Okamžitá fáze a frekvence - Instantaneous phase and frequency
Okamžitá fáze a frekvence jsou důležitými koncepty ve zpracování signálu , ke kterým dochází v kontextu reprezentace a analýzy časově proměnných funkcí. Okamžitá fáze (také známý jako místní fáze nebo jednoduše fázi ) o komplexně hodnocený funkce s ( t ), je reálná funkce:
kde arg je funkce komplexního argumentu . Okamžitý kmitočet je časová rychlost okamžitého fáze.
A pro funkci s reálnou hodnotou s ( t ) se určuje z analytické reprezentace funkce , s a ( t ):
Když je φ ( t ) omezeno na svou hlavní hodnotu , buď interval (- π , π ] nebo [0, 2 π ) , nazývá se to zabalená fáze . Jinak se tomu říká nezabalená fáze , což je spojitá funkce argumentu t , za předpokladu, že s a ( t ) je spojitá funkce t . Pokud není uvedeno jinak, měla by být odvozena souvislá forma.
Okamžitá fáze vs. čas. Funkce má dvě skutečné diskontinuity o 180 °, což svědčí o nulovém křížení amplitudy. 360 ° „diskontinuity“ v časech 37 a 91 jsou artefakty fázového zabalení.
V tomto jednoduchém sinusovém příkladu se konstanta θ také běžně označuje jako fáze nebo fázový posun . φ ( t ) je funkce času; θ není. V dalším příkladu také vidíme, že fázový posun sinusoidy se skutečnou hodnotou je nejednoznačný, pokud není zadán odkaz (sin nebo cos). φ ( t ) je jednoznačně definováno.
Příklad 2
kde ω > 0.
V obou příkladech je lokální maxima s ( t ), odpovídá cp ( t ) = 2 π N pro celočíselné hodnoty N . To má aplikace v oblasti počítačového vidění.
Okamžitá frekvence
Okamžitá úhlová frekvence je definována jako:
a okamžitá (běžná) frekvence je definována jako:
kde φ ( t ) musí být rozbalená fáze ; jinak je-li φ ( t ) zabaleno, diskontinuity v φ ( t ) budou mít za následek Diracovy delta impulsy v f ( t ).
2 m 1 π a m 2 π jsou celočíselné násobky π nutné přidat k rozbalení fáze. V hodnotách času t , kde nedojde ke změně na celé číslo m 2 , je derivace φ ( t )
U funkcí diskrétního času to lze zapsat jako rekurzi:
Diskontinuity lze poté odstranit přidáním 2 π kdykoli Δ φ [ n ] ≤ - π a odečtením 2 π kdykoli Δ φ [ n ]> π . To umožňuje φ [ n ] akumulovat se bez omezení a vytváří nerozbalenou okamžitou fázi. Ekvivalentní formulace, která nahradí operaci modulo 2 π složitým násobením, je:
kde hvězdička označuje komplexní konjugát. Okamžitá frekvence v diskrétním čase (v jednotkách radiánů na vzorek) je jednoduše posunem fáze pro daný vzorek
Komplexní zastoupení
V některých aplikacích, jako je například průměrování hodnot fáze v několika okamžicích, může být užitečné převést každou hodnotu na komplexní číslo nebo vektorovou reprezentaci:
Tato reprezentace je podobná zabalené fázové reprezentaci v tom, že nerozlišuje mezi násobky 2 π ve fázi, ale je obdobou nezabalené fázové reprezentace, protože je spojitá. Fázi vektorového průměru lze získat jako arg součtu komplexních čísel bez obav z obtočení.