Hyperbolické funkce - Hyperbolic functions

V matematice jsou hyperbolické funkce analogy běžných goniometrických funkcí , ale jsou definovány spíše pomocí hyperboly než kruhu . Stejně jako body (cos t , sin t ) tvoří kruh s jednotkovým poloměrem , tvoří body (cosh t , sinh t ) pravou polovinu jednotkové hyperboly . Stejně jako deriváty sin ( t ) a cos ( t ) jsou cos ( t ) a –sin ( t ) , deriváty sinh ( t ) a cosh ( t ) jsou cosh ( t ) a +sinh ( t ) .

Hyperbolické funkce se vyskytují při výpočtech úhlů a vzdáleností v hyperbolické geometrii . Vyskytují se také v řešeních mnoha lineárních diferenciálních rovnic (jako je rovnice definující trolejové vedení ), kubických rovnic a Laplaceovy rovnice v karteziánských souřadnicích . Laplaceovy rovnice jsou důležité v mnoha oblastech fyziky , včetně elektromagnetické teorie , přenosu tepla , dynamiky tekutin a speciální relativity .

Základní hyperbolické funkce jsou:

• hyperbolický sinus "sinh" ( / s ɪ ŋ , to ɪ n tʃ , ʃ aɪ n / ),
• hyperbolický cosinus "cosh" ( / k ɒ ʃ , k oʊ ʃ / ),

ze kterého jsou odvozeny:

• hyperbolický tangens "tanh" ( / t æ ŋ , t æ n tʃ , θ Æ n / ),
• hyperbolické kosekans "csch" nebo "cosech" ( / k oʊ s ɛ tʃ , k oʊ ʃ ɛ k / )
• hyperbolické sečna "sech" ( / s ɛ tʃ , ʃ ɛ k / ),
• hyperbolický kotangens "coth" ( / k ɒ θ , k oʊ θ / ),

odpovídající odvozeným goniometrickým funkcím.

Tyto inverzní hyperbolické funkce jsou následující:

• oblast hyperbolický sinus „arsinh“ (označováno také „sinh ⁻¹ “, „asinh“ nebo někdy „arcsinh“)
• oblast hyperbolický kosinus „arcosh“ (také označován jako „cosh ⁻¹ “, „acosh“ nebo někdy „arccosh“)
• a tak dále.

Hyperbolické funkce přebírají skutečný argument, kterému se říká hyperbolický úhel . Velikost hyperbolického úhlu je dvakrát větší než plocha jeho hyperbolického sektoru . Hyperbolické funkce mohou být definovány pomocí nohou pravoúhlého trojúhelníku pokrývajícího tento sektor.

Při komplexní analýze vznikají hyperbolické funkce jako imaginární části sinus a kosinus. Hyperbolický sinus a hyperbolický kosinus jsou celé funkce . V důsledku toho jsou ostatní hyperbolické funkce meromorfní v celé komplexní rovině.

Podle Lindemann-Weierstrassovy věty mají hyperbolické funkce transcendentální hodnotu pro každou nenulovou algebraickou hodnotu argumentu.

Hyperbolické funkce zavedli v 60. letech 17. století nezávisle Vincenzo Riccati a Johann Heinrich Lambert . Riccati použil Sc. a kopie ( sinus/cosinus circulare ) pro označení kruhových funkcí a Sh. a Ch. ( sinus/cosinus hyperbolico ) k označení hyperbolických funkcí. Lambert přijal jména, ale změnil zkratky na ty, které se používají dnes. V současné době se také používají zkratky sh , ch , th , cth , v závislosti na osobních preferencích.

Definice

Existují různé ekvivalentní způsoby, jak definovat hyperbolické funkce.

Exponenciální definice

Pokud jde o exponenciální funkci :

• Hyperbolický sinus: lichá část exponenciální funkce, tj.

  ${\ Displaystyle \ sinh x = {\ frac {e^{x} -e^{-x}} {2}} = {\ frac {e^{2x} -1} {2e^{x}}} = {\ frac {1-e^{-2x}} {2e^{-x}}}.}$

• Hyperbolický kosinus: sudá část exponenciální funkce, tj.

  ${\ Displaystyle \ cosh x = {\ frac {e^{x}+e^{-x}} {2}} = {\ frac {e^{2x} +1} {2e^{x}}} = {\ frac {1+e^{-2x}} {2e^{-x}}}.}$

• Hyperbolický tangens:

  ${\ Displaystyle \ tanh x = {\ frac {\ sinh x} {\ cosh x}} = {\ frac {e^{x} -e^{-x}} {e^{x}+e^{- x}}} = {\ frac {e^{2x} -1} {e^{2x} +1}}}$

• Hyperbolický kotangens: pro x ≠ 0 ,

  ${\ Displaystyle \ coth x = {\ frac {\ cosh x} {\ sinh x}} = {\ frac {e^{x}+e^{-x}} {e^{x} -e^{- x}}} = {\ frac {e^{2x} +1} {e^{2x} -1}}}$

• Hyperbolický secant:

  ${\ displaystyle \ operatorname {sech} x = {\ frac {1} {\ cosh x}} = {\ frac {2} {e^{x}+e^{-x}}} = {\ frac {2e ^{x}} {e^{2x} +1}}}$

• Hyperbolický kosekans: pro x ≠ 0 ,

  ${\ displaystyle \ operatorname {csch} x = {\ frac {1} {\ sinh x}} = {\ frac {2} {e^{x} -e^{-x}}} = {\ frac {2e ^{x}} {e^{2x} -1}}}$

Definice diferenciálních rovnic

Hyperbolické funkce lze definovat jako řešení diferenciálních rovnic : Hyperbolický sinus a kosinus jsou jedinečným řešením ( s , c ) systému

${\ displaystyle {\ begin {aligned} c '(x) & = s (x) \\ s' (x) & = c (x) \ end {aligned}}}$

tak, že s (0) = 0 a C (0) = 1 .

(Počáteční podmínky jsou nutné, protože každá dvojice funkcí formuláře řeší dvě diferenciální rovnice.) ${\ Displaystyle s (0) = 0, c (0) = 1}$${\ Displaystyle (ae^{x}+be^{-x}, ae^{x} -be^{-x})}$

sinh ( x ) a cosh ( x ) jsou také jedinečným řešením rovnice f  ″ ( x ) = f  ( x ) , takže f  (0) = 1 , f  ′ (0) = 0 pro hyperbolický kosinus a f  (0) = 0 , f  '(0) = 1 pro hyperbolický sinus.

Složité trigonometrické definice

Hyperbolické funkce lze také odvodit z goniometrických funkcí se složitými argumenty:

• Hyperbolický sinus:

  ${\ Displaystyle \ sinh x = -i \ sin (ix)}$

• Hyperbolický kosinus:

  ${\ Displaystyle \ cosh x = \ cos (ix)}$

• Hyperbolický tangens:

  ${\ Displaystyle \ tanh x = -i \ tan (ix)}$

• Hyperbolický kotangens:

  ${\ Displaystyle \ coth x = i \ cot (ix)}$

• Hyperbolický secant:

  ${\ displaystyle \ operatorname {sech} x = \ sec (ix)}$

• Hyperbolický kosekans:

  ${\ displaystyle \ operatorname {csch} x = i \ csc (ix)}$

kde i je imaginární jednotka s i ² = −1 .

Výše uvedené definice se vztahují k exponenciálním definicím pomocí Eulerova vzorce (Viz § Hyperbolické funkce pro komplexní čísla níže).

Charakterizující vlastnosti

Hyperbolický kosinus

Je možné ukázat, že plocha pod křivkou hyperbolického kosinu (přes konečný interval) je vždy stejná jako délka oblouku odpovídající tomuto intervalu:

${\ Displaystyle {\ text {area}} = \ int _ {a}^{b} \ cosh x \, dx = \ int _ {a}^{b} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {d} {dx}} \ cosh x \ right)^{2}}} \, dx = {\ text {délka oblouku.}}}$

Hyperbolický tangens

Hyperbolický tangens je (jedinečné) řešení diferenciální rovnice f  ′ = 1 - f  ² , kde f  (0) = 0 .

Užitečné vztahy

Hyperbolické funkce uspokojují mnoho identit, všechny mají podobnou formu jako goniometrické identity . Ve skutečnosti, Osborn pravidlo uvádí, že lze převést trigonometrické identitu , , nebo i do hyperbolické identity tím, že zcela rozšíří to v podmínkách integrálních pravomocí sines a cosines, měnící se sine k sinh a cos pro cosh a přepínání znak každého výrazu obsahujícího produkt dvou sinhů. ${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle 2 \ theta}$${\ Displaystyle 3 \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ varphi}$

Liché a sudé funkce:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sinh (-x) & =-\ sinh x \\\ cosh (-x) & = \ cosh x \ end {aligned}}}$

Proto:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ tanh (-x) & =-\ tanh x \\\ coth (-x) & =-\ coth x \\\ operatorname {sech} (-x) & = \ operatorname {sech} x \\\ operatorname {csch} (-x) & =-\ operatorname {csch} x \ end {aligned}}}$

Tak, cosh x a sech x jsou i funkce ; ostatní jsou liché funkce .

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {arsech} x & = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \\\ operatorname {arcsch} x & = \ operatorname {arsinh } \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \\\ operatorname {arcoth} x & = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \ end { zarovnaný}}}$

Hyperbolický sinus a kosinus splňují:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ cosh x+\ sinh x & = e ^{x} \\\ cosh x- \ sinh x & = e ^{-x} \\\ cosh ^{2} x- \ sinh ^ {2} x & = 1 \ end {aligned}}}$

poslední z nich je podobný pythagorejské goniometrické identitě .

Jeden také má

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {sech} ^{2} x & = 1- \ tanh ^{2} x \\\ operatorname {csch} ^{2} x & = \ coth ^{2} x- 1 \ end {aligned}}}$

pro ostatní funkce.

Součty argumentů

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sinh (x+y) & = \ sinh x \ cosh y+\ cosh x \ sinh y \\\ cosh (x+y) & = \ cosh x \ cosh y+\ sinh x \ sinh y \\ [6px] \ tanh (x+y) & = {\ frac {\ tanh x+\ tanh y} {1+ \ tanh x \ tanh y}} \\\ end {aligned}}}$

zejména

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ cosh (2x) & = \ sinh ^{2} {x}+\ cosh ^{2} {x} = 2 \ sinh ^{2} x+1 = 2 \ cosh ^{2} x-1 \\\ sinh (2x) & = 2 \ sinh x \ cosh x \\\ tanh (2x) & = {\ frac {2 \ tanh x} {1+ \ tanh ^{2} x}} \\\ end {aligned}}}$

Taky:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sinh x+\ sinh y & = 2 \ sinh \ left ({\ frac {x+y} {2}} \ right) \ cosh \ left ({\ frac {xy} {2 }} \ right) \\\ cosh x+\ cosh y & = 2 \ cosh \ left ({\ frac {x+y} {2}} \ right) \ cosh \ left ({\ frac {xy} {2}} \ right) \\\ end {aligned}}}$

Odčítací vzorce

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sinh (xy) & = \ sinh x \ cosh y- \ cosh x \ sinh y \\\ cosh (xy) & = \ cosh x \ cosh y- \ sinh x \ sinh y \\\ tanh (xy) & = {\ frac {\ tanh x- \ tanh y} {1- \ tanh x \ tanh y}} \\\ end {zarovnaný}}}$

Taky:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sinh x- \ sinh y & = 2 \ cosh \ left ({\ frac {x+y} {2}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {xy} { 2}} \ right) \\\ cosh x- \ cosh y & = 2 \ sinh \ left ({\ frac {x+y} {2}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {xy} {2 }} \ right) \\\ end {aligned}}}$

Poloviční argumentační vzorce

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sinh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) & = {\ frac {\ sinh x} {\ sqrt {2 (\ cosh x+1)} }} && = \ operatorname {sgn} x \, {\ sqrt {\ frac {\ cosh x-1} {2}}} \\ [6px] \ cosh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) & = {\ sqrt {\ frac {\ cosh x+1} {2}}} \\ [6px] \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) & = {\ frac {\ sinh x} {\ cosh x+1}} && = \ operatorname {sgn} x \, {\ sqrt {\ frac {\ cosh x-1} {\ cosh x+1}}} = {\ frac {e^{x} -1} {e^{x} +1}} \ end {zarovnaný}}}$

kde sgn je znaková funkce .

