Okamžitá fáze a frekvence - Instantaneous phase and frequency

Okamžitá fáze a frekvence jsou důležitými koncepty ve zpracování signálu , ke kterým dochází v kontextu reprezentace a analýzy časově proměnných funkcí. Okamžitá fáze (také známý jako místní fáze nebo jednoduše fázi ) o komplexně hodnocený funkce s ( t ), je reálná funkce:

${\ displaystyle \ varphi (t) = \ arg \ {s (t) \},}$

kde arg je funkce komplexního argumentu . Okamžitý kmitočet je časová rychlost okamžitého fáze.

A pro funkci s reálnou hodnotou s ( t ) se určuje z analytické reprezentace funkce , s _a ( t ):

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ varphi (t) & = \ arg \ {s _ {\ mathrm {a}} (t) \} \\ [4pt] & = \ arg \ {s (t) + j {\ hat {s}} (t) \}, \ end {zarovnáno}}}$

kde reprezentuje Hilbertova transformace z S ( t ). ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$

Když je φ ( t ) omezeno na svou hlavní hodnotu , buď interval (- π , π ] nebo [0, 2 π ) , nazývá se to zabalená fáze . Jinak se tomu říká nezabalená fáze , což je spojitá funkce argumentu t , za předpokladu, že s _a ( t ) je spojitá funkce t . Pokud není uvedeno jinak, měla by být odvozena souvislá forma.

Okamžitá fáze vs. čas. Funkce má dvě skutečné diskontinuity o 180 °, což svědčí o nulovém křížení amplitudy. 360 ° „diskontinuity“ v časech 37 a 91 jsou artefakty fázového zabalení.

Příklady

Příklad 1

${\ displaystyle s (t) = A \ cos (\ omega t + \ theta),}$

kde ω > 0.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} s _ {\ mathrm {a}} (t) & = Ae ^ {j (\ omega t + \ theta)}, \\\ varphi (t) & = \ omega t + \ theta. \ end {zarovnáno}}}$

V tomto jednoduchém sinusovém příkladu se konstanta θ také běžně označuje jako fáze nebo fázový posun . φ ( t ) je funkce času; θ není. V dalším příkladu také vidíme, že fázový posun sinusoidy se skutečnou hodnotou je nejednoznačný, pokud není zadán odkaz (sin nebo cos). φ ( t ) je jednoznačně definováno.

Příklad 2

${\ displaystyle s (t) = A \ sin (\ omega t) = A \ cos \ vlevo (\ omega t - {\ frac {\ pi} {2}} \ vpravo),}$

kde ω > 0.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} s _ {\ mathrm {a}} (t) & = Ae ^ {j \ left (\ omega t - {\ frac {\ pi} {2}} \ right)}, \ \\ varphi (t) & = \ omega t - {\ frac {\ pi} {2}}. \ end {zarovnáno}}}$

V obou příkladech je lokální maxima s ( t ), odpovídá cp ( t ) = 2 π N pro celočíselné hodnoty  N . To má aplikace v oblasti počítačového vidění.

Okamžitá frekvence

Okamžitá úhlová frekvence je definována jako:

${\ displaystyle \ omega (t) = {\ frac {d \ varphi (t)} {dt}},}$

a okamžitá (běžná) frekvence je definována jako:

${\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ omega (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ frac {d \ varphi (t)} { dt}}}$

kde φ ( t ) musí být rozbalená fáze ; jinak je-li φ ( t ) zabaleno, diskontinuity v φ ( t ) budou mít za následek Diracovy delta impulsy v f ( t ).

Inverzní operace, která vždy rozbalí fázi, je:

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ varphi (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ omega (\ tau) \, d \ tau = 2 \ pi \ int _ {- \ infty } ^ {t} f (\ tau) \, d \ tau \\ [5pt] & = \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ omega (\ tau) \, d \ tau + \ int _ { 0} ^ {t} \ omega (\ tau) \, d \ tau \\ [5pt] & = \ varphi (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ omega (\ tau) \, d \ tau. \ end {zarovnáno}}}$

Tento okamžitý kmitočet, ω ( t ), lze odvodit přímo z reálné a imaginární části z s ( t ), namísto složitého arg bez obav fázového rozbalování.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ varphi (t) & = \ arg \ {s _ {\ mathrm {a}} (t) \} \\ [4pt] & = \ operatorname {atan2} ({\ mathcal { Im}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)], {\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]) + 2 m_ {1} \ pi \\ [4 pt] & = \ arctan \ left ({\ frac {{\ mathcal {Im}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]}} {{\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} ( t)]}} \ vpravo) + m_ {2} \ pi \ end {zarovnáno}}}$

