Hausdorffova dimenze - Hausdorff dimension

Příklad neceločíselných dimenzí. První čtyři iterace z Koch křivky , přičemž po každé iteraci, všechny původní úsečky jsou nahrazeny čtyři, každý self-podobný kopii, která je 1/3 délka originálu. Jeden formalismus Hausdorffovy dimenze používá tento faktor měřítka (3) a počet podobných objektů (4) k výpočtu dimenze D po první iteraci, která má být D = (log N)/(log S) = ( log 4)/(log 3) ≈ 1,26. To znamená, že zatímco Hausdorffova dimenze jednoho bodu je nula, úsečky je 1, čtverce je 2 a krychle je 3, u fraktálů, jako je tento, může mít objekt neceločíselnou dimenzi.

V matematice je Hausdorffova dimenze měřítkem drsnosti , přesněji fraktální dimenze , kterou poprvé představil v roce 1918 matematik Felix Hausdorff . Hausdorffova dimenze jednoho bodu je například nula, úsečky je 1, čtverce je 2 a krychle je 3. To znamená pro sady bodů, které definují hladký tvar nebo tvar, který má malý počet rohů - tvary tradiční geometrie a vědy - Hausdorffova dimenze je celé číslo souhlasící s obvyklým smyslem pro dimenzi, známé také jako topologická dimenze . Byly však také vyvinuty vzorce, které umožňují výpočet dimenze jiných méně jednoduchých objektů, kde pouze na základě jejich vlastností škálování a vlastní podobnosti dochází k závěru, že konkrétní objekty-včetně fraktálů- nemají -Integer Hausdorff rozměry. Vzhledem k významnému technickému pokroku, který provedl Abram Samoilovitch Besicovitch umožňující výpočet rozměrů pro vysoce nepravidelné nebo „drsné“ sady, je tato dimenze také běžně označována jako Hausdorff – Besicovitchova dimenze.

Hausdorffova dimenze, konkrétněji, je další dimenzionální číslo spojené s danou sadou, kde jsou definovány vzdálenosti mezi všemi členy této sady. Taková množina se nazývá metrický prostor . Dimenze je čerpána z rozšířených reálných čísel , na rozdíl od intuitivnějšího pojmu dimenze, který není spojen s obecnými metrickými prostory, a nabývá pouze hodnot v nezáporných celých číslech.

Matematicky řečeno, Hausdorffova dimenze generalizuje představu o dimenzi skutečného vektorového prostoru . To znamená, že Hausdorffova dimenze n -rozměrného vnitřního produktového prostoru se rovná n . To je základem dřívějšího tvrzení, že Hausdorffova dimenze bodu je nula, čáry je jedna atd. A že nepravidelné množiny mohou mít neintegrované Hausdorffovy kóty. Například sněhová vločka Koch zobrazená vpravo je konstruována z rovnostranného trojúhelníku; v každé iteraci jsou její dílčí segmenty čáry rozděleny na 3 segmenty jednotkové délky, nově vytvořený střední segment je použit jako základ nového rovnostranného trojúhelníku, který směřuje ven, a tento základní segment je poté odstraněn, aby opustil konečný objekt z iterace jednotkové délky 4. To znamená, že po první iteraci byl každý segment původní čáry nahrazen N = 4, kde každá kopie podobná sobě je 1/S = 1/3 tak dlouhá jako originál. Řečeno jinými slovy, jsme zvolili objekt s euklidovské rozměr, D, a snížit její lineární stupnice od 1/3 v každém směru, tak, aby jeho délka se zvýší na N = S D . Tuto rovnici lze snadno vyřešit pro D, čímž se získá poměr logaritmů (nebo přirozených logaritmů ), které se objevují na obrázcích, a dává-v Kochových a jiných fraktálních případech-necelé rozměry těchto objektů.

Hausdorffova dimenze je nástupcem jednodušší, ale obvykle ekvivalentní dimenze počítání boxů nebo Minkowski – Bouligand .

Intuice

Intuitivní koncept dimenze geometrického objektu X je počet nezávislých parametrů, které člověk potřebuje k nalezení jedinečného bodu uvnitř. Nicméně, jakýkoliv bod určen dvěma parametry mohou být namísto toho stanoveno jedním, protože mohutnost v reálné rovině je roven mohutnost reálné osy (toto může být viděn jako argumentu zahrnující prolínání číslice dvou čísel, čímž se získá jediný číslo kódující stejné informace). Příklad křivky vyplňující prostor ukazuje, že lze dokonce surově objektivně namapovat skutečnou čáru na skutečnou rovinu (vezmeme-li jedno skutečné číslo do dvojice reálných čísel tak, aby byly pokryty všechny dvojice čísel) a průběžně , takže jednorozměrný objekt zcela zaplní objekt vyšší dimenze.

