Heisenbergův vstup do maticové mechaniky - Heisenberg's entryway to matrix mechanics

Další souvislosti viz Úvod do kvantové mechaniky .
Úplné informace o konkrétním tématu kvantové fyziky najdete v části Maticová mechanika .

Elektron padající z energetického stavu 3 do energetického stavu 2 emituje jeden červený foton. Jaká však bude intenzita záření ve spektru při této vlnové délce?

Werner Heisenberg přispěl k vědě v době, kdy stará kvantová fyzika objevovala pole poseté dalšími a dalšími kameny úrazu. Rozhodl se, že kvantová fyzika musí být přemýšlena od základů. Přitom vyřízl několik položek, které byly založeny na klasické fyzice a jejím modelování makrosvěta. Heisenberg se rozhodl založit svou kvantovou mechaniku „výlučně na vztazích mezi veličinami, které jsou v zásadě pozorovatelné“. Tím zkonstruoval vchod do mechaniky matic.

Poznamenal, že nelze použít žádné výroky o věcech jako „poloha a perioda revoluce elektronu“. Abychom dosáhli skutečného pokroku v porozumění radiaci nejjednoduššího případu, radiace excitovaných atomů vodíku, měli jsme k dispozici pouze měření frekvencí a intenzit vodíkového spektra jasných čar.

V klasické fyzice se intenzita každé frekvence světla vyprodukovaného v vyzařovacím systému rovná druhé mocnině amplitudy záření na této frekvenci, takže pozornost dále upadla na amplitudy. Klasické rovnice, které Heisenberg doufal, že použijí k vytvoření kvantově teoretických rovnic, nejprve přinesou amplitudy a v klasické fyzice lze vypočítat intenzity jednoduše čtvercem amplitud. Heisenberg však viděl, že „nejjednodušším a nejpřirozenějším předpokladem bude“ následovat vedení, které poskytla nedávná práce na výpočtu rozptylu světla provedená Kramersem. Práce, kterou vykonal při pomoci Kramersovi v předchozím roce, mu nyní poskytla důležitou stopu o tom, jak modelovat, co se stalo s excitovaným vodíkovým plynem, když vyzařovalo světlo, a co se stalo, když příchozí záření jedné frekvence vzrušovalo atomy v disperzním médiu a poté energii vydávané přicházejícím světlem bylo znovu vyzařováno - někdy na původní frekvenci, ale často na dvou nižších frekvencích, jejichž součet se rovnal původní frekvenci. Podle jejich modelu by se elektron, který byl řízen do stavu vyšší energie přijetím energie přicházejícího fotonu, mohl v jednom kroku vrátit do své rovnovážné polohy, znovu vyzařovat foton se stejnou frekvencí, nebo by se mohl vrátit ve více než jeden krok, vyzařující jeden foton pro každý krok při jeho návratu do rovnovážného stavu. Kvůli tomu, jak se faktory při odvozování nové rovnice na základě těchto úvah ruší, se ukázalo, že výsledek je relativně jednoduchý.

Vývoj úplné kvantové mechanické teorie

Werner Heisenberg použil myšlenku, že jelikož klasická fyzika je správná, pokud se týká jevů ve světě věcí větších než atomy a molekuly, musí stát jako zvláštní případ inkluzivnějšího kvantového teoretického modelu. Doufal tedy, že dokáže upravit kvantovou fyziku takovým způsobem, že když budou parametry v měřítku každodenních předmětů, bude to vypadat jako klasická fyzika, ale když budou parametry staženy do atomového měřítka, budou diskontinuity vidět ve věcech jako široce rozmístěné frekvence viditelného vodíkového spektra jasné čáry by se vrátily do dohledu.

Jedna věc, kterou lidé v té době nejvíce chtěli pochopit o vodíkovém záření, bylo, jak předpovědět nebo vysvětlit intenzitu čar v jeho spektru. Ačkoli to Heisenberg v té době nevěděl, obecný formát, který vypracoval, aby vyjádřil svůj nový způsob práce s kvantově teoretickými výpočty, může sloužit jako recept na dvě matice a jak je znásobit.

Heisenbergův průkopnický papír z roku 1925 matice ani nepoužívá, ani se o nich nezmiňuje. Heisenbergovým velkým pokrokem bylo „schéma, které bylo v principu schopné jednoznačně určit relevantní fyzikální vlastnosti (přechodové frekvence a amplitudy)“ vodíkového záření.

Poté, co Heisenberg napsal svůj průkopnický papír, předal jej jednomu ze svých vyšších kolegů, aby provedl potřebné opravy, a vydal se na zaslouženou dovolenou. Max Born si lámal hlavu nad rovnicemi a rovnicemi nedojíždějícími, které Heisenberg považoval za problematické a znepokojující. Po několika dnech si uvědomil, že tyto rovnice představují pokyny pro zápis matic. Matice byly trochu mimo vyšlapané cesty, dokonce i pro tehdejší matematiky, ale jak s nimi dělat matematiku bylo již jasně stanoveno. Spolu s několika kolegy se ujal úkolu vypracovat vše v maticové formě, než se Heisenberg vrátil z volna, a během několika měsíců nová kvantová mechanika v maticové formě vytvořila základ pro další práci.

