Hahn – Banachova věta - Hahn–Banach theorem

Hahn-Banachova věta je hlavním nástrojem funkční analýzu . Umožňuje rozšíření ohraničených lineárních funkcionálů definovaných na podprostoru nějakého vektorového prostoru na celý prostor a také ukazuje, že na každém normovaném vektorovém prostoru je definováno „dost“ spojitých lineárních funkcionálů, aby bylo studium duálního prostoru „zajímavé“ “. Další verze Hahnovy -Banachovy věty je známá jako Hahn -Banachova separační věta nebo věta o separaci nadroviny a má mnoho použití v konvexní geometrii .

Dějiny

Věta je pojmenována podle matematiků Hanse Hahna a Stefana Banacha , kteří ji dokázali nezávisle na konci dvacátých let minulého století. Zvláštní případ věty pro prostor spojitých funkcí na intervalu prokázal již dříve (v roce 1912) Eduard Helly a obecnější rozšiřující větu, M. Rieszovu větu o rozšíření , z níž lze odvodit Hahnovu -Banachovu větu , dokázal v roce 1923 Marcel Riesz .

První Hahnovu -Banachovu větu prokázal Eduard Helly v roce 1921, který ukázal, že určité lineární funkcionály definované v podprostoru určitého typu normovaného prostoru ( ) mají prodloužení stejné normy. Helly to provedla technikou nejprve dokázat, že existuje jednorozměrné rozšíření (kde lineární funkční má svoji doménu prodlouženou o jednu dimenzi) a poté pomocí indukce . V roce 1927 definoval Hahn obecné Banachovy prostory a pomocí Hellyiny techniky prokázal normu zachovávající verzi Hahnovy -Banachovy věty pro Banachovy prostory (kde ohraničená lineární funkce v podprostoru má ohraničené lineární rozšíření stejné normy do celého prostoru). V roce 1929 Banach, který nevěděl o Hahnově výsledku, jej zobecnil nahrazením verze zachovávající normu verzí s dominujícím rozšířením, která používá sublineární funkce . Zatímco Hellyho důkaz použil matematickou indukci, Hahn a Banach oba použili transfinitní indukci .

Hahnova – Banachova věta vzešla z pokusů vyřešit nekonečné soustavy lineárních rovnic. To je zapotřebí k řešení problémů, jako je momentový problém, přičemž vzhledem ke všem potenciálním momentům funkce je třeba určit, zda funkce s těmito momenty existuje, a pokud ano, najít ji z hlediska těchto momentů. Dalším takovým problémem je problém Fourierových kosinových řad , přičemž vzhledem ke všem potenciálním Fourierovým kosinovým koeficientům je třeba určit, zda funkce s těmito koeficienty existuje, a znovu ji najít, pokud ano.

Riesz a Helly vyřešili problém pro určité třídy prostorů (například L p ([0, 1]) a C ([ a , b ])), kde zjistili, že existence řešení je ekvivalentní existenci a spojitosti určité lineární funkcionály. Ve skutečnosti potřebovali vyřešit následující problém:

( Problém vektor ) Vzhledem k tomu, sbírka z ohraničených lineárních funkcionálů na prostoru normed X a sbírka scalars , zjistit, zda je xX tak, že f i ( x ) = c i pro všechna iI .

Chcete -li to vyřešit, pokud je X reflexivní , stačí vyřešit následující dvojí problém:

( Funkční problém ) Vzhledem k tomu, sbírka vektorů v prostoru normed X a sbírka scalars , zjistit, zda je omezená lineární funkční f na X tak, že f ( x i ) = c i pro všechna iI .

Riesz pokračoval v definování L p ([0, 1]) ( 1 < p <∞ ) v roce 1910 a l p mezer v roce 1913. Při zkoumání těchto prostor prokázal zvláštní případ Hahnovy -Banachovy věty. Helly také prokázal speciální případ Hahnovy -Banachovy věty v roce 1912. V roce 1910 Riesz vyřešil funkční problém pro některé konkrétní prostory a v roce 1912 jej Helly vyřešil pro obecnější třídu prostorů. Až v roce 1932 Banach v jedné z prvních důležitých aplikací Hahnovy -Banachovy věty vyřešil obecný funkční problém. Následující věta uvádí obecný funkční problém a charakterizuje jeho řešení.

