Henri Lebesgue - Henri Lebesgue

Pro teoretika čísel viz Victor-Amédée Lebesgue .
Nesmí být zaměňována s francouzským paleografem Henri Lebègue
Henri Lebesgue
Lebesgue 2.jpeg
narozený ( 1875-06-28 )28. června 1875
Beauvais , Oise , Francie
Zemřel 26.července 1941 (1941-07-26)(ve věku 66)
Paříž , Francie
Národnost francouzština
Alma mater École Normale Supérieure
University of Paris
Známý jako Integrace
Lebesgue Lebesgueova míra
Ocenění Člen ceny Royal Society
Poncelet Prize za rok 1914
Vědecká kariéra
Pole Matematika
Instituce University of Rennes
University of Poitiers
University of Paris
Collège de France
Doktorský poradce Émile Borel
Doktorandi Paul Montel
Zygmunt Janiszewski
Georges de Rham

Henri Léon Lebesgue ForMemRS ( francouzsky:  [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 28. června 1875-26 . července 1941) byl francouzský matematik známý svou teorií integrace , která byla zobecněním konceptu integrace ze 17. století-shrnutím oblasti mezi osou a křivkou funkce definované pro tuto osu. Jeho teorie byla původně publikována v jeho disertační práci Intégrale, longueur, aire („Integral, length, area“) na univerzitě v Nancy v průběhu roku 1902.

Osobní život

Henri Lebesgue se narodil 28. června 1875 v Beauvais , Oise . Lebesgueův otec byl sazeč a jeho matka byla učitelkou ve škole . Jeho rodiče shromáždili doma knihovnu, kterou mladý Henri mohl používat. Jeho otec zemřel na tuberkulózu, když byl Lebesgue ještě velmi mladý a jeho matka ho musela živit sama. Když na základní škole prokázal pozoruhodný talent pro matematiku, jeden z jeho instruktorů zařídil komunitní podporu pro další vzdělávání na Collège de Beauvais a poté na Lycée Saint-Louis a Lycée Louis-le-Grand v Paříži .

V roce 1894 byl Lebesgue přijat na École Normale Supérieure , kde pokračoval v soustředění své energie na studium matematiky, kterou absolvoval v roce 1897. Po promoci zůstal dva roky na École Normale Supérieure, pracoval v knihovně, kde se dozvěděl výzkumu diskontinuity , který v té době provedl René-Louis Baire , čerstvý absolvent školy. Současně zahájil postgraduální studium na Sorbonně , kde se dozvěděl o práci Émile Borela na počínající teorii míry a práci Camille Jordana na jordánské míře . V roce 1899 se přestěhoval na učitelské místo na Lycée Central v Nancy , přičemž pokračoval v práci na svém doktorátu. V roce 1902 získal titul Ph.D. ze Sorbonny se klíčovou prací na téma „Integral, Length, Area“, předloženou s Borelem, o čtyři roky starším, jako poradcem.

Lebesgue si vzal sestru jednoho ze svých spolužáků a on a jeho manželka měli dvě děti, Suzanne a Jacques.

Po publikování své práce byl Lebesgueovi v roce 1902 nabídnuto místo na univerzitě v Rennes , kde přednášel až do roku 1906, kdy se přestěhoval na Přírodovědeckou fakultu University of Poitiers . V roce 1910 se Lebesgue přestěhoval na Sorbonnu jako maître de conférences , přičemž od roku 1919 byl povýšen na profesora. V roce 1921 odešel ze Sorbonny, aby se stal profesorem matematiky na Collège de France , kde po zbytek svého života přednášel a dělal výzkum. . V roce 1922 byl zvolen členem Académie des Sciences . Henri Lebesgue zemřel 26. července 1941 v Paříži .

Matematická kariéra

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitive , 1904

Lebesgueův první dokument byl publikován v roce 1898 a měl název „Sur l'aproximation des fonctions“. Zabýval se Weierstrassovou větou o aproximaci spojitých funkcí polynomy. V období od března 1899 do dubna 1901 Lebesgue publikoval šest poznámek v Comptes Rendus . První z nich, nesouvisející s jeho vývojem Lebesgueovy integrace, se zabýval rozšířením Baireovy věty na funkce dvou proměnných. Dalších pět se zabývalo povrchy použitelnými na rovinu, oblastí šikmých polygonů , povrchovými integrály minimální plochy s danou hranicí a závěrečná poznámka dala definici Lebesgueovy integrace pro nějakou funkci f (x). Lebesgueova velká teze, Intégrale, longueur, aire , s úplným popisem této práce, se objevila v Annali di Matematica v roce 1902. První kapitola rozvíjí teorii míry (viz Borelská míra ). Ve druhé kapitole definuje integrál jak geometricky, tak analyticky. Další kapitoly rozšiřují poznámky Comptes Rendus zabývající se délkou, plochou a použitelnými povrchy. Závěrečná kapitola se zabývá hlavně Plateauovým problémem . Tato disertační práce je považována za jednu z nejlepších, jaké kdy matematik napsal.

Jeho přednášky z let 1902 až 1903 byly shromážděny do primitivů „ Borelského traktu“ Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions . Hlavní myšlenkou knihy je problém integrace, který je považován za hledání primitivní funkce. Lebesgue představuje problém integrace v jejím historickém kontextu, řeší Augustina-Louise Cauchyho , Petera Gustava Lejeune Dirichleta a Bernharda Riemanna . Lebesgue uvádí šest podmínek, které je žádoucí, aby integrál splňoval, přičemž poslední z nich je „Pokud se posloupnost f n (x) zvýší na mez f (x), integrál f n (x) inklinuje k integrálu f (x). " Lebesgue ukazuje, že jeho podmínky vedou k teorii míry a měřitelných funkcí a analytickým a geometrickým definicím integrálu.

Vedle trigonometrických funkcí se obrátil se svým papírem „Sur les séries trigonométriques“ z roku 1903. V této práci představil tři hlavní věty: že goniometrická řada představující ohraničenou funkci je Fourierova řada, že n -tý Fourierův koeficient má tendenci k nule ( Riemann -Lebesgueovo lemma ) a že Fourierova řada je integrovatelná termín po termínu. V letech 1904-1905 Lebesgue přednášel ještě jednou na Collège de France , tentokrát o goniometrických řadách, a své přednášky publikoval v dalším z „borelských traktátů“. V tomto traktu znovu zachází s tématem v jeho historickém kontextu. Vysvětluje Fourierovu řadu, Cantor-Riemannovu teorii, Poissonův integrál a Dirichletův problém .

V příspěvku z roku 1910 „Représentation trigonométrique Approchée des fonctions satisffaisant a une condition de Lipschitz“ se zabývá Fourierovou řadou funkcí splňujících Lipschitzovu podmínku s hodnocením řádu velikosti zbývajícího období. Dokazuje také, že lemma Riemann – Lebesgue je nejlepším možným výsledkem pro spojité funkce, a poskytuje určité zacházení s Lebesgueovými konstantami .

Lebesgue jednou napsal: „Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle form sans contenu“. („Redukováno na obecné teorie, matematika by byla krásná forma bez obsahu.“)

V analýze teoretické míry a příbuzných odvětvích matematiky Lebesgueův-Stieltjesův integrál generalizuje Riemannovu-Stieltjesovu a Lebesgueovu integraci, přičemž zachovává mnoho jejích výhod v obecnějším rámcovém teoreticko-teoretickém rámci.

Během své kariéry Lebesgue také dělal vpády do říší komplexní analýzy a topologie . Měl také nesouhlas s Émile Borelem, jehož integrál byl obecnější. Ve srovnání s jeho příspěvky ke skutečné analýze však tyto drobné výpady bledly ; jeho příspěvky v této oblasti měly obrovský dopad na dnešní podobu pole a jeho metody se staly nezbytnou součástí moderní analýzy. Ty mají důležité praktické důsledky pro základní fyziku, o nichž by Lebesgue vůbec nevěděl, jak je uvedeno níže.

