Hill Sphere - Hill sphere

Obrysový diagram efektivního potenciálu systému dvou těl v důsledku gravitace a setrvačnosti v jednom časovém bodě. Sféry Hill jsou kruhové oblasti obklopující dvě velké masy.

Hill koule z astronomické těla je oblast, ve které dominuje přitažlivost satelitů . Vnější plášť této oblasti tvoří povrch s nulovou rychlostí . Aby si Měsíc udržel planetu , musí mít oběžnou dráhu, která leží uvnitř sféry Hill na planetě. Ten měsíc by zase měl vlastní vrcholovou sféru. Jakýkoli předmět v této vzdálenosti by měl tendenci stát se satelitem měsíce, nikoli samotné planety. Jeden jednoduchý pohled na rozsah sluneční soustavy je Hillova sféra Slunce s ohledem na místní hvězdy a galaktické jádro .

Přesněji řečeno, Hillova sféra se přibližuje gravitační sféře vlivu menšího tělesa tváří v tvář poruchám z masivnějšího tělesa. Definoval ji americký astronom George William Hill na základě práce francouzského astronoma Édouarda Roche .

V příkladu vpravo se koule Zemského vrchu rozprostírá mezi Lagrangeovými body L 1 a L 2 , které leží podél linie středů obou těles (Země a Slunce). Oblast vlivu druhého tělesa je v tomto směru nejkratší, a proto působí jako omezující faktor velikosti Hillovy koule. Za touto vzdáleností by třetí objekt na oběžné dráze kolem druhého (např. Měsíc) strávil alespoň část své oběžné dráhy mimo sféru Hill a byl by postupně narušován přílivovými silami centrálního tělesa (např. Slunce), popř. skončí na oběžné dráze druhého.

Vzorec a příklady

Porovnání Hillových sfér a Rocheových limitů systému Slunce-Země-Měsíc (ne v měřítku) se stínovanými oblastmi označujícími stabilní oběžné dráhy satelitů každého tělesa

Je-li hmotnost menší tělesa (např Země) je , a to obíhá těžší tělo (např Sun) hmoty s hlavní poloosy a výstřednost o , pak je poloměr of the Hill sféře menšího těla, vypočtená v pericentru je přibližně

Když je výstřednost zanedbatelná (nejpříznivější případ stability orbity), stane se to

V příkladu Země-Slunce Země (5,97 × 10 24 kg) obíhá kolem Slunce (1,99 × 10 30 kg) ve vzdálenosti 149,6 milionů km, neboli jedné astronomické jednotce (AU). Hill sphere pro Zemi se tak rozkládá na zhruba 1,5 milionu km (0,01 AU). Oběžná dráha Měsíce ve vzdálenosti 0,384 milionu km od Země se pohodlně nachází v gravitační sféře vlivu Země, a proto nehrozí, že by byla stažena na nezávislou oběžnou dráhu kolem Slunce. Všechny stabilní satelity Země (ty, které jsou ve sféře Zemského pahorku) musí mít oběžnou dobu kratší než sedm měsíců.

Předchozí vzorec (ignorující excentricitu) lze znovu uvést následovně:

To vyjadřuje vztah z hlediska objemu Hillské sféry ve srovnání s objemem oběžné dráhy druhého těla kolem prvního; konkrétně je poměr hmotností trojnásobkem poměru objemu těchto dvou koulí.

Derivace

Výraz pro Hillův poloměr lze nalézt porovnáním gravitačních a odstředivých sil působících na testovanou částici (o hmotnosti mnohem menší než ) obíhající kolem sekundárního tělesa. Předpokládejme, že vzdálenost mezi hmotami a je a že testovaná částice obíhá ve vzdálenosti od sekundární. Když je testovaná částice na přímce spojující primární a sekundární těleso, vyžaduje to silová rovnováha

kde je gravitační konstanta a ( keplerovská ) úhlová rychlost sekundárního kolem primárního (za předpokladu, že ). Výše uvedenou rovnici lze také zapsat jako

které lze pomocí binomické expanze do vedoucího řádu zapsat jako

Vztah je tedy uveden výše

Pokud je oběžná dráha sekundární části okolo primární eliptická, poloměr Hill je maximální v apocentru , kde je největší, a minimální v pericentru oběžné dráhy. Proto je pro účely stability testovaných částic (například malých satelitů) třeba vzít v úvahu Hillův poloměr v pericentrické vzdálenosti. Pro vedení pořadí , poloměr Hill výše také reprezentuje vzdálenost Lagrangeova bodu L 1 od sekundární.

Rychlý způsob odhadu poloměru Hillovy sféry pochází z nahrazení hmoty hustotou ve výše uvedené rovnici:

kde a jsou průměrné hustoty primárních a sekundárních těl a jsou jejich poloměry. Druhá aproximace je odůvodněna skutečností, že ve většině případů ve sluneční soustavě se shodou okolností blíží jedné. (Systém Země – Měsíc je největší výjimkou a tato aproximace je u většiny satelitů Saturnu do 20%.) To je také výhodné, protože mnoho planetárních astronomů pracuje a pamatuje si vzdálenosti v jednotkách planetárních poloměrů.

Skutečná oblast stability

Hillova sféra je pouze přibližná a jiné síly (jako je radiační tlak nebo Yarkovsky efekt ) mohou nakonec vyrušit předmět z koule. Tento třetí objekt by měl být také dostatečně malý, aby svou vlastní gravitací nezpůsoboval žádné další komplikace. Podrobné numerické výpočty ukazují, že oběžné dráhy na kopci nebo přímo v ní nejsou dlouhodobě stabilní; zdá se, že stabilní satelitní oběžné dráhy existují pouze uvnitř 1/2 až 1/3 poloměru Hill. Oblast stability pro retrográdní oběžné dráhy ve velké vzdálenosti od primární je větší než oblast pro progresivní oběžné dráhy ve velké vzdálenosti od primární. To mělo vysvětlit převahu retrográdních měsíců kolem Jupitera; Saturn má však rovnoměrnější směs retrográdních/prográdních měsíců, takže důvody jsou složitější.

Další příklady

Astronaut nemohl obletět raketoplán (o hmotnosti 104 tun ), kde byla oběžná dráha 300 km nad Zemí, protože jeho vrcholová koule v této výšce měla poloměr pouze 120 cm, mnohem menší než samotný raketoplán. Koule této velikosti a hmotnosti by byla hustší než olovo. Ve skutečnosti musí být sférické těleso na každé nízké oběžné dráze Země hustší než olovo, aby se vešlo do své vlastní Hillské sféry, jinak nebude schopné oběžnou dráhu unést. Sférický geostacionární satelit by však na podporu vlastních satelitů potřeboval pouze více než 6% hustoty vody.

Ve sluneční soustavě je planeta s největším poloměrem kopce Neptun se 116 miliony km nebo 0,775 au; jeho velká vzdálenost od Slunce dostatečně kompenzuje jeho malou hmotnost vzhledem k Jupiteru (jehož vlastní poloměr Hill měří 53 milionů km). Asteroid z pásu asteroidů budou mít Hill koule, která může dosáhnout 220.000 km (pro 1 Ceres ), rapidně klesá se snižující se hmotností. Sféra Hill 66391 Moshup , asteroid křižující Merkur, který má měsíc (pojmenovaný Squannit), měří v poloměru 22 km.

Typický extrasolárníhorký Jupiter “, HD 209458 b , má poloměr Hill sphere 593 000 km, což je zhruba osmkrát jeho fyzický poloměr přibližně 71 000 km. I ta nejmenší blízká extrasolární planeta, CoRoT-7b , má stále poloměr Hill sphere (61 000 km), což je šestinásobek jejího fyzického poloměru (přibližně 10 000 km). Proto by tyto planety mohly mít blízko malé měsíce, i když ne v rámci svých příslušných limitů Roche .

Sluneční Soustava

Následující tabulka a logaritmický graf ukazují poloměr Hillových sfér některých těles sluneční soustavy vypočítaný podle prvního vzorce uvedeného výše (včetně orbitální excentricity), s použitím hodnot získaných z efemeridy JPL DE405 a z webu NASA Solar System Exploration.

Radius of the Hill sféry některých těles sluneční soustavy
Tělo Milion km au Poloměry těla
Rtuť 0,1753 0,0012 71,9
Venuše 1,0042 0,0067 165,9
Země 1,4714 0,0098 230,7
Mars 0,9827 0,0066 289,3
Jupiter 50,5736 0,3381 707,4
Saturn 61,6340 0,4120 1022,7
Uran 66,7831 0,4464 2613,1
Neptune 115,0307 0,7689 4644,6
Ceres 0,2048 0,0014 433,0
Pluto 5,9921 0,0401 5048,1
Eris 8,1776 0,0543 6979,9
Logaritmický graf Hill poloměrů pro tělesa sluneční soustavy.

Viz také

Reference

externí odkazy