Hagen – Poiseuilleova rovnice - Hagen–Poiseuille equation
Část série na |
Mechanika kontinua |
---|
V nonideal dynamice tekutin je Hagen-Poiseuilleova rovnice , známá také jako Hagen-Poiseuilleův zákon , Poiseuilleův zákon nebo Poiseuilleova rovnice , je fyzikální zákon, který dává pokles tlaku v nestlačitelné a newtonovské tekutině v laminárním proudění protékajícím dlouhou válcovou trubkou konstantního průřezu. Může být úspěšně aplikován na proudění vzduchu v plicních alveolách nebo na průtok pitnou slámou nebo injekční jehlou . To bylo experimentálně odvozeno nezávisle Jean Léonard Marie Poiseuille v roce 1838 a Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen a publikováno Poiseuille v letech 1840–41 a 1846. Teoretické zdůvodnění Poiseuillského zákona podal George Stokes v roce 1845.
Předpoklady rovnice jsou takové, že tekutina je nestlačitelná a newtonská ; proudění laminární trubkou o konstantní s kruhovým průřezem, které je podstatně delší než jeho průměr; a nedochází k žádnému zrychlení kapaliny v potrubí. U rychlostí a průměrů potrubí nad prahovou hodnotou není skutečný průtok kapaliny laminární, ale turbulentní , což vede k větším poklesům tlaku, než je vypočítáno Hagen-Poiseuilleovou rovnicí.
Poiseuilleova rovnice popisuje pokles tlaku v důsledku viskozity kapaliny; V kapalině se mohou stále vyskytovat jiné typy poklesů tlaku (viz ukázka zde). Například, je tlak potřebný pro pohon viskózní kapalina se proti gravitaci bude obsahovat oba, že podle potřeby v poiseuille zákonu a že podle potřeby v Bernoulliho rovnice , takže každé místo v proudu by mít tlak větší než nula (jinak by žádný tok přihodit se).
Dalším příkladem je, když krev proudí do užší zúžení , jeho rychlost je větší, než ve větším průměrem (kvůli kontinuity z objemového průtoku ), a jeho tlak bude nižší, než ve větším průměru (v důsledku Bernoulliho rovnice). Viskozita krve však způsobí další pokles tlaku ve směru toku, který je úměrný ujeté délce (podle Poiseuilleova zákona). Oba efekty přispívají ke skutečnému poklesu tlaku.
Rovnice
Ve standardní notaci kinetiky tekutin:
kde:
- Δ p je tlakový rozdíl mezi oběma konci,
- L je délka trubky,
- μ je dynamická viskozita ,
- Q je objemový průtok ,
- R je poloměr potrubí ,
- A je průřez trubky.
Rovnice nedrží blízko vstupu do potrubí.
Rovnice selže v limitu nízké viskozity, širokého a / nebo krátkého potrubí. Nízká viskozita nebo široká trubka mohou mít za následek turbulentní proudění, takže je nutné použít složitější modely, jako je Darcyho-Weisbachova rovnice . Aby byl platný zákon Hagen – Poiseuille, měl by být poměr délky k poloměru trubky větší než jedna čtyřicetina osmina Reynoldsova čísla . Pokud je potrubí příliš krátké, může mít Hagen – Poiseuilleova rovnice za následek fyzicky vysoké průtoky; tok je omezen Bernoulliho principem , za méně omezujících podmínek, tím
protože je nemožné mít v nestlačitelném průtoku tlak nižší než nula (absolutní) (nezaměňovat s přetlakem ).
