Hierarchické pohybové rovnice - Hierarchical equations of motion

K Hierarchické pohybové rovnice (HEOM), technika odvozená od Yoshitaka Tanimura a Ryogo Kubo v roce 1989, je non-poruchový přístup vyvinuty studovat vývoj o hustotě matrice kvantové disipativních systémů. Metoda může léčit interakci systém-lázeň neporušeně i nemarkovské doby korelace šumu, aniž by to bránilo typickým předpokladům, že konvenční Redfieldovy (hlavní) rovnice trpí, jako jsou aproximace Born, Markovian a rotujících vln. HEOM je použitelný i při nízkých teplotách, kde kvantové efekty nejsou zanedbatelné. ${\ displaystyle \ rho (t)}$

Hierarchická pohybová rovnice systému v harmonické Markovianově lázni je

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} {\ hat {\ rho}} _ {n} = - i ({\ hat {H}} _ {A} + n \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {n} - {1 \ over \ hbar} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ rho}} _ {n + 1} + {in \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {n-1}}$

Hierarchické pohybové rovnice

HEOM jsou vyvinuty k popisu časového vývoje matice hustoty pro otevřený kvantový systém. Je to neporušený, nemarkovovský přístup k šíření kvantového stavu v čase. Tanimura, motivovaný cestovým integrálním formalismem představeným Feynmanem a Vernonem, odvozuje HEOM z kombinace statistických a kvantově dynamických technik. Pomocí dvoustupňového systému spin-boson Hamiltonian ${\ displaystyle \ rho (t)}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {A} ({\ hat {a}} ^ {+}, {\ hat {a}} ^ {-}) + V ( {\ hat {a}} ^ {+}, {\ hat {a}} ^ {-}) \ sum _ {j} c_ {j} {\ hat {x}} _ {j} + \ sum _ { j} {\ big [} {\ {\ hat {p}} ^ {2} \ přes {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ hat {x}} _ {j} ^ { 2} {\ velký]}}$

Charakterizace fononů lázně spektrální hustotou ${\ displaystyle J (\ omega) = \ sum \ nolimits _ {j} c_ {j} ^ {2} \ delta (\ omega - \ omega _ {j})}$

Napsáním matice hustoty do integrálního zápisu cesty a využitím funkčního vlivu Feynman-Vernon lze všechny souřadnice lázně v podmínkách interakce seskupit do tohoto funkčního vlivu, který lze v některých konkrétních případech vypočítat v uzavřené formě. Předpokládáme-li vysokoteplotní tepelnou lázeň s spektrálním rozdělením Drude a vezmeme-li časovou derivaci dráhy integrální matice hustoty formy rovnice a její zápis v hierarchické formě se získá ${\ displaystyle J (\ omega) = \ hbar \ eta \ gamma ^ {2} \ omega / \ pi (\ gamma ^ {2} + \ omega ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} {\ hat {\ rho}} _ {n} = - i ({\ hat {H}} _ {A} + n \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {n} - {1 \ over \ hbar} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ rho}} _ {n + 1} + {in \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {n-1}}$

kde ničí buzení systému, a proto jej lze označit jako operátor relaxace. ${\ displaystyle \ Theta}$

${\ displaystyle {\ hat {\ Theta}} = - {\ frac {n \ gamma} {\ beta}} {\ big (} {\ hat {V}} ^ {\ times} -i {\ frac {\ beta \ hbar \ gamma} {2}} {\ hat {V}} ^ {\ circ} {\ big)}}$

Druhý člen v je termín pro korekci teploty s inverzní teplotou a je zavedena notace „Hyper-operátor“. ${\ displaystyle {\ hat {\ Theta}}}$${\ displaystyle \ beta = 1 / k_ {B} T}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {\ times} {\ hat {\ rho}} = {\ hat {A}} {\ hat {\ rho}} - {\ hat {\ rho}} {\ klobouk {A}}}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {\ circ} {\ hat {\ rho}} = {\ hat {A}} {\ hat {\ rho}} + {\ hat {\ rho}} {\ klobouk {A}}}$

Stejně jako u Kuboovy Stochastické Liouvilleovy rovnice v hierarchické formě může počítadlo stoupat až do nekonečna, což je numericky problém, avšak Tanimura a Kubo poskytují metodu, pomocí které lze nekonečnou hierarchii zkrátit na konečnou množinu diferenciálních rovnic, kde je určena určitá omezení citlivá na charakteristiky systému, např. frekvenci, amplitudu výkyvů, spojení lázně atd. Terminátor definuje hloubku hierarchie. Je nalezen jednoduchý vztah k odstranění termínu. . S tímto terminátor hierarchie je uzavřen v hloubce hierarchie konečným termín: . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {n + 1}}$${\ displaystyle \ {\ hat {\ rho}} _ {N + 1} = - {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {N} / \ hbar \ gamma}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} {\ hat {\ rho}} _ {N} = - i ({\ hat {H}} _ {A} + N \ gamma) {\ hat {\ rho}} _ {N} - {1 \ over \ gamma \ hbar ^ {2}} {\ hat {V}} ^ {\ times} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho }} _ {N} + {iN \ over \ hbar} {\ hat {\ Theta}} {\ hat {\ rho}} _ {N-1}}$

Statistická povaha přístupu HEOM umožňuje zakódovat informace o hluku lázně a odezvě systému do pohybové rovnice, která zkoumá nekonečný energetický problém Kuboova SLE zavedením relaxačního operátora zajišťujícího návrat k rovnováze.

Výpočetní náklady

Když je otevřený kvantový systém reprezentován úrovněmi a lázněmi s každou funkcí odezvy lázně představovanou exponenciály, hierarchie s vrstvami bude obsahovat: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ vlevo (MK + {\ mathcal {N}} \ vpravo)!} {\ vlevo (MK \ vpravo)! {\ mathcal {N}}!}}}$

matice, každá s prvky s komplexní hodnotou (obsahující jak skutečnou, tak imaginární část). Omezujícím faktorem ve výpočtech HEOM je tedy množství potřebné RAM , protože pokud je uložena jedna kopie každé matice, celková požadovaná RAM by byla: ${\ displaystyle M ^ {2}}$

${\ displaystyle 16M ^ {2} {\ frac {\ vlevo (MK + {\ mathcal {N}} \ vpravo)!} {\ vlevo (MK \ vpravo)! {\ mathcal {N}}!}}}$

bajtů (za předpokladu dvojité přesnosti).

Implementace

Metoda HEOM je implementována do řady volně dostupných kódů. Řada z nich je na webových stránkách Yoshitaka Tanimura, včetně verze pro GPU, která využívala vylepšení zavedená Davidem Wilkinsem a Nike Dattani. Verze nanoHUB poskytuje velmi flexibilní implementaci. Implementace paralelního CPU s otevřeným zdrojovým kódem je k dispozici ve skupině Schulten .

Viz také

• Kvantová hlavní rovnice
• Otevřený kvantový systém
• Fokker-Planckova rovnice
• Kvantová dynamická poloskupina
• Kvantový rozptyl

Reference