Indexovaná rodina - Indexed family

V matematice je rodina nebo indexovaná rodina neformálně soubor objektů, každý spojený s indexem z nějaké sady indexů. Například rodina reálných čísel indexovaných množinou celých čísel je kolekce reálných čísel, kde daná funkce vybere jedno reálné číslo pro každé celé číslo (případně stejné).

Více formálně, indexovaný rodina je matematická funkce spolu se svým domény I a obrazu X . O prvcích množiny X se často říká, že tvoří rodinu. V tomto zobrazení jsou indexované rodiny interpretovány jako kolekce indexovaných prvků místo funkcí. Sada I se nazývá index (sada) rodiny a X je indexovaná sada . Sekvence jsou jedním typem rodin se specifickými doménami.

Matematický výrok

Definice. Nechť I a X se nastaví i f o funkci tak, že

kde představuje prvek I a protože obraz funkce pod funkcí f je označen jako (např. je označen jako . Symbol se používá k označení, že je to prvek X. ), pak se tím vytvoří indexovaná rodina prvků v X indexováno I , které je označeno nebo jednoduše ( x i ) , když se předpokládá, že je sada indexů známá. Někdy se místo závorek používají lomené závorky nebo závorky, ty s rizikem záměny rodin se sadami. Jednoduše řečeno, kdykoli se použije indexová notace , tvoří indexované objekty rodinu (indexovaných) jako jejich sbírku. Místo množiny se používá termín kolekce, protože rodina může mít identický prvek vícekrát (zatímco sada je kolekce neuspořádaných a různých objektů), pokud je každý identický prvek indexován odlišně.

Funkce a rodiny jsou formálně ekvivalentní tomu, že veškeré funkce f s doménou I indukuje rodinu ( f  ( i )) iI . Být prvkem rodiny je ekvivalentní bytí v rozsahu odpovídající funkce. V praxi se však na rodinu pohlíží jako na sbírku, nikoli jako na funkci. Rodina obsahuje libovolný prvek přesně jednou, právě když je odpovídající funkce injektivní .

Indexovanou rodinu lze proměnit v množinu zvážením množiny , tj. Obrazu I pod f . Vzhledem k tomu, že mapování f nemusí být injektivní , může existovat s ij takové, že x i = x j . Tedy , kde | A | označuje mohutnost nastaveného A . To znamená, že rodina může mít stejný prvek několikrát, pokud jsou indexovány odlišně, a to je rozdíl mezi indexovanými rodinami a sadami. Například kde sada indexů je sada přirozených čísel.

Jakákoli množina X vede k rodině ( x x ) xX, protože X je indexováno samo. Každá sada se tak přirozeně stává rodinou. Pro každou rodinu ( A i ) iI existuje množina všech prvků { A i | iI } , ale nenese žádnou informaci o vícenásobné úniku téhož prvku (indexované jinak) nebo strukturu stanovenou I . Používáním sady místo rodiny tedy může dojít ke ztrátě některých informací.

Sada indexů I není omezena na to , aby byla spočítatelná , a může být indexována podmnožina sady výkonů , což má za následek indexovanou rodinu sad . Sekvence jsou jedním typem rodin, protože posloupnost je definována jako funkce s konkrétní doménou (interval celých čísel, sada přirozených čísel nebo sada prvních n přirozených čísel, v závislosti na tom, jaká sekvence je definována a jaká definice se používá ).

Příklady

Indexované vektory

Zvažte například následující větu:

Vektory v 1 ,…, v n jsou lineárně nezávislé.

Zde ( v i ) i ∈ {1,…, n } označuje rodinu vektorů. I tý vektor v i smysl jen tehdy, pokud jde o tuto rodinu, protože soubory jsou neuspořádané, takže není i -tý vektor sadu. Dále je lineární nezávislost definována jako vlastnost sbírky; proto je důležité, pokud jsou tyto vektory lineárně nezávislé jako množina nebo jako rodina. Pokud například považujeme n = 2 a v 1 = v 2 = (1, 0) za stejný vektor, pak se jejich sada skládá pouze z jednoho prvku (protože sada je sbírka neuspořádaných odlišných prvků) a je lineárně nezávislý, ale rodina obsahuje dvakrát stejný prvek (protože je indexován odlišně) a je lineárně závislá (stejné vektory jsou lineárně závislé).

Matice

Předpokládejme, že text uvádí následující:

Čtvercová matice A je invertibilní, právě když jsou řádky A lineárně nezávislé.

Stejně jako v předchozím příkladu je důležité, aby řádky A byly lineárně nezávislé jako rodina, nikoli jako množina. Zvažte například matici

Sada řádků se skládá z jednoho prvku (1, 1), jako sada je vyrobena z jedinečných prvků, takže je lineárně nezávislé, ale matice není regulární jako matrice determinant je 0. Na druhou rukou se rodina z řádky obsahují dva prvky indexované odlišně, například 1. řádek (1, 1) a 2. řádek (1,1), takže je lineárně závislý. Výrok je tedy správný, pokud odkazuje na rodinu řádků, ale nesprávný, pokud odkazuje na sadu řádků. (Výrok je také správný, když se „řádky“ interpretují jako odkazy na multiset , ve kterém jsou prvky také oddělené, ale které postrádají část struktury indexované rodiny.)

Další příklady

Nechť n je konečná množina {1, 2,…, n } , kde n je kladné celé číslo .

Operace s indexovanými rodinami

Sady indexů se často používají v součtech a jiných podobných operacích. Například pokud ( a i ) iI je indexovaná rodina čísel, součet všech těchto čísel je označen

Když ( A i ) iI je rodina množin , sjednocení všech těchto množin je označeno

Podobně pro křižovatky a karteziánské produkty .

Indexovaná podrodina

Indexované rodina ( B i ) iJ je podčeleď indexovaného rodiny ( i ) iI , v případě, a to pouze v případě, J je podmnožinou I a B i = A i platí pro všechny i v J .

Využití v teorii kategorií

Analogický koncept v teorii kategorií se nazývá diagram . Diagram je funktor, který vede k indexované rodině objektů v kategorii C , indexované jinou kategorií J a související morfismem v závislosti na dvou indexech.

Viz také

Reference

  • Mathematical Society of Japan , Encyclopedic Dictionary of Mathematics , 2. vydání, 2 sv., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Citováno jako EDM (svazek).