Vztah k Darcy-Weisbachově rovnici
Normálně tok Hagen – Poiseuille implikuje nejen vztah pro pokles tlaku výše, ale také úplné řešení pro profil laminárního toku, který je parabolický. Výsledek poklesu tlaku však lze rozšířit na turbulentní proudění odvozením účinné turbulentní viskozity v případě turbulentního proudění, přestože profil proudění v turbulentním proudění není striktně řečeno ve skutečnosti parabolický. V obou případech, laminární nebo turbulentní, pokles tlaku souvisí s napětím na stěně, které určuje takzvaný třecí faktor. Napětí stěny lze určit fenomenologicky pomocí Darcyho-Weisbachovy rovnice v oblasti hydrauliky , vzhledem ke vztahu pro součinitel tření z hlediska Reynoldsova čísla. V případě laminárního proudění pro kruhový průřez:
kde Re je Reynoldsovo číslo , ρ je hustota kapaliny a v je střední rychlost proudění, což je polovina maximální rychlosti proudění v případě laminárního proudění. Ukazuje se užitečnější definovat Reynoldsovo číslo z hlediska střední rychlosti proudění, protože toto množství zůstává dobře definované i v případě turbulentního proudění, zatímco maximální rychlost proudění nemusí být, nebo v každém případě může být obtížné odvodit . V této formě se zákon aproximuje Darcyho třecí faktor , energetický (tlakový) ztrátový faktor , ztrátový třecí faktor nebo Darcyho (třecí) faktor Λ v laminárním proudění při velmi nízkých rychlostech ve válcové trubce. Teoretické odvození mírně odlišné formy zákona provedli nezávisle Wiedman v roce 1856 a Neumann a E. Hagenbach v roce 1858 (1859, 1860). Hagenbach byl první, kdo tento zákon nazval Poiseuilleovým zákonem.
Zákon je také velmi důležitý v hemorheologii a hemodynamice , obou oborech fyziologie .
Poiseuilleův zákon byl později v roce 1891 rozšířen na turbulentní proudění L. R. Wilberforce na základě Hagenbachovy práce.
Derivace
Hagen-Poiseuilleovu rovnici lze odvodit z Navier-Stokesových rovnic . Laminární proudění trubkou rovnoměrného (kruhového) průřezu je známé jako Hagen-Poiseuille toku. Rovnice, kterými se řídí tok Hagen – Poiseuille, lze odvodit přímo z rovnic hybnosti Navier – Stokes ve 3D válcových souřadnicích pomocí následující sady předpokladů:
- Průtok je stálý ( ).
- Radiální a azimutální složky rychlosti tekutiny jsou nula ( ).
- Tok je osově souměrný ( ).
- Tok je plně rozvinutý ( ). Zde to však lze dokázat pomocí hromadné ochrany a výše uvedených předpokladů.
Pak jsou úhlová rovnice v rovnicích hybnosti a rovnice kontinuity shodně splněna. Rovnice radiální hybnosti se sníží na , tj. Tlak je funkcí pouze osové souřadnice . Pro stručnost použijte místo . Rovnice osového momentu se redukuje na
kde je dynamická viskozita kapaliny. Ve výše uvedené rovnici je levá strana pouze funkcí a člen na pravé straně je pouze funkcí, z čehož vyplývá, že oba členy musí být stejnou konstantou. Vyhodnocení této konstanty je přímé. Vezmeme-li délku potrubí, která má být, a označíme tlakový rozdíl mezi dvěma konci potrubí (vysoký tlak minus nízký tlak), pak je konstanta jednoduše definována tak, aby byla kladná. Řešení je
Vzhledem k tomu musí být konečný u , . Protiskluzová okrajová podmínka na stěně trubky vyžaduje, aby na (poloměr trubky), která vede, Máme tedy konečně následující parabolický rychlostní profil:
Maximální rychlost se vyskytuje v ose potrubí ( ) . Průměrnou rychlost lze získat integrací přes průřez potrubí ,
Snadno měřitelnou veličinou v experimentech je objemový průtok . Přeskupení tohoto dává Hagen-Poiseuilleovu rovnici
Propracovaná derivace vycházející přímo z prvních principů Ačkoli je zdlouhavější než přímé použití Navier-Stokesových rovnic , alternativní metoda odvození Hagen-Poiseuilleovy rovnice je následující. Průtok kapaliny potrubím
Předpokládejme, že kapalina vykazuje laminární proudění . Laminární proudění v kulaté trubce předepisuje, že existuje spousta kruhových vrstev (lamina) kapaliny, z nichž každá má rychlost určovanou pouze jejich radiální vzdáleností od středu trubice. Předpokládejme také, že střed se pohybuje nejrychleji, zatímco kapalina dotýkající se stěn trubice je stacionární (kvůli neklouzavosti ).Abychom zjistili pohyb kapaliny, musí být známy všechny síly působící na každou vrstvu:
- Tlaková síla tlačí kapalinu trubkou je změna tlaku vynásobí oblasti: F = - Δ p . Tato síla je ve směru pohybu kapaliny. Záporné znaménko pochází z konvenčního způsobu, jakým definujeme Δ p = p konec - p vrchol <0 .
- Viskozitní efekty se budou táhnout z rychlejší laminy bezprostředně blíže ke středu trubice.
