Teorie homotopy - Homotopy theory
V matematice , homotopy teorie je systematické studium situací, ve kterých mapy přicházejí s homotopie mezi nimi. Vzniklo jako téma v algebraické topologii, ale dnes je studováno jako samostatná disciplína. Kromě algebraické topologie se teorie používá také v jiných oblastech matematiky, jako je algebraická geometrie (např. Teorie homotopy Al ) a teorie kategorií (konkrétně studium vyšších kategorií ).
Koncepty
Prostory a mapy
V teorii homotopy a algebraické topologii označuje slovo „prostor“ topologický prostor . Aby se zabránilo patologiím , pracuje se málokdy s libovolnými mezerami; místo toho je třeba, aby mezery splňovaly další omezení, například kompaktní generování , Hausdorff nebo komplex CW .
Ve stejném duchu jako výše je „ mapa “ spojitá funkce, možná s některými dalšími omezeními.
Často se pracuje s špičatým prostorem - tedy s prostorem s „rozlišovacím bodem“, který se nazývá základní bod. Špičatá mapa je pak mapa, která zachovává základní body; to znamená, že posílá základní bod domény do bodu codomain. Naproti tomu bezplatná mapa je ta, která nemusí zachovávat základní body.
Homotopy
Dovolte mi označit jednotkový interval. Rodina map indexovaných I , se nazývá Homotopie ze se , pokud je mapa (např musí být spojitá funkce ). Když X , Y jsou špičaté mezery, jsou nutné k zachování základních bodů. Homotopii lze ukázat jako vztah ekvivalence . Vzhledem k tomu, špičatý prostor X a číslo , ať se na Homotopie třídy map založených z a (špičatá) n -sphere na X . Jak se ukázalo, jsou to skupiny ; zejména se nazývá základní skupiny z X .
Jestliže jeden dává přednost práci s prostorem místo špičatého prostoru, je ponětí o základní grupoidu (a vyšších variant): podle definice je zásadní grupoid vesmírné X je kategorie , kde objekty jsou body X a že morfizmy jsou cesty.
Cofibration and fibration
Mapa se nazývá kofibrace, pokud je dána (1) mapa a (2) homotopie , existuje homotopie, která se rozšiřuje a tak dále . Do jisté míry je to analogie definičního diagramu injektivního modulu v abstraktní algebře . Nejzákladnějším příkladem je pár CW ; protože mnoho z nich pracuje pouze s CW komplexy, pojem kofibrace je často implicitní.
Fibration ve smyslu Serre je dvojí představa cofibration: to znamená, že mapa je fibration jestliže daný (1) mapy a (2) homotopy , existuje homotopy tak, aby se dal dnes a . Základní příklad je krycí mapa (fibrace je ve skutečnosti zobecněním krycí mapy). Pokud jde o hlavní G- svazek , tj. Prostor s volnou a přechodnou (topologickou) skupinovou akcí ( topologické ) skupiny, pak je projekční mapa příkladem fibrace.
Klasifikace mezer a operace homotopy
Vzhledem k tomu, topologický skupina G je třídění prostor pro hlavní G -bundles (dále jen „“ až ekvivalence) je prostor tak, že pro každý prostor X ,
- {hlavní G- svazek v X } / ~
kde
- levá strana je soubor tříd homotopy map ,
- ~ označuje izomorfismus svazků a
- = je dáno stažením rozlišujícího balíčku na (nazývaného univerzální balíček) podél mapy .
Brownova věta o reprezentovatelnosti zaručuje existenci klasifikačních prostorů.
Spektrum a obecná kohomologie
Myšlenku, že klasifikační prostor klasifikuje hlavní svazky, lze posunout dále. Mohl by se například pokusit klasifikovat třídy cohomologie: vzhledem k abelianské skupině A (například ),
kde je prostor Eilenberg – MacLane . Výše uvedená rovnice vede k pojmu zobecněné teorie kohomologie; tj. kontravariantní funktor z kategorie prostorů do kategorie abelianských skupin, který splňuje axiomy zobecňující běžnou teorii kohomologie. Jak se ukázalo, takový funktor nemusí být reprezentovatelný mezerou, ale vždy jej může představovat posloupnost (špičatých) prostorů se strukturními mapami nazývanými spektrum. Jinými slovy, dát zobecněnou teorii cohomologie znamená dát spektrum.
Základním příkladem spektra je sférické spektrum :
Klíčové věty
- Věta Seifert – van Kampen
- Věta o excizi homotopy
- Freudenthalův věta o zavěšení (důsledek věty o excizi)
- Věta o přesném funktoru Landweber
- Dold – Kan korespondence
- Argument Eckmann – Hilton - to ukazuje, že například vyšší skupiny homotopy jsou abelianské .
- Věta o univerzálním koeficientu
Teorie obstrukce a charakteristická třída
Viz také: Charakteristická třída , věž Postnikov , torze Whitehead
Lokalizace a dokončení prostoru
Specifické teorie
Existuje několik konkrétních teorií
- jednoduchá teorie homotopy
- stabilní homotopická teorie
- chromatická homotopická teorie
- racionální teorie homotopy
- teorie homotopy p-adic
- teorie ekvivariační homotopy
Homotopická hypotéza
Jednou ze základních otázek v základech teorie homotopy je povaha prostoru. Homotopy hypotéza se táže, zda mezera je něco zásadně algebraické.
Teorie abstraktní homotopy
Koncepty
Modelové kategorie
Zjednodušená teorie homotopy
Viz také
Reference
- May, J. Stručný kurz v algebraické topologii
- George William Whitehead (1978). Základy teorie homotopy . Postgraduální texty z matematiky. 61 (3. vydání). New York-Berlín: Springer-Verlag. str. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1 . MR 0516508 . Citováno 6. září 2011 .
- Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 .