Když jsou veličiny jako poloha a hybnost zmíněny v kontextu Heisenbergovy maticové mechaniky, je třeba mít na paměti, že výrok jako pq ≠ qp neodkazuje na jedinou hodnotu p a jedinou hodnotu q, ale na matici (mřížka hodnot uspořádaných definovaným způsobem) hodnot polohy a matice hodnot hybnosti. Takže vynásobení p krát q nebo q krát p opravdu mluví o násobení matic obou matic. Když se vynásobí dvě matice, odpovědí je třetí matice.

Max Born viděl, že když se vypočítají matice, které představují pq a qp , nebudou se rovnat. Heisenberg už viděl to samé, co se týče jeho původního způsobu formulování věcí, a Heisenberg možná uhodl, co bylo Bornovi téměř okamžitě zřejmé - že rozdíl mezi maticemi odpovědí pro pq a pro qp vždy zahrnuje dva faktory, které vyšly najevo z Heisenbergovy původní matematiky: Planckova konstanta h a i , což je druhá odmocnina negativní. Samotná myšlenka toho, co Heisenberg raději nazval „principem neurčitosti“ (obvykle známým jako princip neurčitosti), tedy číhala v Heisenbergových původních rovnicích.

Paul Dirac rozhodl, že podstata Heisenbergovy práce spočívala ve vlastnosti, kterou Heisenberg původně považoval za problematickou - skutečnost nekomutativity, jako je ta mezi násobením matice hybnosti maticí posunutí a multiplikací matice posunutí maticí hybnosti . Tento pohled vedl Diraca novými a produktivními směry.

Princip nejistoty

Jeden z Heisenbergových seniorů, Max Born, vysvětlil, jak vzal svůj podivný „recept“ uvedený výše a objevil něco průlomového:

S ohledem na ... příklady ... [Heisenberg] našel toto pravidlo .... To bylo v létě roku 1925. Heisenberg ... vzal volno ... a předal mi svůj papír ke zveřejnění .. ..

Heisenbergovo pravidlo násobení mi nedalo pokoj a po týdnu intenzivního přemýšlení a zkoušek jsem si najednou vzpomněl na algebraickou teorii ... Taková kvadratická pole jsou matematikům celkem známá a nazývají se maticemi ve spojení s určitým pravidlem násobení. . Použil jsem toto pravidlo na Heisenbergovu kvantovou podmínku a zjistil jsem, že souhlasí s diagonálními prvky. Bylo snadné uhodnout, co musí být zbývající prvky, jmenovitě null; a hned přede mnou stál ten podivný vzorec

${\ displaystyle {QP-PQ = {\ frac {ih} {2 \ pi}}}}$
[Symbol Q je matice pro posunutí, P je matice hybnosti, i znamená druhou odmocninu záporné a h je Planckova konstanta.]

Tento vzorec je jádrem Heisenbergova principu nejistoty odvozeného z matematiky. Kvantová mechanika silně omezuje přesnost, s jakou lze měřit vlastnosti pohybujících se subatomárních částic. Pozorovatel může přesně měřit buď polohu (posunutí) nebo hybnost, ale ne obojí. V limitu by měření jedné z proměnných s úplnou přesností znamenalo úplnou absenci přesnosti v měření druhé.

Průlomová rovnice

Intenzity viditelného spektra vodíkové plazmy získané spektrometrem Ocean Optics USB2000 s nízkým rozlišením. Jsou viditelné čáry Alpha, Beta, Gamma Balmer , ostatní čáry jsou nerozeznatelné od hluku.

Prostřednictvím intenzivní řady matematických analogií, které někteří fyzici nazvali „magické“, napsal Werner Heisenberg rovnici, která je kvantově mechanickým analogem pro klasický výpočet intenzit. Rovnice níže se objevuje v jeho článku z roku 1925. Jeho obecná podoba je následující:

${\ displaystyle C (n, nb) = \ součet _ {a} ^ {} \, A (n, na) B (na, nb)}$

Tento obecný formát označuje, že některé termín C , se vypočte sečtením všech produktů z nějaké skupiny pojmů A nějakým spjaté skupině pojmů B . Potenciálně bude existovat nekonečná řada výrazů A a jejich odpovídajících výrazů B. Každá z těchto multiplikací má jako své faktory dvě měření, která se týkají postupných přechodů dolů mezi energetickými stavy elektronu. Tento typ pravidla odlišuje maticovou mechaniku od druhu fyziky známého v každodenním životě, protože důležité hodnoty jsou tam, kde (v jakém energetickém stavu nebo „orbitálním“) elektron začíná a v jakém energetickém stavu končí, nikoli to, co elektron dělá, zatímco v jednom či jiném státě.