Lebesgueova teorie integrace

Aproximace Riemannova integrálu obdélníkovými oblastmi.
Toto je historický přehled. Technické matematické zpracování viz Lebesgueova integrace .

Integrace je matematická operace, která odpovídá neformální myšlence najít oblast pod grafem jednoho funkce . První integrační teorii vytvořil Archimedes ve 3. století před naším letopočtem svou metodou kvadratur , ale tu bylo možné aplikovat pouze za omezených okolností s vysokým stupněm geometrické symetrie. V 17. století Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz objevili myšlenku, že integrace je neodmyslitelně spjata s diferenciací , přičemž druhá je způsobem, jak měřit, jak rychle se funkce v daném bodě grafu mění. Tento překvapivý vztah mezi dvěma hlavními geometrickými operacemi v počtu, diferenciaci a integraci, je nyní známý jako základní věta kalkulu . Matematikům to umožnilo poprvé vypočítat širokou třídu integrálů. Na rozdíl od Archimédovy metody, která byla založena na euklidovské geometrii , však matematici cítili, že Newtonův a Leibnizův integrální počet nemá přísný základ.

V 19. století vyvinul Augustin Cauchy limity epsilon-delta a Bernhard Riemann na to navázal formalizací toho, čemu se nyní říká Riemannův integrál . Abychom definovali tento integrál, vyplníme oblast pod grafem menšími a menšími obdélníky a vezmeme limit součtů ploch obdélníků v každé fázi. U některých funkcí se však celková plocha těchto obdélníků nepřibližuje k jedinému číslu. Jako takové nemají žádný Riemannův integrál.

Lebesgue vynalezl nový způsob integrace k vyřešení tohoto problému. Namísto použití oblastí obdélníků, které kladly důraz na doménu funkce, se Lebesgue podíval na codoménu funkce pro svou základní jednotku oblasti. Lebesgueova myšlenka byla nejprve definovat míru pro obě sady a funkce na těchto sadách. Poté přistoupil k vytvoření integrálu pro to, co nazýval jednoduchými funkcemi ; měřitelné funkce, které nabývají jen konečného počtu hodnot. Poté jej pro složitější funkce definoval jako nejmenší horní hranici všech integrálů jednoduchých funkcí menších než dotyčná funkce.

Integrace Lebesgue má tu vlastnost, že každá funkce definovaná v omezeném intervalu s Riemannovým integrálem má také Lebesgueův integrál a pro tyto funkce se tyto dva integrály shodují. Kromě toho má každá ohraničená funkce v uzavřeném ohraničeném intervalu Lebesgueův integrál a existuje mnoho funkcí s Lebesgueovým integrálem, které nemají Riemannův integrál.

Jako součást vývoje Lebesgueovy integrace Lebesgue vynalezl koncept míry , který rozšiřuje myšlenku délky z intervalů na velmi velkou třídu množin, nazývaných měřitelné množiny (tedy přesněji, jednoduché funkce jsou funkce, které mají konečný počet hodnot a každá hodnota je převzata do měřitelné sady). Lebesgueova technika pro přeměnu míry na integrál snadno zevšeobecňuje do mnoha dalších situací, což vede k moderní oblasti teorie měřítek .

Lebesgueův integrál je v jednom ohledu nedostatečný. Riemannův integrál zobecňuje na nevhodný Riemannův integrál k měření funkcí, jejichž definiční obor není uzavřený interval . Lebesgueův integrál integruje mnoho z těchto funkcí (vždy reprodukuje stejnou odpověď), ale ne všechny. Pro funkce na reálné linii je Henstockův integrál ještě obecnějším pojmem integrálu (vychází spíše z Riemannovy teorie než z Lebesgueovy), který zahrnuje Lebesgueovu integraci i nesprávnou Riemannovu integraci. Integrál Henstock však závisí na konkrétních vlastnostech uspořádání skutečné linky, a proto negeneralizuje, aby umožnil integraci do obecnějších prostorů (řekněme variet ), zatímco Lebesgueův integrál do takových prostor zcela přirozeně zasahuje.

Viz také

Reference

externí odkazy