Holomorfní funkce - Holomorphic function

Obdélníková mřížka (nahoře) a její obrázek pod konformní mapou

f

(dole).

V matematice, holomorphic funkce je komplexní hodnotou funkce jednoho nebo více komplexních proměnných, které je složité diferencovatelná v okolí každého bodu v doméně v komplexu souřadnicovém prostoru $C n$ . Existence komplexního derivátu v sousedství je velmi silnou podmínkou: znamená to, že holomorfní funkce je nekonečně odlišitelná a místně stejná jako její vlastní Taylorova řada ( analytická ). Holomorfní funkce jsou ústředními objekty studia v komplexní analýze .

Ačkoli termín analytická funkce je často používán zaměnitelně s „holomorfní funkcí“, slovo „analytický“ je definováno v širším smyslu pro označení jakékoli funkce (skutečné, komplexní nebo obecnějšího typu), kterou lze zapsat jako konvergentní mocninnou řadu v sousedství každého bodu v jeho doméně . Že všechny holomorfní funkce jsou komplexní analytické funkce a naopak, je hlavní větou v komplexní analýze .

Holomorfní funkce jsou také někdy označovány jako pravidelné funkce . Holomorfní funkce, jejíž doménou je celá komplexní rovina, se nazývá celá funkce . Fráze „holomorfní v bodě $z 0$ “ znamená nejen diferencovatelná v $z 0$ , ale diferencovatelná všude v určitém sousedství $z 0$ v komplexní rovině.

Definice

Funkce

f (z) = z̅

není komplexně diferencovatelná na nule, protože, jak je uvedeno výše, hodnota

f (z) - f (0) / z - 0 se

mění v závislosti na směru, ze kterého se k nule přistupuje. Podél reálné osy se

f

rovná funkci

g (z) = z

a mez je

1

, zatímco na imaginární ose se

f

rovná

h (z) = - z

a mez je

-1

. Jiné směry přinášejí ještě další limity.

Vzhledem k tomu, komplexní hodnotou funkce $f$ z jediné komplexní proměnné je derivát z $F$ v bodě $Z 0$ ve svém oboru je definována limitem

{\ Displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ to z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ over z-z_ {0}}.}

To je stejné jako definice derivace pro reálné funkce , kromě toho, že všechny veličiny jsou složité. Zejména je limit brán jako komplexní číslo $z$ blížící se $z 0$ a musí mít stejnou hodnotu pro jakoukoli sekvenci komplexních hodnot pro $z,$ které se blíží $z 0$ v komplexní rovině. Pokud limit existuje, říkáme, že $f$ je komplexně diferencovatelný v bodě $z 0$ . Tento koncept komplexní odlišnosti sdílí několik vlastností se skutečnou odlišností : je lineární a řídí se součinovým pravidlem , kvocientovým pravidlem a řetězovým pravidlem .

Jestliže $f$ je komplex diferencovatelná v každém bodě $Z 0$ na otevřené množině $U$ , říkáme, že $f$ je holomorphic na $U$ . Říkáme, že $f$ je v bodě $z 0$ holomorfní, pokud $f$ je komplexně diferencovatelný v nějakém sousedství $z 0$ . Řekneme, že $f$ je holomorfní v nějakém non-open set $A$ pokud je holomorfní v okolí města $A$ . Jako patologický příklad není funkce dána $f (z) = | z | 2$ je komplexně diferencovatelný přesně v jednom bodě ( $z 0 = 0$ ), a z tohoto důvodu není holomorfní v $0,$ protože kolem $0$ neexistuje otevřená množina, na které je $f$ komplexně diferencovatelná.