Vzorec vypadá docela zastrašující, ale pokud A a B odkazují například na seznamy frekvencí, vše, co říká, je provést následující násobení a poté je sečíst:

Vynásobte frekvenci pro změnu energie ze stavu n do stavu na frekvencí pro změnu energie ze stavu na do stavu nb. a k tomu přidat nalezený produkt vynásobením frekvence pro změnu energie ze stavu na do stavu nb frekvencí pro změnu energie ze stavu nb do stavu nc atd. Symbolicky to znamená:

f (n, na) * f (na, nb)) +

f (na, nb) * f (nb, nc) +

atd. (Podle použité konvence, na představuje vyšší energetický stav než n , takže přechod z n na na by naznačoval, že elektron přijal energii z přicházejícího fotonu a vzrostl na vyšší oběžnou dráhu, zatímco přechod z na až n by představoval elektron padající na nižší oběžnou dráhu a emitující foton.)

Bylo by snadné provést každý jednotlivý krok tohoto procesu pro určité měřené množství. Například krabicový vzorec v záhlaví tohoto článku udává postupně každou potřebnou vlnovou délku. Vypočtené hodnoty lze velmi snadno vyplnit do mřížky, jak je popsáno níže. Protože je však řada nekonečná, nikdo nemohl provést celou sadu výpočtů.

Heisenberg původně navrhl tuto rovnici, aby si dovolil znásobit dvě měření stejného druhu (amplitudy), takže nezáleželo na tom, v jakém pořadí byly vynásobeny. Heisenberg si však všiml, že pokud se pokusí použít stejné schéma k vynásobení dvou proměnných, jako je hybnost, p a posunutí, q , pak „nastanou značné potíže“. Ukazuje se, že vynásobení matice p maticí q dává odlišný výsledek od vynásobení matice q maticí p . Udělal to jen nepatrný rozdíl, ale tento rozdíl nemohl být nikdy snížen pod určitou hranici a tato hranice zahrnovala Planckovu konstantu, h . O tom později. Níže je uveden velmi krátký vzorek toho, co by výpočty byly, umístěné do mřížek, které se nazývají matice. Heisenbergův učitel téměř okamžitě viděl, že jeho práce by měla být vyjádřena v maticovém formátu, protože matematici již byli obeznámeni s tím, jak efektivně provádět výpočty zahrnující matice. (Protože Heisenberg se zajímal o fotonové záření, ilustrace budou uvedeny ve smyslu elektronů přecházejících z vyšší energetické úrovně na nižší úroveň, např. N ← n-1, namísto přechodu z nižší úrovně na vyšší úroveň, např. , n → n-1)

${\ displaystyle Y (n, nb) = \ součet _ {a} ^ {} \, p (n, na) q (na, nb)}$ (rovnice pro hybnost a pozici konjugovaných proměnných )

Matice p

Matice q

Matice pro produkt výše uvedených dvou matic, jak je uvedeno v příslušné rovnici v Heisenbergově článku z roku 1925, je

Kde

A = p (n︎ ← na) * q (n-a︎ ← nb) + p (n︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nb) + p (n︎ ← nc) * q (n-c︎ ← nb) + .....

B = p (n-a︎ ← na) * q (n-a︎ ← nc) + p (n-a︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nc) + p (n-a︎ ← nc) * q (n -c︎ ← nc) + .....

C = p (n-b︎ ← na) * q (n-a︎ ← nd) + p (n-b︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nd) + p (n-b︎ ← nc) * q (n -d︎ ← nd) + .....

a tak dále.

Pokud by byly matice obráceny, vznikly by následující hodnoty

A = q (n︎ ← na) * p (n-a︎ ← nb) + q (n︎ ← nb) * p (n-b︎ ← nb) + q (n︎ ← nc) * p (n-c︎ ← nb) + .....

B = q (n-a︎ ← na) * p (n-a︎ ← nc) + q (n-a︎ ← nb) * p (n-b︎ ← nc) + q (n-a︎ ← nc) * p (n -c︎ ← nc) + .....

C = q (n-b︎ ← na) * p (n-a︎ ← nd) + q (n-b︎ ← nb) * p (n-b︎ ← nd) + q (n-b︎ ← nc) * p (n -d︎ ← nd) + ...

a tak dále.

Všimněte si, jak změna pořadí násobení postupně mění čísla, která se ve skutečnosti násobí.

Reference

• Aitchison, Ian JR; MacManus, David A .; Snyder, Thomas M. (2004). „Porozumění Heisenbergovu„ magickému “článku z července 1925: Nový pohled na podrobnosti výpočtu“. American Journal of Physics . 72 (11): 1370–1379. arXiv : quant-ph / 0404009 . Bibcode : 2004AmJPh..72.1370A . doi : 10,1119 / 1,1775243 . S2CID   53118117 . Přímé stažení pro Aitchison et al. na toto téma.
• PAM Dirac (1925), „Základní rovnice kvantové mechaniky. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character“, 109 (752), 642–653 online . Zásadní reinterpretační syntéza Heisenbergova článku, který představuje současný použitý jazyk.
• BLVan der Waerden, Zdroje kvantové mechaniky , Dover Publications (2007), ISBN   978-0486458922