Konzistentní a nekonzistentní rovnice - Consistent and inconsistent equations
V matematice a zejména v algebře se lineární nebo nelineární systém rovnic nazývá konzistentní, pokud existuje alespoň jedna sada hodnot pro neznámé, která splňuje každou rovnici v systému - to znamená, že když je substituována do každé z rovnic, vytvoří každá rovnice platí jako identita . Naproti tomu lineární nebo nelineární systém rovnic se nazývá nekonzistentní, pokud pro neznámé neexistuje žádná sada hodnot, která splňuje všechny rovnice.
Pokud je soustava rovnic nekonzistentní, je možné s rovnicemi manipulovat a kombinovat je tak, aby byly získány protichůdné informace, například 2 = 1 nebo x 3 + y 3 = 5 a x 3 + y 3 = 6 (což znamená 5 = 6).
Oba typy soustav rovnic, konzistentní i nekonzistentní, mohou být libovolně předurčené (s více rovnicemi než neznámými), poddimenzované (s méně rovnicemi než neznámými) nebo přesně určené.
Jednoduché příklady
Nedostatečné a důsledné
Systém
má nekonečné množství řešení, všechna mají z = 1 (jak je vidět odečtením první rovnice od druhé) a všechna proto mají x + y = 2 pro jakékoli hodnoty x a y .
Nelineární systém
má nekonečně mnoho řešení, která zahrnují
Protože každý z těchto systémů má více než jedno řešení, jedná se o neurčitý systém .
Nedostatečné a nekonzistentní
Systém
nemá žádná řešení, jak je vidět odečtením první rovnice od druhé a získání nemožné 0 = 1.
Nelineární systém
nemá žádná řešení, protože pokud je jedna rovnice odečtena od druhé, získáme nemožné 0 = 3.
Přesně odhodlaný a důsledný
Systém
má přesně jedno řešení: x = 1, y = 2.
Nelineární systém
má dvě řešení ( x, y ) = (1, 0) a ( x, y ) = (0, 1), zatímco
má nekonečné množství řešení, protože třetí rovnice je první rovnice plus dvakrát druhá a proto neobsahuje žádné nezávislé informace; lze tedy zvolit libovolnou hodnotu z a hodnoty x a y lze najít tak, aby vyhovovaly prvním dvěma (a tedy třetím) rovnicím.
Přesně stanovený a nekonzistentní
Systém
nemá žádná řešení; nekonzistenci lze vidět vynásobením první rovnice 4 a odečtením druhé rovnice, abychom získali nemožnou 0 = 2.
Rovněž,
je nekonzistentní systém, protože první rovnice plus dvakrát druhá mínus třetí obsahuje rozpor 0 = 2.
Předurčené a důsledné
Systém
má řešení, x = –1, y = 4, protože první dvě rovnice si navzájem neodporují a třetí rovnice je nadbytečná (protože obsahuje stejné informace, jaké lze získat z prvních dvou rovnic vynásobením každé pomocí 2 a jejich součet).
Systém
má nekonečnost řešení, protože všechny tři rovnice poskytují stejné informace jako ostatní (jak je vidět vynásobením první rovnice buď 3 nebo 7). Jakákoli hodnota y je součástí řešení, přičemž odpovídající hodnota x je 7–2y.
Nelineární systém
má tři řešení ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1) a (1, 1).
Předurčené a nekonzistentní
Systém
je nekonzistentní, protože poslední rovnice je v rozporu s informacemi vloženými do prvních dvou, jak je vidět, vynásobením každé z prvních dvou až o 2 a jejich součtem.
Systém
je nekonzistentní, protože součet prvních dvou rovnic odporuje třetí rovnici.
Kritéria pro soudržnost
Jak je patrné z výše uvedených příkladů, konzistence versus nekonzistence je jiný problém než srovnání počtu rovnic a neznámých.
Lineární systémy
Lineární systém je konzistentní tehdy a jen tehdy, má- li jeho koeficientová matice stejné hodnocení jako jeho rozšířená matice (matice koeficientu s přidaným sloupcem navíc, přičemž tento sloupec je vektorem konstanty sloupce ).