místní teorii konečných grup a teorii řešitelných a nilpotentních grup . V důsledku toho bylo dosaženo úplné klasifikace konečných jednoduchých grup , což znamená, že všechny ty jednoduché grupy , ze kterých lze sestavit všechny konečné grupy, jsou nyní známy.

Během druhé poloviny dvacátého století matematici jako Chevalley a Steinberg také zvýšili naše chápání konečných analogů klasických grup a dalších příbuzných skupin. Jedna taková rodina grup je rodina obecných lineárních grup nad konečnými poli . Konečné grupy se často vyskytují při zvažování symetrie matematických nebo fyzických objektů, kdy tyto objekty připouštějí jen konečný počet transformací zachovávajících strukturu. Teorie Lieových grup , která může být považována za jednání s „ nepřetržitou symetrií “, je silně ovlivněna sdruženými Weylovými skupinami . Jedná se o konečné grupy generované odrazy, které působí na konečnorozměrný euklidovský prostor . Vlastnosti konečných grup tak mohou hrát roli v předmětech, jako je teoretická fyzika a chemie .

Reprezentace skupin

Tvrzení, že skupina G působí na množinu X , znamená, že každý prvek G definuje bijektivní mapu na množině X způsobem kompatibilním se strukturou skupiny. Když má X více struktury, je užitečné tento pojem dále omezit: reprezentace G na vektorovém prostoru V je grupový homomorfismus :

kde GL ( V ) se skládá z invertibilních lineárních transformací V. Jinými slovy, každému prvku skupiny g je přiřazen automorfismus ρ ( g ) takový, že ρ ( g ) ∘ ρ ( h ) = ρ ( gh ) pro libovolné h v G .

Tuto definici lze chápat ve dvou směrech, z nichž oba dávají vzniknout zcela novým oblastem matematiky. Na jednu stranu může přinést nové informace o grupě G : často je grupová operace v G daná abstraktně, ale přes ρ odpovídá násobení matic , což je velmi explicitní. Na druhou stranu, vzhledem k dobře srozumitelné skupině působící na komplikovaný objekt to zjednodušuje studium daného objektu. Například, jestliže G je konečný, je známo, že V nahoře se rozkládá na neredukovatelné části (viz Maschkeův teorém ). Tyto části jsou zase mnohem snadněji ovladatelné než celé V (přes Schurovo lemma ).

Vzhledem ke skupině G se teorie reprezentace ptá, jaká reprezentace G existují. Existuje několik nastavení a použité metody a získané výsledky jsou v každém případě poněkud odlišné: teorie reprezentace konečných grup a reprezentace Lieových grup jsou dvě hlavní subdomény teorie. Celkový počet reprezentací se řídí postavami skupiny . Například Fourierovy polynomy lze interpretovat jako znaky U(1) , skupiny komplexních čísel absolutní hodnoty 1 , působící na L 2 -prostor periodických funkcí.

Teorie lži

Lieova grupa je grupa , která je také diferencovatelnou varietou s tou vlastností, že grupové operace jsou slučitelné s hladkou strukturou . Lieovy grupy jsou pojmenovány po Sophusovi Lieovi , který položil základy teorie spojitých transformačních grup . Termín groupes de Lie se poprvé objevil ve francouzštině v roce 1893 v tezi Lieova studenta Arthura Tresse , strana 3.

Lieovy grupy představují nejlépe propracovanou teorii spojité symetrie matematických objektů a struktur , což z nich dělá nepostradatelné nástroje pro mnoho částí současné matematiky i pro moderní teoretickou fyziku . Poskytují přirozený rámec pro analýzu spojitých symetrií diferenciálních rovnic ( diferenciální Galoisova teorie ), v podstatě stejným způsobem, jako se permutační grupy používají v Galoisově teorii pro analýzu jednotlivých symetrií algebraických rovnic . Rozšíření Galoisovy teorie na případ spojitých grup symetrie bylo jednou z Lieových hlavních motivací.

Kombinatorická a geometrická teorie grup

Skupiny lze popsat různými způsoby. Konečné grupy lze popsat zapsáním tabulky grup sestávající ze všech možných násobení gh . Kompaktnější způsob definování skupiny je pomocí generátorů a relací , nazývaných také prezentace skupiny. Daná libovolná množina F generátorů se volná skupina generovaná F přenese na grupu G . Jádro této mapy se nazývá podskupina relací, generovaná nějakou podmnožinou D . Prezentace se obvykle označuje například Skupinová prezentace popisuje skupinu, která je izomorfní k Řetězec sestávající z generátorových symbolů a jejich inverzí se nazývá slovo .

