Hilbertův prostor - Hilbert space

Stav vibrující struny lze modelovat jako bod v Hilbertově prostoru. Rozklad vibrující struny na její vibrace ve výrazných podtónech je dán projekcí bodu na souřadnicové osy v prostoru.

V matematice , Hilbertovy prostory (pojmenované po David Hilbert ) umožňují zobecnění metody lineární algebry a matematické analýzy z dvojrozměrné a trojrozměrné euklidovských prostorů na mezery, které mohou mít nekonečný rozměr . Hilbertův prostor je vektorový prostor vybavený vnitřní součinovou operací, která umožňuje definovat funkci vzdálenosti a kolmost ( v tomto kontextu známá jako ortogonalita ). Kromě toho jsou Hilbertovy prostory pro tuto vzdálenost kompletní , což znamená, že jich je dostlimity v prostoru, které umožňují použití technik kalkulu.

Hilbertovy prostory vznikají přirozeně a často v matematice a fyzice , obvykle jako nekonečné dimenzionální funkční prostory . Nejstarší Hilbertovy prostory byly z tohoto pohledu studovány v první dekádě 20. století Davidem Hilbertem , Erhardem Schmidtem a Frigyesem Rieszem . Jsou to nepostradatelné nástroje v teoriích parciálních diferenciálních rovnic , kvantové mechanice , Fourierově analýze (která zahrnuje aplikace pro zpracování signálu a přenosu tepla) a ergodické teorii (která tvoří matematické základy termodynamiky ). John von Neumann vytvořil termín Hilbertův prostor pro abstraktní koncept, který je základem mnoha z těchto různorodých aplikací. Úspěch Hilbertových vesmírných metod zahájil velmi plodnou éru funkční analýzy . Na rozdíl od klasických euklidovských prostorů, příklady Hilbertových prostorů zahrnují mezery čtverečních-integrovatelných funkcí , prostorů posloupností , Sobolevovy prostory sestávající z zobecněných funkcí a Hardy mezery z holomorfních funkcí .

Geometrická intuice hraje důležitou roli v mnoha aspektech Hilbertovy vesmírné teorie. Přesné analogy Pythagorovy věty a paralelogramového zákona platí v Hilbertově prostoru. Na hlubší úrovni hraje kolmá projekce na podprostor (analog „ klesání nadmořské výšky “ trojúhelníku) významnou roli v problémech optimalizace a dalších aspektech teorie. Prvek Hilbertova prostoru lze jednoznačně specifikovat jeho souřadnicemi vzhledem k sadě souřadnicových os ( ortonormální základ ), analogicky s karteziánskými souřadnicemi v rovině. Když je tato sada os spočitatelně nekonečná , lze Hilbertův prostor také užitečně uvažovat z hlediska prostoru nekonečných posloupností, které lze sčítat jako čtverce . Ten prostor je často ve starší literatuře označován jako v Hilbertově prostoru. Lineární operátory na Hilbertově prostoru jsou rovněž poměrně konkrétními objekty: v dobrých případech jsou to jednoduše transformace, které roztahují prostor různými faktory ve vzájemně kolmých směrech ve smyslu, který je přesný studiem jejich spektra .

Definice a ilustrace

Motivační příklad: Euklidovský vektorový prostor

Jedním z nejznámějších příkladů Hilbertova prostoru je vektor prostor sestávající z trojrozměrných vektorů , označených R 3 , a vybavených skalárního součinu . Skalární součin má dva vektory x a y , a vytváří reálné číslo xy . Pokud jsou x a y znázorněny v kartézských souřadnicích , pak je součin bodů definován

Tečkový výrobek splňuje vlastnosti:

  1. Je symetrický v x a y : xy = yx .
  2. Ve svém prvním argumentu je lineární : ( a x 1 + b x 2 ) ⋅ y = a x 1y + b x 2y pro všechny skaláry a , b a vektory x 1 , x 2 a y .
  3. Je to jednoznačně pozitivní : pro všechny vektory x , xx ≥ 0 , s rovností právě tehdy, když x = 0 .

Operace na párech vektorů, které, stejně jako bodový součin, splňuje tyto tři vlastnosti, je známá jako (skutečný) vnitřní součin . Vektorový prostor vybavený takovým vnitřním produkt je známý jako (REAL) vnitřního prostoru produktu . Každý konečný rozměrný vnitřní produktový prostor je také Hilbertovým prostorem. Základním rysem bodového produktu, který jej spojuje s euklidovskou geometrií, je to, že souvisí jak s délkou (nebo normou ) vektoru, označenou || x || , a do úhlu θ mezi dvěma vektory x a y pomocí vzorce

Úplnost znamená, že pokud se částice pohybuje po rozbité dráze (modře) a urazí konečnou celkovou vzdálenost, pak má částice dobře definovaný čistý posun (oranžově).

Multivariabilní počet v euklidovském prostoru závisí na schopnosti vypočítat limity a mít užitečná kritéria pro závěr, že limity existují. Matematický series

skládající se z vektorů v R 3 je absolutně konvergentní za předpokladu, že součet délek konverguje jako obyčejná řada reálných čísel:

Stejně jako u řady skalárů, série vektorů, které absolutně konvergují, také konverguje k nějakému meznímu vektoru L v euklidovském prostoru v tom smyslu, že

Tato vlastnost vyjadřuje úplnost euklidovského prostoru: že řada, která absolutně konverguje, také konverguje v běžném smyslu.

Hilbertovy mezery často přebírají komplexní čísla . Letadlo komplexu označován C je vybaven představou o velikosti je komplexní modul | z | který je definován jako druhá odmocnina součinu z s jeho komplexním konjugátem :

Pokud z = x + iy je rozklad z na jeho skutečné a imaginární části, pak modul je obvyklá euklidovská dvourozměrná délka:

Vnitřní součin dvojice komplexních čísel z a w je součinem z s komplexním konjugátem w :

To je komplexní hodnota. Reálná část Z , w dává obvyklé dvojrozměrné Euclidean skalární součin .

Druhým příkladem je prostor C 2, jehož prvky jsou páry komplexních čísel z = ( z 1 , z 2 ) . Pak je vnitřní součin z s dalším takovým vektorem w = ( w 1 , w 2 ) dán vztahem

Reálná část Z , w je potom dvourozměrná Euclidean skalární součin. Tento vnitřní produkt je hermitovsky symetrický, což znamená, že výsledkem záměny z a w je komplexní konjugát:

Definice

Hilbertův prostor H je skutečná nebo komplexní skalární součin prostor , který je také kompletní metrický prostor s ohledem na funkci distanční vyvolané vnitřním produktu.

Tvrzení, že H se o složité vnitřní produkt prostor znamená, že H je komplexní vektorový prostor, na kterém je vnitřní produkt x , y sdružující komplexní číslo na každé dvojici prvků x , y z H , který splňuje následující vlastnosti:

  1. Vnitřní produkt je konjugovaný symetrický; to znamená, že vnitřní součin dvojice prvků se rovná komplexnímu konjugátu vnitřního součinu zaměněných prvků:
  2. Vnitřní součin je ve svém prvním argumentu lineární . U všech komplexních čísel a , b ,
  3. Vnitřní součin prvku sám o sobě je jednoznačně pozitivní :
    (Všimněte si, že vlastnost 1 znamená, že je skutečná.)

Z vlastností 1 a 2 vyplývá, že komplexní vnitřní produkt je ve svém druhém argumentu antilineární , také nazývaný konjugovaný lineární , což znamená, že

Skutečný vnitřní prostor produkt je definován stejným způsobem, kromě toho, že H je skutečný vektorový prostor a vnitřní produkt se skutečné hodnoty. Takový vnitřní produkt bude bilineární mapa a ( H , H , ⟨⋅, ⋅⟩) vytvoří duální systém .

Norma je reálná funkce

a vzdálenost d mezi dvěma body x , y v H je definována z hlediska normy pomocí

Že tato funkce je distanční funkcí, znamená za prvé, že je symetrická v x a y , za druhé, že vzdálenost mezi x a sama je nulová, a jinak musí být vzdálenost mezi x a y kladná, a konečně že platí nerovnost trojúhelníku , což znamená že délka jedné nohy trojúhelníku xyz nesmí překročit součet délek ostatních dvou nohou:

Nerovnost trojúhelníku v metrickém prostoru. Svg

Tato poslední vlastnost je nakonec důsledkem zásadnější Cauchy -Schwarzovy nerovnosti , která tvrdí

s rovností právě tehdy, když x a y jsou lineárně závislé .

S takto definovanou funkcí vzdálenosti je jakýkoli vnitřní produktový prostor metrickým prostorem a někdy je znám jako Hausdorffův pre-Hilbertův prostor . Jakýkoli pre-Hilbertův prostor, který je navíc také úplným prostorem, je Hilbertův prostor.

Úplnost z H je vyjádřena pomocí formy kritérium Cauchyho pro sekvencí H : pre-Hilbertův prostor H je úplné, pokud každý Cauchyovské sekvenční konverguje s ohledem na tuto normu na prvku v prostoru. Úplnost lze charakterizovat následující ekvivalentní podmínkou: pokud jde o řadu vektorů

konverguje absolutně v tom smyslu

pak konverguje série v H , v tom smyslu, že dílčí součty konvergují k prvku H .

Jako úplný normovaný prostor jsou Hilbertovy prostory podle definice také Banachovy prostory . Jako takové jsou topologickými vektorovými prostory , ve kterých jsou dobře definovány topologické pojmy, jako je otevřenost a uzavřenost podmnožin. Zvláštní význam má představa uzavřeného lineárního podprostoru Hilbertova prostoru, který je s vnitřním součinem indukovaným omezením také úplný (je to uzavřená množina v kompletním metrickém prostoru), a tedy Hilbertův prostor sám o sobě.


Druhý příklad: sekvenční mezery

Prostor pořadového l 2 se skládá ze všech nekonečný sekvence z = ( Z 1 , Z 2 , ...) komplexních čísel tak, že řada

sbíhá . Vnitřní součin na l 2 je definován vztahem

s druhou řadou konvergující jako důsledek Cauchy -Schwarzovy nerovnosti .

Úplnost prostoru platí za předpokladu, že kdykoli se řada prvků z l 2 absolutně (v normě) sbíhá, pak konverguje k prvku l 2 . Důkaz je základem v matematické analýze a umožňuje manipulaci s matematickými řadami prvků prostoru se stejnou lehkostí jako se sérií komplexních čísel (nebo vektorů v konečném dimenzionálním euklidovském prostoru).

Dějiny

Před vývojem Hilbertových prostorů byla matematikům a fyzikům známa další zobecnění euklidovských prostorů . Zejména myšlenka abstraktního lineárního prostoru (vektorového prostoru) získala určitou trakci ke konci 19. století: toto je prostor, jehož prvky lze sčítat a násobit skaláry (jako jsou reálná nebo komplexní čísla ), aniž by to nutně identifikace těchto prvků pomocí „geometrických“ vektorů , jako jsou vektory polohy a hybnosti ve fyzických systémech. Jiné objekty studované matematiky na přelomu 20. století, zejména prostory sekvencí (včetně sérií ) a prostory funkcí, lze přirozeně považovat za lineární prostory. Funkce lze například sčítat nebo násobit konstantními skaláry a tyto operace se řídí algebraickými zákony uspokojenými sčítáním a skalárním násobením prostorových vektorů.

V první dekádě 20. století vedl paralelní vývoj k zavedení Hilbertových prostorů. Prvním z nich bylo pozorování, které vyvstalo během studie Davida Hilberta a Erharda Schmidta o integrálních rovnicích , že dvě čtvercově integrovatelné reálné funkce f a g na intervalu [ a , b ] mají vnitřní součin

který má mnoho známých vlastností euklidovského bodového produktu. Zejména myšlenka ortogonální rodiny funkcí má smysl. Schmidt využil podobnosti tohoto vnitřního produktu s obvyklým bodovým součinem k prokázání analogie spektrálního rozkladu pro operátor formy

kde K je spojitá funkce symetrická v x a y . Výsledné rozšíření vlastní funkce vyjadřuje funkci K jako řadu formuláře

kde funkce cp n jsou ortogonální v tom smyslu, že φ n , φ m ⟩ = 0 pro všechna nm . Jednotlivé termíny v této řadě jsou někdy označovány jako elementární produktová řešení. Existují však expanze vlastní funkce, které se ve vhodném smyslu nedaří sblížit s funkcí integrovatelnou do čtverců: chybějící složka, která zajišťuje konvergenci, je úplnost.

Druhým vývojem byl Lebesgueův integrál , alternativa k Riemannově integrálu zavedenému Henri Lebesgueem v roce 1904. Lebesgueův integrál umožnil integrovat mnohem širší třídu funkcí. V roce 1907 Frigyes Riesz a Ernst Sigismund Fischer nezávisle dokázali, že prostor L 2 čtvercových Lebesgueových integrovatelných funkcí je úplný metrický prostor . V důsledku interakce mezi geometrií a úplnost výsledky 19. století z Josepha Fourier , Friedrich Bessel a Marc-Antoine Parseval na trigonometrické řady snadno přeneseny do těchto obecnějšími prostor, což v geometrickém a analytických přístrojů nyní obvykle známý jako Rieszova – Fischerova věta .

Další základní výsledky byly prokázány na počátku 20. století. Například Rieszovu reprezentační větu nezávisle stanovili Maurice Fréchet a Frigyes Riesz v roce 1907. John von Neumann vytvořil termín abstraktní Hilbertův prostor ve své práci na neomezených hermitských operátorech . Ačkoli jiní matematici jako Hermann Weyl a Norbert Wiener již podrobně studovali konkrétní Hilbertovy prostory, často z fyzicky motivovaného hlediska, von Neumann s nimi provedl první úplné a axiomatické zpracování. Von Neumann je později použil ve své klíčové práci na základech kvantové mechaniky a ve své další práci s Eugenem Wignerem . Název „Hilbertův prostor“ brzy přijali další, například Hermann Weyl ve své knize o kvantové mechanice a teorii skupin.

Význam konceptu Hilbertova prostoru byl zdůrazněn vědomím, že nabízí jednu z nejlepších matematických formulací kvantové mechaniky . Stručně řečeno, stavy kvantově mechanického systému jsou vektory v určitém Hilbertově prostoru, pozorovatelné jsou hermitánští operátoři v tomto prostoru, symetrie systému jsou unitární operátory a měření jsou ortogonální projekce . Vztah mezi kvantově mechanické symetrií a nečleněné provozovatelů impulsem pro rozvoj jednotné teorie reprezentací ze skupin , které byly zahájeny v 1928 práci Hermanna Weyl. Na druhé straně počátkem třicátých let minulého století bylo jasné, že klasickou mechaniku lze popsat pomocí Hilbertova prostoru ( klasická mechanika Koopman – von Neumann ) a že určité vlastnosti klasických dynamických systémů lze analyzovat pomocí Hilbertových vesmírných technik v rámci ergodická teorie .

Algebra rozpoznatelnosti v kvantové mechaniky, je přirozeně algebra operátorů definovaných na Hilbertova prostoru, podle Werner Heisenberg je matice mechanika formulaci kvantové teorie. Von Neumann začal vyšetřovat algebry operátorů ve 30. letech 20. století jako prstence operátorů v Hilbertově prostoru. Druh algeber studovaných von Neumannem a jeho současníky je nyní znám jako von Neumann algebras . Ve čtyřicátých letech minulého století Izrael Gelfand , Mark Naimark a Irving Segal definovali druh operátorských algeber zvaných C*-algebras, které na jedné straně nijak neodkazovaly na podkladový Hilbertův prostor a na druhé straně extrapolovaly mnoho užitečných funkcí. operátorových algeber, které byly dříve studovány. Spektrální věta zejména pro operátory s vlastním adjunktem, která je základem většiny stávající Hilbertovy vesmírné teorie, byla zobecněna na C*-algebry. Tyto techniky jsou nyní základní v abstraktní harmonické analýze a teorii reprezentace.

Příklady

Lebesgueovy prostory

Lebesgueovy prostory jsou prostory funkcí spojené s měření mezery ( X , M , u Stabilizátory ) , kde X je množina, M je σ-algebry podmnožin X a μ je countably přísada opatření na M . Nechť L 2 ( X , μ ) je prostor těch komplexně měřitelných měřitelných funkcí na X, pro které je Lebesgueův integrál čtverce absolutní hodnoty funkce konečný, tj. Pro funkci f v L 2 ( X , μ ) ,

a kde jsou funkce identifikovány právě tehdy, pokud se liší pouze na sadě nulové míry .

Vnitřní součin funkcí f a g v L 2 ( X , μ ) je pak definován jako

nebo

kde druhá forma (konjugace prvního prvku) se běžně nachází v teoretické fyzikální literatuře. Pro f a g v L 2 integrál existuje kvůli Cauchyově -Schwarzově nerovnosti a definuje vnitřní součin v prostoru. Vybaven tímto vnitřním produktem, L 2 je ve skutečnosti kompletní. Lebesgueův integrál je nezbytný pro zajištění úplnosti: například v oblastech reálných čísel není Riemann integrovatelných dost funkcí .

Prostory Lebesgue se objevují v mnoha přirozených prostředích. Prostory L 2 ( R ) a L 2 ([0,1]) čtvercově integrovatelných funkcí s ohledem na Lebesgueovu míru na reálném řádku a jednotkovém intervalu jsou přirozené domény, na kterých lze definovat Fourierovu transformaci a Fourierovu série. V jiných situacích může být mírou něco jiného než obyčejná Lebesgueova míra na skutečné čáře. Pokud je například w nějaká pozitivní měřitelná funkce, prostor všech měřitelných funkcí f v intervalu [0, 1] splňuje

se nazývá vážený L 2 prostor L2
w
([0, 1])
, a w se nazývá hmotnostní funkce. Vnitřní produkt je definován pomocí

Vážený prostor L2
w
([0, 1])
je shodný s Hilbertovým prostorem L 2 ([0, 1], μ ), kde je míra μ Lebesgueově měřitelné množiny A definována vztahem

Takto vážené mezery L 2 se často používají ke studiu ortogonálních polynomů, protože různé rodiny ortogonálních polynomů jsou ortogonální s ohledem na různé váhové funkce.

Sobolevovy prostory

Sobolevovy prostory , označené H s nebo W s , 2 , jsou Hilbertovy prostory. Jedná se o speciální druh funkčního prostoru, ve kterém lze provádět diferenciaci , ale které (na rozdíl od jiných Banachových prostorů , jako jsou Hölderovy prostory ) podporují strukturu vnitřního produktu. Protože je povoleno rozlišování, jsou Sobolevovy prostory vhodným prostředím pro teorii parciálních diferenciálních rovnic . Tvoří také základ teorie přímých metod v variačním počtu .

Pro s non-záporné celé číslo a W ⊂ R n , The sobolevův prostor H y (Ω) obsahuje L 2 funkce, jejichž slabá deriváty objednávky až S jsou i L 2 . Vnitřní součin v H s (Ω) je

kde tečka označuje bodový součin v euklidovském prostoru dílčích derivací každého řádu. Sobolevovy mezery lze také definovat, pokud s není celé číslo.

Sobolevovy prostory jsou studovány také z pohledu spektrální teorie, přičemž se konkrétněji spoléhají na Hilbertovu vesmírnou strukturu. Jestliže Ω je vhodná doména, pak lze definovat Sobolevův prostor H s (Ω) jako prostor Besselových potenciálů ; zhruba,

Zde Δ je Laplacian a (1 - Δ) - s/2je chápán ve smyslu věty o spektrálním mapování . Kromě poskytnutí funkční definice Sobolevových prostorů pro necelá čísla tato definice také zvláště žádoucí vlastnosti podle Fourierovy transformace , díky nimž je ideální pro studium pseudodiferenciálních operátorů . Pomocí těchto metod na kompaktním riemannianském potrubí lze získat například Hodgeův rozklad , který je základem Hodgeovy teorie .

Prostory holomorfních funkcí

Hardy prostory

Tyto Hardy prostory jsou funkční prostory, vzniklé v komplexní analýzy a harmonické analýzy , jejíž prvky jsou určité holomorfní funkce v komplexním oboru. Nechť U naznačovat jednotku disku v komplexní rovině. Poté je Hardyho prostor H 2 ( U ) definován jako prostor holomorfních funkcí f na U tak, že průměr

zůstávají omezeny na r <1 . Normu na tomto Hardyho prostoru definuje

Hardy mezery na disku se týkají Fourierovy řady. Funkce f je v H 2 ( U ) tehdy a jen tehdy

kde

Tak H 2 ( U ) sestává z těch funkcí, které jsou L 2 v kruhu, a jejíž negativní frekvence Fourierovy koeficienty zmizí.

Bergmanovy prostory

Tyto Bergman prostory jsou další rodina Hilbert prostorů holomorfních funkcí. Nechť D je ohraničená otevřená množina v komplexní rovině (nebo vyšší dimenzionální komplexní prostor) a nechť L 2, h ( D ) je prostor holomorfních funkcí f v D, které jsou ve smyslu také v L 2 ( D ) že

kde je integrální přijata s ohledem na opatření Lebesgue v D . Je zřejmé, že L 2, h ( D ) je podprostor L 2 ( D ) ; ve skutečnosti je to uzavřený podprostor, a tak Hilbertův prostor sám o sobě. Jedná se o důsledek odhadu platná v kompaktním podmnožin K části D , která

což zase vyplývá z Cauchyho integrálního vzorce . Konvergence sekvence holomorfních funkcí v L 2 ( D ) tedy znamená také kompaktní konvergenci , a tak je mezní funkce také holomorfní. Dalším důsledkem této nerovnosti je, že lineární funkce, která vyhodnocuje funkci f v bodě D, je ve skutečnosti spojitá na L 2, h ( D ) . Rieszova reprezentační věta naznačuje, že vyhodnocovací funkci lze reprezentovat jako prvek L 2, h ( D ) . Pro každé zD tedy existuje funkce η zL 2, h ( D ) taková, že

pro všechny fL 2, h ( D ) . Integrand

je známý jako Bergman jádra z D . Toto integrální jádro splňuje vlastnosti reprodukce

Bergmanův prostor je příkladem reprodukujícího Hilbertova prostoru jádra , což je Hilbertův prostor funkcí spolu s jádrem K ( ζ , z ), které ověřuje reprodukční vlastnost analogickou tomuto. Hardy Space H 2 ( D ) také připouští reprodukující jádro, známé jako jádro Szegő . Reprodukční jádra jsou běžná i v jiných oblastech matematiky. Například v harmonické analýze je Poissonovo jádro reprodukujícím jádrem pro Hilbertův prostor harmonických funkcí integrovatelných do čtverců v jednotkové kouli . Že je to Hilbertův prostor vůbec, je důsledek věty o střední hodnotě pro harmonické funkce.

Aplikace

Mnoho aplikací Hilbertových prostorů využívá skutečnosti, že Hilbertovy prostory podporují zobecnění jednoduchých geometrických konceptů, jako je projekce a změna základu z jejich obvyklého konečného dimenzionálního nastavení. Zejména spektrální teorie o kontinuální sebe adjoint lineární operátory na Hilbert prostoru zobecňuje obvyklý spektrální rozklad o matice , a to často hraje hlavní roli v aplikace teorie do dalších oblastí matematiky a fyziky.

Sturm -Liouvilleova teorie

K podtexty vibračního řetězec. Toto jsou vlastní funkce souvisejícího problému Sturm – Liouville. Vlastní čísla 1,1/2, 1/3, ... tvoří (hudební) harmonickou řadu .

V teorii obyčejných diferenciálních rovnic se ke studiu chování vlastních hodnot a vlastních funkcí diferenciálních rovnic používají spektrální metody na vhodném Hilbertově prostoru. Například Sturm – Liouvilleův problém vzniká studiem harmonických vln v houslových strunách nebo bubnu a je ústředním problémem běžných diferenciálních rovnic . Problém je v diferenciální rovnici tvaru

pro neznámou funkci y v intervalu [ a , b ] , splňující obecné homogenní Robinovy ​​okrajové podmínky

Funkce p , q a w jsou dány předem a problém je najít funkci y a konstanty λ, pro které má rovnice řešení. Problém má řešení pouze pro určité hodnoty λ , nazývaná vlastní čísla systému, a to je důsledek spektrální věty pro kompaktní operátory aplikované na integrální operátor definovaný Greenovou funkcí pro systém. Kromě toho dalším důsledkem tohoto obecného výsledku je, že vlastní čísla λ systému mohou být uspořádána ve zvyšující se sekvenci inklinující k nekonečnu.

Dílčí diferenciální rovnice

Hilbertovy prostory tvoří základní nástroj při studiu parciálních diferenciálních rovnic . U mnoha tříd parciálních diferenciálních rovnic, jako jsou lineární eliptické rovnice , je možné uvažovat o zobecněném řešení (známém jako slabé řešení) rozšířením třídy funkcí. Mnoho slabých formulací zahrnuje třídu Sobolevových funkcí , což je Hilbertův prostor. Vhodná slabá formulace redukuje na geometrický problém analytický problém hledání řešení nebo často, což je důležitější, ukazuje, že řešení existuje a je pro daná hraniční data jedinečné. U lineárních eliptických rovnic je jedním geometrickým výsledkem, který zajišťuje jedinečnou řešitelnost pro velkou třídu problémů, Lax – Milgramova věta . Tato strategie tvoří základ Galerkinovy ​​metody ( metoda konečných prvků ) pro numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic.

Typickým příkladem je Poissonova rovnice u = g s Dirichlet okrajovými podmínkami v ohraničené domény W v R 2 . Slabá formulace spočívá v nalezení funkce u takové, že pro všechny spojitě diferencovatelné funkce v v Ω mizí na hranici:

Toto lze přepracovat z hlediska Hilbertova prostoru H1
0
(Ω)
skládající se z funkcí u tak, že u , spolu se svými slabými parciálními derivacemi, jsou čtvercově integrovatelné na Ω a mizí na hranici. Otázka se pak redukuje na nalezení u v tomto prostoru tak, že pro všechna v v tomto prostoru

kde a je spojitá bilineární forma , a b je spojitá lineární funkční , daná příslušně

Protože je Poissonova rovnice eliptická , vyplývá z Poincaréovy nerovnosti, že bilineární forma a je donucovací . Věta Lax – Milgram pak zajišťuje existenci a jedinečnost řešení této rovnice.

Hilbertovy prostory umožňují formulovat mnoho eliptických parciálních diferenciálních rovnic podobným způsobem a Lax – Milgramova věta je pak základním nástrojem při jejich analýze. S vhodnými úpravami lze podobné techniky aplikovat na parabolické parciální diferenciální rovnice a určité hyperbolické parciální diferenciální rovnice .

