Indická matematika - Indian mathematics

Indická matematika vznikla na indickém subkontinentu od roku 1200 př. N. L. Do konce 18. století. V klasickém období indické matematiky (400 n . L. Až 1 200 n . L. ) Významně přispěli učenci jako Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II a Varāhamihira . Dnes používaný systém desítkových čísel byl poprvé zaznamenán v indické matematice. Indičtí matematici včas přispěli ke studiu konceptu nuly jako čísla, záporných čísel , aritmetiky a algebry . Kromě toho byla v Indii dále zdokonalena trigonometrie a byly zde vyvinuty zejména moderní definice sinus a kosinus . Tyto matematické koncepty byly přeneseny na Blízký východ, Čínu a Evropu a vedly k dalšímu vývoji, který nyní tvoří základy mnoha oblastí matematiky.

Starověké a středověké indické matematické práce, všechny složené ze sanskrtu , obvykle sestávaly z části súter, ve kterých byla s velkou ekonomikou ve verších uvedena řada pravidel nebo problémů, aby student pomohl zapamatovat si ji. Poté následovala druhá část sestávající z komentáře prózy (někdy více komentářů různých vědců), který problém podrobněji vysvětlil a poskytl zdůvodnění řešení. V prózové části nebyla forma (a tedy ani její zapamatování) považována za tak důležitou jako zapojené myšlenky. Všechny matematické práce byly předávány orálně přibližně do roku 500 př. N. L .; poté byly předány ústně i v rukopisné formě. Nejstarším dochovaným matematickým dokumentem vyrobeným na indickém subkontinentu je rukopis Bakhshali z březové kůry , objevený v roce 1881 ve vesnici Bakhshali , poblíž Péšávaru (dnešní Pákistán ), a pravděpodobně pochází ze 7. století n. L.

Pozdějším mezníkem v indické matematice byl vývoj řady expanzí pro goniometrické funkce (sinus, kosinus a tangens oblouku ) matematiky školy Kerala v 15. století n. L. Jejich pozoruhodná práce, dokončená dvě století před vynálezem počtu v Evropě, poskytla to, co je nyní považováno za první příklad mocenské řady (kromě geometrické řady). Neformulovali však systematickou teorii diferenciace a integrace , ani neexistuje žádný přímý důkaz o tom, že by se jejich výsledky přenášely mimo Keralu .

Pravěk

Vykopávky v Harappě , Mohendžodaru a na dalších místech civilizace údolí Indu odhalily důkazy o používání „praktické matematiky“. Lidé z Indus Valley Civilization vyráběli cihly, jejichž rozměry byly v poměru 4: 2: 1, považovány za příznivé pro stabilitu cihlové stavby. Použili standardizovaný systém hmotností na základě poměrů: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 a 500, s jednotkou hmotnost přibližně 28 gramů (a přibližně stejná jako anglická unce nebo řecká uncia). Sériově vyráběli závaží v pravidelných geometrických tvarech, které zahrnovaly šestihrany , sudy , kužely a válce , čímž prokázali znalosti základní geometrie .

Obyvatelé indické civilizace se také pokusili standardizovat měření délky s vysokou přesností. Navrhli pravítko- vládce Mohendžodáro - jehož jednotka délky (přibližně 1,32 palce nebo 3,4 centimetru) byla rozdělena na deset stejných částí. Cihly vyráběné ve starověké Mohendžodáro měly často rozměry, které byly integrálními násobky této jednotky délky.

Ukázalo se, že duté válcovité předměty ze skořápky nalezené v Lothalu (2200 př. N. L. ) A Dholavirě mají schopnost měřit úhly v rovině a také určovat polohu hvězd pro navigaci.

Védské období


Samhitas a Brahmanas

Náboženské texty védského období poskytují důkaz o používání velkého počtu . V době Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 př. N. L.) Byly do textů zahrnuty počty až 10 12 . Například mantra (posvátná recitace) na konci annahomy („obřad obětování jídla“) prováděná během aśvamedha a pronesená těsně před, během a těsně po východu slunce vyvolává síly deseti od sta do bilion:

Krupobití na Sata ( "set", 10 2 ), krupobití na Sahasra ( "tisíc," 10 3 ), krupobití na ayuta ( "deset tisíc," 10 4 ), krupobití na niyuta ( "set tisíc," 10 5 ), krupobití k modlitbě („milion“, 10 6 ), kroupy k arbudě („deset milionů“, 10 7 ), kroupy k nyarbudě („sto milionů“, 10 8 ), kroupy k samudře („miliarda“, 10 9 , doslova „oceán“), krupobití madhya („deset miliard,“ 10 10 , doslova „uprostřed“), pozdravení anta („sto miliard,“ 10 11 , rozsvícené, „konec“), pozdravení parārdha („jeden bilion „ 10 12 lit.,“ mimo části ”), pozdravte uṣasy (úsvit), pozdravte vyuṣṭi (soumrak), pozdravte udeřityy (ten, který se zvedne), pozdravte udyat (ten, který je povstání), krupobití udita (tomu, kdo právě povstal), pozdravte svarga (nebe), pozdravte martya (svět), pozdravte všechny.

Rigvedic People znal řešení dílčí frakce jako státy v purush Sukta (RV 10.90.4):

Se třemi čtvrtinami Puruṣa šel nahoru: jedna čtvrtina z něj byla znovu tady.

Satapatha Brahmana ( c. 7th století BCE) obsahuje pravidla pro rituální geometrických konstrukcích, které jsou podobné Sulba Sutras.

Śulba Sūtras

Śulba Sūtras (doslovně „aforismy akordů“ ve védském sanskrtu ) (asi 700–400 př . N. L.) Uvádí pravidla pro stavbu obětních požárních oltářů. Většina matematických problémů uvažovaných v Śulba Sūtras pramení z „jediného teologického požadavku“, z konstrukce požárních oltářů, které mají různé tvary, ale zabírají stejnou oblast. Oltáře musely být postaveny z pěti vrstev pálených cihel s další podmínkou, aby každá vrstva sestávala z 200 cihel a aby žádné dvě sousední vrstvy neměly shodné uspořádání cihel.

Podle ( Hayashi 2005 , s. 363) obsahují Śulba Sūtras „nejstarší dochované verbální vyjádření Pythagorovy věty na světě, přestože ji znali již staří Babyloňané “.

Diagonální lano ( akṣṇayā-rajju ) podlouhlého (obdélníku) produkuje samostatně křídlo ( pārśvamāni ) i horizontální ( tiryaṇmānī ) < ropes >. “

Vzhledem k tomu, že prohlášení je sūtra , je nutně stlačeno a to, co lana produkují, není podrobně rozpracováno, ale kontext jasně naznačuje čtvercové oblasti vytvořené na jejich délkách a učitel by to studentovi vysvětlil.

