Nepřístupný kardinál - Inaccessible cardinal

V teorii množin , An nespočetná kardinál je nepřístupný , pokud nelze získat od menších kardinálů obvyklými operacemi kardinální aritmetika . Přesněji řečeno, kardinál je silně nepřístupný, pokud je nepočitatelný, není to součet méně než kardinálů, kteří jsou menší než a implikuje . ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ alpha <\ kappa}$${\ Displaystyle 2^{\ alpha} <\ kappa}$

Pojem „nepřístupný kardinál“ je nejednoznačný. Asi do roku 1950 to znamenalo „slabě nepřístupný kardinál“, ale od té doby to obvykle znamená „silně nepřístupný kardinál“. Nepočítatelný kardinál je slabě nepřístupný, pokud je pravidelným slabým limitním kardinálem . Je silně nepřístupný, nebo jen nepřístupný, pokud je pravidelným silným limitním kardinálem (to je ekvivalentní definici uvedené výše). Někteří autoři nevyžadují, aby slabě a silně nepřístupní kardinálové byli nepočitatelní (v takovém případě silně nepřístupní). Slabě nepřístupní kardinálové zavedli Hausdorff (1908) , silně nepřístupní Sierpiński & Tarski (1930) a Zermelo (1930) . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Každý silně nepřístupný kardinál je také slabě nepřístupný, protože každý silně omezený kardinál je také slabě limitujícím kardinálem. Pokud zobecněná hypotéza kontinua platí, pak je kardinál silně nepřístupný právě tehdy, když je slabě nepřístupný.

${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$( aleph-null ) je pravidelný silný limitní kardinál. Za předpokladu axiomu volby je každé další nekonečné základní číslo pravidelné nebo (slabé) omezení. Obojí však může být jen poměrně velké základní číslo, a tudíž slabě nepřístupné.

Pořadové je slabě nedosažitelný kardinál tehdy a jen tehdy, pokud se jedná o pravidelné řadové a to je limit pravidelných ordinals. (Nula, jedna a jsou pravidelné řadové číslovky, ale ne limity pravidelných řadových řad.) Kardinál, který je slabě nepřístupný, a také silný limitní kardinál je silně nepřístupný. ${\ displaystyle \ omega}$

Předpoklad existence silně nepřístupného kardinála je někdy aplikován ve formě předpokladu, že člověk může pracovat uvnitř Grothendieckova vesmíru , přičemž obě myšlenky jsou úzce propojeny.

Modely a konzistence

Teorie množin Zermelo – Fraenkel s volbou (ZFC) znamená, že V _κ je model ZFC, kdykoli je κ silně nepřístupné. A ZF naznačuje, že Gödelův vesmír L _κ je modelem ZFC, kdykoli je κ slabě nedostupný. ZF spolu s „existuje slabě nepřístupný kardinál“ tedy znamená, že ZFC je konzistentní. Nepřístupní kardinálové jsou proto typem velkého kardinála .

Pokud V je standardní model ZFC a κ je ve V nepřístupný , pak: V _κ je jedním ze zamýšlených modelů teorie množin Zermelo – Fraenkel ; a Def ( V _κ ) je jedním ze zamýšlených modelů Mendelsonovy verze teorie teorií Von Neumann – Bernays – Gödel, která vylučuje globální volbu, nahrazuje omezení velikosti nahrazením a běžnou volbou; a V _{κ +1} je jedním ze zamýšlených modelů Morse -Kelleyovy teorie množin . Zde Def ( X ) je Δ ₀ definovatelných podmnožin X (viz konstruovatelný vesmír ). Nicméně, κ nemusí být nepřístupné, nebo dokonce základní číslovka, aby V _mítK za standardní model ZF (viz níže ).