Pokud x ≠ 0 , pak

${\ Displaystyle \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {\ cosh x-1} {\ sinh x}} = \ coth x- \ operatorname {csch} x}$

Čtvercové vzorce

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sinh ^{2} x & = {\ frac {1} {2}} (\ cosh 2x-1) \\\ cosh ^{2} x & = {\ frac {1} {2}} (\ cosh 2x+1) \ end {zarovnaný}}}$

Nerovnosti

Ve statistikách je užitečná následující nerovnost: ${\ displaystyle \ operatorname {cosh} (t) \ leq e^{t^{2}/2}}$

Lze to dokázat porovnáním Taylorovy řady obou funkcí.

Inverzní funkce jako logaritmy

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {arsinh} (x) & = \ ln \ left (x+{\ sqrt {x^{2} +1}} \ right) \\\ operatorname {arcosh} (x ) & = \ ln \ left (x+{\ sqrt {x^{2} -1}} \ right) && x \ geqslant 1 \\\ operatorname {artanh} (x) & = {\ frac {1} {2} } \ ln \ left ({\ frac {1+x} {1-x}} \ right) && | x | <1 \\\ operatorname {arcoth} (x) & = {\ frac {1} {2} } \ ln \ left ({\ frac {x+1} {x-1}} \ right) && | x |> 1 \\\ operatorname {arsech} (x) & = \ ln \ left ({\ frac { 1} {x}}+{\ sqrt {{\ frac {1} {x^{2}}}-1}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {1+{\ sqrt {1- x^{2}}} {x}} \ right) && 0 <x \ leqslant 1 \\\ operatorname {arcsch} (x) & = \ ln \ left ({\ frac {1} {x}}+{ \ sqrt {{\ frac {1} {x^{2}}}+1}} \ right) && x \ neq 0 \ end {aligned}}}$

Deriváty

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {d} {dx}} \ sinh x & = \ cosh x \\ {\ frac {d} {dx}} \ cosh x & = \ sinh x \\ {\ frac {d} {dx}} \ tanh x & = 1- \ tanh ^{2} x = \ operatorname {sech} ^{2} x = {\ frac {1} {\ cosh ^{2} x}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ coth x & = 1- \ coth ^{2} x =-\ operatorname {csch} ^{2} x =-{\ frac {1} {\ sinh ^{2} x}} && x \ neq 0 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {sech} x & =-\ tanh x \ operatorname {sech} x \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {csch} x & =-\ coth x \ operatorname {csch} x && x \ neq 0 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arsinh} x & = {\ frac {1} {\ sqrt {x^{ 2} +1}}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcosh} x & = {\ frac {1} {\ sqrt {x^{2} -1}}} && 1 <x \ \ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {artanh} x & = {\ frac {1} {1-x^{2}}} && | x | <1 \\ {\ frac {d} {dx }} \ operatorname {arcoth} x & = {\ frac {1} {1-x^{2}}} && 1 <| x | \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arsech} x & =- {\ frac {1} {x {\ sqrt {1-x^{2}}}}} && 0 <x <1 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcsch} x & =-{\ frac {1} {| x | {\ sqrt {1+x^{2}}}}} && x \ neq 0 \ end {aligned}}}$

Druhé deriváty

Každá z funkcí sinh a cosh se rovná druhé derivaci , tj.

${\ Displaystyle {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ sinh x = \ sinh x \,}$

${\ Displaystyle {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ cosh x = \ cosh x \ ,.}$

Všechny funkce s touto vlastností jsou lineární kombinace z Sinh a cosh , zejména pak exponenciální funkce a . ${\ displaystyle e^{x}}$${\ displaystyle e^{-x}}$

Standardní integrály

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ int \ sinh (ax) \, dx & = a^{-1} \ cosh (ax)+C \\\ int \ cosh (ax) \, dx & = a^{- 1} \ sinh (ax)+C \\\ int \ tanh (ax) \, dx & = a^{-1} \ ln (\ cosh (ax))+C \\\ int \ coth (ax) \, dx & = a^{-1} \ ln \ left | \ sinh (ax) \ right |+C \\\ int \ operatorname {sech} (ax) \, dx & = a^{-1} \ arctan (\ sinh (ax))+C \\\ int \ operatorname {csch} (ax) \, dx & = a^{-1} \ ln \ left | \ tanh \ left ({\ frac {ax} {2}} \ right ) \ right |+C = a^{-1} \ ln \ left | \ coth \ left (ax \ right)-\ operatorname {csch} \ left (ax \ right) \ right |+C = -a^{ -1} \ operatorname {arcoth} \ left (\ cosh \ left (ax \ right) \ right)+C \ end {aligned}}}$