- Viskozitní efekty se budou táhnout z pomalejší laminy bezprostředně blíže ke stěnám trubice.
Viskozita
Když se dvě vrstvy kapaliny ve vzájemném kontaktu pohybují různými rychlostmi, bude mezi nimi působit smyková síla . Tato síla je proporcionální k oblasti kontaktu A , rychlost gradientu kolmo ke směru proudění Δ v x/Δ ya konstanta proporcionality (viskozita) a je dána vztahem
Záporné znaménko je v tom, protože se zabýváme rychlejší tekutinou (nahoře na obrázku), kterou zpomaluje pomalejší kapalina (dole na obrázku). Podle třetího Newtonova pohybového zákona je síla na pomalejší kapalinu stejná a opačná (bez negativního znaménka) vůči síle na rychlejší kapalinu. Tato rovnice předpokládá, že kontaktní plocha je tak velká, že můžeme ignorovat jakékoli účinky od okrajů a že se tekutiny chovají jako newtonovské tekutiny .
Rychlejší lamina
Předpokládejme, že zjišťujeme sílu na laminu s poloměrem r . Z výše uvedené rovnice, musíme znát oblast kontaktu a rychlost přechodu . Představte si laminu jako prstenec o poloměru r , tloušťce dr a délce Δ x . Kontaktní plocha mezi laminou a rychlejší je jednoduše plocha uvnitř válce: A = 2π r Δ x . Dosud neznáme přesnou formu rychlosti kapaliny v trubici, ale víme (z výše uvedeného předpokladu), že je závislá na poloměru. Proto je gradient rychlosti změnou rychlosti vzhledem ke změně poloměru v průsečíku těchto dvou lamel. Tato křižovatka je v poloměru r . Vzhledem k tomu, že tato síla bude pozitivní s ohledem na pohyb kapaliny (ale derivace rychlosti je záporná), konečná podoba rovnice se stane
kde svislá čára a dolní index r následující za derivací naznačují, že by měla být brána v poloměru r .
Pomalejší lamina
Dále najdeme sílu tahu z pomalejší laminy. Musíme vypočítat stejné hodnoty, které jsme udělali pro sílu z rychlejší laminy. V tomto případě je oblast kontaktu na r + dr namísto r . Musíme si také pamatovat, že tato síla stojí proti směru pohybu kapaliny, a proto bude záporná (a že derivace rychlosti je záporná).
Dáme to dohromady
Abychom našli řešení pro tok laminární vrstvy trubicí, musíme učinit poslední předpoklad. V potrubí nedochází k žádnému zrychlení kapaliny a podle prvního Newtonova zákona neexistuje ani čistá síla. Pokud neexistuje žádná čistá síla, můžeme sečíst všechny síly dohromady a získat nulu
nebo
Nejprve, aby se vše stalo ve stejném bodě, použijte první dva termíny Taylorovy řady expanze rychlostního gradientu:
Výraz je platný pro všechny vrstvy. Seskupení podobné výrazy a klesá na svislý pruh, protože všechny deriváty, se předpokládá, že se na poloměru r ,
Nakonec dejte tento výraz ve formě diferenciální rovnice a v dr . Upusťte termín kvadratický .
Výše uvedená rovnice je stejná jako rovnice získaná z Navier-Stokesových rovnic a odvození odtud dále následuje jako dříve.
Spuštění toku Poiseuille v potrubí
Když je mezi dvěma konci dlouhé trubky aplikován konstantní tlakový gradient , tok nezíská okamžitě Poiseuilleův profil, spíše se vyvíjí v čase a dosahuje profilu Poiseuille v ustáleném stavu. Na Navier-Stokes rovnice sesadí na
s počátečními a okrajovými podmínkami,
Rozložení rychlosti je dáno vztahem
kde je Besselova funkce prvního druhu řádu nula a jsou kladnými kořeny této funkce a je Besselovou funkcí prvního druhu řádu jedna. As , Poiseuille solution is recovered.
Poiseuille proudí v prstencové části
Pokud je vnitřní poloměr válce a je to vnější poloměr válce, s aplikovaným tlakovým gradientem mezi dvěma konci je rozdělení rychlosti a objemový tok prstencovou trubkou
Když je původní problém obnoven.
