Hermitovy polynomy - Hermite polynomials

V matematice jsou Hermitovy polynomy klasickou ortogonální polynomickou sekvencí .

Polynomy vznikají v:

• zpracování signálu jako hermitovské vlnky pro analýzu vlnkové transformace
• pravděpodobnost , jako je řada Edgeworth , a také ve spojení s Brownovým pohybem ;
• kombinatorika , jako příklad Appellovy sekvence , poslouchající umbrální počet ;
• numerická analýza jako Gaussova kvadratura ;
• fyzika , kde vedou ke vzniku vlastních stavů kvantového harmonického oscilátoru ; a také se vyskytují v některých případech tepelné rovnice (když je termín přítomen);${\ displaystyle {\ begin {aligned} xu_ {x} \ end {aligned}}}$
• teorie systémů v souvislosti s nelineárními operacemi na Gaussově šumu .
• teorie náhodných matic v Gaussových souborech .

Hermitské polynomy byly definovány Pierrem-Simonem Laplaceem v roce 1810, i když ve sotva rozpoznatelné formě, a podrobně je studoval Pafnuty Chebyshev v roce 1859. Chebyshevova práce byla přehlédnuta a byly pojmenovány později podle Charlese Hermita , který napsal o polynomech v roce 1864, popisovat je jako nové. V důsledku toho nebyly nové, ačkoli Hermite byl první, kdo definoval vícerozměrné polynomy ve svých pozdějších 1865 publikacích.

Definice

Stejně jako ostatní klasické ortogonální polynomy lze Hermitovy polynomy definovat z několika různých výchozích bodů. Hned od začátku, že existují dvě různé standardizace v běžném používání, jedna pohodlná metoda je následující:

• V „pravděpodobnostních je hermitovy polynomy“ jsou dány

${\ Displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = (-1)^{n} e^{\ frac {x^{2}} {2}} {\ frac {d^{n }} {dx^{n}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}},}$

• zatímco „fyzikální Hermitovy polynomy“ jsou dány znakem

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} e^{- x^{2}}.}$

Tyto rovnice mají formu Rodriguesova vzorce a lze je také zapsat jako

${\ Displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = \ left (x-{\ frac {d} {dx}} \ right)^{n} \ cdot 1, \ quad H_ {n} (x) = \ vlevo (2x-{\ frac {d} {dx}} \ vpravo)^{n} \ cdot 1.}$

Tyto dvě definice nejsou přesně totožné; každý je změnou měřítka druhého:

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = 2^{\ frac {n} {2}} {\ mathit {He}} _ {n} \ left ({\ sqrt {2}} \, x \ right) , \ quad {\ mathit {He}} _ {n} (x) = 2^{-{\ frac {n} {2}}} H_ {n} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt { 2}}} \ right).}$

Jedná se o Hermitovy polynomické sekvence různých variant; viz materiál o odchylkách níže.

Zápis He a H je ten, který se používá ve standardních referencích. Polynomy He _n jsou někdy označeny H _n , zvláště v teorii pravděpodobnosti, protože

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}}$

je funkce hustoty pravděpodobnosti pro normální rozdělení s očekávanou hodnotou 0 a standardní odchylkou 1.

• Prvních jedenáct hermitských polynomů pravděpodobnosti je:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathit {He}} _ {0} (x) & = 1, \\ {\ mathit {He}} _ {1} (x) & = x, \\ { \ mathit {He}} _ {2} (x) & = x^{2} -1, \\ {\ mathit {He}} _ {3} (x) & = x^{3} -3x, \ \ {\ mathit {He}} _ {4} (x) & = x^{4} -6x^{2} +3, \\ {\ mathit {He}} _ {5} (x) & = x ^{5} -10x^{3}+15x, \\ {\ mathit {He}} _ {6} (x) & = x^{6} -15x^{4}+45x^{2} -15 , \\ {\ mathit {He}} _ {7} (x) & = x^{7} -21x^{5}+105x^{3} -105x, \\ {\ mathit {He}} _ { 8} (x) & = x^{8} -28x^{6}+210x^{4} -420x^{2} +105, \\ {\ mathit {He}} _ {9} (x) & = x^{9} -36x^{7}+378x^{5} -1260x^{3}+945x, \\ {\ mathit {He}} _ {10} (x) & = x^{10} -45x^{8}+630x^{6} -3150x^{4}+4725x^{2} -945. \ End {zarovnaný}}}$

• Hermitovy polynomy prvních jedenácti fyziků jsou:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} H_ {0} (x) & = 1, \\ H_ {1} (x) & = 2x, \\ H_ {2} (x) & = 4x^{2}- 2, \\ H_ {3} (x) & = 8x^{3} -12x, \\ H_ {4} (x) & = 16x^{4} -48x^{2} +12, \\ H_ { 5} (x) & = 32x^{5} -160x^{3}+120x, \\ H_ {6} (x) & = 64x^{6} -480x^{4}+720x^{2}- 120, \\ H_ {7} (x) & = 128x^{7} -1344x^{5}+3360x^{3} -1680x, \\ H_ {8} (x) & = 256x^{8}- 3584x^{6}+13440x^{4} -13440x^{2} +1680, \\ H_ {9} (x) & = 512x^{9} -9216x^{7}+48384x^{5} -80640x ^{3}+30240x, \\ H_ {10} (x) & = 1024x^{10} -23040x^{8}+161280x^{6} -403200x^{4}+302400x^{2} -30240. \ end {aligned}}}$

Vlastnosti

N tého řádu Hermiteův polynom je polynom stupně n . Pravděpodobnostní verze He _n má vedoucí koeficient 1, zatímco fyzikova verze H _n má vedoucí koeficient 2 ⁿ .