Věta  (Funkční problém)  -  Nechť X být skutečný nebo komplexní normed prostor, I neprázdná množina, ( c i ) iI rodina skaláry, a ( x i ) iI řada vektorů v X .

Existuje spojité lineární funkcionální F na X, tak, že f ( x i ) = c i pro všechna iI tehdy, když existuje K > 0 tak, že pro každý výběr scalars ( to i ) iI , kde jsou všechny ale nakonec mnoho s i je 0, nutně máme

Výše uvedenou větu lze použít k odvození Hahnovy -Banachovy věty. Pokud je X reflexivní, pak tato věta řeší vektorový problém.

Hahn – Banachova věta

Věta (Hahn-Banach)  -  Nastavte K být buď R nebo C , a nechat X být K -vector prostor. Pokud f  : MK je K -lineární funkce na K -lineárním podprostoru M a p  : XR, nezáporná, sublineární funkce taková, že

| f ( m ) | ≤ p ( m )     pro všechna mM .

pak existuje K -lineární F  : XK takový, že

F ( m ) = f ( m )     pro všechna mM ,
| F ( x ) | ≤ p ( x )     pro všechna xX .

Rozšíření F není obecně jednoznačně specifikovány f a důkaz neposkytuje žádné explicitní metodu o tom, jak najít F .

Je možné mírně uvolnit podmínku subaditivity na p , vyžadující pouze, aby pro všechna x , yX a všechny skaláry a a b splňovalo | a | + | b | ≤ 1 ,

p ( ax + o ) ≤ | a | p ( x ) + | b | p ( y ) .

Dále je možné uvolnit pozitivní homogenitu a podmínky subaditivity na p , což vyžaduje pouze to, že p je konvexní.

Projekt Mizar zcela formalizoval a automaticky zkontroloval důkaz Hahnovy -Banachovy věty v souboru HAHNBAN.

Důkaz

V komplexu případě C předpoklady -linearity požadovat, M = N + Ni nějakého skutečný vektorový prostor N . Navíc pro každý vektor xN , f ( ix ) = if ( x ) . Skutečná část lineární funkcionality tedy již určuje chování lineární funkcionality jako celku a stačí dokázat skutečný případ.

Nejprve si všimneme Hellyina počátečního výsledku: má- li M kodimenze 1, pak je Hahn-Banach snadný.

Lema  (Jednorozměrné ovládal rozšíření věta)  -  Nechť X být skutečný vektorový prostor, p  : XR sublinear funkci, f  : MR lineární funkční na řádném vektor podprostoru MX tak, že fp o M (tj f ( m ) ≤ p ( m ) pro všechna mm ), a xX vektor není v m . Existuje lineární rozšíření F  : MR xR z f na MR x = rozpětí { M , x } takové, že Fp na MR x .

Důkaz  -

K prokázání tohoto lemma, ať m , nM . Díky vlastnostem linearity našich funkcí

- p ( - x - n ) - f ( n ) ≤ p ( m + x ) - f ( m ) .

Zejména nechť

a
Potom usoudíme „rozhodující nerovnost“, která pro jakékoli ab . Nechme tedy c ∈ [ a , b ] a definovat F ( m + rx ) = f ( m ) + rc ; pak
F ( m + rx ) ≤ p ( m ) + rcp ( m + rx )

Opačná nerovnost je podobná.

Nyní platí princip maximality : případné rozšíření f částečně objednané prodloužením sebe, takže je prodloužení maximální F . Výsledkem codimension-1, pokud F není definováno na všech X , pak může být dále rozšířeno. F tedy musí být definováno všude, jak se tvrdí.

V místně konvexních prostorech

Ve výše uvedeném formuláři musí být funkce, která má být rozšířena, již ohraničena sublineární funkcí. V některých aplikacích se to může blížit k prosazení otázky . V lokálně konvexních prostorech je však jakákoli spojitá funkce již ohraničena normou , která je sublineární. Jeden tedy má

Kontinuální rozšíření na lokálně konvexních prostorech  -  Nechť X je lokálně konvexní topologický vektorový prostor nad K (buď R , nebo C ), M je vektor podprostor X , a f kontinuální lineární funkční na M . Pak f má spojitou lineární prodloužení ke všem X . Pokud topologie na X vychází z normy , pak je norma f zachována tímto rozšířením.