Kombinatorická teorie grup studuje grupy z pohledu generátorů a vztahů. Je to užitečné zejména tam, kde jsou splněny předpoklady konečnosti, například konečně generované grupy nebo konečně prezentované grupy (tj. navíc vztahy jsou konečné). Oblast využívá spojení grafů přes jejich základní skupiny . Například lze ukázat, že každá podskupina volné skupiny je volná.

Existuje několik přirozených otázek, které vyvstávají z dávání skupiny formou její prezentace. Slovní problém se ptá, zda jsou dvě slova ve skutečnosti stejným skupinovým prvkem. Vztažením problému k Turingovým strojům lze ukázat, že obecně neexistuje žádný algoritmus , který by tuto úlohu řešil. Dalším, obecně těžším, algoritmicky neřešitelným problémem je problém skupinového izomorfismu , který se ptá, zda jsou dvě skupiny dané různými prezentacemi skutečně izomorfní. Například skupina s prezentací je izomorfní k aditivní skupině Z celých čísel, i když to nemusí být okamžitě zřejmé.

Cayleyho graf ⟨ x, y ∣ ⟩, volná skupina pořadí 2.

Geometrická teorie grup útočí na tyto problémy z geometrického hlediska, buď tím, že na skupiny nahlíží jako na geometrické objekty, nebo tím, že najde vhodné geometrické objekty, na které skupina působí. První myšlenka je upřesněna pomocí Cayleyova grafu , jehož vrcholy odpovídají prvkům grupy a hrany odpovídají správnému násobení ve skupině. Zadané dva prvky, jeden zkonstruuje slovo metrika daná délkou minimální cesty mezi prvky. Milnorova a Švarcova věta pak říká, že za předpokladu, že grupa G působí rozumným způsobem na metrický prostor X , například kompaktní varieta , pak G je kvaziizometrický (tj. vypadá podobně z dálky) s prostorem X .

Spojení grup a symetrie

Vzhledem ke strukturovanému objektu X jakéhokoli druhu je symetrie mapováním objektu na sebe, které zachovává strukturu. K tomu dochází v mnoha případech, např

  1. Jestliže X je množina bez další struktury, symetrie je bijektivní mapa od množiny k sobě samé, což vede ke vzniku permutačních skupin.
  2. Jestliže objekt X je množina bodů v rovině s jeho metrickou strukturou nebo nějakým jiným metrickým prostorem , symetrie je bijekce množiny sama k sobě, která zachovává vzdálenost mezi každou dvojicí bodů ( izometrie ). Odpovídající skupina se nazývá izometrická skupina X .
  3. Pokud jsou místo toho zachovány úhly , mluví se o konformních mapách . Z konformních map vznikají například kleinovské skupiny .
  4. Symetrie nejsou omezeny na geometrické objekty, ale zahrnují také algebraické objekty. Například rovnice má dvě řešení a . V tomto případě skupina, která zaměňuje dva kořeny, je Galoisova grupa patřící do rovnice. Každá polynomická rovnice v jedné proměnné má Galoisovu grupu, tedy určitou permutační grupu na jejích kořenech.

Axiómy skupiny formalizují základní aspekty symetrie . Symetrie tvoří skupinu: jsou uzavřené , protože pokud vezmete symetrii objektu a poté použijete jinou symetrii, výsledkem bude stále symetrie. Identita, která udržuje objekt pevný, je vždy symetrií objektu. Existence inverzí je zaručena zrušením symetrie a asociativita vychází ze skutečnosti, že symetrie jsou funkce na prostoru a skládání funkcí je asociativní.

Fruchtův teorém říká, že každá grupa je grupou symetrie nějakého grafu . Takže každá abstraktní skupina je vlastně symetrií nějakého explicitního objektu.

Rčení o „zachování struktury“ předmětu lze upřesnit prací v kategorii . Mapy zachovávající strukturu jsou pak morfismy a skupina symetrie je skupina automorfismu daného objektu.

Aplikace teorie grup

Aplikace teorie grup je hojná. Téměř všechny struktury v abstraktní algebře jsou speciální případy grup. Prsteny lze například považovat za abelovské skupiny (odpovídající sčítání) spolu s druhou operací (odpovídající násobení). Základem velké části teorie těchto entit jsou proto skupinové teoretické argumenty.