Každá křivka vyplnění prostoru zasáhne několik bodů několikrát a nemá spojitou inverzi. Je nemožné namapovat dvě dimenze na jednu způsobem, který je spojitý a plynule invertovatelný. Topologická dimenze, nazývaná také Lebesgueova krycí dimenze , vysvětluje proč. Tato dimenze je n, pokud v každém pokrytí X malými otevřenými kuličkami existuje alespoň jeden bod, kde se n  + 1 koule překrývá. Například když jeden pokrývá čáru s krátkými otevřenými intervaly, některé body musí být pokryty dvakrát, což dává rozměr  n  = 1.

Ale topologická dimenze je velmi hrubou mírou místní velikosti prostoru (velikost blízko bodu). Křivka, která téměř vyplňuje prostor, může mít stále topologický rozměr jedna, i když vyplňuje většinu oblasti regionu. Fraktální má celočíselné topologickou dimenzi, ale pokud jde o množství prostoru, který zabírá, to se chová jako vyšší trojrozměrném prostoru.

Hausdorffova dimenze měří místní velikost prostoru s přihlédnutím ke vzdálenosti mezi body, metrice . Zvažte počet N ( r ) koulí o poloměru nanejvýš r potřebných k úplnému zakrytí X. Když r je velmi malé, N ( r ) roste polynomiálně s 1/ r . Pro dostatečně dobře vychovaný X je Hausdorffova dimenze jedinečné číslo d , takže N ( r ) roste s 1/ r d, když se r blíží nule. Přesněji to definuje dimenzi počítání boxů , která se rovná Hausdorffově dimenzi, když hodnota d je kritickou hranicí mezi rychlostmi růstu, které nejsou dostatečné k pokrytí prostoru, a rychlostmi růstu, které jsou nadbytečné.

U tvarů, které jsou hladké, nebo tvarů s malým počtem rohů, tvarů tradiční geometrie a vědy, je Hausdorffova dimenze celé číslo souhlasící s topologickou dimenzí. Ale Benoit Mandelbrot poznamenal, že fraktály , soubory s neintegerovými Hausdorffovými rozměry, se nacházejí všude v přírodě. Poznamenal, že správná idealizace většiny hrubých tvarů, které kolem sebe vidíte, není ve smyslu hladkých idealizovaných tvarů, ale ve smyslu fraktálních idealizovaných tvarů:

Mraky nejsou koule, hory nejsou kužely, pobřeží nejsou kruhy a kůra není hladká, ani blesky se nepohybují po přímce.

U fraktálů, které se vyskytují v přírodě, se Hausdorffova a krabicová dimenze shodují. Rozměr balení je ještě jiný podobný pojem, který dává stejnou hodnotu pro mnoho různých tvarů, ale tam jsou dobře zdokumentovány výjimky, kdy všechny tyto rozměry liší.

Formální definice

Hausdorffův obsah

Nechť X je metrický prostor . Pokud SX a d ∈ [0, ∞), přičemž d rozměrný neomezený obsah Hausdorffův z S je definován

Jinými slovy, je infimum množiny čísel takové, že existuje nějaká (indexovaná) sbírka míčků pokrývající S s r i  > 0 pro každé i  ∈  I, které splňuje . (Zde používáme standardní konvenci, která inf Ø = ∞ .)

Hausdorffova míra

Vnější míra Hausdorffa se liší od neomezeného obsahu Hausdorffa v tom, že místo zvážení všech možných pokrytí S vidíme, co se stane, když se velikosti koulí sníží na nulu. Pro definujeme d -dimenzionální Hausdorffovu vnější míru S jako

Hausdorffova dimenze

Hausdorff z X je definován

Ekvivalentně dim H ( X ) může být definována jako infima množiny d ∈ [0, ∞) tak, že se d rozměrný Hausdorffova opatření z X je nula. To je stejné jako supremum množiny d  ∈ [0, ∞), takže d -dimenzionální Hausdorffova míra X je nekonečná (kromě toho, že když je tato druhá množina čísel d prázdná, Hausdorffova dimenze je nulová).

Příklady

Dimenze dalšího fraktálního příkladu. Sierpinski trojúhelník , objekt s Hausdorffovy rozměr log (3) / log (2) ≈1.58.
Odhad Hausdorffova rozměru pobřeží Velké Británie

Vlastnosti Hausdorffovy dimenze

Hausdorffova dimenze a indukční dimenze

Nechť X je libovolný oddělitelný metrický prostor. Existuje topologický pojem indukční dimenze pro X, který je definován rekurzivně. Vždy se jedná o celé číslo (nebo +∞) a je označeno dim ind ( X ).