Obsahují seznamy pythagorejských trojic , což jsou konkrétní případy diofantických rovnic . Obsahují také prohlášení (o kterých s odstupem času víme, že jsou přibližná) o vyrovnání kruhu a „kroužení náměstí“.

Baudhayana (c. 8. století BCE) složil Baudhayana Sulba Sutra , nejznámější Sulba Sutra , která obsahuje příklady jednoduchých pythagorejských trojic, jako například: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) a (12, 35, 37) , jakož i prohlášení o Pythagorově větě o stranách čtverce: „Lano, které je napnuté přes úhlopříčku square produkuje plochu dvakrát větší než původní čtverec. “ Obsahuje také obecné tvrzení Pythagorovy věty (pro strany obdélníku): „Lano natažené po délce úhlopříčky obdélníku vytváří oblast, kterou svislá a vodorovná strana tvoří dohromady“. Baudhayana dává výraz pro druhou odmocninu ze dvou :

Výraz je přesný až na pět desetinných míst, skutečná hodnota je 1,41421356 ... Struktura tohoto výrazu je podobná výrazu nalezenému na mezopotámské tabuli ze starobabylonského období (1900–1600 př. N. L. ):

což vyjadřuje 2 v systému sexuálních záznamů a které je také přesné až na 5 desetinných míst.

Podle matematika SG Daniho byla babylonská klínová deska Plimpton 322 napsána c. 1850 př. N. L. „Obsahuje patnáct pythagorejských trojic s poměrně velkými záznamy, včetně (13500, 12709, 18541), což je primitivní trojnásobek, což naznačuje zejména, že v Mezopotámii v roce 1850 př. N. L. Došlo k důmyslnému porozumění“. „Vzhledem k tomu, že tyto tablety předcházely období Sulbasutras o několik století, s přihlédnutím ke kontextuálnímu vzhledu některých trojic, je rozumné očekávat, že podobné porozumění by existovalo i v Indii.“ Dani dále říká:

Protože hlavním cílem Sulvasutras bylo popsat stavby oltářů a geometrické principy, které jsou v nich obsaženy , předmět pythagorejských trojic, i když byl dobře pochopen, se v Sulvasutras ještě nemusel objevit . Výskyt trojic v Sulvasutras je srovnatelný s matematikou, se kterou se člověk může setkat v úvodní knize o architektuře nebo jiné podobné aplikované oblasti, a neodpovídal by přímo celkovým znalostem na dané téma v té době. Vzhledem k tomu, že bohužel nebyly nalezeny žádné jiné současné zdroje, nemusí být nikdy možné tento problém uspokojivě vyřešit.

Celkem byly složeny tři Sulba sútry . Zbývající dva, Manava Sulba Sutra složen mānava (fl. 750-650 BCE) a Apastamba Sulba Sutra , klidný Apastamba (c. 600 BCE), obsahoval výsledky podobné Baudhayana Sulba Sutra .

Vyakarana

Významnou dominantou Vedic období bylo dílem Sanskrit gramatika , Pāṇini (c. 520-460 BCE). Jeho gramatika zahrnuje rané použití booleovské logiky , nulového operátoru a gramatik bez kontextu a obsahuje předchůdce formy Backus – Naur (používá se v programovacích jazycích popisu ).

Pingala (300 př.nl - 200 př.nl)

Mezi učenci post-védského období, kteří přispěli k matematice, je nejpozoruhodnější Pingala ( piṅgalá ) ( fl. 300-200 BCE), hudební teoretik, který je autorem Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , také Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra ), sanskrtské pojednání o prozódii . Existují důkazy, že ve své práci na výčtu slabičných kombinací narazil Pingala jak na Pascalův trojúhelník, tak na binomické koeficienty , ačkoli neměl znalosti o binomické větě samotné. Pingalovo dílo také obsahuje základní myšlenky Fibonacciho čísel (nazývaných maatraameru ). Ačkoli Chandah sutra nepřežila celá, komentář z 10. století Halāyudhou ano. Halāyudha, který označuje Pascalův trojúhelník jako Meru -prastāra (doslova „schodiště na horu Meru“), říká toto:

Nakreslete čtverec. Počínaje polovinou čtverce nakreslete pod něj další dvě podobná políčka; pod těmito dvěma dalšími třemi čtverci atd. Značení by mělo být zahájeno vložením 1 na první políčko. Vložte 1 do každého ze dvou čtverců druhého řádku. Do třetího řádku vložte 1 do dvou čtverců na koncích a do prostředního čtverce součet číslic ve dvou čtvercích ležících nad ním. Ve čtvrtém řádku vložte 1 do dvou čtverců na koncích. Do prostředních vložte součet číslic do dvou čtverců nad sebou. Postupujte tímto způsobem. Z těchto řádků druhá uvádí kombinace s jednou slabikou, třetí kombinace se dvěma slabikami, ...

Text také naznačuje, že si Pingala byl vědom kombinatorické identity:

Kātyāyana

Kātyāyana (kolem 3. století př. N. L. ) Je pozoruhodná tím, že byla posledním z védských matematiků. Napsal Katyayana Sulba Sutra , která představila mnoho geometrie , včetně obecné Pythagorovy věty a výpočtu odmocniny ze 2 správných na pět desetinných míst.

Jainská matematika (400 př. N. L. - 200 n. L.)

Ačkoli je džinismus náboženství a filozofie předchází jeho nejslavnějšího představitele, velkého Mahaviraswamiho (6. století př. N. L.), Většina džinistických textů na matematická témata byla složena po 6. století př. N. L. Jainoví matematici jsou historicky důležití jako zásadní vazby mezi matematikou védského období a matematikou „klasického období“.

Významný historický přínos džinistických matematiků spočíval v osvobození indické matematiky od jejích náboženských a rituálních omezení. Zejména jejich fascinace výčtem velmi velkých čísel a nekonečností je vedla ke klasifikaci čísel do tří tříd: vyjmenovatelných, nesčetných a nekonečných . Jejich texty nejsou spokojeny s jednoduchým pojmem nekonečna, definují pět různých typů nekonečna: nekonečno v jednom směru, nekonečno ve dvou směrech, nekonečno v oblasti, nekonečno všude a nekonečno věčně. Jainští matematici navíc vymysleli zápisy jednoduchých mocnin (a exponentů) čísel, jako jsou čtverce a kostky, které jim umožnily definovat jednoduché algebraické rovnice ( beejganita samikaran ). Jainští matematici byli zřejmě také první, kdo použil slovo shunya ( v sanskrtu doslova prázdné ) k označení nuly. Po více než tisíciletí se jejich pojmenování stalo anglickým slovem „nula“ po klikaté cestě překladů a přepisů z Indie do Evropy. (Viz nula: etymologie .)

