Nekonečná sada - Infinite set

V teorii množin , An nekonečná množina je sada , která není konečná množina . Nekonečné sady mohou být spočetné nebo nepočítatelné .

Vlastnosti

Množina přirozených čísel (jejichž existenci předpokládá axiom nekonečna ) je nekonečná. Je to jediná množina, kterou axiomy přímo vyžadují, aby byla nekonečná. Existenci jakékoli jiné nekonečné množiny lze dokázat v Zermelo – Fraenkelově teorii množin (ZFC), ale pouze ukázáním, že vyplývá z existence přirozených čísel.

Sada je nekonečná právě tehdy, když pro každé přirozené číslo má sada podmnožinu, jejíž mohutnost je toto přirozené číslo.

Pokud platí axiom výběru , pak je množina nekonečná právě tehdy, obsahuje-li nespočetnou nekonečnou podmnožinu.

Pokud je množina množin nekonečná nebo obsahuje nekonečný prvek, pak je její sjednocení nekonečné. Výkonová sada nekonečné množiny je nekonečná. Jakákoli nadmnožina nekonečné množiny je nekonečná. Pokud je nekonečná množina rozdělena na konečně mnoho podmnožin, pak alespoň jedna z nich musí být nekonečná. Jakákoli množina, kterou lze namapovat na nekonečnou množinu, je nekonečná. Kartézský součin z nekonečné množiny a nonempty je nekonečná. Kartézský součin nekonečného počtu množin, z nichž každá obsahuje alespoň dva prvky, je buď prázdný, nebo nekonečný; pokud platí axiom výběru, pak je nekonečný.

Pokud je nekonečná množina dobře uspořádaná množina , musí mít neprázdnou, netriviální podmnožinu, která nemá žádný největší prvek.

V ZF je množina nekonečná právě tehdy, když výkonová sada její výkonové sady je Dedekindově nekonečná množina , která má vlastní podmnožinu rovnocennou sobě samému. Pokud platí také axiom výběru, pak jsou nekonečné množiny přesně Dedekindovy nekonečné množiny.

Pokud je nekonečná množina dobře objednatelná množina , pak má mnoho řádných objednávek, které jsou neizomorfní.

Příklady

Nespočetně nekonečné množiny

Sada všech celých čísel , {..., -1, 0, 1, 2, ...} je spočetně nekonečná množina. Sada všech sudých celých čísel je také spočetně nekonečná množina, i když je to správná podmnožina celých čísel.

Množina všech racionálních čísel je spočetně nekonečná množina, protože existuje množina celých čísel.

Nespočetně nekonečné sady

Množina všech reálných čísel je nespočetně nekonečná množina. Sada všech iracionálních čísel je také nespočetně nekonečná množina.

Viz také

Reference

externí odkazy