Věta . Předpokládejme, že X není prázdné. Pak

Navíc,

kde Y je v rozmezí více než metrických prostorů homeomorphic na X . Jinými slovy, X a Y mají stejný základní soubor bodů a metrický d Y z Y je topologicky ekvivalentní d X .

Tyto výsledky původně stanovil Edward Szpilrajn (1907–1976), např. Viz Hurewicz a Wallman, kapitola VII.

Hausdorffova dimenze a Minkowského dimenze

Rozměr Minkowski je podobný, a alespoň tak velké, jako je rozměr Hausdorff, a oni jsou si rovni v mnoha situacích. Množina racionálních bodů v [0, 1] však má Hausdorffovu dimenzi nula a Minkowského dimenzi jedna. Existují také kompaktní sady, u nichž je rozměr Minkowski přísně větší než rozměr Hausdorff.

Hausdorffovy rozměry a Frostmanovy míry

Pokud je na Borelských podskupinách metrického prostoru X definována míra μ taková, že μ ( X )> 0 a μ ( B ( x , r )) ≤ r s platí pro nějakou konstantu s > 0 a pro každou kouli B ( x , r ) v X , pak ztlumte Haus ( X ) ≥ s . Částečnou konverzaci poskytuje Frostmanovo lemma .

Chování pod odbory a produkty

Pokud je to konečný nebo počitatelný svaz, pak

To lze ověřit přímo z definice.

Pokud X a Y jsou neprázdné metrické prostory, pak Hausdorffova dimenze jejich produktu splňuje

Tato nerovnost může být přísná. Je možné najít dvě sady dimenze 0, jejichž součin má rozměr 1. V opačném směru je známo, že když X a Y jsou Borelovy podmnožiny R n , Hausdorffova dimenze X × Y je shora ohraničena Hausdorffem rozměr X plus horní rozměr balení z Y . Tyto skutečnosti jsou diskutovány v Mattila (1995).

Sady podobné sobě

Mnoho sad definovaných podmínkou vlastní podobnosti má rozměry, které lze určit výslovně. Zhruba, množina E je sobě podobná, pokud je pevným bodem transformace s hodnotou setu ψ, tj. Ψ ( E ) = E , ačkoli přesná definice je uvedena níže.

Věta . Předpokládat

jsou kontraktivní zobrazení na R n s kontrakční konstantou r j <1. Pak existuje jedinečná neprázdná kompaktní množina A taková, že

Věta vyplývá z Stefan Banachově je stahovací mapování pevný bod věta aplikované na kompletní metrické neprázdných kompaktních podmnožin R n s vzdálenosti Hausdorffovy .

Otevřená nastavená podmínka

Abychom určili rozměr self-podobné množiny A (v určitých případech), potřebujeme technický stav nazývaný otevřená nastavená podmínka (OSC) na pořadí kontrakcí ψ i .

Existuje relativně kompaktní otevřená sada V taková, že

kde sady v sjednocení vlevo jsou párově disjunktní .

Otevřená nastavená podmínka je separační podmínkou, která zajišťuje, že se obrázky ψ i ( V ) „příliš“ nepřekrývají.

Věta . Předpokládejme, že platí podmínka otevřené množiny a každé ψ i je podobnost, tj. Složení izometrie a dilatace kolem určitého bodu. Pak je jedinečný pevný bod set množinou, jejíž Hausdorffova dimenze je s kde s je jedinečné řešení

Koeficient kontrakce podobnosti je velikost dilatace.

Tuto větu můžeme použít k výpočtu Hausdorffovy dimenze Sierpinského trojúhelníku (nebo někdy nazývaného Sierpinského těsnění). Uvažujme tři nekolineární body a 1 , a 2 , a 3 v rovině R 2 a nechť ψ i je dilatací poměru 1/2 kolem a i . Unikátní neprázdný pevný bod odpovídajícího mapování ψ je Sierpinského těsnění a rozměr s je jedinečným řešením

Když vezmeme přirozené logaritmy obou stran výše uvedené rovnice, můžeme vyřešit s , to znamená: s = ln (3)/ln (2). Těsnění Sierpinski je podobné a vyhovuje OSC. Obecně množina E, která je pevným bodem mapování

je sobě podobný právě tehdy, když křižovatky

kde s je Hausdorffova dimenze E a H s označuje Hausdorffovu míru . To je jasné v případě těsnění Sierpinski (křižovatky jsou pouze body), ale platí to také obecněji:

Věta . Za stejných podmínek jako předchozí věta je jedinečný pevný bod self sobě podobný.

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy