Metoda nejvyšších průměrů - Highest averages method

Metoda nejvyšších průměrů , nazývaná také metoda dělitelů , je třída metod pro přidělování křesel v parlamentu agentům, jako jsou politické strany nebo federální státy . Metoda rozdělovače je iterační metoda : při každé iteraci je počet hlasů každé strany dělen jejím dělitelem , což je funkcí počtu křesel (původně 0) aktuálně přidělených této straně. Další místo je přiděleno straně, jejíž výsledný poměr je největší.

Definice

Vstupy do metody dělitele jsou počet míst k rozdělení, označený h a vektor nároků stran, kde je nárok strany označován (číslo mezi 0 a 1 určující zlomek míst, na které je nárok ). Za předpokladu, že jsou sečteny všechny hlasy, je to jednoduše počet obdržených hlasů vydělený celkovým počtem hlasů. ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$

Procedurální definice

Metoda dělitel je parametrizována funkcí , mapující každé celé číslo na skutečné číslo (obvykle v rozsahu ). ${\ Displaystyle d (k)}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle [k, k+1]}$

Počet křesel přidělených straně je označen . Zpočátku je nastavena na 0 pro všechny strany. Potom při každé iteraci je další místo přiděleno straně, která maximalizuje poměr . Způsob pokračuje pro H iterací, dokud jsou přiděleny všechna sedadla. ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ frac {t_ {i}} {d (a_ {i})}}}}$

Definice multiplikátoru

Ekvivalentní definice přímo poskytuje výsledek metody dělitelů následujícím způsobem.

U voleb se vypočítá kvocient , obvykle celkový počet hlasů vydělený počtem přidělených křesel ( kvóta Hare ). Stranám se poté přidělí křesla určením počtu podílů, které získaly, vydělením jejich součtu hlasů kvocientem. Pokud strana vyhraje zlomek kvocientu, lze to zaokrouhlit dolů nebo zaokrouhlit na nejbližší celé číslo. Zaokrouhlení dolů je ekvivalentní použití D'Hondtovy metody, zatímco zaokrouhlení na nejbližší celé číslo je ekvivalentní metodě Sainte-Laguë. Zaokrouhlení nahoru je ekvivalentní použití Adamsovy metody. Kvůli zaokrouhlení to však nutně nebude mít za následek obsazení požadovaného počtu míst. V takovém případě lze kvocient upravit nahoru nebo dolů, dokud se počet míst po zaokrouhlení nerovná požadovanému počtu.

Na tabulky použité v metodách D'Hondt nebo Sainte-Laguë pak lze pohlížet jako na výpočet nejvyššího možného kvocientu zaokrouhleného na daný počet křesel. Například kvocient, který získá první křeslo ve výpočtu D'Hondta, je nejvyšší možný podíl na tom, aby hlas jedné strany po zaokrouhlení dolů byl větší než 1 kvóta a přidělil tak 1 křeslo. Podíl pro druhé kolo je nejvyšší možný dělitel, kterému jsou přidělena celkem 2 křesla atd.

Formálně, vzhledem k vektoru nároků a velikosti domu , lze dělící metodu definovat jako: ${\ displaystyle \ mathbf {t}}$ ${\ displaystyle h}$

${\ Displaystyle \ {\ mathbf {a} | a_ {i} = \ jméno operátora {kolo} (t_ {i} \ cdot H) {\ text {a}} \ sum _ {i = 1}^{n} a_ {i} = h {\ text {pro nějaké skutečné číslo}} H \}}$

kde je metoda zaokrouhlování definována dělící funkcí d .

Max-min definice

Každá metoda dělitel může být definována pomocí nerovnosti min-max: a je alokace pro metodu dělitel s dělitelem d , if-and-only-if

${\ Displaystyle \ max _ {i} t_ {i}/d (a_ {i} +1) \ leq \ min _ {i: a_ {i}> 0} t_ {i}/d (a_ {i}) }$ .

Každé číslo v rozsahu je možným dělitelem. Pokud rozsah není prázdný (to znamená, že nerovnost je přísná), pak je řešení jedinečné; jinak (nerovnost je rovnost), existuje několik řešení. ${\ Displaystyle [\ max _ {i} t_ {i}/d (a_ {i} +1) ~, ~ \ min _ {i: a_ {i}> 0} t_ {i}/d (a_ {i })]}$

Specifické metody dělitelů

Nejběžnějšími způsoby dělení jsou:

Adamsova metoda - použití , což odpovídá zaokrouhlování: . ${\ Displaystyle d (k) = k}$ ${\ displaystyle \ operatorname {round} ^{d} (x) = \ lceil x \ rceil}$
Deanova metoda - používá , odpovídá „harmonickému zaokrouhlování“. ${\ Displaystyle d (k) = k (k+1) /(k+0,5) = 2 {\ bigg /} \ left ({\ frac {1} {k}}+{\ frac {1} {k+ 1}} \ right)}$
Huntingtonova – Hillova metoda - používá , odpovídá „geometrickému zaoblení“. ${\ Displaystyle d (k) = {\ sqrt {k (k+1)}}}$
Metoda Webster/Sainte -Laguë - používá , což odpovídá zaokrouhlení na nejbližší celé číslo. ${\ Displaystyle d (k) = k+0,5}$
D'Hondt / Jefferson metoda - použití , což odpovídá zaokrouhlení směrem dolů: . ${\ Displaystyle d (k) = k+1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {round} ^{d} (x) = \ lfloor x \ rfloor}$

Mají různé vlastnosti, jak je vysvětleno níže.

D'Hondtova metoda

Nejpoužívanější sekvence dělitelů je 1, 2, 3, 4 atd., Což odpovídá funkci dělitele . Říká se mu D'Hondtův vzorec . Tento systém má tendenci dávat větším stranám o něco větší část mandátů než jejich část voličů, a zaručuje tak, že strana s většinou voličů získá alespoň polovinu mandátů. ${\ Displaystyle d (k) = k+1}$

Webster/Sainte-Laguë metoda

Metoda Webster/Sainte-Laguë dělí počet hlasů pro každou stranu lichými čísly (1, 3, 5, 7 atd.), Nebo ekvivalentně 0,5, 1,5, 2,5, 3,5 atd. Odpovídá funkci dělitele . ${\ Displaystyle d (k) = k+0,5}$

Někdy je považován za proporcionálnější než D'Hondt, pokud jde o srovnání mezi podílem strany na celkovém počtu hlasů a jejím podílem na přidělení křesel, ačkoli to může vést k tomu, že strana s většinou hlasů získá méně než polovinu mandátů. Tento systém je příznivější pro menší strany než D'Hondtova metoda, a proto podporuje rozdělení.

Metoda Webster/Sainte-Laguë je někdy upravena zvýšením prvního dělitele z 1 na např. 1,4, aby odradila velmi malé strany od získání „příliš levného“ prvního místa.

Imperiali

Další nejvyšší průměrná metoda se nazývá Imperiali (nezaměňovat s kvótou Imperiali, což je metoda největšího zbytku ). Dělitelé jsou 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 3,5 atd. Nebo ekvivalentně 2, 3, 4, 5 atd., Což odpovídá funkci dělitele . Je navržen tak, aby znevýhodňoval nejmenší strany, podobný „cutoff“, a používá se pouze v belgických komunálních volbách . Tato metoda (na rozdíl od ostatních uvedených metod) není striktně proporcionální: pokud existuje naprosto proporcionální alokace, není zaručeno, že ji najde. ${\ Displaystyle d (k) = k+2}$

Huntingtonova -Hillova metoda

U metody Huntington – Hill je funkce dělitelná , což dává smysl pouze v případě, že je každé straně zaručeno alespoň jedno křeslo: tohoto efektu lze dosáhnout diskvalifikací stran, které obdrží méně hlasů než stanovená kvóta. Tato metoda se používá k rozdělení křesel v Sněmovně reprezentantů USA mezi státy. ${\ Displaystyle d (k) = {\ sqrt {k (k+1)}}}$

Dánská metoda

Dánská metoda se používá v dánských volbách k přidělení kompenzačních křesel (nebo vyrovnávacích křesel ) každé strany na úrovni volebních provincií jednotlivým vícečlenným obvodům. Rozděluje počet hlasů, které strana získala ve vícečlenném volebním obvodu, mezi rozdělovače rostoucí o 3 (1, 4, 7, 10 atd.). Alternativně vydělením čísel hlasů 0,33, 1,33, 2,33, 3,33 atd. Získáte stejný výsledek. Funkce dělitel je . Tento systém se záměrně pokouší přidělit místa rovnoměrně, nikoli proporcionálně. ${\ Displaystyle d (k) = k+1/3}$

Adamsova metoda

Adamsovu metodu vymyslel John Quincy Adams pro rozdělení křesel domu do států. Vnímal Jeffersonovu metodu přidělit příliš málo křesel menším státům. Lze to popsat jako inverzi Jeffersonovy metody; uděluje místo straně, která má před přidáním mandátu nejvíce hlasů na křeslo. Funkce dělitel je . ${\ Displaystyle d (k) = k}$

Stejně jako metoda Huntington-Hill to má za následek hodnotu 0 pro první místa, která budou jmenována pro každou stranu, což má za následek průměr ∞. Může porušovat pouze pravidlo nižší kvóty . K tomu dochází v níže uvedeném příkladu.

Bez prahu dostanou mandát také všechny strany, které získaly alespoň jeden hlas, se zjevnou výjimkou případů, kdy je více stran než mandátů. Tato vlastnost může být žádoucí, například při přidělování křesel volebním okrskům. Dokud je alespoň tolik křesel jako okresů, jsou zastoupeny všechny okresy. Ve volbách poměrného zastoupení na seznamu stran může vést k tomu, že mandáty dostanou velmi malé strany. Porušení pravidel kvóty v čisté Adamsově metodě je navíc velmi běžné. Tyto problémy lze vyřešit zavedením volebního prahu .

Srovnávací příklad

V následujícím příkladu je celkový počet hlasů 100 000. K dispozici je 10 míst. Číslo v každé buňce v „růžové“ tabulce označuje počet hlasů dělený odpovídajícím dělitelem . Například pro D'Hondtovu metodu jsou v řadě čísla pouze hlasy stran (děleno ). V řádku jsou čísla hlasy děleny 2. U metody Saint-Lague jsou v řádku čísla děleny hlasy 3 (druhý prvek v pořadí dělitelů) atd. ${\ Displaystyle d (k)}$ ${\ displaystyle k = 0}$ ${\ displaystyle k+1 = 1}$ ${\ displaystyle k = 1}$ ${\ displaystyle k = 1}$

	D'Hondtova metoda						Sainte-Laguëova metoda (nemodifikované: sekvence 1,3,5,7 ...)						Sainte-Laguëova metoda (upraveno: sekvence 1.4,3,5,7 ...)						Huntingtonova -Hillova metoda s hranicí 10 000 hlasů						Čistá Adamsova metoda						Adamsova metoda s prahem = 1
strana	Žlutá	Bílý	Červené	Zelená	Modrý	Růžový	Žlutá	Bílý	Červené	Zelená	Modrý	Růžový	Žlutá	Bílý	Červené	Zelená	Modrý	Růžový	Žlutá	Bílý	Červené	Zelená	Modrý	Růžový	Žlutá	Bílý	Červené	Zelená	Modrý	Růžový	Žlutá	Bílý	Červené	Zelená	Modrý	Růžový
hlasy	47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100	47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100	47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100	47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100	47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100	47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100
sedadla	5	2	2	1	0	0	4	2	2	1	1	0	5	2	2	1	0	0	5	2	2	1	0	0	3	2	2	1	1	1	4	2	2	2	0	0
hlasy/křeslo	9 400	8 000	7 950	12 000			11 750	8 000	7 950	12 000	6 000		9 400	8 000	7 950	12 000			9 400	8 000	7 950	12 000			15,667	8 000	7 950	12 000	6 000	3100	11 750	8 000	7 950	6 000
${\ displaystyle k}$	kvocient
0	47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100	47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100	33,571	11 429	11,357	8571	4,286	2,214	∞	∞	∞	∞	vyloučeno		∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	vyloučeno
1	23 500	8 000	7 950	6 000	3 000	1550	15,667	5333	5 300	4 000	2 000	1033	15,667	5333	5 300	4 000	2 000	1033	33,234	11 314	11 243	8 485			47 000	16 000	15 900	12 000	6 000	3100	47 000	16 000	15 900	12 000
2	15,667	5333	5 300	4 000	2 000	1033	9 400	3 200	3 180	2400	1 200	620	9 400	3 200	3 180	2400	1 200	620	19,187	6,531	6,491	4,898			23 500	8 000	7 950	6 000	3 000	1550	23 500	8 000	7 950	6 000
3	11 750	4 000	3,975	3 000	1 500	775	6 714	2 857	2 271	1714	875	443	6 714	2 857	2 271	1714	875	443	13 567	4,618	4589	3464			15,667	5333	5 300	4 000	2 000	1033	15,667	5333	5 300	4 000
4	9 400	3 200	3 180	2400	1 200	620	5 222	1778	1767	1333	667	333	5 222	1778	1767	1333	667	333	10 509	3,577	3 555	2,683			11 750	4 000	3,975	3 000	1 500	775	11 750	4 000	3,975	3 000
5	7833	2 667	2 650	2 000	1 000	517	4273	1,454	1,445	1091	545	282	4273	1,454	1,445	1091	545	282	8580	2921	2 902	2190			9 400	3 200	3 180	2400	1 200	620	9 400	3 200	3 180	2400
sedadlo	přidělení sedadel
1	47 000						47 000						33,571						∞				vyloučeno		∞						∞				vyloučeno
2	23 500							16 000					15,667							∞						∞						∞
3		16 000							15 900					11 429							∞						∞						∞
4			15 900				15,667								11,357							∞						∞						∞
5	15,667									12 000			9 400						33,234										∞		47 000
6				12 000			9 400									8571			19,187											∞	23 500
7	11 750						6 714						6 714						13 567						47 000							16 000
8	9 400										6 000			5333						11 314					23 500								15 900
9		8 000						5333							5 300						11 243					16 000					15,667
10			7 950						5 300				5 222						10 509								15 900							12 000

Jak je vidět na příkladu, D'Hondt, Sainte-Laguë a Huntington-Hill umožňují různé strategie stran, které chtějí maximalizovat rozdělení svých křesel. D'Hondt a Huntington – Hill mohou upřednostňovat sloučení stran, zatímco Sainte-Laguë může upřednostňovat rozdělení stran (upravený Saint-Laguë snižuje výhodu rozdělení).

V těchto příkladech by za D'Hondta a Huntingtona-Hilla získali Žlutí a Zelení další místo, pokud by se spojili, zatímco pod Sainte-Laguë by Žlutí získali, kdyby se rozdělili do šesti seznamů, každý s přibližně 7 833 hlasy.

Vlastnosti

Všechny metody dělitelů splňují základní vlastnosti anonymity, vyváženosti, shody, přesnosti a úplnosti.

Všechny metody dělitelů uspokojují domácí monotónnost . To znamená, že když se počet křesel v parlamentu zvýší, žádný stát o křeslo nepřijde. To je patrné z iteračního popisu metod: když je přidáno místo, počáteční proces zůstává stejný, jen pokračuje do další iterace. Jinými slovy, metody dělitelů se vyhýbají alabamskému paradoxu .

Navíc všechny dělící metody splňují párovou populační monotónnost . To znamená, že pokud počet hlasů jedné strany roste rychleji než počet hlasů jiné strany, pak se nestane, že by první strana ztratila mandáty, zatímco druhá strana by získala mandáty. Metody dělitel jsou navíc prokazatelně jediné metody, které tuto formu monotónnosti splňují. Jinými slovy, metody dělitelů se jako jediné vyhýbají populačnímu paradoxu .

Na negativní straně mohou metody dělitelů porušovat pravidlo kvóty : mohou některým agentům poskytnout méně než jejich nižší kvótu (kvóta zaokrouhlena dolů) nebo více než jejich horní kvóta (kvóta zaokrouhlena nahoru). To lze opravit pomocí metod dělitelů s kvótami (viz níže).

Simulační experimenty ukazují, že různé metody dělitelů mají velmi rozdílné pravděpodobnosti porušení kvóty (když je počet hlasů vybrán exponenciálním rozdělením):

Pravděpodobnost pro Adamse a D'Hondta je 98%;
Pravděpodobnost pro D'Hondt s minimálním požadavkem 1 je 78%;
Pravděpodobnost pro Deana je asi 9%a pro Huntington-Hill asi 4%;
Pravděpodobnost pro Webster je nejmenší - pouze 0,16%.

Metoda dělitele se nazývá stacionární, pokud její dělitel má tvar pro nějaké reálné číslo . Metody Adamse, Webstera a DHondta jsou nehybné, zatímco metody Deana a Huntington-Hilla ne. ${\ Displaystyle d (k) = k+r}$ ${\ Displaystyle r \ v [0,1]}$

Metoda dělitelů omezená kvótami

Metoda dělitel kvóta uzávěrem je rozdělení metoda, při níž se příští sedadlo přidělena pouze na párty ze souboru způsobilých stran . Oprávněné strany by měly splňovat dvě podmínky:

Jejich aktuální alokace je menší než jejich horní kvóta (kde je kvóta vypočítávána na základě celkového počtu míst včetně dalšího).
Poskytnutí dalšího místa by nezbavilo ostatní státy jejich nižší kvóty.

Formálně jsou v každé iteraci (odpovídající přidělení -th sedadla) počítány následující sady ( definice a notace viz matematika rozdělení ): ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle h}$

${\ Displaystyle U (\ mathbf {t}, \ mathbf {a})}$ je skupina stran, které mohou získat další místo bez porušení jejich horní kvóty, tj . ${\ Displaystyle a_ {i} <\ lceil t_ {i} \ cdot h \ rceil}$
${\ Displaystyle L (\ mathbf {t}, \ mathbf {a})}$ je množina stran, jejichž počet křesel může být v některé budoucí iteraci nižší než jejich nižší kvóta, tedy pro nejmenší celé číslo, pro které . Pokud nic takového neexistuje, pak obsahuje všechny stavy. ${\ Displaystyle a_ {i} <\ lfloor t_ {i} \ cdot (h+z) \ rfloor}$ ${\ Displaystyle z}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {i} \ lfloor t_ {i} \ cdot (h+z) \ rfloor \ geq h-1+z}$ ${\ Displaystyle z}$ ${\ Displaystyle L (\ mathbf {t}, \ mathbf {a})}$

Tý Sedadlo je uveden na párty , u nichž je poměr je největší. ${\ displaystyle h}$ ${\ Displaystyle i \ in U (\ mathbf {t}, \ mathbf {a}) \ cap L (\ mathbf {t}, \ mathbf {a})}$ ${\ displaystyle {\ frac {t_ {i}} {d (a_ {i})}}}}$

Metoda Balinsky - Young quota je varianta D'Hondtovy metody omezená na kvóty (také nazývaná: Quota-Jefferson). Podobně lze definovat Quota-Webster, Quota-Adams atd.

Každá metoda děliče omezená kvótami splňuje domácí monotónnost. Pokud je způsobilost založena na kvótách, jak je uvedeno výše, pak metoda dělitelů omezená kvótami splňuje podle definice horní kvótu a lze prokázat, že splňuje i nižší kvótu.

Metody dělitelů omezené kvótami však mohou narušit vlastnost monotónnosti populace : je možné, že některá strana i získá více hlasů, zatímco všechny ostatní strany získají stejný počet hlasů, ale strana i ztratí mandát. To by se mohlo stát, pokud vzhledem k osobě i stále více hlasů, přičemž horní kvóta nějaké jiné strany j klesá. Strana j proto nemá nárok na místo v aktuální iteraci a některá třetí strana obdrží další místo. Ale pak při další iteraci má strana j opět nárok na místo a porazí party i . Existují podobné příklady pro všechny metody dělitelů omezené kvótami.

Viz také

Rank-index metody jsou zobecněním metod dělitelů.

Languages

In other projects