Vztah mezi skutečnou diferencovatelností a komplexní diferencovatelností je následující: Pokud je komplexní funkce $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ holomorfní, pak $u$ a $v$ mají první parciální derivace vzhledem k $x$ a $y$ , a splňují Cauchy -Riemannovy rovnice :

{\ Displaystyle {\ frac {\ částečný u} {\ částečný x}} = {\ frac {\ částečný v} {\ částečný y}} \ qquad {\ mbox {a}} \ qquad {\ frac {\ částečný u } {\ částečné y}} =-{\ frac {\ částečné v} {\ částečné x}} \,}

nebo, ekvivalentně Wirtinger derivát o $f$ s ohledem na $Z$ je komplexní konjugát ze $Z$ , je nulový:

{\ displaystyle {\ frac {\ částečný f} {\ částečný {\ overline {z}}}} = 0,}

což znamená, že zhruba je $f$ funkčně nezávislé na $z̅$ komplexního konjugátu $z$ .

Není -li dána kontinuita, opak nemusí být nutně pravdivý. Jednoduchý opak je, že pokud $u$ a $v$ mají spojité první parciální derivace a splňují Cauchy -Riemannovy rovnice, pak $f$ je holomorfní. Uspokojivější konverzací, kterou je mnohem těžší dokázat, je Loomanova -Menchoffova věta : pokud $f$ je spojité, $u$ a $v$ mají první parciální derivace (ale ne nutně spojité) a splňují Cauchy -Riemannovy rovnice, pak $f$ je holomorfní.

Terminologie

Termín holomorfní zavedli v roce 1875 Charles Briot a Jean-Claude Bouquet , dva studenti Augustina-Louise Cauchyho , a pochází z řeckého ὅλος ( hólos ), což znamená „celek“, a μορφή ( morphḗ ), což znamená „forma“ nebo „vzhled“ nebo „typ“, na rozdíl od termínu meromorfní odvozené od μέρος ( Meros ) znamená „část“. Holomorfní funkce se podobá celé funkci („celé“) v oblasti komplexní roviny, zatímco meromorfní funkce (definovaná jako holomorfní kromě určitých izolovaných pólů ) připomíná racionální zlomek („část“) celých funkcí v doméně složitého letadla. Cauchy místo toho použil termín synektický .

Dnes je někdy upřednostňován termín „holomorfní funkce“ před „analytickou funkcí“. Důležitým výsledkem komplexní analýzy je, že každá holomorfní funkce je komplexní analytická, což z definic zjevně nevyplývá. Výraz „analytický“ je však také široce používán.

Vlastnosti

Protože komplexní diferenciace je lineární a řídí se součinem, kvocientem a řetězcovými pravidly, součty, produkty a složení holomorfních funkcí jsou holomorfní a podíl dvou holomorfních funkcí je holomorfní všude tam, kde jmenovatel není nula. To znamená, že pokud jsou funkce $f$ a $g$ holomorfní v doméně $U$ , pak jsou také $f + g$ , $f - g$ , $f g$ a $f \circ g$ . Kromě toho je $f / g$ holomorfní, pokud $g$ nemá nuly v $U$ , nebo je jinak meromorfní .

Pokud někdo identifikuje $C$ se skutečnou rovinou $R 2$ , pak se holomorfní funkce shodují s funkcemi dvou reálných proměnných se spojitými prvními derivacemi, které řeší Cauchy -Riemannovy rovnice , sadu dvou parciálních diferenciálních rovnic .

Každou holomorfní funkci lze rozdělit na její skutečnou a imaginární část $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ a každá z nich je harmonickou funkcí na $R 2$ (každá splňuje Laplaceovu rovnici $\nabla 2 u = \nabla 2 v = 0$ ), s $v$ v harmonické konjugát z $u$ . Naopak každá harmonická funkce $u (x, y)$ na jednoduše připojené doméně $Ω \subset R 2$ je skutečnou součástí holomorfní funkce: Pokud $v$ je harmonický konjugát $u$ , jedinečný až do konstanty, pak $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ je holomorfní.

Cauchyova integrální věta znamená, že obrysový integrál každé holomorfní funkce ve smyčce zmizí:

{\ Displaystyle \ mast _ {\ gamma} f (z) \, dz = 0.}

Zde $γ$ je opravitelná cesta v jednoduše připojené komplexní doméně $U \subset C,$ jejíž počáteční bod se rovná jejímu koncovému bodu, a $f : U \to C$ je holomorfní funkce.