Ortogonalita

H _n ( x ) a on _n ( x ) jsou n th-stupeň polynomy pro n = 0, 1, 2, 3, ... . Tyto polynomy jsou ortogonální vzhledem k váhové funkci ( míra )

${\ Displaystyle w (x) = e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ quad ({\ text {for}} {\ mathit {He}})}$

nebo

${\ Displaystyle w (x) = e^{-x^{2}} \ quad ({\ text {for}} H),}$

tj. máme

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} H_ {m} (x) H_ {n} (x) \, w (x) \, dx = 0 \ quad {\ text {pro všechny} } m \ neq n.}$

Kromě toho,

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ mathit {He}} _ {m} (x) {\ mathit {He}} _ {n} (x) \, e^{- {\ frac {x^{2}} {2}}} \, dx = {\ sqrt {2 \ pi}} \, n! \, \ delta _ {nm},}$

nebo

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} H_ {m} (x) H_ {n} (x) \, e^{-x^{2}} \, dx = {\ sqrt { \ pi}} \, 2^{n} n! \, \ delta _ {nm},}$

kde je Kroneckerova delta . ${\ Displaystyle \ delta _ {nm}}$

Pravděpodobnostní polynomy jsou tedy ortogonální vzhledem ke standardní normální hustotě pravděpodobnosti.

Úplnost

Tyto hermitovy polynomy (pravděpodobnostních je nebo fyzika) tvoří ortogonální základnu na Hilbertově prostoru funkcí, který by splňoval

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ bigl |} f (x) {\ bigr |}^{2} \, w (x) \, dx <\ infty,}$

ve kterém je vnitřní produkt dán integrálem

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) {\ overline {g (x)}} \, w (x) \, dx}$

včetně Gaussovy váhové funkce w ( x ) definované v předchozí části

Ortogonální základ pro L ² ( R , w ( x ) dx ) je kompletní ortogonální systém . U ortogonálního systému je úplnost ekvivalentní skutečnosti, že funkce 0 je jedinou funkcí f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ) ortogonální ke všem funkcím v systému.

Protože lineární rozpětí Hermitových polynomů je prostorem všech polynomů, je třeba ukázat (v případě fyzika), že pokud f splňuje

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) x^{n} e^{-x^{2}} \, dx = 0}$

pro každé n ≥ 0 , pak f = 0 .

Jedním z možných způsobů, jak toho dosáhnout, je ocenit celou funkci

${\ Displaystyle F (z) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) e^{zx-x^{2}} \, dx = \ sum _ {n = 0}^{ \ infty} {\ frac {z^{n}} {n!}} \ int f (x) x^{n} e^{-x^{2}} \, dx = 0}$

zmizí stejně. Skutečnost, pak, že F ( to ) = 0 pro každé reálné t prostředky, že Fourierova transformace z f ( x ), e ^{- x 2} je 0, tedy f je 0 téměř všude. Varianty výše uvedeného důkazu úplnosti platí pro jiné váhy s exponenciálním úpadkem.

V případě Hermite je také možné prokázat explicitní identitu, která implikuje úplnost (viz část o vztahu Úplnost níže).

Ekvivalentní formulace skutečnosti, že hermitské polynomy jsou ortogonálním základem pro L ² ( R , w ( x ) dx ), spočívá v zavedení hermitských funkcí (viz níže) a v tom, že hermitské funkce jsou ortonormálním základem pro L ² ( R ) .

Hermitova diferenciální rovnice

Hermitovy polynomy s pravděpodobností jsou řešením diferenciální rovnice

${\ Displaystyle \ left (e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}} u '\ right)'+\ lambda e^{-{\ frac {1} {2}} x ^{2}} u = 0,}$

kde λ je konstanta. Uložením okrajové podmínky, že u by mělo být polynomiálně ohraničeno v nekonečnu, má rovnice řešení pouze v případě, že λ je nezáporné celé číslo a řešení je jednoznačně dáno vztahem , kde označuje konstantu. ${\ Displaystyle u (x) = C_ {1} He _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle C_ {1}}$

Přepis diferenciální rovnice jako problém vlastní hodnoty

${\ Displaystyle L [u] = u ''-xu '=-\ lambda u,}$

Hermitovy polynomy lze chápat jako vlastní funkce diferenciálního operátoru . Tento problém vlastních čísel se nazývá Hermitova rovnice , i když se tento výraz používá také pro úzce související rovnici ${\ displaystyle He _ {\ lambda} (x)}$${\ Displaystyle L [u]}$

${\ Displaystyle u ''-2xu '=-2 \ lambda u.}$

jehož řešení je jednoznačně dáno fyzikálními hermitskými polynomy ve formě , kde označuje konstantu, po uložení okrajové podmínky, že u by mělo být polynomiálně ohraničeno v nekonečnu. ${\ Displaystyle u (x) = C_ {1} H _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle C_ {1}}$

Obecná řešení výše uvedených diferenciálních rovnic druhého řádu jsou ve skutečnosti lineární kombinace obou Hermitových polynomů a splývajících hypergeometrických funkcí prvního druhu. Například pro fyzikovu Hermitovu rovnici

${\ Displaystyle u ''-2xu '+2 \ lambda u = 0,}$

obecné řešení má formu

${\ Displaystyle u (x) = C_ {1} H _ {\ lambda} (x)+C_ {2} h _ {\ lambda} (x),}$

kde a jsou konstanty, jsou fyzikální Hermitovy polynomy (prvního druhu) a fyzikální Hermitovy funkce (druhého druhu). Posledně jmenované funkce jsou kompaktně znázorněny, kde jsou konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu . Konvenční Hermitovy polynomy mohou být také vyjádřeny pomocí splývajících hypergeometrických funkcí, viz níže. ${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {2}}$${\ displaystyle H _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle h _ {\ lambda} (x)}$${\ Displaystyle h _ {\ lambda} (x) = {} _ {1} F_ {1} (-{\ tfrac {\ lambda} {2}}; {\ tfrac {1} {2}}; x^{ 2})}$${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}$

S obecnějšími okrajovými podmínkami lze Hermitovy polynomy zobecnit, aby získaly obecnější analytické funkce pro komplexně hodnocené λ . Je také možný explicitní vzorec Hermitových polynomů z hlediska obrysových integrálů ( Courant & Hilbert 1989 ).

Vztah opakování

Pořadí pravděpodobnostních Hermitových polynomů také splňuje relaci recidivy

${\ Displaystyle {\ mathit {He}} _ {n+1} (x) = x {\ mathit {He}} _ {n} (x)-{\ mathit {He}} _ {n} '(x ).}$

Jednotlivé koeficienty souvisejí podle následujícího rekurzního vzorce:

${\ Displaystyle a_ {n+1, k} = {\ begin {cases} -na_ {n-1, k} & k = 0, \\ a_ {n, k-1} -na_ {n-1, k} & k> 0, \ end {případy}}}$

a a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 1 .

U fyzikálních polynomů za předpokladu

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0}^{n} a_ {n, k} x^{k},}$

my máme

${\ Displaystyle H_ {n+1} (x) = 2xH_ {n} (x) -H_ {n} '(x).}$

Jednotlivé koeficienty souvisejí podle následujícího rekurzního vzorce:

${\ Displaystyle a_ {n+1, k} = {\ begin {cases} -a_ {n, k+1} & k = 0, \\ 2a_ {n, k-1}-(k+1) a_ {n , k+1} a k> 0, \ konec {případů}}}$

a a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 2 .

Hermitovy polynomy tvoří Appellovu sekvenci , tj. Jsou to polynomické sekvence splňující identitu

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathit {He}} _ {n} '(x) & = n {\ mathit {He}} _ {n-1} (x), \\ H_ {n} '(x) & = 2nH_ {n-1} (x). \ end {aligned}}}$

Ekvivalentně tím, že Taylor expanduje ,

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathit {He}} _ {n} (x+y) & = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} x ^{nk} {\ mathit {He}} _ {k} (y) && = 2^{-{\ frac {n} {2}}} \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} {\ mathit {He}} _ {nk} \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) {\ mathit {He}} _ {k} \ left (y {\ sqrt {2}} \ right), \\ H_ {n} (x+y) & = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} H_ {k} (x) (2y)^{(nk)} && = 2^{-{\ frac {n} {2}}} \ cdot \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} H_ {nk} \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) H_ {k} \ left (y {\ sqrt {2}} \ right). \ End {aligned}}}$

Tyto umbrální identity jsou samozřejmé a jsou zahrnuty v níže uvedené diferenciální reprezentaci operátora ,

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathit {He}} _ {n} (x) & = e^{-{\ frac {D^{2}} {2}}} x^{n}, \\ H_ {n} (x) & = 2^{n} e^{-{\ frac {D^{2}} {4}}} x^{n}. \ End {zarovnáno}}}$

V důsledku toho platí pro m th deriváty následující vztahy:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathit {He}} _ {n}^{(m)} (x) & = {\ frac {n!} {(nm)!}} {\ mathit {He }} _ {nm} (x) && = m! {\ binom {n} {m}} {\ mathit {He}} _ {nm} (x), \\ H_ {n}^{(m)} (x) & = 2^{m} {\ frac {n!} {(nm)!}} H_ {nm} (x) && = 2^{m} m! {\ binom {n} {m}} H_ {nm} (x). \ End {aligned}}}$

Z toho vyplývá, že Hermitovy polynomy také splňují relaci recidivy

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathit {He}} _ {n+1} (x) & = x {\ mathit {He}} _ {n} (x) -n {\ mathit {He} } _ {n-1} (x), \\ H_ {n+1} (x) & = 2xH_ {n} (x) -2nH_ {n-1} (x). \ end {zarovnáno}}}$

Tyto poslední vztahy spolu s počátečními polynomy H ₀ ( x ) a H ₁ ( x ) lze v praxi použít k rychlému výpočtu polynomů.

Turánovy nerovnosti jsou

${\ Displaystyle {\ mathit {H}} _ {n} (x)^{2}-{\ mathit {H}} _ {n-1} (x) {\ mathit {H}} _ {n+1 } (x) = (n-1)! \ sum _ {i = 0}^{n-1} {\ frac {2^{ni}} {i!}} {\ mathit {H}} _ {i } (x)^{2}> 0.}$

Navíc platí následující věta o násobení :

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} H_ {n} (\ gamma x) & = \ sum _ {i = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} \ gamma ^{n-2i} (\ gamma ^{2} -1) ^{i} {\ binom {n} {2i}} {\ frac {(2i)!} {i!}} H_ {n-2i } (x), \\ {\ mathit {He}} _ {n} (\ gamma x) & = \ sum _ {i = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ vpravo \ rfloor} \ gamma ^{n-2i} (\ gamma ^{2} -1) ^{i} {\ binom {n} {2i}} {\ frac {(2i)!} {i!}} 2^{-i} {\ mathit {He}} _ {n-2i} (x). \ End {aligned}}}$

Explicitní výraz

Fyzikovy hermitské polynomy lze zapsat výslovně jako

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = {\ begin {cases} \ displaystyle n! \ sum _ {l = 0}^{\ frac {n} {2}} {\ frac {(-1)^{ {\ tfrac {n} {2}}-l}} {(2l)! \ left ({\ tfrac {n} {2}}-l \ right)!}} (2x)^{2l} & {\ text {for even}} n, \\\ displaystyle n! \ sum _ {l = 0}^{\ frac {n-1} {2}} {\ frac {(-1)^{{\ frac {n -1} {2}}-l}} {(2l+1)! \ Left ({\ frac {n-1} {2}}-l \ right)!}} (2x)^{2l+1} & {\ text {pro liché}} n. \ end {cases}}}$

Tyto dvě rovnice lze spojit do jedné pomocí funkce floor :

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = n! \ sum _ {m = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {(-1) ^{m}} {m! (n-2m)!}} (2x)^{n-2m}.}$

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy Má podobné vzorce, které z nich lze získat nahrazením síly 2 x odpovídající sílou √ 2  x a vynásobením celého součtu 2 ^{- n/2}:

${\ Displaystyle He_ {n} (x) = n! \ sum _ {m = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {(-1) ^{m}} {m! (n-2m)!}} {\ frac {x^{n-2m}} {2^{m}}}.}$

Inverzní explicitní výraz

Inverzní výše uvedených explicitních výrazů, to znamená ty, pro monomials z hlediska Hermiteovými polynomů pravděpodobnostních je mu jsou

${\ Displaystyle x^{n} = n! \ sum _ {m = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {1} {2^{ m} m! (n-2m)!}} He_ {n-2m} (x).}$

Odpovídající výrazy pro fyzikální Hermitovy polynomy H následují přímo správným změnou měřítka:

${\ Displaystyle x^{n} = {\ frac {n!} {2^{n}}} \ sum _ {m = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {1} {m! (n-2m)!}} H_ {n-2m} (x).}$

Generující funkce

Hermitovy polynomy jsou dány funkcí exponenciálního generování

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} e^{xt-{\ frac {1} {2}} t^{2}} & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ mathit {He }} _ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}}, \\ e^{2xt-t^{2}} & = \ sum _ {n = 0}^{ \ infty} H_ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}}. \ end {aligned}}}$

Tato rovnost platí pro všechny komplexní hodnoty x a t a lze ji získat zápisem Taylorovy expanze na x celé funkce z → e ^{- z 2} (v případě fyzika). Lze také odvodit (fyzikovu) generující funkci pomocí Cauchyova integrálního vzorce pro zápis Hermitových polynomů jako

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} e^{- x^{2}} = (-1)^{n} e^{x^{2}} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ mast _ {\ gamma} {\ frac {e ^{-z^{2}}} {(zx)^{n+1}}} \, dz.}$

Použití v součtu

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}},}$

lze vyhodnotit zbývající integrál pomocí počtu zbytků a dospět k požadované generující funkci.

Očekávané hodnoty

Pokud X je náhodná veličina s normálním rozložením se standardní odchylkou 1 a očekávanou hodnotou μ , pak

${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbb {E}} \ left [{\ mathit {He}} _ {n} (X) \ right] = \ mu ^{n}.}$

Momenty standardní normály (s očekávanou hodnotou nula) lze odečíst přímo ze vztahu pro sudé indexy:

${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbb {E}} \ left [X^{2n} \ right] = (-1)^{n} {\ mathit {He}} _ {2n} (0) = (2n- 1) !!,}$

kde (2 n - 1) !! je dvojí faktoriál . Všimněte si, že výše uvedený výraz je zvláštním případem znázornění pravděpodobnostních Hermitových polynomů jako momentů:

${\ Displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} (x+ iy)^{n} e^{-{\ frac {y^{2}} {2}}} \, dy.}$

Asymptotická expanze

Asymptoticky, jako n → ∞ , expanze

${\ Displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim {\ frac {2^{n}} {\ sqrt {\ pi} }} \ Gamma \ left ({\ frac {n+1} {2}} \ right) \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ right )}$

platí. V určitých případech týkajících se širšího rozsahu hodnocení je nutné zahrnout faktor pro změnu amplitudy:

${\ Displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim {\ frac {2^{n}} {\ sqrt {\ pi} }} \ Gamma \ left ({\ frac {n+1} {2}} \ right) \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ right ) \ left (1-{\ frac {x^{2}} {2n+1}} \ right)^{-{\ frac {1} {4}}} = {\ frac {2 \ Gamma (n) } {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ right ) \ left (1-{\ frac {x^{2}} {2n+1}} \ right)^{-{\ frac {1} {4}}},}$

které pomocí Stirlingovy aproximace lze dále v limitu dále zjednodušit na

${\ Displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim \ left ({\ frac {2n} {e}} \ right)^ {\ frac {n} {2}} {\ sqrt {2}} \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ right) \ left (1 -{\ frac {x^{2}} {2n+1}} \ right)^{-{\ frac {1} {4}}}.}$

Tato expanze je potřeba vyřešit wavefunction o quantum harmonický oscilátor tak, že souhlasí s klasickým aproximace v limitu principu korespondence .

Lepší přiblížení, které odpovídá odchylkám ve frekvenci, je dáno pomocí

${\ Displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim \ left ({\ frac {2n} {e}} \ right)^ {\ frac {n} {2}} {\ sqrt {2}} \ cos \ left (x {\ sqrt {2n+1-{\ frac {x^{2}} {3}}}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ right) \ left (1-{\ frac {x^{2}} {2n+1}} \ right)^{-{\ frac {1} {4}} }.}$

Jemnější aproximace, která bere v úvahu nerovnoměrné rozestupy nul poblíž okrajů, využívá substituci

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {2n+1}} \ cos (\ varphi), \ quad 0 <\ varepsilon \ leq \ varphi \ leq \ pi -\ varepsilon,}$

se kterým má jednotnou aproximaci

${\ Displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = 2^{{\ frac {n} {2}}+{\ frac { 1} {4}}} {\ sqrt {n!}} (\ Pi n)^{-{\ frac {1} {4}}} (\ sin \ varphi)^{-{\ frac {1} { 2}}} \ cdot \ left (\ sin \ left ({\ frac {3 \ pi} {4}}+\ left ({\ frac {n} {2}}+{\ frac {1} {4} } \ right) \ left (\ sin 2 \ varphi -2 \ varphi \ right) \ right)+O \ left (n^{ -1} \ right) \ right).}$

Podobné aproximace platí pro monotónní a přechodové oblasti. Konkrétně pokud

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {2n+1}} \ cosh (\ varphi), \ quad 0 <\ varepsilon \ leq \ varphi \ leq \ omega <\ infty,}$

pak

${\ Displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = 2^{{\ frac {n} {2}}-{\ frac { 3} {4}}} {\ sqrt {n!}} (\ Pi n)^{-{\ frac {1} {4}}} (\ sinh \ varphi)^{-{\ frac {1} { 2}}} \ cdot e^{\ left ({\ frac {n} {2}}+{\ frac {1} {4}} \ right) \ left (2 \ varphi -\ sinh 2 \ varphi \ right )} \ left (1+O \ left (n^{-1} \ right) \ right),}$

zatímco pro

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {2n+1}}+t}$

s t komplexním a ohraničeným, aproximace je

${\ Displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = \ pi^{\ frac {1} {4}} 2^{{\ frac {n} {2}}+{\ frac {1} {4}}} {\ sqrt {n!}} \, n^{-{\ frac {1} {12}}} \ left (\ operatorname {Ai} \ left (2^{\ frac {1} {2}} n^{\ frac {1} {6}} t \ right)+O \ left (n^{-{\ frac {2} { 3}}} \ right) \ right),}$

kde Ai je vzdušná funkce prvního druhu.

Zvláštní hodnoty

Hermitovy polynomy fyzika hodnocené s nulovým argumentem H _n (0) se nazývají hermitská čísla .

${\ Displaystyle H_ {n} (0) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {for odd}} n, \\ (-2)^{\ frac {n} {2}} (n-1) !! & {\ text {for even}} n, \ end {cases}}}$

které splňují rekurzivní vztah H _n (0) = −2 ( n - 1) H _{n - 2} (0) .

Z hlediska polynomů pravděpodobnosti se to překládá do

${\ Displaystyle He_ {n} (0) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {for odd}} n, \\ (-1)^{\ frac {n} {2}} (n-1) !! & {\ text {for even}} n. \ end {cases}}}$

Vztahy k dalším funkcím

Laguerreovy polynomy

Hermitovy polynomy lze vyjádřit jako speciální případ Laguerrových polynomů :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} H_ {2n} (x) & = (-4)^{n} n! L_ {n}^{\ left (-{\ frac {1} {2}} \ right )} (x^{2}) && = 4^{n} n! \ sum _ {k = 0}^{n} (-1)^{nk} {\ binom {n-{\ frac {1} {2}}} {nk}} {\ frac {x^{2k}} {k!}}, \\ H_ {2n+1} (x) & = 2 (-4)^{n} n! XL_ {n}^{\ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} (x^{2}) && = 2 \ cdot 4^{n} n! \ sum _ {k = 0}^ {n} (-1)^{nk} {\ binom {n+{\ frac {1} {2}}} {nk}} {\ frac {x^{2k+1}} {k!}}. \ end {aligned}}}$

Vztah ke splývajícím hypergeometrickým funkcím

Hermitovy polynomy fyzika lze vyjádřit jako speciální případ funkcí parabolických válců :

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = 2^{n} U \ left (-{\ tfrac {1} {2}} n, {\ tfrac {1} {2}}, x^{2} \ že jo)}$

v pravé polorovině , kde U ( a , b , z ) je Tricomiho splývající hypergeometrická funkce . Podobně,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} H_ {2n} (x) & = (-1)^{n} {\ frac {(2n)!} {n!}} \, _ {1} F_ {1} {\ big (} -n, {\ tfrac {1} {2}}; x^{2} {\ big)}, \\ H_ {2n+1} (x) & = (-1)^{n } {\ frac {(2n+1)!} {n!}} \, 2x \, _ {1} F_ {1} {\ big (} -n, {\ tfrac {3} {2}}; x ^{2} {\ big)}, \ end {aligned}}}$

kde ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) je Kummerova konfluentní hypergeometrická funkce .

Reprezentace diferenciálního operátoru

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy uspokojují identitu

${\ Displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = e^{-{\ frac {D^{2}} {2}}} x^{n},}$

kde D představuje diferenciaci vzhledem k x a exponenciál je interpretován jejím rozšířením jako mocninová řada . Když tato řada funguje na polynomech, neexistují žádné delikátní otázky konvergence, protože téměř všechny termíny zmizí.

Protože koeficienty mocninných řad exponenciálu jsou dobře známy a deriváty vyšších řádů monomiální x ⁿ lze explicitně zapsat, tato reprezentace diferenciálního operátoru dává vznik konkrétnímu vzorci pro koeficienty H _n, které lze použít. k rychlému výpočtu těchto polynomů.

Protože formální výraz pro Weierstrassovu transformaci W je e ^{D 2} , vidíme, že Weierstrassova transformace ( √ 2 ) ⁿ He _n (X/√ 2) je x ⁿ . Weierstrassova transformace tak v zásadě mění řadu Hermitových polynomů na odpovídající Maclaurinovu řadu .

Existence nějaké formální mocninové řady g ( D ) s nenulovým konstantním koeficientem, jako je He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , je dalším ekvivalentem tvrzení, že tyto polynomy tvoří Appellovu sekvenci . Vzhledem k tomu, že jsou sekvence Appell, jsou tím spíše Sheffer sekvence .

Obrysově integrální zobrazení

Ze zobrazení generující funkce výše vidíme, že Hermitovy polynomy mají reprezentaci z hlediska obrysového integrálu , jako

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathit {He}} _ {n} (x) & = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ mast _ {C} {\ frac {e ^{tx-{\ frac {t^{2}} {2}}}} {t^{n+1}}} \, dt, \\ H_ {n} (x) & = {\ frac {n !} {2 \ pi i}} \ mast _ {C} {\ frac {e^{2tx-t^{2}}} {t^{n+1}}} \, dt, \ end {zarovnáno} }}$

s obrysem obklopujícím původ.

Zobecnění

Hermitovy polynomy pravděpodobnosti definované výše jsou ortogonální s ohledem na standardní normální rozdělení pravděpodobnosti, jehož funkce hustoty je

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}},}$

který má očekávanou hodnotu 0 a rozptyl 1.

Při škálování lze analogicky hovořit o generalizovaných hermitských polynomech

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} (x)}$

rozptylu α , kde α je jakékoli kladné číslo. Ty jsou pak ortogonální vzhledem k normálnímu rozdělení pravděpodobnosti, jehož hustotní funkce je

${\ Displaystyle (2 \ pi \ alpha)^{-{\ frac {1} {2}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2 \ alpha}}}.}$

Jsou dány

${\ Displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} ^{[\ alpha]} (x) = \ alpha ^{\ frac {n} {2}} {\ mathit {He}} _ {n} \ vlevo ({\ frac {x} {\ sqrt {\ alpha}}} \ right) = \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)^{\ frac {n} {2}} H_ {n} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2 \ alpha}}} \ right) = e^{-{\ frac {\ alpha D^{2}} {2}}} \ left ( x^{n} \ right).}$

Teď když

${\ Displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} (x) = \ sum _ {k = 0}^{n} h_ {n, k}^{[\ alpha]} x^{k},}$

potom polynomická posloupnost, jejíž n -tý člen je

${\ Displaystyle \ left ({\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} \ circle {\ mathit {He}}^{[\ beta]} \ right) (x) \ equiv \ sum _ {k = 0}^{n} h_ {n, k}^{[\ alpha]} \, {\ mathit {He}} _ {k}^{[\ beta]} (x)}$

se nazývá umbrální složení dvou polynomických sekvencí. Může být prokázáno, že uspokojuje identity

${\ Displaystyle \ left ({\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} \ circle {\ mathit {He}}^{[\ beta]} \ right) (x) = {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha +\ beta]} (x)}$

a

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha +\ beta]} (x +y) = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k }} {\ mathit {He}} _ {k}^{[\ alpha]} (x) {\ mathit {He}} _ {nk}^{[\ beta]} (y).}$

Poslední identita je vyjádřena tím, že tato parametrizovaná rodina polynomických sekvencí je známá jako křížová sekvence. (Viz výše uvedený oddíl o sekvencích Appell a o reprezentaci diferenciálního operátoru , což vede k jeho snadné derivaci. Tato binomická identita typu pro α = β =1/2, již bylo zaznamenáno ve výše uvedené části o vztazích #Recursion .)

"Negativní rozptyl"

Vzhledem k tomu, že polynomické sekvence tvoří skupinu pod působením umbrálního složení , lze je označit pomocí

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[-\ alpha]} (x)}$

posloupnost, která je inverzní k té, která je podobně označována, ale bez znaménka mínus, a tedy hovoří o hermitských polynomech negativní variance. Pro α> 0 jsou koeficienty hodnoty jen absolutní hodnoty odpovídajících koeficientů . ${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[-\ alpha]} (x)}$${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} (x)}$

Ty vznikají jako momenty normálního rozdělení pravděpodobnosti: n -tý moment normálního rozdělení s očekávanou hodnotou μ a rozptylem σ ² je

${\ Displaystyle E [X^{n}] = {\ mathit {He}} _ {n}^{[-\ sigma^{2}]} (\ mu),}$

kde X je náhodná proměnná se zadaným normálním rozložením. Zvláštní případ identity křížové sekvence to pak říká

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} {\ mathit {He}} _ {k}^{[\ alpha]} (x) {\ mathit { He}} _ {nk}^{[-\ alpha]} (y) = {\ mathit {He}} _ {n}^{[0]} (x+y) = (x+y)^{n }.}$

Aplikace

Hermitské funkce

Hermitovy funkce (často nazývané hermitovsko-gaussovské funkce) lze definovat z fyzikálních polynomů:

${\ Displaystyle \ psi _ {n} (x) = \ left (2^{n} n! {\ sqrt {\ pi}} \ right)^{-{\ frac {1} {2}}} e^ {-{\ frac {x^{2}} {2}}} H_ {n} (x) = (-1)^{n} \ left (2^{n} n! {\ sqrt {\ pi} } \ right)^{-{\ frac {1} {2}}} e^{\ frac {x^{2}} {2}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n} }} e^{-x^{2}}.}$

Tím pádem,

${\ Displaystyle {\ sqrt {2 (n+1)}} ~~ \ psi _ {n+1} (x) = \ left (x- {d \ over dx} \ right) \ psi _ {n} ( X).}$

Protože tyto funkce obsahují druhou odmocninu váhové funkce a byly vhodně upraveny, jsou ortonormální :

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {m} (x) \, dx = \ delta _ {nm},}$

a tvoří ortonormální základ L ² ( R ) . Tato skutečnost je ekvivalentní odpovídajícímu tvrzení pro Hermitovy polynomy (viz výše).

Funkce Hermite úzce souvisí s funkcí Whittaker ( Whittaker & Watson 1996 ) D _n ( z ) :

${\ Displaystyle D_ {n} (z) = \ left (n! {\ sqrt {\ pi}} \ right)^{\ frac {1} {2}} \ psi _ {n} \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {2}}} \ right) = (-1)^{n} e^{\ frac {z^{2}} {4}} {\ frac {d^{n}} { dz^{n}}} e^{\ frac {-z^{2}} {2}}}$

a tím k dalším parabolickým funkcím válce .

Funkce Hermite splňují diferenciální rovnici

${\ Displaystyle \ psi _ {n} '' (x)+\ left (2n+1-x^{2} \ right) \ psi _ {n} (x) = 0.}$

Tato rovnice je ekvivalentní Schrödingerově rovnici pro harmonický oscilátor v kvantové mechanice, takže tyto funkce jsou vlastní funkce .

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ psi _ {0} (x) & = \ pi ^{-{\ frac {1} {4}}} \, e ^{-{\ frac {1} {2 }} x ^{2}}, \\\ psi _ {1} (x) & = {\ sqrt {2}} \, \ pi ^{-{\ frac {1} {4}}} \, x \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}, \\\ psi _ {2} (x) & = \ left ({\ sqrt {2}} \, \ pi ^{\ frac {1} {4}} \ right)^{-1} \, \ left (2x^{2} -1 \ right) \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}, \\\ psi _ {3} (x) & = \ left ({\ sqrt {3}} \, \ pi^{\ frac {1} {4}} \ right)^{ -1} \, \ left (2x^{3} -3x \ right) \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}, \\\ psi _ {4} ( x) & = \ left (2 {\ sqrt {6}} \, \ pi^{\ frac {1} {4}} \ right)^{-1} \, \ left (4x^{4} -12x ^{2} +3 \ vpravo) \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}, \\\ psi _ {5} (x) & = \ left (2 { \ sqrt {15}} \, \ pi^{\ frac {1} {4}} \ right)^{-1} \, \ left (4x^{5} -20x^{3}+15x \ right) \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}. \ end {aligned}}}$

Rekurzivní vztah

Po rekurzivních vztazích hermitských polynomů se funkce hermitů řídí

${\ Displaystyle \ psi _ {n} '(x) = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \, \ psi _ {n-1} (x)-{\ sqrt {\ frac {n +1} {2}}} \ psi _ {n+1} (x)}$

a

${\ Displaystyle x \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \, \ psi _ {n-1} (x)+{\ sqrt {\ frac {n +1} {2}}} \ psi _ {n+1} (x).}$

Rozšíření prvního vztahu na libovolné m th deriváty pro jakékoli kladné celé číslo m vede k

${\ Displaystyle \ psi _ {n}^{(m)} (x) = \ sum _ {k = 0}^{m} {\ binom {m} {k}} (-1)^{k} 2 ^{\ frac {mk} {2}} {\ sqrt {\ frac {n!} {(n-m+k)!}}} \ psi _ {n-m+k} (x) {\ mathit { He}} _ {k} (x).}$

Tento vzorec lze použít ve spojení s relacemi opakování pro He _n a ψ _n pro efektivní výpočet jakékoli derivace Hermitových funkcí.

Cramérova nerovnost

Pro skutečné x splňují funkce Hermite následující mez kvůli Haraldovi Cramérovi a Jacku Indritzovi:

${\ displaystyle {\ bigl |} \ psi _ {n} (x) {\ bigr |} \ leq \ pi ^{-{\ frac {1} {4}}}.}$

Hermit funguje jako vlastní funkce Fourierovy transformace

The Hermitovy FUNKCE ln _n ( x ) je sada vlastních funkcí v kontinuální Fourierovy transformace F . Chcete -li to vidět, vezměte fyzickou verzi generující funkce a vynásobte e ^{-1/2x 2} . To dává

${\ Displaystyle e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}+2xt-t^{2}} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} e^{-{ \ frac {1} {2}} x^{2}} H_ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}}.}$

Fourierova transformace levé strany je dána vztahem

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {F}} \ left \ {e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}+2xt-t^{2}} \ right \} (k) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-ixk} e^{-{\ frac { 1} {2}} x^{2}+2xt-t^{2}} \, dx \\ & = e^{-{\ frac {1} {2}} k^{2} -2kit+t ^{2}} \\ & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} e^{-{\ frac {1} {2}} k^{2}} H_ {n} (k) { \ frac {(-it)^{n}} {n!}}. \ end {aligned}}}$

Fourierova transformace pravé strany je dána vztahem

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = 0}^{\ infty} e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}} H_ {n } (x) {\ frac {t^{n}} {n!}} \ right \} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ mathcal {F}} \ left \ {e^ {-{\ frac {1} {2}} x^{2}} H_ {n} (x) \ right \} {\ frac {t^{n}} {n!}}.}$

Rovnice stejných mocnin t v transformovaných verzích levé a pravé strany nakonec přináší

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}} H_ {n} (x) \ right \} = (-i) ^{n} e^{-{\ frac {1} {2}} k^{2}} H_ {n} (k).}$

Hermitské funkce ψ _n ( x ) jsou tedy ortonormálním základem L ² ( R ) , který diagonalizuje operátor Fourierovy transformace .

Wignerovy distribuce funkcí Hermite

Distribuční funkce Wigner z n funkce tého řádu Hermiteho souvisí s n tého řádu Laguerre polynomu . Laguerreovy polynomy jsou

${\ Displaystyle L_ {n} (x): = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(-1)^{k}} {k! }} x^{k},}$

vedoucí k funkcím oscilátoru Laguerre

${\ Displaystyle l_ {n} (x): = e^{-{\ frac {x} {2}}} L_ {n} (x).}$

Pro všechna přirozená celá čísla n je to snadné vidět

${\ Displaystyle W _ {\ psi _ {n}} (t, f) = (-1)^{n} l_ {n} {\ big (} 4 \ pi (t^{2}+f^{2} ) {\ big)},}$

kde Wignerovo rozdělení funkce x ∈ L ² ( R , C ) je definováno jako

${\ Displaystyle W_ {x} (t, f) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x \ left (t+{\ frac {\ tau} {2}} \ right) \, x \ left (t-{\ frac {\ tau} {2}} \ right)^{*} \, e^{-2 \ pi i \ tau f} \, d \ tau.}$

Toto je zásadní výsledek kvantového harmonického oscilátoru, který objevil Hip Groenewold v roce 1946 ve své disertační práci. Je to standardní paradigma kvantové mechaniky ve fázovém prostoru .

Mezi oběma rodinami polynomů existují další vztahy .

Kombinatorická interpretace koeficientů

V Hermitově polynomu He _n ( x ) rozptylu 1 je absolutní hodnota koeficientu x ^k počet (neuspořádaných) oddílů n -prvku nastaveného na k singletů an - k/2(neuspořádané) páry. Ekvivalentně je to počet involucí n -prvkové množiny s přesně k pevnými body, nebo jinými slovy, počet shod v kompletním grafu na n vrcholech, který ponechá k vrcholů odkrytých (ve skutečnosti jsou Hermitovy polynomy shodné polynomy těchto grafů). Součet absolutních hodnot koeficientů udává celkový počet přepážek na singletony a páry, takzvaná telefonní čísla

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (sekvence A000085 v OEIS ).

Tato kombinatorická interpretace může být vztažena k úplným exponenciálním Bellovým polynomům jako

${\ Displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = B_ {n} (x, -1,0, \ ldots, 0),}$

kde x _i = 0 pro všechny i > 2 .

Tato čísla mohou být také vyjádřena jako speciální hodnota Hermitových polynomů:

${\ Displaystyle T (n) = {\ frac {{\ mathit {He}} _ {n} (i)} {i^{n}}}.}$

Vztah úplnosti

Christoffel-Darboux vzorec pro Hermiteovými polynomy čte

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0}^{n} {\ frac {H_ {k} (x) H_ {k} (y)} {k! 2^{k}}} = {\ frac {1 } {n! 2^{n+1}}} \, {\ frac {H_ {n} (y) H_ {n+1} (x) -H_ {n} (x) H_ {n+1} ( y)} {xy}}.}$

Následující identita úplnosti výše uvedených funkcí Hermite navíc platí ve smyslu distribucí :

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {n} (y) = \ delta (xy),}$

kde δ je Diracova delta funkce , ψ _n Hermitské funkce a δ ( x - y ) představuje Lebesgueovu míru na přímce y = x v R ² , normalizovanou tak, že její projekce na horizontální osu je obvyklou Lebesgueovou mírou.

Tato distribuční identita následuje podle Wienera (1958) tím, že vezme u → 1 v Mehlerově vzorci , platném při −1 < u <1 :

${\ Displaystyle E (x, y; u): = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} u^{n} \, \ psi _ {n} (x) \, \ psi _ {n} (y) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi (1-u^{2})}}}} \, \ exp \ left (-{\ frac {1-u} {1+u}} \, {\ frac {(x+y)^{2}} {4}}-{\ frac {1+u} {1-u}} \, {\ frac {(xy)^{2}} { 4}} \ right),}$

který je často ekvivalentně uveden jako oddělitelné jádro,

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {H_ {n} (x) H_ {n} (y)} {n!}} \ left ({\ frac {u} { 2}} \ right)^{n} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-u^{2}}}} e^{{\ frac {2u} {1+u}} xy-{\ frac {u^{2}} {1-u^{2}}} (xy)^{2}}.}$

Funkce ( x , y ) → E ( x , y ; u ) je bivariační hustota Gaussovy pravděpodobnosti na R ² , což je, když u je blízko 1, velmi koncentrovaná kolem přímky y = x a velmi rozložená na ten řádek. Z toho vyplývá, že

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} u^{n} \ langle f, \ psi _ {n} \ rangle \ langle \ psi _ {n}, g \ rangle = \ iint E ( x, y; u) f (x) {\ overline {g (y)}} \, dx \, dy \ to \ int f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx = \ langle f, g \ rangle}$

když jsou f a g spojité a kompaktně podporované.

To poskytuje, že f může být vyjádřeno v Hermitových funkcích jako součet řady vektorů v L ² ( R ) , jmenovitě,

${\ Displaystyle f = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ langle f, \ psi _ {n} \ rangle \ psi _ {n}.}$

Za účelem prokázání výše rovnosti E ( x , y ; u ) je Fourierova transformace z Gaussova funkce se používá opakovaně:

${\ Displaystyle \ rho {\ sqrt {\ pi}} e^{-{\ frac {\ rho^{2} x^{2}} {4}}} = \ int e^{isx-{\ frac { s ^{2}} {\ rho ^{2}}}} \, ds \ quad {\ text {for}} \ rho> 0.}$

Hermitův polynom je pak reprezentován jako

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} \ left ({ \ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}}} \ int e^{isx-{\ frac {s^{2}} {4}}} \, ds \ right) = (-1) ^{n} e^{x^{2}} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}}} \ int (is)^{n} e^{isx-{\ frac {s ^{2}} {4}}} \, ds.}$

S touto reprezentací pro H _n ( x ) a H _n ( y ) je evidentní, že

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} E (x, y; u) & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {u^{n}} {2^{n} n! {\ sqrt {\ pi}}}} \, H_ {n} (x) H_ {n} (y) e^{-{\ frac {x^{2}+y^{2}} {2}} } \\ & = {\ frac {e^{\ frac {x^{2}+y^{2}} {2}}} {4 \ pi {\ sqrt {\ pi}}}}} \ iint \ left (\ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n!}} (-ust)^{n} \ right) e^{isx+ity-{\ frac {s^{2}} {4}}-{\ frac {t^{2}} {4}}} \, ds \, dt \\ & = {\ frac {e^{\ frac {x^ {2}+y^{2}} {2}}} {4 \ pi {\ sqrt {\ pi}}}} \ iint e^{-{\ frac {ust} {2}}} \, e^ {isx+ity-{\ frac {s^{2}} {4}}-{\ frac {t^{2}} {4}}} \, ds \, dt, \ end {aligned}}}$

a to dává požadované rozlišení výsledku identity, opět za použití Fourierovy transformace Gaussových jader

${\ Displaystyle s = {\ frac {\ sigma +\ tau} {\ sqrt {2}}}, \ quad t = {\ frac {\ sigma -\ tau} {\ sqrt {2}}}.}$

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Média související s hermitskými polynomy na Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. „Hermitský polynom“ . MathWorld .
• Vědecká knihovna GNU - obsahuje C verzi Hermitových polynomů, funkce, jejich deriváty a nuly (viz také Vědecká knihovna GNU )