Následující integrály lze prokázat pomocí hyperbolické substituce :

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ int {{\ frac {1} {\ sqrt {a^{2}+u^{2}}}} \, du} & = \ operatorname {arsinh} \ left ( {\ frac {u} {a}} \ right)+C \\\ int {{\ frac {1} {\ sqrt {u^{2} -a^{2}}}} \, du} & = \ operatorname {sgn} {u} \ operatorname {arcosh} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right |+C \\\ int {\ frac {1} {a^{2} -u^ {2}}} \, du & = a^{-1} \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {u} {a}} \ right)+C && u^{2} <a^{2} \\ \ int {\ frac {1} {a^{2} -u^{2}}} \, du & = a^{-1} \ operatorname {arcoth} \ left ({\ frac {u} {a}} \ right)+C && u^{2}> a^{2} \\\ int {{\ frac {1} {u {\ sqrt {a^{2} -u^{2}}}}} \, du } & =-a^{-1} \ operatorname {arsech} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right |+C \\\ int {{\ frac {1} {u {\ sqrt { a^{2}+u^{2}}}}} \, du} & =-a^{-1} \ operatorname {arcsch} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right |+ C \ end {aligned}}}$

kde C je konstanta integrace .

Výrazy Taylorovy řady

Z výše uvedených funkcí je možné explicitně vyjádřit Taylorovu řadu na nule (nebo Laurentovu řadu , pokud funkce není definována na nule).

${\ Displaystyle \ sinh x = x+{\ frac {x^{3}} {3!}}+{\ frac {x^{5}} {5!}}+{\ frac {x^{7}} {7!}}+\ Cdots = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}}}$

Tato řada je konvergentní pro každou komplexní hodnotu x . Protože funkce sinh x je lichá , vyskytují se v její Taylorově řadě pouze liché exponenty pro x .

${\ Displaystyle \ cosh x = 1+{\ frac {x^{2}} {2!}}+{\ frac {x^{4}} {4!}}+{\ frac {x^{6} } {6!}}+\ Cdots = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {x^{2n}} {(2n)!}}}$

Tato řada je konvergentní pro každou komplexní hodnotu x . Protože funkce cosh x je sudá , vyskytují se v její Taylorově řadě pouze dokonce exponenty pro x .

Součet Sinh a COSH série je nekonečné řady výraz exponenciální funkce .

Za následujícími řadami následuje popis podmnožiny jejich domény konvergence , kde je řada konvergentní a její součet se rovná funkci.

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ tanh x & = x-{\ frac {x^{3}} {3}}+{\ frac {2x^{5}} {15}}-{\ frac {17x ^{7}} {315}}+\ cdots = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {2^{2n} (2^{2n} -1) B_ {2n} x^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ Qquad \ left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}} \\\ coth x & = x^{-1}+{\ frac {x} {3}}-{\ frac {x^{3}} {45}}+{\ frac {2x^{5}} {945}}+\ cdots = \ sum _ {n = 0} ^{\ infty} {\ frac {2^{2n} B_ {2n} x^{2n-1}} {(2n)!}}, \ qquad 0 <\ left | x \ right | <\ pi \\ \ operatorname {sech} \, x & = 1-{\ frac {x^{2}} {2}}+{\ frac {5x^{4}} {24}}-{\ frac {61x^{6} } {720}}+\ cdots = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {E_ {2n} x^{2n}} {(2n)!}}, \ Qquad \ left | x \ vpravo | <{\ frac {\ pi} {2}} \\\ jméno operátora {csch} \, x & = x^{-1}-{\ frac {x} {6}}+{\ frac {7x^ {3}} {360}}-{\ frac {31x^{5}} {15120}}+\ cdots = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {2 (1-2^ {2n-1}) B_ {2n} x^{2n-1}} {(2n)!}}, \ Qquad 0 <\ left | x \ right | <\ pi \ end {aligated}}}$

kde:

${\ displaystyle B_ {n} \,}$je n th počtu Bernoulli

${\ displaystyle E_ {n} \,}$je n th počtu Euler

Porovnání s kruhovými funkcemi

Hyperbolické funkce představují rozšíření goniometrie mimo kruhové funkce . Oba typy závisí na argumentu , buď kruhovém úhlu nebo hyperbolickém úhlu .