Předpokládejme, že V je model ZFC. Buď V neobsahuje žádné silně nepřístupné, nebo vzhledem k tomu, že κ je nejmenší silně nepřístupný ve V, V _κ je standardní model ZFC, který neobsahuje žádné silně nepřístupné. Konzistence ZFC tedy znamená konzistenci ZFC+„neexistují žádné silné nepřístupné“. Podobně buď V neobsahuje žádné slabě nepřístupné, nebo, když vezmeme κ jako nejmenší pořadovou hodnotu, která je slabě nepřístupná vzhledem k jakémukoli standardnímu sub-modelu V, pak L _κ je standardní model ZFC, který neobsahuje žádné slabé nepřístupné. Konzistence ZFC tedy znamená konzistenci ZFC+„neexistují žádné slabé nepřístupné“. To ukazuje, že ZFC nemůže prokázat existenci nepřístupného kardinála, takže ZFC je v souladu s neexistencí jakýchkoli nepřístupných kardinálů.

Problém, zda je ZFC v souladu s existencí nepřístupného kardinála, je mnohem jemnější. Důkaz načrtnutý v předchozím odstavci, že konzistence ZFC implikuje konzistenci ZFC + „neexistuje nepřístupný kardinál“, lze v ZFC formalizovat. Za předpokladu, že je ZFC konzistentní, nelze v ZFC formalizovat žádný důkaz, že z konzistence ZFC vyplývá konzistence ZFC + „existuje nepřístupný kardinál“. Vyplývá to z druhé Gödelovy věty o neúplnosti , která ukazuje, že pokud je ZFC + „existuje nepřístupný kardinál“ konzistentní, pak nemůže dokázat vlastní konzistenci. Protože ZFC + „existuje nepřístupný kardinál“ dokazuje konzistenci ZFC, pokud ZFC prokázalo, že jeho vlastní konzistence implikuje konzistenci ZFC + „existuje nepřístupný kardinál“, pak by tato druhá teorie dokázala dokázat svou vlastní konzistenci, což je nemožné, pokud je to konzistentní.

Existují argumenty pro existenci nepřístupných kardinálů, které nelze v ZFC formalizovat. Jedním z takových argumentů, který předložili Hrbáček & Jech (1999 , s. 279), je, že třída všech ordinálů konkrétního modelu M teorie množin by sama byla nedostupným kardinálem, kdyby existoval větší model teorie množin rozšiřující M a zachování POWERSET prvků M .

Existence řádné třídy nepřístupných

V teorii množin existuje mnoho důležitých axiomů, které potvrzují existenci správné třídy kardinálů, které splňují predikát zájmu. V případě nepřístupnosti je odpovídajícím axiomem tvrzení, že pro každý kardinální μ existuje nepřístupný kardinál κ, který je přísně větší, μ < κ . Tento axiom tedy zaručuje existenci nekonečné věže nepřístupných kardinálů (a může být příležitostně označován jako nepřístupný kardinální axiom). Stejně jako v případě existence jakéhokoli nepřístupného kardinála je nepřístupný kardinální axiom neprokazatelný z axiomů ZFC. Za předpokladu, že ZFC je nedosažitelný kardinál axiom je ekvivalent k vesmíru axiomu o Grothendieck a Verdier : každá sada je obsažena v Grothendieck vesmíru . Axiomy ZFC spolu s vesmírným axiomem (nebo ekvivalentně nepřístupným kardinálním axiomem) se označují jako ZFCU (což by se dalo zaměňovat se ZFC s urelementy ). Tento axiomatický systém je užitečný například k tomu, aby dokázal, že každá kategorie má vhodné vložení Yoneda .

Toto je relativně slabý velký kardinální axiom, protože to znamená, že ∞ je 1-nepřístupné v jazyce následující sekce, kde ∞ označuje nejmenší pořadové číslo, které není ve V, tj. Třídu všech pořadových čísel ve vašem modelu.

α -nepřístupní kardinálové a hyperpřístupní kardinálové

Termín „ α -nepřístupný kardinál“ je nejednoznačný a různí autoři používají nerovnocenné definice. Jedna definice je to, že hlavní κ se nazývá α -inaccessible , pro alfa jakékoli řadové, pokud κ je nepřístupný a pro každý pořadovým p < alfa , množiny β -inaccessibles menší než κ je neomezená v mítk (a tedy i mohutnost mítk , protože κ je pravidelné). V tomto případě jsou 0 nepřístupní kardinálové stejní jako silně nepřístupní kardinálové. Další možná definice je, že kardinální κ se nazývá α -slabě nepřístupný, pokud κ je pravidelný a pro každé pořadové β < α je množina β -slabě nepřístupných menších než κ v κ nevázaná. V tomto případě jsou 0-slabě nepřístupní kardinálové běžní kardinálové a 1-slabě nepřístupní kardinálové jsou slabě nepřístupní kardinálové.