Tok Poiseuille v potrubí s oscilačním tlakovým gradientem
Průtok trubkami s oscilačním tlakovým gradientem nachází uplatnění v průtoku krve velkými tepnami. Vynucený tlakový gradient je dán vztahem
kde , a jsou konstanty a je frekvence. Pole rychlosti je dáno vztahem
kde
kde a jsou Kelvinovy funkce a .
Letadlo Poiseuille flow
Rovinný tok Poiseuille je tok vytvořený mezi dvěma nekonečně dlouhými rovnoběžnými deskami, oddělenými vzdáleností s konstantním tlakovým gradientem, aplikovaným ve směru toku. Tok je v podstatě jednosměrný z důvodu nekonečné délky. Na Navier-Stokes rovnice sesadí na
s protiskluzovým stavem na obou stěnách
Proto je rozdělení rychlosti a objemový průtok na jednotku délky
Poiseuille protéká některými nekruhovými průřezy
Joseph Boussinesq odvodil rychlostní profil a objemový průtok v roce 1868 pro obdélníkový kanál a trubky rovnostranného trojúhelníkového průřezu a pro eliptický průřez. Joseph Proudman odvodil totéž pro rovnoramenné trojúhelníky v roce 1914. Nechť je gradient konstantního tlaku působící ve směru rovnoběžném s pohybem.
Rychlost a objemový průtok v obdélníkovém kanálu výšky a šířky jsou
Rychlost a objemový průtok trubkou s rovnostranným trojúhelníkovým průřezem délky strany jsou
Rychlost a objemový průtok v pravoúhlém rovnoramenném trojúhelníku jsou
Distribuce rychlosti pro trubky eliptického průřezu s poloosou a je
Když zde , Poiseuilleovo průtoku pro kruhové potrubí se izoluje, a když , rovina Poiseuilleovo se izoluje proudění. K dispozici jsou také explicitnější řešení s průřezy, jako jsou například šnekovité úseky, úseky mající tvar vrubového kruhu po půlkruhu, prstencové úseky mezi homofokálními elipsami, prstencové úseky mezi nekoncentrickými kruhy, jak uvádí Ratip Berker .
Poiseuille protéká libovolným průřezem
Průtok libovolným průřezem splňuje podmínku, že na stěnách. Řídící rovnice se redukuje na
Pokud zavedeme novou závislou proměnnou jako
pak je snadné vidět, že problém se redukuje na integraci Laplaceovy rovnice
splnění podmínky
na zdi.
Poiseuilleova rovnice pro ideální izotermický plyn
U stlačitelné tekutiny v trubce nejsou objemový průtok (ale ne hmotnostní průtok) a axiální rychlost konstantní podél trubky. Průtok je obvykle vyjádřen při výstupním tlaku. Jak se tekutina stlačuje nebo rozpíná, je práce hotová a kapalina se zahřívá nebo ochlazuje. To znamená, že průtok závisí na přenosu tepla do a z kapaliny. Pro ideální plyn v izotermickém případě, kdy je dovoleno ekvilibrovat teplotu kapaliny s okolím, lze odvodit přibližný vztah pro pokles tlaku. Pomocí rovnice stavu ideálního plynu pro proces s konstantní teplotou lze získat vztah . Na krátkém úseku potrubí lze předpokládat, že plyn protékající potrubím je nestlačitelný, takže lze lokálně použít zákon Poiseuille,
Zde jsme předpokládali, že lokální tlakový gradient není příliš velký na to, aby měl nějaké efekty stlačitelnosti. Ačkoli jsme lokálně ignorovali účinky kolísání tlaku v důsledku kolísání hustoty, na velké vzdálenosti jsou tyto efekty zohledněny. Jelikož je nezávislý na tlaku, lze výše uvedenou rovnici integrovat po celé délce, která má být dána
Proto je objemový průtok na výstupu z potrubí dán vztahem
Tuto rovnici lze považovat za Poiseuilleův zákon s extra korekčním faktorem p 1 + p 2/2 str. 2 vyjadřující průměrný tlak ve vztahu k výstupnímu tlaku.
Analogie elektrických obvodů
Elektřina byla původně chápána jako druh tekutiny. Tato hydraulická analogie je stále koncepčně užitečná pro pochopení obvodů. Tato analogie se také používá ke studiu frekvenční odezvy fluidně-mechanických sítí pomocí obvodových nástrojů, přičemž v takovém případě se tekutinová síť nazývá hydraulický obvod . Poiseuilleův zákon odpovídá Ohmovu zákonu pro elektrické obvody, V = IR . Protože čistá síla působící na tekutinu se rovná , kde S = π r 2 , tj. Δ F = π r 2 Δ P , pak z Poiseuillova zákona vyplývá, že
- .