Galoisova teorie

Galoisova teorie používá grupy k popisu symetrií kořenů polynomu (nebo přesněji automorfismů algeber generovaných těmito kořeny). Základní teorém Galoisovy teorie poskytuje spojení mezi rozšířením algebraického pole a teorií grup. Poskytuje efektivní kritérium pro řešitelnost polynomiálních rovnic z hlediska řešitelnosti odpovídající Galoisovy grupy . Například S 5 , symetrická skupina v 5 prvcích, není řešitelná, z čehož vyplývá, že obecnou kvintickou rovnici nelze vyřešit radikály tak, jak to mohou řešit rovnice nižšího stupně. Teorie, která je jedním z historických kořenů teorie grup, je stále plodně aplikována k získání nových výsledků v oblastech, jako je teorie třídního pole .

Algebraická topologie

Algebraická topologie je další doména, která prominentně sdružuje skupiny k objektům, o které se teorie zajímá. Tam se skupiny používají k popisu jistých invariantů topologických prostorů . Říká se jim „invarianty“, protože jsou definovány tak, že se nemění, pokud je prostor vystaven nějaké deformaci . Například základní skupina „počítá“, kolik cest v prostoru je podstatně odlišných. Poincarého domněnka , dokázaná v letech 2002/2003 Grigori Perelmanem , je prominentní aplikací této myšlenky. Vliv však není jednosměrný. Například algebraická topologie využívá Eilenberg-MacLaneovy prostory , což jsou prostory s předepsanými homotopickými skupinami . Podobně algebraická K-teorie spoléhá svým způsobem na klasifikaci prostorů grup. Konečně název torzní podgrupy nekonečné grupy ukazuje dědictví topologie v teorii grup.

Torus. Jeho abelovská grupová struktura je indukována z mapy CC / ( Z + τ Z ) , kde τ je parametr žijící v horní polorovině .

Algebraická geometrie

Algebraická geometrie rovněž využívá teorii grup mnoha způsoby. Abelovské odrůdy byly představeny výše. Přítomnost skupinové operace poskytuje další informace, díky nimž jsou tyto odrůdy obzvláště dostupné. Často také slouží jako test pro nové dohady. Podrobně je studován jednorozměrný případ, konkrétně eliptické křivky . Jsou teoreticky i prakticky zajímavé. V jiném směru jsou torické variety algebraické variety , na které působí torus . Toroidální vkládání nedávno vedlo k pokrokům v algebraické geometrii , zejména rozlišení singularit .

Algebraická teorie čísel

Algebraická teorie čísel využívá grup pro některé důležité aplikace. Například Eulerův vzorec produktu ,

vystihuje skutečnost , že jakékoli celé číslo se jedinečným způsobem rozkládá na prvočísla . Selhání tohoto tvrzení pro obecnější kruhy dá svah třídním skupinám a pravidelným prvočíslům , které se objevují v Kummerově léčbě Fermatovy poslední věty .

Harmonická analýza

Analýza na Lieových grupách a jistých jiných grupách se nazývá harmonická analýza . Haarovy míry , tj. integrály invariantní pod překladem v Lieově grupě, se používají pro rozpoznávání vzorů a další techniky zpracování obrazu .

Kombinatorika

V kombinatorice se pojem permutační skupiny a pojem skupinové akce často používají ke zjednodušení počítání množiny objektů; viz zejména Burnsideovo lemma .

Kruh kvint může být vybaven cyklickou skupinovou strukturou

Hudba

Přítomnost 12- periodicity v kruhu kvint poskytuje aplikace elementární teorie grup v hudební teorii množin . Transformační teorie modeluje hudební transformace jako prvky matematické grupy.

Fyzika

Ve fyzice jsou skupiny důležité, protože popisují symetrie, které fyzikální zákony, jak se zdá, dodržují. Podle Noetherova teorému každá spojitá symetrie fyzikálního systému odpovídá zákonu zachování systému. Fyzici se velmi zajímají o skupinové reprezentace, zejména Lieovy grupy, protože tyto reprezentace často ukazují cestu k „možným“ fyzikálním teoriím. Příklady použití skupin ve fyzice zahrnují standardní model , teorii měřidla , Lorentzovu skupinu a Poincaré skupinu .

Teorii grup lze použít k vyřešení neúplnosti statistických výkladů mechaniky vyvinuté Willardem Gibbsem , které se týkají sčítání nekonečného počtu pravděpodobností, aby se dosáhlo smysluplného řešení.

Chemie a věda o materiálech

V chemii a vědě o materiálech se skupiny bodů používají ke klasifikaci pravidelných mnohostěnů a symetrií molekul a skupin prostoru ke klasifikaci krystalových struktur . Přiřazené skupiny pak lze použít k určení fyzikálních vlastností (jako je chemická polarita a chiralita ), spektroskopických vlastností (obzvláště užitečné pro Ramanovu spektroskopii , infračervenou spektroskopii , spektroskopii kruhového dichroismu, spektroskopii magnetického kruhového dichroismu, UV/Vis spektroskopii a fluorescenční spektroskopii) a ke konstrukci molekulárních orbitalů .

Molekulární symetrie je zodpovědná za mnoho fyzikálních a spektroskopických vlastností sloučenin a poskytuje relevantní informace o tom, jak probíhají chemické reakce. Aby bylo možné přiřadit bodové grupy pro danou molekulu, je nutné najít sadu operací symetrie, které se na ní vyskytují. Operace symetrie je akce, jako je rotace kolem osy nebo odraz přes zrcadlovou rovinu. Jinými slovy, je to operace, která pohybuje molekulou tak, že je k nerozeznání od původní konfigurace. V teorii grup se rotační osy a zrcadlové roviny nazývají „prvky symetrie“. Těmito prvky může být bod, čára nebo rovina, vzhledem k níž se provádí operace symetrie. Operace symetrie molekuly určují specifickou bodovou skupinu pro tuto molekulu.

Molekula vody s osou symetrie

V chemii existuje pět důležitých operací symetrie. Jsou to operace identity ( E) , operace rotace nebo správné rotace ( Cn ), operace odrazu ( σ ), inverze ( i ) a operace odrazu rotace nebo nesprávné rotace ( Sn ) . Operace identity ( E ) spočívá v ponechání molekuly tak, jak je. To je ekvivalentní libovolnému počtu úplných otočení kolem libovolné osy. Toto je symetrie všech molekul, zatímco skupina symetrie chirální molekuly sestává pouze z operace identity. Operace identity je charakteristická pro každou molekulu, i když nemá žádnou symetrii. Rotace kolem osy ( C n ) spočívá v rotaci molekuly kolem konkrétní osy o specifický úhel. Je to rotace o úhel 360°/ n , kde n je celé číslo, kolem osy rotace. Pokud se například molekula vody otočí o 180° kolem osy, která prochází atomem kyslíku a mezi atomy vodíku, je ve stejné konfiguraci, v jaké začala. V tomto případě n = 2 , protože jeho dvojité použití vytváří operaci identity. V molekulách s více než jednou rotační osou je osa Cn s největší hodnotou n rotační osou nebo hlavní osou nejvyššího řádu. Například u fluoridu boritého (BF 3 ) je osa rotace nejvyššího řádu C 3 , takže hlavní osa rotace je C 3 .

Při operaci odrazu ( σ ) má mnoho molekul zrcadlové roviny, i když nemusí být zřejmé. Operace odrazu se vymění doleva a doprava, jako by se každý bod pohyboval kolmo rovinou do polohy přesně tak vzdálené od roviny, jako když začal. Když je rovina kolmá k hlavní ose rotace, nazývá se σ h (horizontální). Ostatní roviny, které obsahují hlavní osu rotace, jsou označeny vertikální ( σ v ) nebo dihedrální ( σ d ).

Inverze (i) je složitější operace. Každý bod se pohybuje středem molekuly do polohy naproti původní poloze a tak daleko od centrálního bodu, kde začal. Mnoho molekul, které na první pohled vypadají, že mají inverzní centrum, nemají; například metan a další tetraedrické molekuly postrádají inverzní symetrii. Chcete-li to vidět, držte model metanu se dvěma atomy vodíku ve vertikální rovině vpravo a dvěma atomy vodíku v horizontální rovině vlevo. Inverze má za následek dva atomy vodíku v horizontální rovině vpravo a dva atomy vodíku ve vertikální rovině vlevo. Inverze tedy není operací symetrie metanu, protože orientace molekuly následující po operaci inverze se liší od původní orientace. A poslední operace je nesprávná rotace nebo operace odrazu rotace ( Sn ) vyžaduje rotaci o 360°/ n , po níž následuje odraz rovinou kolmou k ose rotace.

Kryptografie

Pro kryptografii s veřejným klíčem slouží velmi velké skupiny prvotřídních řádů konstruované v kryptografii eliptických křivek . Kryptografické metody tohoto druhu těží z flexibility geometrických objektů, potažmo jejich skupinových struktur, spolu s komplikovanou strukturou těchto skupin, což velmi ztěžuje výpočet diskrétního logaritmu . Jeden z nejstarších šifrovacích protokolů, Caesarova šifra , může být také interpretován jako (velmi snadná) skupinová operace. Většina kryptografických schémat nějakým způsobem využívá skupiny. Zejména výměna klíčů Diffie–Hellman používá konečné cyklické skupiny. Takže termín skupinová kryptografie se většinou týká kryptografických protokolů, které používají nekonečné neabelovské skupiny, jako je skupina copánků.

Cyklická skupina Z 26 je základem Caesarovy šifry .

Dějiny

Teorie grup má tři hlavní historické zdroje: teorii čísel , teorii algebraických rovnic a geometrii . Číselná teoretická část byla zahájena Leonhardem Eulerem a vyvinuta Gaussovou prací na modulární aritmetice a aditivních a multiplikativních grupách souvisejících s kvadratickými poli . První výsledky o permutačních grupách získali Lagrange , Ruffini a Abel při hledání obecných řešení polynomických rovnic vysokého stupně. Évariste Galois vytvořil termín „skupina“ a vytvořil spojení, nyní známé jako Galoisova teorie , mezi rodící se teorií skupin a teorií pole . V geometrii, skupiny nejprve staly se důležité v projektivní geometrii a, pozdnější, non-euklidovská geometrie . Erlangenský program Felixe Kleina prohlásil teorii grup za organizační princip geometrie.

Galois ve 30. letech 19. století jako první použil skupiny k určení řešitelnosti polynomiálních rovnic . Arthur Cayley a Augustin Louis Cauchy posunuli tato vyšetřování dále vytvořením teorie permutačních grup. Druhý historický pramen pro skupiny vychází z geometrických situací. Ve snaze přijít na kloub možným geometriím (jako je euklidovská , hyperbolická nebo projektivní geometrie ) pomocí teorie grup inicioval Felix Klein program Erlangen . Sophus Lie v roce 1884 začal používat skupiny (nyní nazývané Lieovy skupiny ) spojené s analytickými problémy. Za třetí, grupy byly nejprve implicitně a později explicitně použity v algebraické teorii čísel .

Různý rozsah těchto raných zdrojů měl za následek různé představy o skupinách. Teorie grup byla sjednocena počínaje kolem roku 1880. Od té doby dopad teorie grup stále rostl, což dalo vzniknout na počátku 20. století abstraktní algebře , teorii reprezentace a mnoha dalších vlivných vedlejších doménách. Klasifikace konečných jednoduchých grup je rozsáhlá práce z poloviny 20. století, která klasifikuje všechny konečné jednoduché grupy .

Viz také

Poznámky

  1. ^ Elwes, Richard (prosinec 2006), „Obrovský teorém: klasifikace konečných jednoduchých grup“ , Plus Magazine (41)
  2. ^ Tento proces vnucování zvláštní struktury byl formalizován prostřednictvím pojmu skupinového objektu ve vhodné kategorii . Lieovy grupy jsou tedy grupovými objekty v kategorii diferencovatelných variet a afinní algebraické grupy jsou grupovými objekty v kategorii afinních algebraických variet.
  3. ^ Jako je skupina kohomologie nebo ekvivariantní K-teorie .
  4. ^ Zejména pokud je zobrazení věrné .
  5. ^ Arthur Tresse (1893), „Sur les invariants différentiels des groupes continus de Transformations“ , Acta Mathematica , 18 : 1–88, doi : 10.1007/bf02418270
  6. ^ Schupp & Lyndon 2001
  7. ^ Psaní, člověk má
  8. ^ La Harpe 2000
  9. ^ Například Hodgeova domněnka (v určitých případech).
  10. ^ Viz dohad Birch a Swinnerton-Dyer , jeden z problémů tisíciletí
  11. ^ Abramovič, Dan; Karu, Kalle; Matsuki, Kenji; Wlodarczyk, Jaroslaw (2002), "Torifikace a faktorizace biracionálních map", Journal of the American Mathematical Society , 15 (3): 531–572, arXiv : math/9904135 , doi : 10.1090/S0894-0347 X , MR  1896232 , S2CID  18211120
  12. ^ Lenz, Reiner (1990), Skupinové teoretické metody zpracování obrazu , Poznámky k přednáškám z informatiky, sv. 413, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-52290-5 , ISBN 978-0-387-52290-6, S2CID  2738874
  13. ^ Norbert Wiener , Kybernetika: Nebo kontrola a komunikace u zvířat a strojů, ISBN  978-0262730099 , kap 2

Reference

externí odkazy