Cauchyův integrální vzorec uvádí, že každá holomorfní funkce uvnitř disku je zcela určena jeho hodnotami na hranici disku. Dále: Předpokládejme, že $U \subset C$ je komplexní doména, $f : U \to C$ je holomorfní funkce a uzavřený disk $D = {z : | z - z 0 | \leq r}$ je zcela obsažena v $U$ . Nechť $γ$ být kruh tvořící hranici z $D$ . Pak pro každé $A$ v interiéru části $D$ :

{\ Displaystyle f (a) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ mast _ {\ gamma} {\ frac {f (z)} {za}} \, dz}

kde obrysový integrál se bere proti směru hodinových ručiček .

Derivát $f ‍'(a)$ lze zapsat jako obrysový integrál pomocí Cauchyova diferenciačního vzorce :

{\ Displaystyle f '(a) = {1 \ over 2 \ pi i} \ mast _ {\ gamma} {f (z) \ over (za)^{2}} \, dz,}

pro jakoukoli jednoduchou smyčku pozitivně se vinoucí jednou kolem $a$ , a

{\ Displaystyle f '(a) = \ lim \ limits _ {\ gamma \ to a} {\ frac {i} {2 {\ mathcal {A}} (\ gamma)}} \ mast _ {\ gamma} f (z) \, d {\ bar {z}},}

pro nekonečně malé pozitivní smyčky $γ$ kolem $a$ .

V oblastech, kde první derivace není nula, jsou holomorfní funkce konformní : zachovávají úhly a tvar (ale ne velikost) malých postav.

Každá holomorfní funkce je analytická . To znamená, že holomorfní funkce $f$ má deriváty každého řádu v každém bodě $a$ ve své doméně a shoduje se s vlastní Taylorovou řadou v $a$ v sousedství $a$ . Ve skutečnosti, $f$ se shoduje s jeho Taylorovy řady v v každém disku, se středem v tomto bodě a, ležící v oblasti funkce.

Z algebraického hlediska je množina holomorfních funkcí na otevřené množině komutativním prstencem a komplexním vektorovým prostorem . Navíc sada holomorfních funkcí v otevřené množině $U$ je integrální domény v případě, a to pouze v případě, otevřené množiny $U$ je připojen. Ve skutečnosti je to místně konvexní topologický vektorový prostor , přičemž seminormy jsou suprema na kompaktních podmnožinách .

Z geometrické perspektivy je funkce $f$ holomorfní při $z 0 právě$ tehdy, když její vnější derivace $df$ v sousedství $U$ z $z 0$ se rovná $f ‍'(z) dz$ pro nějakou spojitou funkci $f ‍'$ . Vyplývá to z

{\ Displaystyle \ textstyle 0 = d^{2} f = d (f^{\ prime} dz) = df^{\ prime} \ wedge dz}

že $df ‍'$ je také úměrné $dz$ , což znamená, že derivát $f ‍'$ je sám holomorfní, a proto je $f$ nekonečně diferencovatelný. Podobně, $d (f dz) = f ‍ " dz \land dz = 0$ znamená, že nějaká funkce $f$ , která je holomorphic na jednoduše připojené oblasti $U$ je integrovatelná na $U$ .

(Pro cestu $γ$ od $z 0$ do $z$ ležící zcela v $U$ , definujte ve světle Jordanovy věty o křivce a zobecněné Stokesovy věty , $F$ $γ$ $($ $z$ $)$ je nezávislá na konkrétní volbě cesty $γ$ , a tedy $F$ $($ $z$ $)$ je dobře definovaná funkce na $U$ s $F$ $($ $z$ $0$ $) =$ $F$ $0$ a $dF$ $=$ $f dz$ .) ${\ textstyle F _ {\ gamma} (z) = F_ {0}+\ int _ {\ gamma} f \, dz;}$

