Vnitřní model - Inner model
V teorii množin , pobočka matematické logiky , An vnitřní modelu pro teorie T je nosná konstrukce z modelu M části teorie množin , která je jak model pro T a obsahuje všechny ordinals z M .
Definice
Nechť je jazykem teorie množin. Nechť S je konkrétní teorie množin, například ZFC axiomy a nechť T (možná stejné jako S ) je také teorie .
Pokud M je model pro S a N je taková struktura
- N je pro spodní část M , tj výklad o v N je
- N je model pro T
- doména N je přenositelný třída z M
- N obsahuje všechny ordinals z M
pak říkáme, že N je vnitřní modelu z T (v M ). Obvykle T bude rovnat (nebo zahrnovat) S tak, že N je modelem pro S ‚uvnitř‘ modelu M ze S .
Pokud pouze podmínek 1 a 2, držení, N se nazývá standardní model z T (v M ), což je standardní submodel z T (v případě S = T a) N je množina v M . Model N z T v M se nazývá tranzitivní, když je standardní a podmínka 3 platí. Pokud se nepředpokládá axiom základu (tj. Není v S ), dostanou všechny tři z těchto konceptů další podmínku, aby N bylo opodstatněné . Proto jsou vnitřní modely přechodné, přechodné modely jsou standardní a standardní modely jsou opodstatněné.
Předpoklad, že existuje standardní submodel ZFC (v daném vesmíru), je silnější než předpoklad, že existuje model. Ve skutečnosti, pokud existuje standardní submodel, pak je ve všech standardních submodelech nejmenší standardní submodel nazývaný minimální model . Minimální submodel neobsahuje žádný standardní submodel (protože je minimální), ale (za předpokladu konzistence ZFC) obsahuje nějaký model ZFC podle Gödelovy věty o úplnosti . Tento model nemusí být nutně opodstatněný, jinak by jeho Mostowského kolaps byl standardním submodelem. (Není opodstatněný jako vztah ve vesmíru, i když splňuje axiom základu , je tedy „vnitřně“ opodstatněný. Být opodstatněný není absolutní vlastností.) Zejména v minimálním submodelu existuje model ZFC, ale neexistuje standardní submodel ZFC.
Použití
Obvykle, když jeden mluví o vnitřních modelů teorie, teorie jeden je diskutovat je ZFC nebo nějaké rozšíření ZFC (jako ZFC + je měřitelný kardinál ). Pokud není zmíněna žádná teorie, obvykle se předpokládá, že diskutovaný model je vnitřním modelem ZFC. Není však neobvyklé hovořit také o vnitřních modelech dílčích teorií ZFC (jako ZF nebo KP ).
Související nápady
To bylo prokázáno Kurt Gödel , že každý model ZF má nejmenší vnitřní model ZF (který je také vnitřní model ZFC + GCH ), zvané constructible vesmíru , nebo L .
Existuje odvětví teorie množin zvané teorie vnitřních modelů, které studuje způsoby konstrukce nejmenších vnitřních modelů teorií rozšiřujících ZF. Teorie vnitřního modelu vedla k objevení přesné síly konzistence mnoha důležitých teoretických vlastností sady.