V kategorii teoretická hlediska pole K je injective objekt v kategorii lokálně konvexních vektorových prostorů.

Vztah k axiomu volby

Výše uvedený důkaz používá Zornovo lemma, které je ekvivalentní zvolenému axiomu . Nyní je známo (viz níže), že ultrafiltrové lemma (nebo ekvivalentně booleovská primární ideální věta ), které je o něco slabší než zvolený axiom, je ve skutečnosti dostatečně silné.

Hahnova – Banachova věta je ekvivalentní následujícímu:

(∗): Na každé booleovské algebře B existuje „pravděpodobnostní náboj“, to znamená: nekonstantní konečně aditivní mapa z B do [0, 1] .

(Booleovská primární ideální věta je ekvivalentní tvrzení, že vždy existují nekonstantní pravděpodobnostní poplatky, které nabývají pouze hodnot 0 a 1.)

V teorii množin Zermelo – Fraenkel lze ukázat, že Hahnova – Banachova věta stačí k odvození existence měřitelné množiny, která není Lebesgueova. Hahnova – Banachova věta navíc zahrnuje Banachův – Tarského paradox .

U oddělitelných Banachových prostorů DK Brown a SG Simpson dokázali, že Hahnova – Banachova věta vyplývá z WKL 0 , slabého subsystému aritmetiky druhého řádu, který jako axiom bere formu Kőnigova lemmatu omezeného na binární stromy. Ve skutečnosti dokazují, že za slabé sady předpokladů jsou tyto dva ekvivalentní, příklad reverzní matematiky .

„Geometrický Hahn – Banach“ (věty o separaci Hahna – Banacha)

Klíčový prvek Hahnovy -Banachovy věty je v zásadě výsledkem oddělení dvou konvexních množin: { - p ( - x - n ) - f ( n ): nM } a { p ( m + x ) - f ( m ): mM }. Tento druh argumentu se široce objevuje v konvexní geometrii , optimalizační teorii a ekonomii . Lemmy za tímto účelem odvozené z původní Hahnovy -Banachovy věty jsou známé jako separační věty Hahna -Banacha .

Věta  -  Nechť X je skutečný lokálně konvexní topologický vektorový prostor a nechť A a B jsou neprázdné konvexní podmnožiny. Pokud Int A ≠ ∅ a B ∩ Int A = ∅ pak existuje spojitá lineární funkční f na X taková, že sup f ( A ) ≤ inf f ( B ) a f ( a ) <inf f ( B ) pro všechna a ∈ Int A (takové f je nutně nenulové).

Často se předpokládá, že konvexní sady mají další strukturu; tj. že jsou otevřené nebo kompaktní . V takovém případě lze závěr podstatně posílit:

Věta  -  Nechť X být skutečný topological vektorový prostor a zvolte , B konvexní neprázdné disjunktní podmnožiny X. .

  • Pokud je A otevřené, pak A a B jsou odděleny (uzavřenou) hyperplane . Výslovně, to znamená, že existuje spojité lineární mapa f  : XK a toR takové, že f ( ) < yf ( b ) pro všechny A , bB . Pokud jsou A i B otevřené, může být přísná také pravá strana.
  • Pokud je X lokálně konvexní, A je kompaktní a B uzavřené, pak A a B jsou striktně odděleny : existuje souvislá lineární mapa f  : XK a s , tR taková, že f ( a ) < t < s < f ( b ) pro všechny A , bb .

Pokud X je složitý, pak tytéž nároky držet, ale i pro reálnou část z f .

Jeden důležitý důsledek je známý jako Geometrická Hahn -Banachova věta nebo Mazurova věta .

Věta (Mazur)  -  Nechť M být vektor podprostor topologického vektorovém prostoru X . Předpokládejme, že K je neprázdná konvexní otevřená podmnožina X s KM = ∅ . Dále je zde uzavřený nadrovina (codimension-1 vektor podprostor) NX , který obsahuje M , ale zůstává disjunktní z K .

Chcete-li vidět, že Mazurova věta vyplývá z Hahn-Banachových vět o oddělení, všimněte si, že M je konvexní a použijte první kulku. Mazurova věta objasňuje, že vektorové podprostory (i ty, které nejsou uzavřené) lze charakterizovat lineárními funkcionály.

Důsledek  (Separace podprostoru a otevřenou konvexní množina)  -  Nechť X je lokálně konvexní vektorový prostor, M vektorový podprostor, a U neprázdná podmnožina otevřené konvexní disjunktní od M . Pak existuje spojitá lineární funkční f na X taková, že f ( m ) = 0 pro všechna mM a Re f > 0 na U

Podpora hyperplanes

Protože body jsou triviálně konvexní , geometrický Hahn-Banach znamená, že funkcionály mohou detekovat hranici množiny. Zejména nechť X je skutečný topologický vektorový prostor a AX je konvexní s Int A ≠ ∅ . Jestliže pak je funkční, která mizí v a 0 ° C , ale opírá o vnitřní části A .

Nazvěme hladký normovaný prostor X, pokud v každém bodě x v jeho jednotkové kouli existuje jedinečná uzavřená nadrovina do jednotkové koule v x . Köthe v roce 1983 ukázal, že normovaný prostor je v bodě x hladký právě tehdy, je -li normou v tomto bodě diferencovatelná Gateaux .

Vyvážené nebo diskové čtvrti

Nechť U je konvexní vyvážený sousedství 0 v lokálně konvexní topologické vektorovém prostoru X a předpokládejme, xX není prvek U . Pak existuje spojitá lineární funkční f na X taková, že

sup | f ( U ) | ≤ | f ( x ) | .

Aplikace

Hahnova – Banachova věta je prvním znakem důležité filozofie funkční analýzy : k porozumění prostoru je třeba porozumět jeho spojitým funkcionálům .

Například, lineární podprostory jsou charakterizovány funkcionálu: pokud X je normovaný lineární prostor s lineárním podprostoru M (ne nutně uzavřený) a je-li z je prvkem X není v uzávěru z M , pak existuje spojité lineární mapa f  : XK s f ( x ) = 0 pro všechna x v M , f ( z ) = 1 a || f || = dist ( z , M ) −1 . (Abyste to viděli, všimněte si, že dist (·, M) je sublineární funkce.) Navíc, pokud z je prvek X , pak existuje spojitá lineární mapa f  : XK taková, že f ( z ) = || z || a || f || ≤ 1 . To znamená, že přirozená injekce J z normovaného prostoru X do jejího dvojitého duálního V ′ ′ je izometrická.

Tento poslední výsledek také naznačuje, že Hahnovu -Banachovu větu lze často použít k nalezení „hezčí“ topologie, ve které bude fungovat. Mnoho výsledků ve funkční analýze například předpokládá, že prostor je Hausdorffův nebo lokálně konvexní . Předpokládejme však, že X je topologický vektorový prostor, který nemusí nutně Hausdorffova nebo lokálně konvexní , avšak s neprázdná, správné, konvexní, otevřená množina M . Potom geometrický Hahn-Banach naznačuje, že existuje hyperplane oddělující M od jakéhokoli jiného bodu. Zejména musí existovat nenulová funkce na X -to znamená, že spojitý duální prostor X * je netriviální. Vzhledem k X se slabou topologií indukovanou X * se pak X stane lokálně konvexním; podle druhé kulky geometrického Hahna-Banacha slabá topologie v tomto novém prostoru odděluje body . X se tedy s touto slabou topologií stane Hausdorffem . To někdy umožňuje použít některé výsledky z lokálně konvexních topologických vektorových prostorů na non-Hausdorffovy a nelokálně konvexní prostory.