Kromě Suryy Prajnaptiho zahrnovaly důležité Jainovy práce z matematiky Sthananga Sutru (asi 300 př. N. L. - 200 n. L.); Anuyogadwara Sutra (c 200 BCE - 100 CE.); a Satkhandagama (kolem 2. století n. l.). Mezi významné džinistické matematiky patřil Bhadrabahu ( 298 př. N. L. ), Autor dvou astronomických prací, Bhadrabahavi-Samhita a komentáře k Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (asi 176 př. N. L. ), Který je autorem matematického textu s názvem Tiloyapannati ; a Umasvati (c. 150 BCE), kdo, ačkoli lépe známý pro jeho vlivné spisy o Jain filozofii a metafyziku , složil matematické dílo nazvané Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya .

Ústní tradice

Téměř matematici starověké a raně středověké Indie byli všichni sanskrt Pandits ( Pandita „Naučil muž“), kteří byli vyškoleni v sanskrtského jazyka a literatury, a posedl „běžnou úroveň znalostí v gramatice ( vyākaraṇa ), exegeze ( mímánsá ) a logické ( nyāya ). " Zapamatování „toho, co je slyšet“ ( śruti v sanskrtu) prostřednictvím recitace hrálo ve starověké Indii hlavní roli při přenosu posvátných textů. Memorizace a recitace byla také použita k přenosu filozofických a literárních děl, stejně jako pojednání o rituálech a gramatice. Moderní učenci starověké Indie zaznamenali „skutečně pozoruhodné úspěchy indických panditů, kteří po tisíciletí ústně uchovávali nesmírně objemné texty“.

Styly zapamatování

Starověká indická kultura vynaložila podivuhodnou energii na zajištění toho, že tyto texty byly přenášeny z generace na generaci s nepřiměřenou věrností. Například memorování posvátných Véd zahrnovalo až jedenáct forem recitace stejného textu. Texty byly následně „zkontrolovány“ porovnáním různých recitovaných verzí. Formy recitace zahrnovaly jaṭā-pāṭha (doslova „síťový přednes“), ve kterém byla každé dvě sousední slova v textu nejprve recitována v původním pořadí, poté opakována v opačném pořadí a nakonec opakována v původním pořadí. Recitace tedy probíhala následovně:

word1word2, word2word1, word1word2; word2word3, word3word2, word2word3; ...

V jiné formě recitace, dhvaja-pāṭha (doslovně „vlajkový přednes“) byla recitována (a uložena do paměti) sekvence N slov spárováním prvních dvou a posledních dvou slov a poté následuje jako:

slovo 1 slovo 2 , slovo N - 1 slovo N ; slovo 2 slovo 3 , slovo N - 3 slovo N - 2 ; ..; slovo N - 1 slovo N , slovo 1 slovo 2 ;

Nejsložitější forma recitace, ghana-pāṭha (doslova „hustá recitace“), podle ( Filliozat 2004 , s. 139), měla formu:

word1word2, word2word1, word1word2word3, word3word2word1, word1word2word3; word2word3, word3word2, word2word3word4, word4word3word2, word2word3word4; ...

O tom, že tyto metody byly účinné, svědčí zachování nejstaršího indického náboženského textu, Ṛgveda (kolem roku 1500 př. N. L. ), Jako jediný text bez jakýchkoli variantních čtení. Podobné metody byly použity pro zapamatování matematických textů, jejichž přenos byl až do konce védského období (asi 500 př. N. L.) Výlučně orální .

Sutra žánr

Matematická aktivita ve starověké Indii začala jako součást „metodologické reflexe“ posvátných Véd , která měla podobu děl zvaných Vedāṇgas neboli „ Doplňky Vedy“ (7. – 4. Století př . N. L. ). Potřeba zachovat zvuk posvátného textu pomocí śikṣā ( fonetika ) a chhandas ( metriky ); zachovat jeho význam pomocí vyākaraṇa ( gramatika ) a nirukta ( etymologie ); a správně provádět obřady ve správný čas pomocí kalpy ( rituální ) a jyotiṣa ( astrologie ), vedla k šesti disciplínách Vedāṇgas . Matematika vznikla jako součást posledních dvou oborů, rituálu a astronomie (která zahrnovala také astrologii). Jelikož Vedāṇgové bezprostředně předcházeli používání písma ve starověké Indii, vytvořili poslední z výhradně ústní literatury. Byly vyjádřeny ve vysoce komprimované mnemotechnické formě, sūtra (doslova „vlákno“):

Vědci sūtry vědí, že má několik fonémů, je bez dvojznačnosti, obsahuje podstatu, čelí všemu, je bez přestávky a bez námitek.

Extrémní stručnosti bylo dosaženo pomocí více prostředků, mezi něž patřilo použití elipsy „mimo toleranci přirozeného jazyka“, používání technických jmen místo delších popisných jmen, zkracování seznamů pouze zmínkou o prvním a posledním záznamu a použití značek a proměnných. Tyto sūtry vytvářet dojem, že komunikace prostřednictvím textu bylo „jen část celé výuky. Zbytek instrukce musí být přenášena tzv Guru-shishya parampaře ,‚nepřerušené řadě od učitele ( guru ) studentovi ( śisya ), „a nebylo přístupné široké veřejnosti“ a možná bylo dokonce utajeno. Krátkost dosáhnout v sūtře postup je znázorněn v následujícím příkladu z Baudhayana Sulba Sūtra (700 BCE).

Návrh požárního oltáře pro domácnost v Śulba Sūtra

Domácí požární oltář ve védském období vyžadoval rituál, aby měl čtvercovou základnu a skládal se z pěti vrstev cihel s 21 cihlami v každé vrstvě. Jedním ze způsobů stavby oltáře bylo rozdělit jednu stranu čtverce na tři stejné části pomocí šňůry nebo lana, dále rozdělit příčnou (nebo kolmou) stranu na sedm stejných částí a tím rozdělit čtverec na 21 shodných obdélníků . Cihly byly poté navrženy tak, aby měly tvar základního obdélníku a vrstva byla vytvořena. K vytvoření další vrstvy byl použit stejný vzorec, ale cihly byly uspořádány příčně. Proces byl poté opakován ještě třikrát (se střídavými směry), aby byla stavba dokončena. V Baudhāyana Śulba Sūtra je tento postup popsán následujícími slovy:

II.64. Po rozdělení čtyřúhelníku na sedm rozdělí člověk příčný [kabel] na tři.
II.65. V další vrstvě je umístěno [cihly] na sever.

Podle ( Filliozat 2004 , s. 144) má důstojník při stavbě oltáře k dispozici jen několik nástrojů a materiálů: šňůru (sanskrt, rajju , f.), Dva kolíky (sanskrt, śanku , m.) A hlína na výrobu cihel (sanskrt, iṣṭakā , f.). Stručnost je dosaženo v sūtře tím, že není výslovně zmiňovat, co adjektivum „příčný“, splňuje podmínky; nicméně z ženské formy použitého (sanskrtského) přídavného jména lze snadno odvodit kvalifikaci „šňůry“. Podobně ve druhé sloce nejsou „cihly“ výslovně zmíněny, nýbrž opět odvozeny z ženského množného čísla „ukazující na sever“. Konečně první sloka nikdy výslovně neříká, že první vrstva cihel je orientována ve směru východ-západ, ale to také vyplývá z výslovné zmínky o „severu“ ve druhé sloce; neboť pokud by měla být orientace ve dvou vrstvách stejná, nebyla by uvedena vůbec nebo by byla uvedena pouze v první sloce. Všechny tyto závěry dělá úředník, když si vzorec pamatuje z paměti.

Písemná tradice: komentář k próze

S rostoucí složitostí matematiky a dalších exaktních věd bylo nutné psaní i výpočet. V důsledku toho se začalo mnoho matematických prací zapisovat do rukopisů, které se poté kopírovaly a znovu kopírovaly z generace na generaci.

Odhaduje se, že dnes má Indie asi třicet milionů rukopisů, což je největší množství ručně psaných materiálů ke čtení kdekoli na světě. Gramotná kultura indické vědy sahá přinejmenším do pátého století před naším letopočtem ... jak ukazují prvky mezopotámské literatury a astronomie, která v té době vstoupila do Indie a (rozhodně) nebyla ... uchována ústně.

Nejdříve matematický próza komentář byl, že na práci, Āryabhaṭīya (psaný 499 CE), práce na astronomii a matematiku. Matematická část Āryabhaṭīya byla složena z 33 sūtrů (ve veršové podobě) sestávajících z matematických tvrzení nebo pravidel, ale bez důkazů. Podle ( Hayashi 2003 , s. 123) však „to nutně neznamená, že je jejich autoři neprokázali. Pravděpodobně šlo o styl expozice.“ Od doby Bhaskary I (od roku 600 n . L. ) Začaly prózy stále častěji zahrnovat některé derivace ( upapatti ). Komentář Bhaskary I k Āryabhaṭīyi měl následující strukturu:

  • Pravidlo ('sūtra') ve verši Āryabhaṭa
  • Komentář Bhāskara I, skládající se z:
    • Objasnění pravidla (derivace byly tehdy ještě vzácné, ale později se staly běžnějšími)
    • Příklad ( uddeśaka ) obvykle ve verších.
    • Nastavení ( nyāsa/sthāpanā ) numerických dat.
    • Pracovní ( karana ) řešení.
    • Ověření ( pratyayakaraṇa , doslovně „k přesvědčení“) odpovědi. Ty se staly vzácnými do 13. století, odvozování nebo důkazy byly do té doby zvýhodňovány.

Typicky pro jakékoli matematické téma si studenti ve starověké Indii nejprve zapamatovali sútry , které, jak bylo vysvětleno dříve, byly „záměrně neadekvátní“ ve vysvětlujících podrobnostech (za účelem věrného sdělování matematických pravidel s holými kostmi). Studenti pak zpracovávali témata prozaického komentáře psaním (a kreslením diagramů) na křídové a prachové desky ( tj. Desky pokryté prachem). Posledně jmenovanou aktivitou, základem matematické práce, bylo později přimět matematika-astronoma Brahmaguptu ( fl. 7. století n . L. ) , Aby charakterizoval astronomické výpočty jako „prachovou práci“ (sanskrt: dhulikarman ).

Číslice a soustava desítkových čísel

Je dobře známo, že dnes používaný systém desetinných míst a hodnot byl nejprve zaznamenán v Indii, poté přenesen do islámského světa a nakonec do Evropy. Syrský biskup Severus Sebokht psal v polovině 7. století n. L. O „devíti znameních“ Indů pro vyjadřování čísel. Jak, kdy a kde byl vynalezen systém hodnot prvního desetinného místa, však není tak jasné.

Nejdříve existující skript používá v Indii byl Kharosthi scénář použitý v Gandhara kultuře severozápadu. Předpokládá se, že je aramejského původu a používal se od 4. století př. N. L. Do 4. století n. L. Téměř současně se na velké části subkontinentu objevilo další písmo, písmo Brāhmī , které se později stane základem mnoha skriptů jižní Asie a jihovýchodní Asie. Oba skripty měly číselné symboly a číselné systémy, které zpočátku nebyly založeny na systému s hodnotou místa.

Nejstarší dochované důkazy o číslovkách desetinných míst v Indii a jihovýchodní Asii pocházejí z poloviny prvního tisíciletí n. L. Měděná deska z indického Gudžarátu uvádí datum 595 n. L., Zapsané v zápisu hodnoty desetinného místa, i když existují určité pochybnosti o pravosti desky. Desetinná čísla zaznamenávající roky 683 n. L. Byla také nalezena v kamenných nápisech v Indonésii a Kambodži, kde byl indický kulturní vliv značný.

Existují starší textové prameny, i když dochované rukopisné kopie těchto textů pocházejí z mnohem pozdějších dob. Pravděpodobně nejranějším zdrojem je dílo buddhistického filozofa Vasumitry datované pravděpodobně do 1. století n. L. Když Vasumitra diskutuje o počítacích jámách obchodníků, poznamenává: „Když je [stejné] počítadlo hlíny na místě jednotek, označuje se jako jedna, když ve stovkách, sto.“ Ačkoli se zdá, že takové odkazy naznačují, že jeho čtenáři věděli o reprezentaci hodnoty desetinného místa, „stručnost jejich narážek a nejednoznačnost jejich dat, nicméně nezakládají pevně na chronologii vývoje tohoto konceptu“.

Třetí desetinné zastoupení bylo použito ve veršované kompoziční technice, později označované jako Bhuta-sankhya (doslova „čísla objektů“), kterou používali raní sanskrtští autoři technických knih. Protože mnoho raných technických děl bylo složeno ve verších, čísla byla často reprezentována objekty v přírodním nebo náboženském světě, které jim odpovídaly; to umožnilo korespondenci „každý s každým“ pro každé číslo a usnadnilo skládání veršů. Podle ( Plofker 2009 ) číslo 4 například mohlo být zastoupeno slovem „ Veda “ (protože tyto náboženské texty byly čtyři), číslo 32 slovem „zuby“ (protože celý soubor se skládá z 32) a číslo 1 podle „měsíce“ (protože existuje pouze jeden měsíc). Veda/zuby/měsíc by tedy odpovídaly desítkové číslici 1324, protože konvence pro čísla měla spočítat jejich číslice zprava doleva. Nejstarší reference využívající čísla objektů je c. 269 ​​CE sanskrtský text, Yavanajātaka (doslovně „řecká horoskopie“) Sphujidhvaja, veršování dřívější (asi 150 n. L.) Indické adaptace prózy ztraceného díla helénistické astrologie. Zdá se, že takové použití vede k tomu, že v polovině 3. století n. L. Byl systém hodnot desetinných míst známý, alespoň čtenářům astronomických a astrologických textů v Indii.

Předpokládá se, že indický systém desetinných míst byl založen na symbolech používaných na čínských počítacích deskách již od poloviny prvního tisíciletí před naším letopočtem. Podle ( Plofker 2009 ),

Tyto počítací desky, stejně jako indické sčítací jámy, ..., měly strukturu hodnot s desetinným místem ... Indiáni se o těchto desetinných místech „rodových číslic“ mohli dobře dozvědět od čínských buddhistických poutníků nebo jiných cestovatelů, nebo se vyvinuli koncept nezávisle na jejich dřívějším systému, který nemá hodnotu místa; nepřežily žádné listinné důkazy, které by potvrdily oba závěry. “

Bakhshali rukopis

Nejstarším dochovaným matematickým rukopisem v Indii je Bakhshali Rukopis , rukopis z březové kůry napsaný v „buddhistickém hybridním sanskrtu“ ve skriptu Śāradā , který se používal v severozápadní oblasti indického subkontinentu mezi 8. a 12. stoletím n. L. Rukopis byl objeven v roce 1881 farmářem při kopání v kamenné ohradě ve vesnici Bakhshali poblíž Pešávaru (tehdy v Britské Indii a nyní v Pákistánu ). Rukopis byl neznámého autorství a nyní je zachován v Bodleianské knihovně na Oxfordské univerzitě , byl různě datován - někdy již v „prvních stoletích křesťanské éry“. 7. století n. L. Je nyní považováno za věrohodné datum.

Přeživší rukopis má sedmdesát listů, z nichž některé jsou fragmenty. Jeho matematický obsah se skládá z pravidel a příkladů, psaných ve verších, spolu s prozaickými komentáři, které obsahují řešení příkladů. Mezi zpracovaná témata patří aritmetika (zlomky, odmocniny, zisk a ztráta, prostý úrok, pravidlo tří a regulace falsi ) a algebra (simultánní lineární rovnice a kvadratické rovnice ) a aritmetické postupnosti. Kromě toho existuje několik geometrických problémů (včetně problémů s objemy nepravidelných těles). Rukopis Bakhshali také „využívá systém hodnot desetinných míst s tečkou za nulu“. Mnoho z jeho problémů spadá do kategorie známé jako „vyrovnávací problémy“, které vedou k soustavám lineárních rovnic. Jeden příklad z Fragment III-5-3v je následující:

Jeden obchodník má sedm asavských koní, druhý má devět koní haya a třetí má deset velbloudů. Pokud jde o hodnotu jejich zvířat, jsou na tom stejně dobře, pokud každé dá dvě zvířata, jedno každému z ostatních. Zjistěte cenu každého zvířete a celkovou hodnotu za zvířata, která má každý obchodník.

Komentář prózy doprovázející příklad řeší problém převedením na tři (podurčené) rovnice ve čtyřech neznámých a za předpokladu, že ceny jsou celá celá čísla.

V roce 2017 byly pomocí radiokarbonového datování ukázány tři vzorky z rukopisu pocházející ze tří různých století: z let 224-383 n. L., 680–779 n. L. A 885–993 n. L. Není známo, jak byly fragmenty z různých staletí zabaleny dohromady.

Klasické období (400–1600)

Toto období je často známé jako zlatý věk indické matematiky. Toto období vidělo matematiky jako Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava of Sangamagrama a Nilakantha Somayaji dát širší a jasnější podobu mnoha oborům matematiky. Jejich příspěvky by se rozšířily do Asie, na Střední východ a nakonec do Evropy. Na rozdíl od védské matematiky obsahovaly jejich práce astronomické i matematické příspěvky. Matematika té doby byla ve skutečnosti zahrnuta do 'astrální vědy' ( jyotiḥśāstra ) a sestávala ze tří dílčích oborů: matematické vědy ( gaṇita nebo tantra ), horoskopová astrologie ( horā nebo jātaka ) a věštění (saṃhitā). Tento tripartitní rozdělení je vidět v Varahamihira v 6. století compilation- Pancasiddhantika (doslovně Panca , "pět," Siddhanta , "závěr uvažování", datováno 575 CE ) -z pěti starších děl, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta a Paitamaha Siddhanta , což byly adaptace ještě dřívějších děl mezopotámské, řecké, egyptské, římské a indické astronomie. Jak již bylo vysvětleno dříve, hlavní texty byly složeny ze sanskrtského verše a následovaly komentáře prózy.

Páté a šesté století

Surya Siddhanta

Ačkoli jeho autorství není známo, Surya Siddhanta (c. 400) obsahuje kořeny moderní trigonometrie . Protože obsahuje mnoho slov cizího původu, někteří autoři se domnívají, že byl napsán pod vlivem Mezopotámie a Řecka.

Tento starodávný text poprvé používá jako trigonometrické funkce následující:

Obsahuje také nejranější použití:

Pozdější indičtí matematici jako Aryabhata odkazovali na tento text, zatímco pozdější arabské a latinské překlady byly velmi vlivné v Evropě a na Středním východě.

Chhedi kalendář

Tento kalendář Chhedi (594) obsahuje časné použití moderního místa hodnoty Hind-systém arabské číslice nyní univerzálně použitelná.

Aryabhata I

Aryabhata (476–550) napsal Aryabhatiya. Důležité základní principy matematiky popsal ve 332 shlokách . Pojednání obsahovalo:

Aryabhata také napsal Arya Siddhanta , která je nyní ztracena. Mezi příspěvky Aryabhaty patří:

Trigonometrie:

(Viz také: Aryabhataova sinusová tabulka )

  • Zavedl goniometrické funkce .
  • Definoval sinus ( jya ) jako moderní vztah mezi polovinou úhlu a polovinou akordu.
  • Definoval kosinus ( kojya ).
  • Definoval versine ( utkrama-jya ).
  • Definoval inverzní sinus ( otkram jya ).
  • Poskytl metody výpočtu jejich přibližných číselných hodnot.
  • Obsahuje nejranější tabulky hodnot sinus, kosinus a versin v intervalech 3,75 ° od 0 ° do 90 ° s přesností na 4 desetinná místa.
  • Obsahuje goniometrický vzorec sin ( n + 1) x - sin nx = sin nx - sin ( n - 1) x - (1/225) sin nx .
  • Sférická trigonometrie .

Aritmetický:

Algebra:

  • Řešení simultánních kvadratických rovnic.
  • Řešení celého počtu lineárních rovnic metodou ekvivalentní moderní metodě.
  • Obecné řešení neurčité lineární rovnice.

Matematická astronomie:

Varahamihira

Varahamihira (505-587) produkoval Pancha Siddhanta ( The Five Astronomical kanovníků ). Významně přispěl k trigonometrii, včetně sinusových a kosinusových tabulek na 4 desetinná místa přesnosti a následujících vzorců týkajících se funkcí sinus a kosinus :

Sedmé a osmé století

Brahmagupta teorém říká, že AF = FD .

V 7. století začaly v indické matematice vznikat dvě oddělená pole, aritmetika (zahrnující měření ) a algebra . Obě pole bylo později nazváno pati-Ganita (doslova „matematiky algoritmů“) a bīja-Ganita (Lit. „matematiky semen,“ s „semena“ -Jako semena rostlin reprezentující neznámých s potenciálem pro generování, v tomto případě řešení rovnic). Brahmagupta ve svém astronomickém díle Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 n. L.) Zahrnul dvě kapitoly (12 a 18) věnované těmto oborům. Kapitola 12, obsahující 66 sanskrtských veršů, byla rozdělena do dvou částí: „základní operace“ (včetně kořenů kostek, zlomků, poměru a poměru a výměnného obchodu) a „praktická matematika“ (včetně směsi, matematických řad, rovinných figur, skládání cihel, řezání dřeva a hromadění obilí). V druhé části uvedl svou slavnou větu o úhlopříčkách cyklického čtyřúhelníku :

Brahmaguptova věta: Pokud má cyklický čtyřúhelník diagonály, které jsou navzájem kolmé , pak kolmá čára nakreslená z bodu průsečíku úhlopříček na libovolnou stranu čtyřúhelníku vždy půlí opačnou stranu.

Kapitola 12 také obsahovala vzorec pro oblast cyklického čtyřúhelníku (zobecnění Heronova vzorce ) a také úplný popis racionálních trojúhelníků ( tj. Trojúhelníků s racionálními stranami a racionálními oblastmi).

Brahmaguptův vzorec: Plocha A cyklického čtyřúhelníku se stranami o délkách a , b , c , d je dána vztahem

kde s , semiperimetr , daný

Brahmaguptova věta o racionálních trojúhelnících: Trojúhelník s racionálními stranami a racionální oblastí má tvar:

u některých racionálních čísel a .

Kapitola 18 obsahovala 103 sanskrtských veršů, které začínaly pravidly pro aritmetické operace zahrnující nulová a záporná čísla, a je považována za první systematické zpracování předmětu. Pravidla (který zahrnoval i ) byli všichni v pořádku, až na jednu výjimku: . Později v kapitole uvedl první explicitní (i když stále ne zcela obecné) řešení kvadratické rovnice :

K absolutnímu číslu vynásobenému čtyřnásobkem [koeficientu] čtverce přičtěte druhou mocninu [koeficientu] středního členu; druhá odmocnina téhož, snížená o [koeficient] středního termínu, je vydělena dvojnásobkem [koeficientu] druhé mocniny.

To je ekvivalentní:

Také v kapitole 18 byl Brahmagupta schopen dosáhnout pokroku při hledání (integrálních) řešení Pellovy rovnice ,

kde je nonsquare integer. Udělal to tak, že objevil následující identitu:

Identita Brahmagupty: což bylo zobecnění dřívější Diophantovy identity : Brahmagupta použil svou identitu k prokázání následujícího lemmatu:

Lemma (Brahmagupta): Pokud je řešením a, je řešením , pak:

je řešením

Poté použil toto lemma k vygenerování nekonečně mnoha (integrálních) řešení Pellovy rovnice s daným jedním řešením a k uvedení následující věty:

Věta (Brahmagupta): Pokud má rovnice celočíselné řešení pro některou z Pellových rovnic:

má také celočíselné řešení.

Brahmagupta větu ve skutečnosti neprokázal, spíše vypracoval příklady pomocí své metody. První příklad, který představil, byl:

Příklad (Brahmagupta): Najděte celá čísla taková, že:

Ve svém komentáři Brahmagupta dodal: „Člověk, který do roka vyřeší tento problém, je matematik“. Řešení, které poskytl, bylo:

Bhaskara I.

Bhaskara I (asi 600–680) rozšířil dílo Aryabhaty ve svých knihách s názvem Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya a Laghu-bhaskariya . Produkoval:

  • Řešení neurčitých rovnic.
  • Racionální aproximace sinusové funkce .
  • Vzorec pro výpočet sinusu ostrého úhlu bez použití tabulky, opravený na dvě desetinná místa.

Deváté až dvanácté století

Virasena

Virasena (8. století) byla Jain matematik na dvoře Rashtrakuta krále Amoghavarsha z Manyakheta , Karnataka. Napsal Dhavala , komentář k Jainské matematice, který:

  • Zabývá se konceptem ardhaccheda , kolikrát bylo možné číslo snížit na polovinu, a uvádí různá pravidla zahrnující tuto operaci. To se shoduje s binárním logaritmem, když je aplikováno na mocniny dvou , ale liší se v jiných číslech, více se podobá řádu 2-adic .
  • Stejný koncept pro základnu 3 ( trakacheda ) a základnu 4 ( caturthacheda ).

Virasena také dala:

Předpokládá se, že velkou část matematického materiálu v Dhavale lze připsat předchozím spisovatelům, zejména Kundakundovi, Shamakundovi, Tumbulurovi, Samantabhadrovi a Bappadevovi a datu, kteří psali mezi lety 200 a 600 n. L.

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800–870) z Karnataky , poslední z pozoruhodných Jainských matematiků, žil v 9. století a byl sponzorován králem Rashtrakuta Amoghavarshou. Napsal knihu s názvem Ganit Saar Sangraha o numerické matematice a také napsal pojednání o široké škále matematických témat. Patří sem matematika:

Mahavira také:

  • Tvrdí, že druhá odmocnina záporného čísla neexistovala
  • Dal součet řady, jejíž podmínky jsou čtverce o o aritmetický progrese , a dával empirická pravidla pro oblast a obvod elipsy.
  • Řešené kubické rovnice.
  • Řešené kvartické rovnice.
  • Vyřešeno několik kvintických rovnic a polynomů vyššího řádu .
  • Poskytl obecná řešení polynomických rovnic vyššího řádu:
  • Řešeny neurčité kvadratické rovnice.
  • Vyřešeno neurčité kubické rovnice.
  • Vyřešeno neurčitě rovnic vyššího řádu.
Shridhara

Shridhara (c. 870–930), který žil v Bengálsku , napsal knihy s názvem Nav Shatika , Tri Shatika a Pati Ganita . Dal:

Pati Ganita je práce na aritmetice a měření . Zabývá se různými operacemi, včetně:

  • Základní operace
  • Extrahování odmocnin a kostek.
  • Zlomky.
  • Pro operace zahrnující nulu je uvedeno osm pravidel.
  • Metody součtu různých aritmetických a geometrických řad, které se měly stát standardními odkazy v pozdějších pracích.
Manjula

Aryabhatovy diferenciální rovnice byly zpracovány v 10. století Manjulou (také Munjala ), která si uvědomila, že výraz

lze přibližně vyjádřit jako

Po vyřešení diferenciální rovnice, která vyplynula ze substituce tohoto výrazu do Aryabhatovy diferenciální rovnice, porozuměl konceptu diferenciace.

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920–1000) napsal komentář k Shridharovi a astronomické pojednání Maha-Siddhanta . Maha-Siddhanta má 18 kapitol a pojednává o:

  • Numerická matematika ( Ank Ganit ).
  • Algebra.
  • Řešení neurčitých rovnic ( kuttaka ).
Shripati

Shripati Mishra (1019–1066) napsal knihy Siddhanta Shekhara , hlavní dílo o astronomii v 19 kapitolách, a Ganit Tilaka , neúplné aritmetické pojednání ve 125 verších na základě díla Shridhary. Pracoval hlavně na:

Byl také autorem Dhikotidakarana , práce o dvaceti verších na:

Dhruvamanasa je dílem 105 poezií na:

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) je autorem matematického pojednání s názvem Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II ( 1114–1185 ) byl matematik-astronom, který napsal řadu důležitých pojednání, jmenovitě Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam a Karan Kautoohal . Řada jeho příspěvků byla později přenesena na Blízký východ a do Evropy. Mezi jeho příspěvky patří:

Aritmetický:

  • Výpočet úroků
  • Aritmetické a geometrické posloupnosti
  • Geometrie letadla
  • Solidní geometrie
  • Stín gnómona
  • Řešení kombinací
  • Poskytl důkaz pro dělení nulou na nekonečno .

Algebra:

  • Rozpoznání kladného čísla se dvěma odmocninami.
  • Surds .
  • Operace s produkty několika neznámých.
  • Řešení:
    • Kvadratické rovnice.
    • Kubické rovnice.
    • Kvartické rovnice.
    • Rovnice s více než jednou neznámou.
    • Kvadratické rovnice s více než jednou neznámou.
    • Obecná forma Pellovy rovnice pomocí metody chakravala .
    • Obecná neurčitá kvadratická rovnice pomocí metody chakravala .
    • Neurčité kubické rovnice.
    • Neurčité kvartické rovnice.
    • Neurčité polynomické rovnice vyššího řádu.

Geometrie:

Počet:

Trigonometrie:

  • Vývoj sférické trigonometrie
  • Trigonometrické vzorce:

Kerala matematika (1300–1600)

Kerala školy astronomie a matematiky byla založena Madhava Sangamagrama v Kerala, jižní Indie a zařazen mezi jejími členy: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri a Achyuta Panikkar. Rozkvétala mezi 14. a 16. stoletím a původní objevy školy zřejmě skončily Narayanou Bhattathiri (1559–1632). Při pokusu o řešení astronomických problémů astronomové školy Kerala nezávisle vytvořili řadu důležitých matematických konceptů. Nejdůležitější výsledky, rozšíření řady pro goniometrické funkce , byly uvedeny v sanskrtském verši v knize Neelakanty s názvem Tantrasangraha a komentáři k této práci s názvem Tantrasangraha-vakhya neznámého autorství. Věty byly uvedeny bez důkazů, ale důkazy pro sérii pro sinus , kosinus a inverzní tangens byly poskytnuty o století později v díle Yuktibhāṣā (c.1500 – c.1610), napsaném Malayalamem , od Jyesthadeva .

Jejich objev těchto tří důležitých sérií rozšíření počtu - několik století před tím, než v Evropě vyvinuli kalkul Isaac Newton a Gottfried Leibniz - byl úspěch. Škola Kerala však nevymyslela kalkul , protože zatímco oni byli schopni vyvinout Taylorovy řady rozšíření pro důležité goniometrické funkce , diferenciaci , integraci termín po termínu , testy konvergence , iterační metody pro řešení nelineárních rovnic a teorii že oblast pod křivkou je její integrál, nevyvinuli ani teorii diferenciace ani integrace , ani základní teorém počtu . Výsledky získané školou Kerala zahrnují:

  • (Nekonečná) geometrická řada :
  • Semi-rigorózní důkaz (viz „indukční“ poznámka níže) výsledku: pro velké n .
  • Intuitivní použití matematické indukce však induktivní hypotéza nebyla formulována ani použita v důkazech.
  • Aplikace myšlenek z (co se mělo stát) diferenciálního a integrálního počtu k získání (Taylor – Maclaurin) nekonečných řad pro sin x, cos x a arctan x. Tantrasangraha-vakhya dává řadu ve verši, který při překladu do matematického zápisu, může být zapsán jako:
kde pro r  = 1 se řada redukuje na standardní výkonovou řadu pro tyto goniometrické funkce, například:
a
  • Jako důkaz těchto výsledků použijte rektifikaci (výpočet délky) oblouku kruhu. (Pozdější Leibnizova metoda využívající kvadraturu, tj. Výpočet plochy pod obloukem kruhu, nebyla použita.)
  • Použití rozšíření řady o získání Leibnizova vzorce pro π :
  • Racionální aproximace chyb pro konečný součet jejich zájmových řad. Například chyba,, (pro n liché a i = 1, 2, 3) pro řadu:
  • Manipulace s chybovým termínem k odvození rychlejší konvergující řady pro :
  • Pomocí vylepšené řady k odvození racionálního výrazu 104348/33215 pro π opraví až devět desetinných míst, tj.  3,141592653.
  • K výpočtu těchto výsledků použijte intuitivní pojem limitu.
  • Semi-rigorózní (viz poznámka k limitům výše) metoda diferenciace některých goniometrických funkcí. Neformulovali však pojem funkce ani neměli znalosti o exponenciálních nebo logaritmických funkcích.

Práce školy v Kerale byly poprvé sepsány pro západní svět Angličanem CM Whishem v roce 1835. Podle Whishe Keralaští matematici „ položili základ úplného systému toků “ a tato díla byla „ přeplněnáformami a řadami fluxionů. nelze nalézt v žádné práci cizích zemí.

Whishovy výsledky však byly téměř zcela opomíjeny, až o více než století později, když C. Rajagopal a jeho spolupracovníci znovu prozkoumali objevy školy Kerala. Jejich práce obsahuje komentáře k důkazům řady arctanů v Yuktibhāṣi uvedené ve dvou novinách, komentář k Yuktibhāṣovu důkazu o sinusové a kosinové řadě a dva dokumenty, které poskytují sanskrtské verše tantrasangrahavakhya pro sérii pro arctan, hřích a kosinus (s anglickým překladem a komentářem).