Pro elektrické obvody nechť n je koncentrace volných nabitých částic (v m −3 ) a nechť q * je náboj každé částice (v coulombech ). (U elektronů q * = e =1,6 × 10 −19 C. ) Pak nQ je počet částic v objemu Q a nQq * je jejich celkový náboj. Jedná se o poplatek, který protéká průřezem za jednotku času, tedy proud I . Proto I = nQq * . V důsledku toho Q =Já/nq *, a
Ale Δ F = Eq , kde q je celkový náboj v objemu trubice. Objem trubice se rovná π r 2 L , takže počet nabitých částic v tomto objemu je roven n π r 2 L a jejich celkový náboj je Protože napětí V = EL , z toho vyplývá
To je přesně Ohmův zákon, kde odpor R =PROTI/Já je popsán vzorcem
- .
Z toho vyplývá, že odpor R je úměrný délce L rezistoru, což je pravda. Z toho však také vyplývá, že odpor R je nepřímo úměrný čtvrtému výkonu poloměru r , tj. Odpor R je nepřímo úměrný druhému výkonu plochy průřezu S = π r 2 rezistoru, který se liší od odporu elektrický vzorec. Elektrický vztah pro odpor je
kde ρ je měrný odpor; tj. odpor R je nepřímo úměrný ploše průřezu S rezistoru. Důvodem, proč Poiseuilleův zákon vede k odlišnému vzorci odporu R, je rozdíl mezi tokem tekutiny a elektrickým proudem. Elektronový plyn je neviditelný , takže jeho rychlost nezávisí na vzdálenosti od stěn vodiče. Odpor je způsoben interakcí mezi tekoucími elektrony a atomy vodiče. Proto je Poiseuilleův zákon a hydraulická analogie užitečné pouze v určitých mezích, pokud jsou použity na elektřinu. Jak Ohmův zákon, tak Poiseuilleův zákon ilustrují dopravní jevy .
Lékařské aplikace - intravenózní přístup a dodávka tekutin
Hagen – Poiseuilleova rovnice je užitečná při určování vaskulárního odporu a tedy rychlosti toku intravenózních (IV) tekutin, které lze dosáhnout použitím různých velikostí periferních a centrálních kanyl . Rovnice uvádí, že průtok je úměrný poloměru čtvrté síly, což znamená, že malé zvětšení vnitřního průměru kanyly vede k významnému zvýšení průtoku IV tekutin. Poloměr IV kanyly se obvykle měří v „měřidle“, které je nepřímo úměrné poloměru. Periferní IV kanyly jsou obvykle dostupné jako (od velkých po malé) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G. Jako příklad lze uvést, že průtok kanyly 14G je obvykle dvakrát vyšší než průtok 16G a desetkrát větší než průtok 20G. Rovněž uvádí, že průtok je nepřímo úměrný délce, což znamená, že delší čáry mají nižší průtoky. To je důležité pamatovat, protože v případě nouze upřednostňuje mnoho lékařů kratší a větší katétry ve srovnání s delšími a užšími katétry. I když to má menší klinický význam, lze ke zrychlení použít zvýšenou změnu tlaku (∆ p ) - například natlakováním vaku s tekutinou, stisknutím vaku nebo vyšším zavěšením vaku (vzhledem k úrovni kanyly). průtok. Je také užitečné si uvědomit, že viskózní tekutiny proudí pomaleji (např. Při transfuzi krve ).
Viz také
Poznámky
Citované odkazy
Reference
- Sutera, SP; Skalak, R. (1993). „Historie Poiseuilleova zákona“ . Roční přehled mechaniky tekutin . 25 : 1–19. Bibcode : 1993AnRFM..25 ... 1S . doi : 10,1146 / annurev.fl.25.010193.000245 ..
- Pfitzner, J (1976). „Poiseuille a jeho zákon“. Anestezie . 31 (2) (zveřejněno 3. března 1976). str. 273–5. doi : 10.1111 / j.1365-2044.1976.tb11804.x . PMID 779509 ..
- Bennett, CO; Myers, JE (1962). Přenos hybnosti, tepla a hmoty . McGraw-Hill..