2 m ₁ π a m ₂ π jsou celočíselné násobky π nutné přidat k rozbalení fáze. V hodnotách času t , kde nedojde ke změně na celé číslo m ₂ , je derivace φ ( t )

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ omega (t) = {\ frac {d \ varphi (t)} {dt}} & = {\ frac {d} {dt}} \ arctan \ left ({\ frac {{\ mathcal {Im}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]} {{\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]}} \ vpravo) \\ [3pt] & = {\ frac {1} {1+ \ left ({\ frac {{\ mathcal {Im}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]} {{\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]}} \ vpravo) ^ {2}}} {\ frac {d} {dt}} \ vlevo ({\ frac {{\ mathcal {Im}} [s_ {\ mathrm {a}} (t)]} {{\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]}} \ right) \\ [3pt] & = {\ frac {{ \ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)] {\ frac {d {\ mathcal {Im}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]} {dt}} - {\ mathcal {Im}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)] {\ frac {d {\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]} {dt}} } {({\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]) ^ {2} + ({\ mathcal {Im}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)] ) ^ {2}}} \\ [3pt] & = {\ frac {1} {| s _ {\ mathrm {a}} (t) | ^ {2}}} \ left ({\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)] {\ frac {d {\ mathcal {Im}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]} {dt}} - {\ mathcal {Im} } [s _ {\ mathrm {a}} (t)] {\ frac {d {\ mathcal {Re}} [s _ {\ mathrm {a}} (t)]} {dt}} \ vpravo) \\ [ 3pt] & = {\ frac {1} {(s (t)) ^ {2} + \ left ({\ hat {s}} (t) \ right) ^ {2}}} \ left (s (t) {\ frac {d {\ hat {s}} (t)} {dt}} - {\ hat {s}} (t) {\ frac {ds ( t)} {dt}} \ vpravo) \ end {zarovnáno}}}$

U funkcí diskrétního času to lze zapsat jako rekurzi:

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ varphi [n] & = \ varphi [n-1] + \ omega [n] \\ & = \ varphi [n-1] + \ podprsenka {\ arg \ {s_ { \ mathrm {a}} [n] \} - \ arg \ {s _ {\ mathrm {a}} [n-1] \}} _ {\ Delta \ varphi [n]} \\ & = \ varphi [n -1] + \ arg \ left \ {{\ frac {s _ {\ mathrm {a}} [n]} {s _ {\ mathrm {a}} [n-1]}} \ right \} \\\ end {zarovnaný}}}$

Diskontinuity lze poté odstranit přidáním 2 π kdykoli Δ φ [ n ] ≤ - π a odečtením 2 π kdykoli Δ φ [ n ]>  π . To umožňuje φ [ n ] akumulovat se bez omezení a vytváří nerozbalenou okamžitou fázi. Ekvivalentní formulace, která nahradí operaci modulo 2 π složitým násobením, je:

${\ displaystyle \ varphi [n] = \ varphi [n-1] + \ arg \ {s _ {\ mathrm {a}} [n] \, s _ {\ mathrm {a}} ^ {*} [n-1 ] \},}$

kde hvězdička označuje komplexní konjugát. Okamžitá frekvence v diskrétním čase (v jednotkách radiánů na vzorek) je jednoduše posunem fáze pro daný vzorek

${\ displaystyle \ omega [n] = \ arg \ {s _ {\ mathrm {a}} [n] \, s _ {\ mathrm {a}} ^ {*} [n-1] \}.}$

Komplexní zastoupení

V některých aplikacích, jako je například průměrování hodnot fáze v několika okamžicích, může být užitečné převést každou hodnotu na komplexní číslo nebo vektorovou reprezentaci:

${\ displaystyle e ^ {i \ varphi (t)} = {\ frac {s _ {\ mathrm {a}} (t)} {| s _ {\ mathrm {a}} (t) |}} = \ cos ( \ varphi (t)) + i \ sin (\ varphi (t)).}$

Tato reprezentace je podobná zabalené fázové reprezentaci v tom, že nerozlišuje mezi násobky 2 π ve fázi, ale je obdobou nezabalené fázové reprezentace, protože je spojitá. Fázi vektorového průměru lze získat jako arg součtu komplexních čísel bez obav z obtočení.

Viz také

• Analytický signál
• Frekvenční modulace
• Skupinové zpoždění
• Okamžitá amplituda

Reference

Další čtení

• Cohen, Leon (1995). Časově-frekvenční analýza . Prentice Hall.
• Granlund; Knutsson (1995). Zpracování signálu pro počítačové vidění . Kluwer Academic Publishers.