Narayana Pandit je matematik ze 14. století, který složil dvě důležitá matematická díla, aritmetické pojednání Ganita Kaumudi a algebraické pojednání Bijganita Vatamsa . Narayana je také považován za autora komplikovaného komentáře k Lilavati Bhaskara II. , S názvem Karmapradipika (nebo Karma-Paddhati ). Madhava ze Sangamagramy (asi 1340–1425) byl zakladatelem školy Kerala. Ačkoli je možné, že napsal Karana Paddhati dílo napsané někdy mezi lety 1375 a 1475, vše, co o jeho díle opravdu víme, pochází z děl pozdějších učenců.

Parameshvara (c. 1370-1460) psal komentáře k dílům Bhaskara I , Aryabhata a Bhaskara II. Jeho Lilavati Bhasya , komentář k Lilavati Bhaskara II. , Obsahuje jeden z jeho důležitých objevů: verzi věty o průměrných hodnotách . Nilakantha Somayaji (1444–1544) složila Tantra Samgraha (která „plodila“ pozdější anonymní komentář Tantrasangraha-vyakhya a další komentář jménem Yuktidipaika , napsaný v roce 1501). Zpracoval a rozšířil příspěvky Madhavy.

Citrabhanu (c. 1530) byl matematik 16. století z Keraly, který dal celočíselná řešení pro 21 typů systémů dvou simultánních algebraických rovnic ve dvou neznámých. Tyto typy jsou všechny možné dvojice rovnic následujících sedmi forem:

Pro každý případ Citrabhanu poskytl vysvětlení a odůvodnění své vlády a také příklad. Některá jeho vysvětlení jsou algebraická, jiná geometrická. Jyesthadeva (asi 1500–1575 ) byl dalším členem školy Kerala. Jeho klíčovým dílem byla Yukti-bhāṣā (psaná malajálamsky, regionálním jazykem Keraly). Jyesthadeva předložila důkazy o většině matematických vět a nekonečných řad, které dříve objevili Madhava a další matematici z Kerala School.

Poplatky za eurocentrismus

Bylo navrženo, že indické příspěvky k matematice nebyly v moderní historii náležitě uznány a že mnoho objevů a vynálezů indických matematiků je v současné době kulturně přisuzováno jejich západním protějškům v důsledku eurocentrismu . Podle názoru GG Josepha na „ Etnomatematiku “:

[Jejich práce] přebírá některé námitky vznesené ohledně klasické eurocentrické trajektorie. Povědomí [o indické a arabské matematice] je příliš pravděpodobné, že bude zmírněno odmítavým odmítnutím jejich důležitosti ve srovnání s řeckou matematikou. Příspěvky od jiných civilizací - zejména z Číny a Indie, jsou vnímány buď jako dlužníci z řeckých zdrojů, nebo jen nepatrně přispěli k hlavnímu matematickému rozvoji. Otevřenost vůči novějším výsledkům výzkumu, zejména v případě indické a čínské matematiky, bohužel chybí “

Historik matematiky Florian Cajori navrhl, aby on a další „ měli podezření, že Diophantus poprvé spatřil algebraické znalosti z Indie“. Napsal však také, že „je jisté, že části hinduistické matematiky mají řecký původ“.

Více nedávno, jak je diskutováno ve výše uvedené části, nekonečná řada počtu pro goniometrické funkce (nově objevený Gregory, Taylor a Maclaurin na konci 17. století) byly popsány (s důkazy a vzorci pro chybu zkrácení) v Indii, matematiky z Kerala škola , pozoruhodně asi dvě století dříve. Někteří učenci nedávno navrhli, že znalost těchto výsledků mohla být přenesena do Evropy obchodní cestou z Keraly obchodníky a jezuitskými misionáři. Kerala byla v nepřetržitém kontaktu s Čínou a Arábií a přibližně od roku 1500 s Evropou. Existence komunikačních tras a vhodná chronologie určitě umožňují takový přenos. Neexistuje však přímý důkaz prostřednictvím příslušných rukopisů, že by k takovému přenosu skutečně došlo. Podle Davida Bressouda „neexistuje žádný důkaz, že by indická série byla známá až za hranicemi Indie nebo dokonce mimo Keralu až do devatenáctého století“.

Arabští i indičtí učenci objevili před 17. stoletím objevy, které jsou nyní považovány za součást počtu. Neučinili však, jak to udělali Newton a Leibniz , „spojili mnoho rozdílných myšlenek v rámci dvou sjednocujících témat derivace a integrálu , ukázali spojení mezi těmito dvěma a neproměnili kalkul ve skvělý nástroj pro řešení problémů, který dnes máme. " Intelektuální kariéra Newtona i Leibnise je dobře zdokumentována a nic nenasvědčuje tomu, že by jejich práce nebyla jejich vlastní; není však s jistotou známo, zda se bezprostřední předchůdci Newtona a Leibniza, „včetně zejména Fermata a Robervala, dozvěděli o některých myšlenkách islámských a indických matematiků prostřednictvím zdrojů, které nyní neznáme“. Jedná se o aktivní oblast současného výzkumu, zejména ve sbírkách rukopisů Španělska a Maghrebu . Tento výzkum probíhá mimo jiné v Centre National de Recherche Scientifique v Paříži.

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení

Zdrojové knihy v sanskrtu

  • Keller, Agathe (2006), Vysvětlení matematického semene. Sv. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya , Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 stran, ISBN 978-3-7643-7291-0.
  • Keller, Agathe (2006), Vysvětlení matematického semene. Sv. 2: Doplňky: Překlad Bhaskary I o matematické kapitole Aryabhatiya , Basilej, Boston a Berlín: Birkhäuser Verlag, 206 stran, ISBN 978-3-7643-7292-7.
  • Sarma, KV , ed. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa s komentářem Sūryadeva Yajvan , kriticky upraveno v Úvod a přílohy, New Delhi: Indian National Science Academy.
  • Sen, SN; Taška, AK, eds. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava , with Text, English Translation and Commentary, New Delhi: Indian National Science Academy.
  • Shukla, KS, ed. (1976), Āryabhaṭīya z Āryabhaṭy s komentářem Bhāskara I a Someśvara , kriticky upraveno pomocí Úvod, anglický překlad, poznámky, komentáře a rejstříky, Nové Dillí: Indian National Science Academy.
  • Shukla, KS, ed. (1988), Āryabhaṭīya z Āryabhaṭa , kriticky upraveno pomocí Úvod, anglický překlad, poznámky, komentáře a rejstříky, ve spolupráci s KV Sarma , New Delhi: Indian National Science Academy.

externí odkazy