Dílčí diferenciální rovnice

Hahnova – Banachova věta je často užitečná, když si člověk přeje použít metodu apriorních odhadů . Předpokládejme, že chceme řešit lineární diferenciální rovnice Pu = f k u , s f uveden v některých Banachova prostoru X . Pokud budeme mít kontrolu velikosti u z hlediska i si můžeme představit u jako ohraničené lineární funkční na nějakém vhodném místě testovaného funkcí g , pak můžeme zobrazit f jako lineární funkční podle adjunkce: . Na první pohled to funkční definován pouze na obraz P , ale s použitím Hahn-Banachova věta, můžeme se pokusit ji rozšířit na celou codomain X . Výsledná funkce je často definována jako slabé řešení rovnice .

Charakterizující reflexní Banachovy prostory

Věta  -  Skutečný Banachův prostor je reflexivní právě tehdy, pokud každý pár neprázdných disjunktních uzavřených konvexních podmnožin, z nichž jedna je ohraničená, může být přísně oddělen hyperplánem.

Příklad z Fredholmovy teorie

Pro ilustraci skutečné aplikace Hahnovy -Banachovy věty nyní ukážeme výsledek, který téměř výhradně vyplývá z Hahnovy -Banachovy věty.

Tvrzení  -  Předpokládejme, že X je Hausdorff lokálně konvexní TVS přes pole K a Y je vektor podprostor X, která je TVS-isomorfní K I pro některé set I . Pak Y je uzavřený a doplněna vektor podprostor X .

Důkaz  -

Vzhledem k tomu, K I je kompletní TVS tak je Y , a protože každá kompletní podmnožina Hausdorff TVS je uzavřen, Y je uzavřená podmnožina X . Nechť f = ( f i ) iI  : YK I je izomorfismus TVS, takže každé f i  : YK je spojitá surjektivní lineární funkce. V Hahn-Banachovy věty, můžeme rozšířit každý f i na kontinuální lineární funkcionální F i  : XK na X . Nechť F  : = ( F i ) iI  : XK I tak F je spojité lineární přelíčení takové, že jeho omezení na Y je F | Y = ( F i | Y ) iI = ( f i ) iI = f . Z toho vyplývá, že pokud definujeme P  : = f −1F  : XY, pak omezení na Y této spojité lineární mapy P | Y  : YY je mapa identity 1 Y na Y , pro P | Y = f −1F | Y = f -1f = 1 Y . Zejména P je spojitá lineární projekce na Y (tj. PP = P ). Tak Y je doplněna v X a X = Y ⊕ ker P v kategorii TVSS. ∎

Lze použít výše uvedené výsledky ukazují, že pro každý uzavřený vektor podprostor R N je doplněna a buď konečné rozměrové nebo jinde TVS-izomorfní s R N .

Zobecnění

Obecná šablona

Nyní existuje mnoho dalších verzí Hahnovy -Banachovy věty. Obecná šablona pro různé verze Hahnovy -Banachovy věty uvedená v tomto článku je následující:

X je vektorový prostor, p je sublineární funkce na X (možná seminorm ), M je vektorový podprostor X (možná uzavřený), a f je lineární funkční na M splňující | f | ≤ p na M (a případně některé další podmínky). Poté dospějeme k závěru, že existuje lineární rozšíření F z f na X takové, že | F | ≤ p na X (případně s dalšími vlastnostmi).

Na semináře

Hahn – Banach pro seminormy  -  Pokud M je vektorový podprostor X , p je seminorm na M a q je seminorm na X tak, že pq | M , pak existuje seminorm P na X takový, že P | M = p a Pq .

Důkaz probíhá následovně:

Lemma  -  Nechť M je vektorový podprostor skutečného nebo komplexního vektorového prostoru X , nechť D je absorbující disk v X a nechť f je lineární funkční na M tak, že | f | ≤ 1 na MD . Pak existuje lineární funkční F na X prodlužující f takové, že | F | ≤ 1 na D .

nechť S je konvexní trup { mM  : p ( x ) ≤ 1} ∪ { xX  : q ( x ) ≤ 1} . Všimněte si, že S je absorbující disk v X , a jeho Minkowskiho funkci označte za funkční q . Pak p = P na M a P.q na X .