Protože plocha kruhového sektoru s poloměrem r a úhlem u (v radiánech) je r ² u /2, bude se rovnat u, když r = √ 2 . V diagramu je takový kruh tečnou k hyperbole xy = 1 v (1,1). Žlutý sektor zobrazuje plochu a velikost úhlu. Podobně žluté a červené sektory společně znázorňují oblast a velikost hyperbolického úhlu .

Nohy obou pravoúhlého trojúhelníku s přeponou na paprsku definující úhly jsou délky √ 2 krát kruhové a hyperbolické funkce.

Hyperbolický úhel je neměnnou mírou vzhledem k mapování stlačení , stejně jako kruhový úhel je při otáčení neměnný.

Gudermannian funkce poskytuje přímý vztah mezi kruhovými funkce, a ty, které hyperbolických nezahrnuje komplexní čísla.

Graf funkce a  cosh ( x / a ) je trolejové vedení , křivka tvořená stejnoměrným ohebným řetězcem, visící volně mezi dvěma pevnými body pod rovnoměrnou gravitací.

Vztah k exponenciální funkci

Rozklad exponenciální funkce v sudých a lichých částech dává identity

${\ Displaystyle e^{x} = \ cosh x+\ sinh x,}$

a

${\ Displaystyle e^{-x} = \ cosh x- \ sinh x.}$

První je analogický s Eulerovým vzorcem

${\ Displaystyle e^{ix} = \ cos x+i \ sin x.}$

Dodatečně,

${\ Displaystyle e^{x} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ tanh x} {1- \ tanh x}}} = {\ frac {1+ \ tanh {\ frac {x} {2}} } {1- \ tanh {\ frac {x} {2}}}}}$

Hyperbolické funkce pro komplexní čísla

Protože exponenciální funkci lze definovat pro jakýkoli komplexní argument, můžeme také rozšířit definice hyperbolických funkcí na komplexní argumenty. Funkce sinh  z a cosh  z jsou pak holomorfní .

Vztahy k běžným goniometrickým funkcím jsou dány Eulerovým vzorcem pro komplexní čísla:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} e^{ix} & = \ cos x+i \ sin x \\ e^{-ix} & = \ cos xi \ sin x \ end {zarovnaný}}}$

tak:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ cosh (ix) & = {\ frac {1} {2}} \ left (e^{ix}+e^{-ix} \ right) = \ cos x \\ \ sinh (ix) & = {\ frac {1} {2}} \ left (e^{ix} -e^{-ix} \ right) = i \ sin x \\\ cosh (x+iy) & = \ cosh (x) \ cos (y)+i \ sinh (x) \ sin (y) \\\ sinh (x+iy) & = \ sinh (x) \ cos (y)+i \ cosh (x ) \ sin (y) \\\ tanh (ix) & = i \ tan x \\\ cosh x & = \ cos (ix) \\\ sinh x & =-i \ sin (ix) \\\ tanh x & =- i \ tan (ix) \ end {zarovnáno}}}$

Hyperbolické funkce jsou tedy periodické vzhledem k imaginární složce, s periodou ( pro hyperbolické tangenty a kotangens). ${\ Displaystyle 2 \ pi i}$${\ Displaystyle \ pi i}$

Hyperbolické funkce v komplexní rovině

${\ displaystyle \ operatorname {sinh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {cosh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {tanh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {coth} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {sech} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {csch} (z)}$

Viz také

• e (matematická konstanta)
• Věta o rovných kruzích , založená na sinh
• Hyperbolický růst
• Inverzní hyperbolické funkce
• Seznam integrálů hyperbolických funkcí
• Poinsotovy spirály
• Sigmoidní funkce
• Soboleva upravila hyperbolický tangens
• Trigonometrické funkce

Reference

externí odkazy

• „Hyperbolické funkce“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Hyperbolické funkce na PlanetMath
• GonioLab : Vizualizace jednotkového kruhu, goniometrické a hyperbolické funkce ( Java Web Start )
• Webová kalkulačka hyperbolických funkcí