Příklady

Všechny polynomické funkce v $z$ s komplexními koeficienty jsou celé funkce (holomorfní v celé komplexní rovině $C$ ), stejně jako exponenciální funkce $exp z$ a goniometrické funkce a (srov. Eulerův vzorec ). Hlavní větev na komplexní logaritmus funkce $log$ $Z$ je holomorphic na domény $C$ $\$ ${$ $z$ $\in$ $R$ $: z \leq 0}.$ Funkci odmocniny lze definovat jako a je tedy holomorfní, ať je $log$ logaritmu $log$ $z$ . Reciproční funkce $1 /$ $z$ je holomorphic na $C$ $\ {0}.$ (Vzájemná funkce a jakákoli jiná racionální funkce je na $C.$ meromorfní .) ${\ textstyle \ cos {z} = {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ exp (iz)+\ exp (-iz) {\ bigr)}}$ ${\ textstyle \ sin {z} =-{\ tfrac {1} {2}} i {\ bigl (} \ exp (iz)-\ exp (-iz) {\ bigr)}}$ ${\ textstyle {\ sqrt {z}} = \ exp {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} \ log z {\ bigr)}}$

V důsledku Cauchy-Riemannových rovnic musí být jakákoli holomorfní funkce s reálnou hodnotou konstantní . Proto je absolutní hodnota $| z |$ Je argumentace $arg (z)$ je reálná část $Re (z)$ a imaginární část $Im (z)$ nejsou holomorphic. Dalším typickým příkladem spojité funkce, která není holomorfní, je komplexní konjugát $z̅ .$ (Složitý konjugát je antiholomorfní .)

Několik proměnných

Definice holomorfní funkce zobecňuje na několik složitých proměnných přímým způsobem. Nechť $D$ být polydisk a také označují otevřenou podmnožinu $C n$ , a nechat $f : D \to C$ . Funkce $f$ je analytická v bodě $p$ v $D,$ pokud existuje otevřené sousedství $p,$ ve kterém se $f$ rovná konvergentní výkonové řadě v $n$ komplexních proměnných. Definujte $f$ jako holomorfní, pokud je analytický v každém bodě jeho domény. Osgoodovo lemma ukazuje (pomocí vícerozměrného Cauchyho integrálního vzorce), že pro spojitou funkci $f$ je to ekvivalentní tomu, že $f$ je holomorfní v každé proměnné zvlášť (to znamená, že pokud jsou pevné $n - 1$ souřadnice, pak omezení $f$ je holomorfní funkce zbývající souřadnice). Mnohem hlubší Hartogsova věta dokazuje, že hypotéza kontinuity je zbytečná: $f$ je holomorfní právě tehdy, je -li holomorfní v každé proměnné zvlášť.

Obecněji řečeno, funkce několika komplexních proměnných, která je čtvercově integrovatelná přes každou kompaktní podmnožinu její domény, je analytická právě tehdy, pokud splňuje Cauchyho -Riemannovy rovnice ve smyslu distribucí.

Funkce několika komplexních proměnných jsou v některých základních směrech komplikovanější než funkce jedné komplexní proměnné. Například oblast konvergence výkonové řady nemusí být nutně otevřená koule; tyto oblasti jsou logaritmicky konvexní Reinhardtovy domény , jejichž nejjednodušším příkladem je polydisk . Přicházejí však také s některými zásadními omezeními. Na rozdíl od funkcí jediné komplexní proměnné jsou možné domény, na kterých existují holomorfní funkce, které nelze rozšířit na větší domény, velmi omezené. Takové sadě se říká doména holomorphy .

Komplex rozdíl $(p, 0)$ -forma $α$ je holomorphic tehdy a jen tehdy, pokud jeho antiholomorphic Dolbeault derivát je nula, $\partial α = 0$ .

Rozšíření funkční analýzy

Koncept holomorfní funkce lze rozšířit na nekonečné dimenzionální prostory funkční analýzy . Například derivát Fréchet nebo Gateaux lze použít k definování pojmu holomorfní funkce v Banachově prostoru nad polem komplexních čísel.

Viz také

Reference

Další čtení

Blakey, Joseph (1958). Univerzitní matematika (2. vyd.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110 .

externí odkazy

"Analytická funkce" , Encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects