Gyroradius - Gyroradius

Gyrorádius (také známý jako poloměru otáčení , poloměr Larmorově nebo poloměr cyklotronu ) je poloměr kruhového pohybu na nabité částice v přítomnosti jednotného magnetického pole . V jednotkách SI je nerelativistický gyroradius dán vztahem

${\ displaystyle r_ {g} = {\ frac {mv _ {\ perp}} {| q | B}}}$

kde je hmotnost částice, je složka rychlosti kolmé na směr magnetického pole, je elektrický náboj částice a je síla magnetického pole. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v _ {\ perp}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle B}$

Úhlová frekvence tohoto kruhového pohybu je známý jako gyrofrequency nebo frekvence cyklotronu , a může být vyjádřen jako

${\ displaystyle \ omega _ {g} = {\ frac {| q | B} {m}}}$

v jednotkách radiánů /sekundu.

Varianty

Často je užitečné dát gyrofrekvenci znak s definicí

${\ displaystyle \ omega _ {g} = {\ frac {qB} {m}}}$

nebo to vyjádřete v jednotkách hertzů pomocí

${\ displaystyle f_ {g} = {\ frac {qB} {2 \ pi m}}}$.

U elektronů lze tuto frekvenci snížit na

${\ Displaystyle f_ {g, e} = (2,8 \ times 10^{10} \, \ mathrm {hertz} /\ mathrm {tesla}) \ times B}$.

V jednotkách CGS gyroradius

${\ displaystyle r_ {g} = {\ frac {mcv _ {\ perp}} {| q | B}}}$

a odpovídající gyrofrekvence

${\ displaystyle \ omega _ {g} = {\ frac {| q | B} {mc}}}$

zahrnovat faktor , to je rychlost světla, protože magnetické pole je vyjádřeno v jednotkách . ${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle [B] = g^{1/2} cm^{-1/2} s^{-1}}$

Relativistický případ

Pro relativistické částice je třeba klasickou rovnici interpretovat pomocí hybnosti částic : ${\ displaystyle p = \ gamma mv}$

${\ displaystyle r_ {g} = {\ frac {p _ {\ perp}} {| q | B}} = {\ frac {\ gamma mv _ {\ perp}} {| q | B}}}$

kde je Lorentzův faktor . Tato rovnice je správná i v nerelativistickém případě. ${\ displaystyle \ gamma}$

Pro výpočty ve fyzice urychlovačů a astročástic lze vzorec pro gyroradius upravit tak, aby poskytoval

${\ Displaystyle r_ {g}/\ mathrm {meter} = 3,3 \ times {\ frac {(\ gamma mc^{2}/\ mathrm {GeV}) (v _ {\ perp}/c)} {(| q |/e) (B/\ mathrm {Tesla})}}}}$,

kde je rychlost světla, je jednotka Giga - elektronVoltů a je elementární náboj . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mathrm {GeV}}$${\ displaystyle e}$

Derivace

Pokud se nabitá částice pohybuje, zažije Lorentzovu sílu danou

${\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {v}} \ times {\ vec {B}})}$,

kde je vektor rychlosti a je vektor magnetického pole. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

Všimněte si, že směr síly je dán křížovým součinem rychlosti a magnetického pole. Lorentzova síla tedy bude vždy působit kolmo na směr pohybu, což způsobí, že částice bude gyrovat nebo se bude pohybovat v kruhu. Poloměr této kružnice, lze určit tak, že velikost Lorentzovy síly se rovná dostředivé síle jako ${\ displaystyle r_ {g}}$

${\ displaystyle {\ frac {mv _ {\ perp}^{2}} {r_ {g}}} = | q | v _ {\ perp} B}$.

Přeskupením lze gyroradius vyjádřit jako

${\ displaystyle r_ {g} = {\ frac {mv _ {\ perp}} {| q | B}}}$.

Gyroradius je tedy přímo úměrný hmotnosti částic a kolmé rychlosti, zatímco je nepřímo úměrný elektrickému náboji částic a síle magnetického pole. Lze vypočítat dobu , kterou částice potřebuje k dokončení jedné otáčky, nazývanou perioda

${\ displaystyle T_ {g} = {\ frac {2 \ pi r_ {g}} {v _ {\ perp}}}}}$.

Protože období je převrácenou frekvencí, kterou jsme našli

${\ displaystyle f_ {g} = {\ frac {1} {T_ {g}}} = {\ frac {| q | B} {2 \ pi m}}}$

a proto

${\ displaystyle \ omega _ {g} = {\ frac {| q | B} {m}}}$.

Viz také

• Tuhost paprsku
• Cyklotronová frekvence
• Cyklotron
• Pohyb částic magnetosféry
• Gyrokinetika

Reference