Geometrická separace

Hahnova – Banachova sendvičová věta  -  Nechť S je jakákoli podmnožina skutečného vektorového prostoru X , nechť p je sublineární funkce na X a nechť f  : SR je libovolná mapa. Pokud existují kladná čísla a a b taková, že pro všechna x , yS ,

potom existuje lineární funkční F na X, tak, že fp o X a fF na S .

Maximální lineární prodloužení

Věta  (Andenaes, 1970)  -  Nechť M je vektorový podprostor skutečného vektorového prostoru X , p je sublineární funkce na X , f je lineární funkce na M tak, že fp na M , a S je libovolná podmnožina X . Pak existuje lineární funkční F na X, které rozšiřuje f , splňuje F ≤ p na X , a je (bodově) maximální v následujícím smyslu: pokud G je lineární funkční na X rozšiřující f a splňující Gp na X , pak GF znamená, že G = F na S .

Vektor ceněný Hahn – Banach

Věta  -  Nechť X a Y jsou vektorové prostory nad stejným polem, M je vektorový podprostor X a f  : MY je lineární mapa. Pak existuje lineární mapa F  : XY, která rozšiřuje f .

Pro nelineární funkce

Následující věta Mazura – Orlicze (1953) je ekvivalentní Hahnově – Banachově větě.

Mazur-Orlicz věta  -  Nechť T být jakýkoliv soubor, r  : TR být libovolná reálná map, X být skutečný nebo komplexní vektorový prostor, v  : TX být jakýkoli map, a p je funkce sublinear na X . Pak jsou následující ekvivalentní:

  1. existuje lineární funkční F na X v reálné hodnotě , takže Fp na X a rFv na T ;
  2. pro jakékoli kladné celé číslo n , libovolnou posloupnost s 1 , ..., s n nezáporných reálných čísel a libovolnou posloupnost t 1 , ..., t n prvků T ,

Následující věta charakterizuje při jakékoliv skalární funkce na X (ne nutně lineární) má kontinuální lineární prodloužení ke všem X .

Věta  (princip rozšíření)  -  Nechť f skalární funkce vracející na podmnožině S jednoho topologického vektorovém prostoru X . Pak existuje spojitá lineární funkční F na X prodlužující f právě tehdy, když existuje souvislá seminorm p na X taková, že

pro všechna kladná celá čísla n a všechny konečné posloupnosti ( a i )n
i = 1
skalárů a prvků ( s i )n
i = 1
ze S .

Konverzovat

Nechť X je topologický vektorový prostor. Vektor podprostor M z Xvlastnost extension pokud existuje kontinuální lineární funkční na M může být rozšířena na kontinuální lineární funkční na X , a můžeme říci, že XHahn-Banach rozšíření vlastnost ( HBEP ) je-li každý vektor podprostor X má vlastnost rozšíření.

Hahnova – Banachova věta zaručuje, že každý Hausdorffův lokálně konvexní prostor má HBEP. U kompletních metrizovatelných topologických vektorových prostorů existuje konverze, díky Kaltonovi: každý kompletní metrizovatelný TVS s vlastností rozšíření Hahn – Banach je lokálně konvexní. Na druhou stranu, vektorový prostor X nepočítatelné dimenze, obdařený nejjemnější vektorovou topologií , pak jde o topologické vektorové prostory s vlastností rozšíření Hahn-Banach, která není ani lokálně konvexní, ani metrizovatelná.

Vektor podprostor M z TVS Xvlastnost separace , pokud pro každý prvek X, tak, že xM , existuje spojité lineární funkční f na X, tak, že f ( x ) ≠ 0 a f ( m ) = 0 pro všechny mm . Je zřejmé, že souvislý duální prostor TVS X odděluje body na X právě tehdy, pokud {0} má vlastnost separace. V roce 1992 se ukázalo, že Kąkol jakýkoliv nekonečný rozměrný vektorový prostor X , existují TVS-topologie na X, které nemají HBEP přesto, že má dostatečný počet kontinuální lineární funkcionály pro kontinuální duální prostoru do jednotlivých bodů na X . Pokud je však X TVS, pak každý vektorový podprostor X má vlastnost rozšíření právě tehdy, když každý vektorový podprostor X má vlastnost separace.

Viz také

Reference

Bibliografie