Ergodická teorie

Cesta k kulečníkové kouli v stadionu Bunimovich je popsán pomocí ergodický dynamického systému .

Oblast ergodické teorie je studium dlouhodobého chování chaotických dynamických systémů . Protypickým případem pole, na které se vztahuje ergodická teorie, je termodynamika , ve které - ačkoli je mikroskopický stav systému extrémně komplikovaný (není možné pochopit soubor jednotlivých srážek mezi částicemi hmoty) - průměrné chování po dostatečně dlouhou dobu časové intervaly jsou sledovatelné. Tyto zákony termodynamiky jsou tvrzení o takové průměrné chování. Jedna formulace nulového termodynamického zákona zejména tvrdí, že v dostatečně dlouhých časových intervalech je jediným funkčně nezávislým měřením termodynamického systému v rovnováze jeho celková energie ve formě teploty .

Ergodický dynamický systém je ten, pro který kromě energie - měřené hamiltoniánem - nejsou ve fázovém prostoru žádné jiné funkčně nezávislé konzervované veličiny . Přesněji řečeno, předpokládejme, že energie E je pevná, a nechť Ω E je podmnožinou fázového prostoru skládajícího se ze všech stavů energie E (energetický povrch), a nechť T t označuje operátor evoluce ve fázovém prostoru. Dynamický systém je ergodic, pokud neexistují žádné souvislé nekonstantní funkce na w E tak, že

pro všechna w na Ω E a všechen čas t . Liouvilleova věta naznačuje, že na energetickém povrchu existuje míra μ, která je při časovém překladu neměnná . Výsledkem je, že časový překlad je unitární transformací Hilbertova prostoru L 2E , μ ) skládající se ze čtvercově integrovatelných funkcí na energetickém povrchu Ω E vzhledem k vnitřnímu produktu

Průměrná ergodická věta von Neumanna uvádí následující:

  • Jestliže U t je (silně spojitá) jednoparametrická poloskupina unitárních operátorů na Hilbertově prostoru H , a P je ortogonální projekce do prostoru společných pevných bodů U t , { xH | U t x = x , ∀ t > 0} , potom

Pro ergodický systém se pevná sada evoluce času skládá pouze z konstantních funkcí, takže z ergodické věty vyplývá následující: pro jakoukoli funkci fL 2E , μ ) ,

To znamená, že dlouhý časový průměr pozorovatelného f se rovná jeho hodnotě očekávání na energetickém povrchu.

Fourierova analýza

Superpozice funkcí báze sinusových vln (dole) pro vytvoření pilovité vlny (nahoře)
Sférické harmonické , ortonormální základ pro Hilbertův prostor čtvercově integrovatelných funkcí na kouli, znázorněné graficky podél radiálního směru

Jedním ze základních cílů Fourierovy analýzy je rozložit funkci na (možná nekonečnou) lineární kombinaci daných základních funkcí: přidruženou Fourierovu řadu . Klasická Fourierova řada spojená s funkcí f definovanou na intervalu [0, 1] je řada formy

kde

Příklad sečtení prvních několika termínů v Fourierově řadě pro funkci pilového zubu je na obrázku. Základními funkcemi jsou sinusové vlny s vlnovými délkamiλ/n(pro celé číslo n ) kratší než vlnová délka λ samotného pilového zubu (kromě n = 1 , základní vlny). Všechny základní funkce mají uzly v uzlech pilového zubu, ale všechny kromě základních mají další uzly. Kmitání součtových výrazů o pilovém zubu se nazývá Gibbsův jev .

Významný problém v klasické Fourierově řadě se ptá, v jakém smyslu Fourierova řada konverguje, pokud vůbec, k funkci f . Hilbertovy vesmírné metody poskytují jednu možnou odpověď na tuto otázku. Funkce e n ( θ ) = e inθ tvoří ortogonální základ Hilbertova prostoru L 2 ([0, 1]) . V důsledku toho může být jakákoli funkce integrovatelná do čtverců vyjádřena jako řada

a navíc se tato řada sbíhá v Hilbertově vesmírném smyslu (to znamená v průměru L 2 ).

Problém lze také studovat z abstraktního hlediska: každý Hilbertův prostor má ortonormální základ a každý prvek Hilbertova prostoru lze zapsat jedinečným způsobem jako součet násobků těchto základních prvků. Koeficienty objevující se na těchto základních prvcích jsou někdy abstraktně známé jako Fourierovy koeficienty prvku prostoru. Abstrakce je obzvláště užitečná, když je přirozenější používat různé základní funkce pro prostor, jako je L 2 ([0, 1]) . Za mnoha okolností je žádoucí funkci nerozkládat na goniometrické funkce, ale například na ortogonální polynomy nebo vlnovky a ve vyšších dimenzích na sférické harmonické .

Například pokud e n jsou jakékoli ortonormální základní funkce L 2 [0, 1] , pak lze danou funkci v L 2 [0, 1] aproximovat jako konečnou lineární kombinaci

Koeficienty { a j } jsou vybrány tak, aby tvořily velikost rozdílu || f - f n || 2 co nejmenší. Geometricky je nejlepší aproximací je kolmý průmět z F na podprostoru zahrnující všech lineárních kombinací podle { e j } , a může být vypočtena

Že tento vzorec minimalizuje rozdíl || f - f n || 2 je důsledkem Besselovy nerovnosti a Parsevalova vzorce .

V různých aplikacích na fyzických problémů, funkce může být rozložen do fyzicky smysluplných eigenfunctions jednoho diferenciální operátor (obvykle Laplaceův operátor ): Toto je základem pro spektrální studiu funkcí, v odkazu na spektru provozovatele diferenciálu. Konkrétní fyzikální aplikace zahrnuje problém naslouchání tvaru bubnu : vzhledem k základním režimům vibrací, které je hlava bubnu schopna produkovat, lze odvodit tvar samotného bubnu? Matematická formulace této otázky zahrnuje Dirichletova vlastní čísla Laplaceovy rovnice v rovině, která představují základní režimy vibrací v přímé analogii s celými čísly, která představují základní režimy vibrací houslových strun.

Spektrální teorie je také základem určitých aspektů Fourierovy transformace funkce. Zatímco Fourierova analýza rozkládá funkci definovanou na kompaktní sadě na diskrétní spektrum Laplacianů (což odpovídá vibracím houslových strun nebo bubnu), Fourierova transformace funkce je rozklad funkce definované v celém euklidovském prostoru do jeho složek v souvislém spektru Laplaciánu. Fourierova transformace je také geometrické, v určitém smyslu také přesné podle Plancherel teorém , že tvrdí, že se jedná o isometry jedné Hilbertova prostoru (dále jen „časové oblasti“) s další (dále jen „frekvenční doméně“). Tato izometrická vlastnost Fourierovy transformace je opakujícím se tématem v abstraktní harmonické analýze (protože odráží zachování energie pro spojitou Fourierovu transformaci), jak dokládá například Plancherelova věta pro sférické funkce vyskytující se v nekomutativní harmonické analýze .

Kvantová mechanika

K orbitaly dusičnanu amonného elektronu v atomu vodíku atomem jsou vlastní funkce této energie .

V matematicky přísné formulaci kvantové mechaniky , vyvinuté Johnem von Neumannem , jsou možné stavy (přesněji čisté stavy ) kvantově mechanického systému reprezentovány jednotkovými vektory (nazývanými stavové vektory ) sídlícími ve složitém oddělitelném Hilbertově prostoru, známém jako stavový prostor , dobře definovaný až do komplexního počtu normy 1 ( fázový faktor ). Jinými slovy, možné stavy jsou body v projektivizaci Hilbertova prostoru, obvykle nazývaného komplexní projektivní prostor . Přesná povaha tohoto Hilbertova prostoru závisí na systému; například stavy polohy a hybnosti pro jednu nerelativistickou spinovou nulovou částici je prostor všech čtvercově integrovatelných funkcí, zatímco stavy pro spin jednoho protonu jsou jednotkovými prvky dvourozměrného komplexu Hilbertův prostor spinorů . Každý pozorovatelný je reprezentován samostatně nastavitelným lineárním operátorem působícím na stavový prostor. Každý vlastní stav pozorovatelného odpovídá vlastnímu vektoru operátora a související vlastní číslo odpovídá hodnotě pozorovatelného v tomto vlastním čísle.

Vnitřní součin mezi dvěma stavovými vektory je komplexní číslo známé jako pravděpodobnostní amplituda . Během ideálního měření kvantově mechanického systému je pravděpodobnost, že se systém zhroutí z daného počátečního stavu do konkrétního vlastního stavu, dána druhou mocninou absolutní hodnoty pravděpodobnostních amplitud mezi počátečním a konečným stavem. Možnými výsledky měření jsou vlastní čísla operátora-což vysvětluje výběr operátorů s vlastním nastavením, protože všechna vlastní čísla musí být reálná. Rozdělení pravděpodobnosti pozorovatelného v daném stavu lze zjistit výpočtem spektrálního rozkladu příslušného operátoru.

Pro obecný systém stavy obvykle nejsou čisté, ale místo toho jsou reprezentovány jako statistické směsi čistých stavů nebo smíšené stavy, dané hustotními maticemi : self-adjoint operators of trace one on a Hilbert space. Navíc u obecných kvantově mechanických systémů mohou účinky jediného měření ovlivňovat jiné části systému způsobem, který je místo toho popsán měřítkem s kladným operátorem . Struktura stavů i pozorovatelných v obecné teorii je tedy podstatně komplikovanější než idealizace čistých stavů.

Vnímání barev

Jakákoli skutečná fyzická barva může být reprezentována kombinací čistých spektrálních barev . Protože fyzické barvy mohou být složeny z libovolného počtu spektrálních barev, prostor fyzických barev může být vhodně reprezentován Hilbertovým prostorem nad spektrálními barvami. Lidé mají tři typy kuželových buněk pro vnímání barev, takže vnímatelné barvy mohou být reprezentovány 3-dimenzionálním euklidovským prostorem. Lineární mapování mnohostranně od Hilbertova prostoru fyzických barev k euklidovskému prostoru lidských vnímatelných barev vysvětluje, proč lidé mohou vnímat mnoho odlišných fyzických barev jako identické (např. Čisté žluté světlo versus kombinace červené a zelené světlo, viz metamerismus ).

Vlastnosti

Pythagorova identita

Dva vektory ua a V v Hilbertova prostoru H jsou kolmé při u , v ⟩ = 0 . Zápis pro toto je uv . Obecněji řečeno, když S je podmnožina v H , zápis uS znamená, že u je kolmý na každý element z S .

Když u a v jsou ortogonální, jeden má

Indukcí na n se toto rozšíří na jakoukoli rodinu u 1 , ..., u n z n ortogonálních vektorů,

Zatímco Pythagorova identita, jak je uvedeno, je platná v jakémkoli vnitřním produktovém prostoru, pro rozšíření Pythagorovy identity na série je nutná úplnost. A série å u K z ortogonálních vektorů konverguje v H právě tehdy, když řady čtverců norem konverguje a

Kromě toho je součet řady ortogonálních vektorů nezávislý na pořadí, ve kterém je pořízen.

Identita a polarizace rovnoběžníku

Geometricky identita rovnoběžníku tvrdí, že AC 2 + BD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 ) . Stručně řečeno, součet čtverců úhlopříček je dvojnásobkem součtu čtverců jakýchkoli dvou sousedních stran.

Podle definice je každý Hilbertův prostor také Banachovým prostorem . Kromě toho v každém Hilbertově prostoru platí následující identita rovnoběžníku :

Naopak každý Banachův prostor, ve kterém je držena identita rovnoběžníku, je Hilbertův prostor a vnitřní produkt je jedinečně určen normou polarizační identitou . Pro skutečné Hilbertovy prostory je polarizační identita

U složitých Hilbertových prostorů ano

Ze zákona rovnoběžníku vyplývá, že jakýkoli Hilbertův prostor je jednotně konvexní Banachův prostor .

Nejlepší aproximace

Tato podsekce využívá Hilbertovu větu o projekci . Pokud C je neprázdná uzavřená konvexní podmnožina Hilbertova prostoru H a x bodu v H , existuje jedinečný bod yC, který minimalizuje vzdálenost mezi x a body v C ,

To se rovná tvrzení, že v přeložené konvexní sadě D = C - x je bod s minimální normou . Důkaz spočívá v prokázání, že každá minimalizační sekvence ( d n ) ⊂ D je Cauchy (pomocí paralelogramové identity), proto konverguje (pomocí úplnosti) k bodu v D, který má minimální normu. Obecněji to platí v každém jednotně konvexním Banachově prostoru.

Je-li tento výsledek aplikována do uzavřené podprostoru F z H , může být prokázáno, že bod yF nejblíže x je charakterizován

Tento bod y je kolmý průmět z x na F , a mapování P F  : xy je lineární (viz ortogonální doplňky a projekce ). Tento výsledek je zvláště významný v aplikované matematice , zejména numerické analýze , kde tvoří základ metod nejmenších čtverců .

Zejména když F není rovno H , lze najít nenulový vektor v ortogonální k F (vyberte xF a v = x - y ). Velmi užitečným kritériem je vypočtená podle tohoto pozorování do uzavřeného podprostoru F generovaného podmnožina S z H .

Podmnožina S z H se klene nad hustou vektorový podprostor, pokud (a pouze pokud) vektor 0 je jediný vektor vH kolmý na S .

Dualita

Duální prostor H * je prostor všech spojitých lineárních funkcí od prostoru H do základního pole. Nese přirozenou normu, definovanou

Tato norma splňuje paralelogramový zákon , a tak je duální prostor také vnitřním produktovým prostorem, kde lze tento vnitřní produkt definovat z hlediska této duální normy pomocí polarizační identity . Duální prostor je také kompletní, takže je to Hilbertův prostor sám o sobě. Pokud e = ( e i ) iI je úplný ortonormální základ pro H, pak vnitřní součin na duálním prostoru libovolných dvou je

kde všechny ale počitatelně mnoho výrazů v této sérii jsou nulové.

Znázornění Riesz teorém poskytuje výhodnou popis dvojí prostoru. Pro každý prvek u z H , existuje unikátní prvek φ u všech H * , definovaný

kde navíc,

Rieszova reprezentační věta uvádí, že mapa od H do H * definovaná uφ u je surjektivní , což z této mapy činí izometrický antilineární izomorfismus. Takže pro každý prvek φ duálního H * existuje jeden a pouze jeden u φ v H takový, že

pro všechna xH . Vnitřní produkt na duálním prostoru H * splňuje

Obrácení řádu na pravé straně obnoví linearitu v φ z antilinearity u φ . Ve skutečném případě je antilineární izomorfismus od H k jeho duálu ve skutečnosti izomorfismem, a tak skutečné Hilbertovy prostory jsou přirozeně izomorfní k jejich vlastním duálům.

Reprezentativní vektor u φ se získá následujícím způsobem. Když φ ≠ 0 je jádro F = Ker ( φ ) je uzavřený vektor podprostor H , nerovná H , a proto existuje nenulová vektor V kolmý na F . Vektor u je vhodný skalární násobek λv z V . Požadavek, aby φ ( v ) = ⟨ v , u výnosy

Tuto korespondenci φu využívá notový zápis populární ve fyzice . Je běžné, že ve fyzice se domnívat, že skalární součin, označil x | y , je lineární na pravé straně,

Výsledné x | y může být viděn jako působením lineární funkční x | (dále jen podprsenka ) ve vektoru | y (dále KET ).

Rieszova reprezentační věta se v zásadě spoléhá nejen na přítomnost vnitřního produktu, ale také na úplnost prostoru. Ve skutečnosti tato věta naznačuje, že topologický duál jakéhokoli vnitřního produktového prostoru lze identifikovat s jeho dokončením. Bezprostředním důsledkem Rieszovy reprezentační věty je také to, že Hilbertův prostor H je reflexivní , což znamená, že přirozená mapa z H do jeho dvojitého dvojitého prostoru je izomorfismus.

Slabě konvergentní sekvence

V Hilbertově prostoru H , posloupnost { x n } je slabě konvergentní na vektor xH , když

pro každý vH .

Například jakákoli ortonormální sekvence { f n } slabě konverguje k 0, což je důsledek Besselovy nerovnosti . Každá slabě konvergentní sekvence { x n } je ohraničena principem jednotné omezenosti .

Naopak každá ohraničená sekvence v Hilbertově prostoru připouští slabě konvergentní subsekvence ( Alaogluova věta ). Tuto skutečnost lze použít k prokázání výsledků minimalizace pro spojité konvexní funkcionály stejným způsobem, jakým se Bolzano – Weierstrassova věta používá pro spojité funkce na R d . Mezi několika variantami je jedno jednoduché tvrzení následující:

Pokud f  : HR je konvexní spojitá funkce taková, že f ( x ) má tendenci k +∞, když || x || tendenci , pak f připouští alespoň v určitém bodě x 0H .

Tato skutečnost (a její různá zobecnění) jsou zásadní pro přímé metody v variačním počtu . Výsledky minimalizace konvexních funkcionálů jsou také přímým důsledkem poněkud abstraktnější skutečnosti, že uzavřené ohraničené konvexní podmnožiny v Hilbertově prostoru H jsou slabě kompaktní , protože H je reflexivní. Existence slabě konvergentních subsekvencí je zvláštním případem Eberlein – Šmulianovy věty .

Banachovy vesmírné vlastnosti

Jakákoli obecná vlastnost Banachových prostorů nadále platí pro Hilbertovy prostory. Tyto otevřené mapování věta uvádí, že spojitá surjective lineární transformace z jednoho Banachova prostoru do druhého je open mapování což znamená, že pošle otevřené soubory na otevřených souborů. Důsledkem je ohraničená inverzní věta , že spojitá a bijektivní lineární funkce z jednoho Banachova prostoru do druhého je izomorfismus (tj. Spojitá lineární mapa, jejíž inverze je také spojitá). Tuto větu je podstatně jednodušší dokázat v případě Hilbertových prostorů než obecně v Banachových prostorech. Věta o otevřeném mapování je ekvivalentní větě o uzavřeném grafu , která tvrdí, že lineární funkce z jednoho Banachova prostoru do druhého je spojitá tehdy a jen tehdy, pokud je její graf uzavřenou množinou . V případě Hilbertových prostorů je to základní při studiu neomezených operátorů (viz uzavřený operátor ).

(Geometrická) Hahnova – Banachova věta tvrdí, že uzavřenou konvexní množinu lze oddělit od jakéhokoli bodu mimo ni pomocí hyperplany Hilbertova prostoru. To je bezprostředním důsledkem vlastnosti nejlepší aproximace : je -li y prvkem uzavřené konvexní množiny F nejblíže k x , pak je oddělovací hyperplocha rovinou kolmou na segment xy procházející jejím středem.

Operátoři na Hilbertových prostorech

Omezené operátory

Kontinuální lineární operátory  : H 1H 2 z Hilbertova prostoru H 1 do druhého Hilbertova prostoru H 2 jsou vymezené v tom smyslu, že mapování ohraničené sady do omezených množin. Naopak, pokud je operátor ohraničený, pak je spojitý. Prostor takto ohraničených lineárních operátorůnormu , normu operátora danou

Součet a složenina dvou ohraničených lineárních operátorů je opět ohraničený a lineární. Pro y v H 2 , mapy, který odesílá xH 1Ax , y je lineární a spojitá, a podle znázornění Riesz teorém tedy může být zastoupen v podobě

pro nějaký vektor A * y v H 1 . Toto definuje další ohraničený lineární operátor *: H 2H 1 je adjungované z A . Tyto adjoint splňuje ** = A . Pokud je zastoupení Rieszova věta se používá k identifikaci každé místo Hilbertovy s jeho kontinuálním duálním prostoru, adjungované z A, může být prokázáno, že identický s přemístit t A  : H 2 * → H 1 * z A , který podle definice vysílá na funkční

Množina B ( H ) všech ohraničených lineárních operátorů na H (což znamená operátory HH ), společně s operacemi sčítání a skládání, normou a pomocnou operací, je C*-algebra , což je typ operátorové algebry .

Prvek z B ( H ), se nazývá 'self-adjoint' nebo 'Hermitian', pokud * = . Pokud je Hermitian a Ax , x ⟩ ≥ 0 pro každé x , pak se nazývá 'nezáporné', napsal ≥ 0 ; platí -li rovnost pouze tehdy, když x = 0 , pak se A nazývá 'pozitivní'. Sada operátorů s vlastním nastavením připouští částečné pořadí , ve kterém AB, pokud A - B ≥ 0 . Pokud má Forma B * B pro některé B , pak je nezáporná; pokud je B invertibilní, pak A je kladné. Konverzace je také pravdivá v tom smyslu, že pro nezáporný operátor A existuje jedinečná záporná odmocnina B taková, že

V jistém smyslu upřesněném spektrální větou mohou být self-adjoint operátoři užitečně považováni za operátory, kteří jsou „skuteční“. Prvek z B ( H ), se nazývá normální , pokud * = AA * . Normální operátoři se rozloží na součet operátorů s vlastním nastavením a imaginární násobek operátora s vlastním nastavením

které dojíždějí navzájem. Normální operátory lze také užitečně považovat za jejich skutečné a imaginární části.

Prvek U z B ( H ) se nazývá unitární, pokud je U invertibilní a jeho inverze je dána U * . Toto může být také vyjádřen tím, že vyžaduje, že U je na a Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y pro všechna x , yH . Jednotkový operátoři tvoří skupinu podle složení, které je isometry skupiny z H .

Prvek B ( H ) je kompaktní, pokud posílá ohraničené množiny do relativně kompaktních množin. Ekvivalentně je ohraničený operátor T kompaktní, pokud pro jakoukoli ohraničenou posloupnost { x k } má posloupnost { Tx k } konvergentní podposloupnost. Mnoho integrálních operátorů je kompaktních a ve skutečnosti definuje speciální třídu operátorů známých jako Hilbert -Schmidtovy operátory, které jsou zvláště důležité při studiu integrálních rovnic . Operátory Fredholm se liší od kompaktního operátoru násobkem identity a jsou ekvivalentně charakterizovány jako operátory s jádrem a kokerem s konečnou dimenzí . Index operátora Fredholm T je definován

Index je homotopy invariantní a hraje důležitou roli v diferenciální geometrii pomocí indexové věty Atiyah – Singer .

Nevázaní operátoři

Nevázaní operátoři jsou také traktovatelní v Hilbertových prostorech a mají důležité aplikace v kvantové mechanice . Nespoutaný operátor T na Hilbertově prostoru H je definován jako lineární provozovatelem, jehož doména D ( T ) je lineární podprostor H . Doména D ( T ) je často hustým podprostorem H , v takovém případě je T známý jako hustě definovaný operátor .

Adjoint hustě definovaného neomezeného operátoru je definován v podstatě stejným způsobem jako pro ohraničené operátory. V matematických formulacích kvantové mechaniky hrají roli pozorovatelných samozvázaní nevázaní operátoři . Příklady samostatně nastavitelných neomezených operátorů na Hilbertově prostoru L 2 ( R ) jsou:

  • Vhodné rozšíření diferenciálního operátoru
    kde i je imaginární jednotka af je odlišitelná funkce kompaktní podpory.
  • Operátor násobení x :

Ty odpovídají pozorovatelné hybnosti a poloze . Všimněte si, že ani A ani B nejsou definovány pro všechny H , protože v případě A derivát nemusí existovat a v případě B nemusí být součinová funkce čtvercová integrovatelná. V obou případech tvoří množina možných argumentů husté podprostory L 2 ( R ) .

Stavby

Přímé částky

Dva Hilbertovy prostory H 1 a H 2 lze spojit do jiného Hilbertova prostoru, nazývaného (ortogonální) přímý součet , a označeny

skládající se ze sady všech uspořádaných dvojic ( x 1 , x 2 ), kde x iH i , i = 1, 2 , a vnitřního součinu definovaného

Obecněji řečeno, pokud H i je rodina Hilbertových prostorů indexovaných iI , pak přímý součet H i , označený

skládá se ze sady všech indexovaných rodin

v kartézském produktu z H i tak, že

Vnitřní produkt je definován pomocí

Každý z H i je zahrnut jako uzavřený podprostoru v přímém součet všech z H i . Kromě toho jsou H i párově ortogonální. A naopak, pokud existuje systém uzavřených podprostorů, V i , iI , v Hilbertově prostoru H , které jsou párově ortogonální a jejichž spojení je v H husté , pak H je kanonicky izomorfní k přímému součtu V i . V tomto případě se H nazývá vnitřní přímý součet V i . Přímý součet (interní nebo externí) je také vybaven rodinou ortogonálních projekcí E i na i. Přímý součet H i . Tyto projekce jsou ohraničené, samočinné, idempotentní operátory, které splňují podmínku ortogonality

Spektrální věta pro kompaktní operátory vlastním adjungovaných na Hilbertova prostoru H uvádí, že H se rozdělí do ortogonální přímého součtu eigenspaces provozovatele, a také dává explicitní rozklad operátora jako součet výstupků spojováním eigenspaces. Přímý součet Hilbertových prostorů se také objevuje v kvantové mechanice jako Fockův prostor systému obsahujícího proměnný počet částic, kde každý Hilbertův prostor v přímém součtu odpovídá dalšímu stupni volnosti pro kvantově mechanický systém. V teorie reprezentace je Peter-Weyl teorém zaručuje, že každý unitární reprezentace z kompaktní skupiny na Hilbert prostor rozděluje jako přímé součet konečných trojrozměrné reprezentace.

Tenzorové výrobky

Pokud x 1 , y 1H 1 a x 2 , y 2H 2 , pak jeden definuje vnitřní součin na (obyčejném) tenzorovém součinu následujícím způsobem. Na jednoduchých tenzorech nechme

Tento vzorec se pak rozšiřuje o sesquilinearitu na vnitřní produkt na H 1H 2 . Hilbertianský tenzorový produkt H 1 a H 2 , někdy označovaný H 1 H 2 , je Hilbertův prostor získaný vyplněním H 1H 2 pro metriku spojenou s tímto vnitřním produktem.

Příklad poskytuje Hilbertův prostor L 2 ([0, 1]) . Hilbertův tenzorový součin dvou kopií L 2 ([0, 1]) je izometricky a lineárně izomorfní k prostoru L 2 ([0, 1] 2 ) čtvercově integrovatelných funkcí na čtverci [0, 1] 2 . Toto izomorfismus posílá jednoduchý tensor f 1f 2 na funkci

na náměstí.

Tento příklad je typický v následujícím smyslu. Ke každému jednoduchému tenzorovému produktu je x 1x 2 přiřazen operátor první úrovně z H
1
na H 2, která mapuje danou x * ∈ H
1
tak jako

Toto mapování definované na jednoduchých tenzorech se rozšiřuje na lineární identifikaci mezi H 1H 2 a prostorem operátorů konečných řad z H
1
do H 2 . To se rozšiřuje na lineární izometrii Hilbertova tenzorového součinu H 1 H 2 s Hilbertovým prostorem HS ( H
1
, H 2 ),
z operátorů Hilbertova-Schmidt z H
1
do H 2 .

Běžné základy

Pojem ortonormálního základu z lineární algebry zobecňuje na případ Hilbertových prostorů. V Hilbertově prostoru H je ortonormální základ rodina { e k } kB prvků H splňujících podmínky:

  1. Kolmost : Každé dva různé prvky B jsou kolmé: e k , e j ⟩ = 0 pro všechna k , jB s Kj .
  2. Normalizace : Každý prvek rodiny má normu 1: || e k || = 1 pro všechna kB .
  3. Úplnost : Lineární rozpětí rodiny e k , kB , je v H husté .

Soustava vektorů splňující základ prvních dvou podmínek se nazývá ortonormální systém nebo ortonormální sada (nebo ortonormální sekvence, pokud je B počítatelné ). Takový systém je vždy lineárně nezávislý . Úplnost ortonormálního systému vektorů Hilbertova prostoru lze ekvivalentně přepsat jako:

pokud v , e k ⟩ = 0 pro všechna kB a některé vH pak v = 0 .

To souvisí se skutečností, že jediným vektorem kolmým na hustý lineární podprostor je nulový vektor, protože pokud S je jakákoli ortonormální množina a v je ortogonální k S , pak v je ortogonální k uzavření lineárního rozpětí S , které je celý prostor.

Mezi příklady ortonormálních bází patří:

  • množina {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} tvoří ortonormální základ R 3 s bodovým součinem ;
  • posloupnost { f n  : nZ } s f n ( x ) = exp (2π inx ) tvoří ortonormální základ komplexního prostoru L 2 ([0, 1]) ;

V nekonečně dimenzionálním případě nebude ortonormální základ základem ve smyslu lineární algebry ; abychom tyto dva odlišili, druhý základ se také nazývá hamelský základ . Že je rozpětí základních vektorů husté, znamená, že každý vektor v prostoru lze zapsat jako součet nekonečné řady a ortogonalita znamená, že tento rozklad je jedinečný.

Sekvenční mezery

Prostor čtvercových součtových sekvencí komplexních čísel je množina nekonečných sekvencí

reálných nebo komplexních čísel

Tento prostor má ortonormální základ:

Tento prostor je nekonečně dimenzionální generalizace prostoru konečných dimenzionálních vektorů. Obvykle je to první příklad, který ukazuje, že v nekonečně dimenzionálních prostorech není množina, která je uzavřená a ohraničená , nutně (postupně) kompaktní (jak je tomu ve všech konečných dimenzionálních prostorech). Sada ortonormálních vektorů výše to ukazuje: Je to nekonečná posloupnost vektorů v jednotkové kouli (tj. Koule bodů s normou menší nebo rovnou jedné). Tato sada je jasně ohraničená a uzavřená; přesto žádná podsekvence těchto vektorů k ničemu nekonverguje a v důsledku toho není jednotková koule kompaktní. Intuitivně je to proto, že „vždy existuje jiný směr souřadnic“, do kterého se mohou další prvky sekvence vyhnout.

Prostor lze zobecnit mnoha způsoby. Pokud je například B libovolná (nekonečná) množina, pak lze vytvořit Hilbertův prostor sekvencí s indexovou sadou B , definovanou

Součet přes B je zde definován

supremum převzetí všech konečných podskupin  B . Z toho vyplývá, že aby byla tato suma konečná, každý prvek l 2 ( B ) má pouze spočitatelně mnoho nenulových výrazů. Tento prostor se stává Hilbertovým prostorem s vnitřním produktem

pro všechna x , yl 2 ( B ) . Zde má součet také pouze spočitatelně mnoho nenulových výrazů a je bezpodmínečně konvergentní podle Cauchy -Schwarzovy nerovnosti.

Ortonormální základ l 2 ( B ) je indexován množinou B danou

Besselova nerovnost a Parsevalův vzorec

Nechť f 1 , ..., f n je konečná ortonormální systém  H . Pro libovolný vektor xH nechť

Potom x , f k ⟩ = ⟨ y , f k pro každé k = 1, ..., n . Z toho vyplývá, že x - y je ortogonální ke každému f k , tedy x - y je ortogonální k  y . Při použití Pythagorovy identity dvakrát to vyplývá

Nechť { f i }, iI , je libovolný ortonormální systém  H . Aplikování předchozí nerovnosti na každou konečnou podmnožinu J z I dává Besselovu nerovnost:

(podle definice součtu libovolné rodiny nezáporných reálných čísel).

Geometricky Besselova nerovnost znamená, že ortogonální projekce x na lineární podprostor přesahující f i má normu, která nepřekračuje x . Ve dvou dimenzích jde o tvrzení, že délka nohy pravoúhlého trojúhelníku nesmí překročit délku přepony.

Besselova nerovnost je odrazovým můstkem k silnějšímu výsledku zvanému Parsevalova identita , který řídí případ, kdy je Besselova nerovnost ve skutečnosti rovností. Podle definice, pokud { e k } kB je ortonormální báze z H , pak každý prvek x z H , může být zapsán jako

I když je B nepočítatelné, Besselova nerovnost zaručuje, že výraz je dobře definován a skládá se pouze z počitatelně mnoha nenulových výrazů. Tento součet se nazývá Fourierova expanze x , a jednotlivé koeficienty x , e K jsou Fourierovy koeficienty x . Parsevalova identita to pak tvrdí

Naopak, pokud { e k } je ortonormální množina, která Parsevalova identita platí pro každé x , pak { e k } je ortonormální základ.

Hilbertova dimenze

Jako důsledek princip maximality , každý Hilbert prostor připouští orthonormal základ; navíc jakékoli dvě ortonormální báze stejného prostoru mají stejnou mohutnost , nazývanou Hilbertova dimenze prostoru. Například, protože l 2 ( B ) má ortonormální základ indexovaný B , jeho Hilbertova dimenze je mohutnost B (což může být konečné celé číslo nebo počitatelné nebo nepočitatelné základní číslo ).

V důsledku Parseval identity, pokud { e k } kB je ortonormální báze z H , potom se mapa cp: Hl 2 ( B ) je definován cp ( x ) = ⟨x, e kkB je izometrický izomorfismus Hilbertových prostorů: je to bijektivní lineární mapování tak, že

pro všechny x , yH . Číslovka z B je rozměr Hilbertova z H . Každý Hilbertův prostor je tedy pro nějakou množinu B izometricky izomorfní na sekvenční prostor l 2 ( B ) .

Oddělitelné prostory

Podle definice je Hilbertův prostor oddělitelný za předpokladu, že obsahuje hustou počitatelnou podmnožinu. Spolu se Zornovým lemmatem to znamená, že Hilbertův prostor je oddělitelný právě tehdy, pokud připouští spočitatelný ortonormální základ. Všechny nekonečně rozměrné oddělitelné Hilbertovy prostory jsou proto izometricky izomorfní na l 2 .

V minulosti se často vyžadovalo, aby Hilbertovy prostory byly v rámci definice oddělitelné. Většina prostory používané ve fyzice jsou oddělitelné, a protože to všechno jsou isomorphic k sobě, jeden často se odkazuje na jakékoliv nekonečný-rozměrný Hilbertově prostoru jako „ v Hilbertově prostoru“ nebo jen „Hilbertova prostoru“. I v kvantové teorii pole je většina Hilbertových prostorů ve skutečnosti oddělitelná, jak stanoví Wightmanovy axiomy . Někdy se však tvrdí, že v kvantové teorii pole jsou důležité také neoddělitelné Hilbertovy prostory, zhruba proto, že systémy v teorii mají nekonečný počet stupňů volnosti a jakýkoli nekonečný Hilbertův tenzorový součin (prostorů dimenze větších než jedna) je neoddělitelný. Například bosonické pole lze přirozeně považovat za prvek tenzorového produktu, jehož faktory představují harmonické oscilátory v každém bodě prostoru. Z této perspektivy se přirozený stavový prostor bosona může zdát jako neoddělitelný prostor. Je to však jen malý oddělitelný podprostor plného tenzorového produktu, který může obsahovat fyzicky smysluplná pole (na kterých lze definovat pozorovatelné). Další neoddělitelný Hilbertův prostor modeluje stav nekonečné sbírky částic v neomezené oblasti vesmíru. Ortonormální základ prostoru je indexován hustotou částic, což je spojitý parametr, a protože množina možných hustot je nepočitatelná, základ nelze spočítat.

Ortogonální doplňky a projekce

Pokud S je podmnožinou Hilbertova prostoru H , množina vektorů kolmých na S je definována

Množina S je uzavřený podprostor H (lze to snadno dokázat pomocí linearity a spojitosti vnitřního součinu) a tvoří tak Hilbertův prostor. Jestliže V je uzavřený podprostor H , pak V se nazývá ortogonální doplněk z V . Ve skutečnosti může být každé xH zapsáno jednoznačně jako x = v + w , s vV a wV . Proto H je vnitřní Hilbertův přímý součet V a V .

Lineární operátor P V  : HH , která mapuje x do V, se nazývá kolmý průmět na V . Tam je přírodní jedna ku jedné korespondence mezi souborem všech uzavřených podprostorů H a množiny všech ohraničené operátorů s vlastním adjoint P tak, že P 2 = P . Konkrétně

Věta  -  ortogonální projekce P V je samočinný lineární operátor na H normy ≤ 1 s vlastností P2
V
= P V
. Navíc každý s vlastním adjoint lineární operátor E tak, že E 2 = E je ve tvaru P, V , kde V je rozsah E . Pro každý x v H , P, V ( x ) je jedinečný prvek v z V, které minimalizuje vzdálenost || x - v || .

To poskytuje geometrický výklad P V ( x ) : je to nejlepší aproximace x o prvky V .

Projekce P U a P V se nazývají vzájemně ortogonální, pokud P U P V = 0 . Toto je ekvivalent k U a V je kolmý jak podprostorů H . Součet těchto dvou výstupků P U a P V je projekce pouze v případě, U a V jsou navzájem ortogonální, a v tomto případě P U + P V = P U + V . Kompozitní P U P V obecně není projekce; ve skutečnosti, že kompozit je předpoklad, jestliže a pouze v případě, že dva výstupky dojíždět, a v tomto případě P U P V = P UV .

Omezením codomény na Hilbertův prostor V vede ortogonální projekce P V k projekčnímu mapování π  : HV ; je to doplněk mapování začlenění

znamenající, že

pro všechna xV a yH .

Operátorská norma ortogonální projekce P V na nenulový uzavřený podprostor V se rovná 1:

Každý uzavřený podprostor V z Hilbertova prostoru je tedy obraz operátora P o normy jednoho takové, že P 2 = P . Vlastnost příslušných operátorů projekce charakterizuje Hilbertovy prostory:

  • Banachův prostor dimenze vyšší než 2 je (izometricky) Hilbertův prostor právě tehdy, pokud pro každý uzavřený podprostor V existuje operátor P V normálu, jehož obraz je V takový, že P2
    V
    = P V
    .

Zatímco tento výsledek charakterizuje metrickou strukturu Hilbertova prostoru, strukturu Hilbertova prostoru jako topologického vektorového prostoru lze charakterizovat z hlediska přítomnosti komplementárních podprostorů:

  • Banachův prostor X je topologicky a lineárně izomorfní Hilbert prostoru tehdy a jen tehdy, když se každý uzavřený podprostoru V , je uzavřený podprostor W tak, že X je rovna vnitřní přímý součet VW .

Ortogonální doplněk splňuje některé elementárnější výsledky. Je to monotónní funkci v tom smyslu, že když UV , pak V U přídržnými rovnosti tehdy a pouze tehdy, když V je obsažena v uzávěru z U . Tento výsledek je zvláštním případem Hahnovy -Banachovy věty . Uzavření podprostoru lze zcela charakterizovat z hlediska ortogonálního komplementu: je -li V podprostor H , pak je uzavření V rovno V ⊥⊥ . Ortogonální doplněk je tedy Galoisovým spojením na částečném pořadí podprostorů Hilbertova prostoru. Obecně je ortogonální doplněk součtu podprostorů průsečíkem ortogonálních doplňků:

Pokud jsou V i navíc uzavřené, pak

Spektrální teorie

Existuje dobře rozvinutá spektrální teorie pro operátory s vlastním adjunktem v Hilbertově prostoru, která je zhruba analogická studiu symetrických matic nad realitami nebo self-adjoint matic nad komplexními čísly. Ve stejném smyslu je možné získat „diagonalizaci“ samozatíženého operátoru jako vhodný součet (vlastně integrál) operátorů ortogonální projekce.

Spektrum operátora T , označený σ ( T ) , je množina komplexních čísel Á , jako, že T - λ postrádá kontinuální inverzní. Pokud je T ohraničené, pak je spektrum vždy kompaktní množinou v komplexní rovině a leží uvnitř disku | z | ≤ || T || . Je-li T samoadjunkční, pak je spektrum skutečné. Ve skutečnosti je obsažen v intervalu [ m , M ] kde

Kromě toho jsou m a M ve skutečnosti obsaženy ve spektru.

Vlastní prostory operátora T jsou dány vztahem

Na rozdíl od konečných matic, ne každý prvek spektra T musí být vlastní hodnotou: lineárnímu operátoru T - λ může chybět pouze inverze, protože není surjektivní. Prvky spektra operátora v obecném smyslu jsou známé jako spektrální hodnoty . Protože spektrální hodnoty nemusí být vlastní čísla, je spektrální rozklad často jemnější než v konečných rozměrech.

Nicméně, spektrální věta provozovatele vlastním adjoint T má zvláště jednoduchou formu, pokud kromě toho, T se předpokládá, že je kompaktní operátor . Spektrální věta pro kompaktní self-adjungovaných operátorů uvádí:

  • Kompaktní samočinný operátor T má pouze spočetně (nebo konečně) mnoho spektrálních hodnot. Spektrum T nemá v komplexní rovině žádný limitní bod s výjimkou nuly. Vlastní prostory T rozkládají H na ortogonální přímý součet:
    Navíc, pokud E λ označuje ortogonální projekci na vlastní prostor H λ , pak
    kde součet konverguje vzhledem k normě na B ( H ) .

Tato věta hraje zásadní roli v teorii integrálních rovnic , protože mnoho integrálních operátorů je kompaktních, zejména těch, které vyplývají z Hilbert -Schmidtových operátorů .

Obecná spektrální věta pro operátory s vlastním adjunktem zahrnuje jakýsi Riemann-Stieltjesův integrál oceňovaný operátorem , spíše než nekonečné shrnutí. Spektrální rodina spojen s T přidružených ke každé reálné číslo Á s operátor E Á , což je výstupek na nullspace operátora ( T - λ ) + , kde je pozitivní část provozovatele vlastním adjoint je definován

Operátory E λ jsou monotónně rostoucí vzhledem k dílčímu pořadí definovanému na self-adjoint operátorech; vlastní čísla přesně odpovídají nespojitostem skoku. Jeden má spektrální větu, která tvrdí

Integrál je chápán jako Riemann -Stieltjesův integrál, konvergentní s ohledem na normu na B ( H ) . Zejména má člověk obyčejnou skalární integrální reprezentaci

Poněkud podobný spektrální rozklad platí pro normální operátory, přestože protože spektrum nyní může obsahovat nereálná komplexní čísla, musí být místo toho Stieltjesova míra d E λ nahrazena rozlišením identity .

Hlavní aplikací spektrálních metod je věta o spektrálním mapování , která umožňuje aplikovat na samopříslušný operátor T jakoukoli spojitou komplexní funkci f definovanou ve spektru T vytvořením integrálu

Výsledný spojitý funkční počet má aplikace zejména pro pseudodiferenciální operátory .

Spektrální teorie neomezených operátorů s vlastním adjunktem je jen okrajově obtížnější než pro omezené operátory. Spektrum nevázaného operátoru je definováno přesně stejným způsobem jako pro omezené operátory: λ je spektrální hodnota, pokud je operátor resolventu

nedokáže být dobře definovaným spojitým operátorem. Samospojitelnost T stále zaručuje, že spektrum je skutečné. Základní myšlenkou práce s neomezenými operátory je tedy podívat se místo toho na rozlišení R λ, kde λ je nereálné. To je ohraničená normální operátor, který připouští spektrální reprezentaci, která může být potom převedena na spektrální reprezentaci T samotného. Podobná strategie se používá například ke studiu spektra Laplaceova operátoru: namísto přímého oslovení operátora vypadá jeden jako přidružené řešení, jako je Rieszův potenciál nebo Besselův potenciál .

Přesná verze spektrální věty v tomto případě zní:

Vzhledem k hustě definovanému samočinnému operátoru T na Hilbertově prostoru H odpovídá jedinečné rozlišení identity E na Borelských sadách R , takže
pro všechny xD ( T ) a yH . Spektrální opatření E je zaměřena na spektru T .

Existuje také verze spektrální věty, která platí pro neomezené normální operátory.

V populární kultuře

Thomas Pynchon ve svém románu Gravitační duha z roku 1973 představil fiktivní postavu Sammy Hilbert-Spaess (slovní hříčka na téma „Hilbert Space“) . Hilbert-Spaess je nejprve popisován jako „všudypřítomný dvojitý agent“ a později jako „alespoň dvojitý agent“. Román dříve odkazoval na práci vět německých matematiků Kurta Gödela o věcech o neúplnosti , které ukázaly, že Hilbertův program , Hilbertův formalizovaný plán sjednotit matematiku do jediné sady axiomů, nebyl možný.

Viz také

Poznámky

Poznámky

Reference

externí odkazy