K a -nepřístupní kardinálové mohou být také popsány jako pevné body funkcí, které počítají nižší nepřístupné. Označte například ψ ₀ ( λ ) λ ^th nepřístupného kardinála, pak pevné body ψ ₀ jsou 1 nepřístupní kardinálové. Pak nechť ψ _β ( λ ) je λ ^th β -nepřístupný kardinál, pevné body ψ _β jsou ( β +1) -nepřístupní kardinálové (hodnoty ψ _{β +1} ( λ )). Je -li α mezní ordinál, je α -nepřístupný pevný bod každého ψ _β pro β < α (hodnota ψ _α ( λ ) je λ ^th takového kardinála). Tento proces přijímání pevných bodů funkcí generujících postupně větší kardinály se běžně vyskytuje při studiu velkých kardinálních čísel .

Termín hyper-nedostupný je nejednoznačný a má alespoň tři nekompatibilní významy. Mnoho autorů tím míní pravidelný limit silně nepřístupných kardinálů (1-nepřístupný). Jiní autoři jej používají k označení, že κ je κ -nepřístupný. (Nikdy to nemůže být κ +1-nepřístupné.) Příležitostně to znamená Mahlo kardinál .

Výraz α -hyper -nedostupný je také nejednoznačný. Někteří autoři jej používají k označení α -nepřístupného. Jiní autoři použít definici, která pro každou řadovou alfa , kardinál κ znamená α -hyper-nepřístupné právě tehdy, když κ je hyper-nedostupná a pro každé pořadové číslo p < alfa , sady beta -hyper-inaccessibles méně než κ je neomezená v κ .

Hyper-hyper-nedostupní kardinálové atd. Lze definovat podobnými způsoby a jako obvykle je tento termín nejednoznačný.

Pomocí „slabě nepřístupného“ namísto „nepřístupného“ lze podobné definice provést pro „slabě α -nepřístupné“, „slabě hyper -nepřístupné“ a „slabě α -hyper -nepřístupné“.

Kardinálové Mahlo jsou nepřístupní, hyper-nepřístupní, hyper-hyper-nepřístupní, ... a tak dále.

Dvě modelářsko-teoretické charakteristiky nepřístupnosti

Za prvé, hlavní κ je nepřístupná pouze v případě κ má následující reflexní vlastnosti: pro všechny podskupiny U ⊂ V _mítk existuje α < κ tak, že je základní nosná konstrukce z . (Ve skutečnosti, množina takových alfa je uzavřena neomezená v mítk .) Ekvivalentně κ je - nepopsatelný pro všechna n? 0. ${\ Displaystyle (V _ {\ alpha}, \ in, U \ cap V _ {\ alpha})}$${\ displaystyle (V _ {\ kappa}, \ in, U)}$${\ displaystyle \ Pi _ {n}^{0}}$

V ZF je dokázatelné, že ∞ splňuje poněkud slabší odrazovou vlastnost, kde je požadováno, aby substruktura (V _α , ∈, U ∩ V _α ) byla pouze 'elementární' s ohledem na konečnou množinu vzorců. Důvodem tohoto oslabení je nakonec to, že zatímco vztah modelu a teoretické spokojenosti lze definovat, pravda sama kvůli Tarského teorému nemůže . ${\ displaystyle \ models}$

Za druhé, pod ZFC lze ukázat, že κ je nepřístupný tehdy a jen tehdy, když (V _κ , ∈) je modelem ZFC druhého řádu .

V tomto případě podle vlastnosti odrazu výše existuje α < κ takové, že (V _α , ∈) je standardní model ( prvního řádu ) ZFC. Existence nepřístupného kardinála je tedy silnější hypotézou než existence standardního modelu ZFC.

Viz také

• Mahlo kardinál
• Klubová sada
• Vnitřní model
• Von Neumannův vesmír
• Konstruovatelný vesmír

Citované práce