Nekonečná dělitelnost - Infinite divisibility

Nekonečná dělitelnost vzniká různými způsoby ve filozofii , fyzice , ekonomii , teorii řádu (odvětví matematiky) a teorii pravděpodobnosti (také odvětví matematiky). Lze hovořit o nekonečné dělitelnosti nebo o jejím nedostatku o hmotě , prostoru , čase , penězích nebo abstraktních matematických objektech, jako je kontinuum .

Ve filozofii

Původ myšlenky v západní tradici lze vysledovat do 5. století př. N. L. Počínaje starověkým řeckým pre-sokratovským filozofem Demokritem a jeho učitelem Leucippem , který teoretizoval dělitelnost hmoty nad rámec toho, co lze vnímat smysly, až nakonec skončila nedělitelným atom. Indický filozof Kanada také navrhl atomistickou teorii, nicméně v době, kdy tento filozof žil, panuje nejasnost, a to v rozmezí někdy od 6. století do 2. století před naším letopočtem. Atomismus je prozkoumán v Plato ‚s dialog Timaeus a byl také podpořen Aristotela . Andrew Pyle podává jasný přehled nekonečné dělitelnosti na prvních stránkách svého Atomismu a jeho kritiků . Tam ukazuje, jak nekonečná dělitelnost zahrnuje myšlenku, že existuje nějaká rozšířená položka , například jablko, které lze nekonečně mnohokrát dělit, kde se člověk nikdy nerozděluje až do bodu, nebo na atomy jakéhokoli druhu. Mnoho profesionálních filozofů tvrdí, že nekonečná dělitelnost zahrnuje buď sbírku nekonečného počtu položek (protože existuje nekonečné rozdělení, musí existovat nekonečná sbírka předmětů), nebo (vzácněji) položky bodové velikosti nebo obojí. Pyle uvádí, že matematika nekonečně dělitelných rozšíření nezahrnuje ani jedno z toho-že existují nekonečné dělení, ale pouze konečné sbírky předmětů a nikdy nejsou rozděleny na položky bez rozšíření bodů.

Zeno se ptal, jak se může šíp pohybovat, když je v jednu chvíli nehybný a v další chvíli bude někde jinde a nehybný.

Zenonova úvaha je však mylná, když říká, že pokud je vše, když zabírá stejný prostor, v klidu, a pokud to, co je v pohybu, vždy v každém okamžiku zabírá takový prostor, létající šíp je proto nehybný. To je falešné, protože čas se neskládá z nedělitelných okamžiků o nic víc, než jakákoli jiná velikost se skládá z nedělitelných.

-  Aristoteles, fyzika VI: 9, 239b5

V narážce na Zenův paradox šípu v letu Alfred North Whitehead píše, že „nekonečný počet aktů stání se může uskutečnit v konečném čase, pokud je každý následující akt v konvergentní sérii menší“:

Argument, pokud je platný, vyvolává rozpor z těchto dvou premis: (i) že při stávání se něčím ( res vera ) stává a (ii) že každý akt stávání je dělitelný na dřívější a pozdější části, které jsou samy působí stávání se. Uvažujme například o činu, který se stane během jedné sekundy. Akt je dělitelný na dva akty, jeden v první polovině druhého, druhý v pozdější polovině druhého. To, co se stane během celé vteřiny, tedy předpokládá to, co se stane během první půl sekundy. Analogicky to, co se stane během první půl sekundy, předpokládá to, co se stane během první čtvrtiny sekundy, a tak dále na neurčito. Pokud tedy vezmeme v úvahu postup do začátku druhého dotyčného a zeptáme se, co se stane, nelze odpovědět. Neboť jakékoli stvoření, které naznačujeme, předpokládá dřívější stvoření, které se stalo po začátku druhého a antecedentně uvedenému stvoření. Není tedy nic, co by se stalo, aby se uskutečnil přechod do druhého dotyčného.

-  AN Whitehead, proces a realita

V kvantové fyzice

Až do objevení kvantové mechaniky se nerozlišovalo mezi otázkou, zda je hmota nekonečně dělitelná, a otázkou, zda lze hmotu rozdělit na menší části ad infinitum .

Výsledkem je, že řecké slovo átomos ( ἄτομος ), které doslovně znamená „nestříhatelný“, je obvykle překládáno jako „nedělitelné“. Zatímco moderní atom je skutečně dělitelný, ve skutečnosti je nerozřezatelný: neexistuje žádné rozdělení prostoru tak, aby jeho části odpovídaly hmotným částem atomu. Jinými slovy, kvantově mechanický popis hmoty již neodpovídá paradigmatu cookie cutter. To vrhá čerstvé světlo na starodávný hlavolam dělitelnosti hmoty. Mnohonásobnost hmotného objektu - počet jeho částí - závisí na existenci nikoli ohraničujících povrchů, ale na vnitřních prostorových vztazích (relativní polohy mezi částmi), kterým chybí určité hodnoty. Podle standardního modelu částicové fyziky jsou částice, které tvoří atom - kvarky a elektrony - bodové částice : nezabírají prostor. To, co je atom přesto zabírají místo je není jakýkoliv prostorově rozšířen „věci“, že „zabírá prostor“, a které by mohly být řez na menší a menší části, ale neurčitost jeho vnitřní prostorových vztahů.

Fyzický prostor je často považován za nekonečně dělitelný: má se za to, že jakákoli oblast v prostoru, bez ohledu na to, jak malá, by mohla být dále rozdělena. Čas je podobně považován za nekonečně dělitelný.

Průkopnická práce Maxe Plancka (1858–1947) v oblasti kvantové fyziky naznačuje, že ve skutečnosti existuje minimální měřitelná vzdálenost (nyní nazývaná Planckova délka , 1,616229 (38) × 10 −35 metrů), a proto minimální časový interval (množství času, který světlo má přejít na tuto vzdálenost ve vakuu, 5,39116 (13) x 10 -44 sekund, známý jako čas Planckova ) menší, než které smysluplné měření není možné.

V ekonomii

Jeden dolar nebo jedno euro je rozděleno na 100 centů; lze platit pouze v krocích po centu. Je zcela běžné, že ceny některých komodit, jako je benzín, jsou v přírůstcích po desetinách centu za galon nebo za litr. Pokud benzín stojí 3,979 USD za galon a jeden koupí 10 galonů, pak „extra“ 9/10 centu přijde na desetinásobek: „extra“ 9 centů, takže cent v takovém případě dostane zaplaceno. Peníze jsou nekonečně dělitelné v tom smyslu, že jsou založeny na reálném číselném systému. Moderní mince však nejsou dělitelné (v minulosti byly některé mince váženy při každé transakci a byly považovány za dělitelné bez ohledu na konkrétní omezení). V každé transakci je bod přesnosti, který je k ničemu, protože tak malé částky peněz jsou pro člověka bezvýznamné. Čím více se cena znásobí, tím více může na přesnosti záležet. Například při nákupu milionu akcií akcie by kupujícího a prodávajícího mohl zajímat cenový rozdíl desetin centů, ale je to jen volba. Všechno ostatní v obchodním měření a výběru je podobně dělitelné do té míry, že strany mají zájem. Finanční zprávy mohou být například vykazovány každoročně, čtvrtletně nebo měsíčně. Někteří obchodní manažeři spouští přehledy peněžních toků více než jednou denně.

Ačkoli čas může být nekonečně dělitelný, údaje o cenách cenných papírů jsou vykazovány v diskrétních časech. Pokud se například podíváme do záznamů o cenách akcií ve 20. letech 20. století, můžeme najít ceny na konci každého dne, ale možná ne na tři setiny sekundy po 12:47. Nová metoda by však teoreticky mohla vykazovat dvojnásobnou rychlost, což by nezabránilo dalšímu zvyšování rychlosti podávání zpráv. Možná paradoxně je technická matematika aplikovaná na finanční trhy často jednodušší, pokud je jako aproximace použit nekonečně dělitelný čas. I v těchto případech je zvolena přesnost, se kterou se pracuje, a měření se zaokrouhlí na tuto aproximaci. Z hlediska lidské interakce jsou peníze a čas dělitelné, ale pouze do té míry, že další dělení nemá hodnotu, což nelze přesně určit.

V teorii pořádku

Říci, že pole z racionálních čísel je nekonečně dělitelná (tj pořadí teoreticky hustý ), znamená, že mezi dvěma racionální čísla je další racionální číslo. Naproti tomu kroužek z čísel není nekonečně dělitelné.

Nekonečná dělitelnost neznamená nedostatek mezer: racionálové si neužijí nejméně horní mezní vlastnosti . To znamená, že kdybychom rozdělili racionály na dvě neprázdné množiny A a B, kde A obsahuje všechny racionály menší než nějaké iracionální číslo ( π , řekněme) a B všechny racionály větší než to, pak A nemá největšího člena a B nemá nejmenšího člena. Pole reálných čísel je naopak nekonečně dělitelné a bez mezer. Jakákoli lineárně uspořádaná množina, která je nekonečně dělitelná a bez mezer a má více než jednoho člena, je nespočetně nekonečná . Důkaz najdete v prvním Cantorově dokladu o nespolehlivosti . Nekonečná dělitelnost sama o sobě znamená nekonečnost, ale ne nespočitatelnost, jak ukazují racionální čísla.

V rozdělení pravděpodobnosti

Hlavní článek: nekonečná dělitelnost (pravděpodobnost)

Říct, že rozdělení pravděpodobnosti F na reálné přímce je nekonečně dělitelné, znamená, že pokud X je libovolná náhodná proměnná, jejíž rozdělení je F , pak pro každé kladné celé číslo n existuje n nezávislých identicky rozložených náhodných proměnných X 1 , ..., X n jejichž součet je v rozdělení roven X (těch n dalších náhodných proměnných obvykle nemá stejné rozdělení pravděpodobnosti jako X ).

Poissonovo rozložení , koktání Poissonovo rozložení, negativní binomické rozdělení a distribuce gama jsou příklady nekonečně dělitelný distribucí - stejně tak jako normální rozdělení , Cauchy distribuce a všechny ostatní členy distribučního stabilní rodiny. Zešikmení normální distribuce je příklad non-nekonečně dělitelné distribuci. (Viz Domínguez-Molina a Rocha Arteaga (2007).)

Každé mnohem dělitelná rozdělení pravděpodobnosti odpovídá přirozeným způsobem mailem Lévy procesu , tj stochastický proces { X t  : t ≥ 0} s pevnými nezávislých krocích ( stacionární prostředky, které pro y < t , na rozdělení pravděpodobnosti z X t - X je závisí pouze na t - s ; nezávislé přírůstky znamenají, že tento rozdíl je nezávislý na odpovídajícím rozdílu v jakémkoli intervalu, který se nepřekrývá s [ s , t ], a podobně pro jakýkoli konečný počet intervalů).

Tento koncept nekonečné dělitelnosti rozdělení pravděpodobnosti zavedl v roce 1929 Bruno de Finetti .

Viz také

Reference

  1. ^ Vzdělávání, Pearson (2016). Vědecký odrazový můstek 9 . ISBN 9789332585164.
  2. ^ Aristoteles. „Fyzika“ . Internetový klasický archiv .
  3. ^ a b Ross, SD (1983). Perspektiva v Whiteheadově metafyzice . Suny Series v systematické filozofii. State University of New York Press. s.  182 –183. ISBN 978-0-87395-658-1. LCCN  82008332 .
  4. ^ Ulrich Mohrhoff (2000). „Kvantová mechanika a paradigma cookie cutter“. arXiv : quant-ph/0009001v2 .
  • Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) „O nekonečné dělitelnosti některých šikmých symetrických distribucí“. Statistics and Probability Letters , 77 (6), 644–648 doi : 10.1016/j.spl.2006.09.014

externí odkazy