celé číslo - Integer

Celé číslo (z latinského integer znamená „celek“) je hovorově definováno jako číslo, které lze zapsat bez zlomkové složky . Například 21, 4, 0 a −2048 jsou celá čísla, zatímco 9,75, 5+1/2, a  2 nejsou.

Množina celých čísel se skládá z nula ( 0 ), pozitivní přirozená čísla ( 1 , 2 , 3 , ...), nazývané také celá čísla nebo čísla počítání a jejich aditivní inverses (dále negativní celá čísla , tj -1 , - 2, -3, ...). Množina celých čísel je často označována tučným písmem ( Z ) nebo tabulovým tučným písmenem "Z" - původně zastupující německé slovo Zahlen ("čísla").

je podmnožinou množiny všech racionálních čísel , která je zase podmnožinou reálných čísel . Stejně jako přirozená čísla je spočetně nekonečný .

Celá čísla tvoří nejmenší skupinu a nejmenší kruh obsahující přirozená čísla . V algebraické teorii čísel jsou celá čísla někdy kvalifikována jako racionální celá čísla, aby se odlišila od obecnějších algebraických celých čísel . Ve skutečnosti jsou (racionální) celá čísla algebraická celá čísla, která jsou také racionálními čísly .

Symbol

Symbol může být anotován pro označení různých množin, s různým použitím mezi různými autory: , nebo pro kladná celá čísla, nebo pro nezáporná celá čísla a pro nenulová celá čísla. Někteří autoři používají pro nenulová celá čísla, jiní to používají pro nezáporná celá čísla nebo pro {–1, 1} . Navíc se používá k označení buď množiny celých čísel modulo p (tj. množiny tříd kongruence celých čísel), nebo množiny celých čísel p -adic .

Algebraické vlastnosti

Celá čísla lze považovat za jednotlivé, stejně rozmístěné body na nekonečně dlouhé číselné ose . Ve výše uvedeném jsou nezáporná celá čísla zobrazena modře a záporná celá čísla červeně.

Stejně jako přirozených čísel , je uzavřen na základě operace sčítání a násobení , to znamená, že součet a produkt nějakých dvou celých čísel je celé číslo. Nicméně, se zahrnutím záporných přirozených čísel (a co je důležité,  0 ), , na rozdíl od přirozených čísel, je také uzavřeno pod odečítáním .

Celá čísla tvoří jednotný kruh, který je nejzákladnější v následujícím smyslu: pro jakýkoli jednotný kruh existuje jedinečný homomorfismus kruhu z celých čísel do tohoto kruhu. Tato univerzální vlastnost , totiž být výchozím objektem v kategorii prstenů , charakterizuje prsten  .

není uzavřeno pod dělením , protože podíl dvou celých čísel (např. 1 děleno 2) nemusí být celé číslo. Ačkoli jsou přirozená čísla uzavřena pod umocňováním , celá čísla nikoli (protože výsledkem může být zlomek, když je exponent záporný).

Následující tabulka uvádí některé základní vlastnosti sčítání a násobení pro všechna celá čísla a , b a c :

Vlastnosti sčítání a násobení na celých číslech
Přidání Násobení
uzavření : a + b  je celé číslo a × b  je celé číslo
Asociativita : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
komutativnost : a + b = b + a a × b = b × a
Existence prvku identity : a + 0 = a a × 1 = a
Existence inverzních prvků : a + (− a ) = 0 Jediná invertibilní celá čísla (nazývaná jednotky ) jsou -11 .
Distributivita : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )  a ( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) 
Bez nulových dělitelů : Pokud a × b = 0 , pak a = 0 nebo b = 0 (nebo obojí)

Prvních pět vlastností uvedených výše pro sčítání říká, že pod sčítáním je abelovská skupina . Je to také cyklická grupa , protože každé nenulové celé číslo lze zapsat jako konečný součet 1 + 1 + ... + 1 nebo (−1) + (−1) + ... + (−1) . Ve skutečnosti je pod sčítáním jediná nekonečná cyklická skupina – v tom smyslu, že jakákoli nekonečná cyklická skupina je izomorfní k .

První čtyři vlastnosti uvedené výše pro násobení říkají, že pod násobením je komutativní monoid . Ne každé celé číslo má však multiplikativní inverzi (jako je tomu u čísla 2), což znamená, že pod násobením není grupa.

Všechna pravidla z výše uvedené tabulky vlastností (kromě poslední), když se vezmou dohromady, říkají, že spolu se sčítáním a násobením je komutativní kruh s jednotou . Je to prototyp všech objektů takové algebraické struktury . Pouze ty rovnosti s výrazy jsou pravdivé  pro všechny hodnoty proměnných, které jsou pravdivé v žádném unital komutativního prstenu. Některá nenulová celá čísla se v určitých kruzích mapují na nulu .

Absence nulových dělitelů v celých číslech (poslední vlastnost v tabulce) znamená, že komutativní kruh  je integrální doménou .

Absence multiplikativních inverzí, což je ekvivalentní skutečnosti, že není uzavřeno pod dělením, znamená, že se nejedná o pole . Nejmenší pole obsahující celá čísla jako podkruh je pole racionálních čísel . Proces konstruování racionálních argumentů z celých čísel lze napodobit a vytvořit pole zlomků libovolné integrální oblasti. A zpět, počínaje algebraickým číselným polem (rozšířením racionálních čísel), lze extrahovat jeho kruh celých čísel , který zahrnuje jako jeho podkruh .

Přestože na , není definováno běžné dělení, je na nich definováno dělení "se zbytkem". Nazývá se euklidovská rozdělení , a má následující důležitou vlastnost: daný dvě celá čísla a b s b ? 0 , existuje jedinečná celá čísla q a r takový, že = q × b + r a 0 ≤ r <| b | , kde | b | označuje absolutní hodnotu o b . Celé číslo q se nazývá kvocient a r se nazývá zbytek dělení a číslem b . Euclidean algoritmus pro výpočet největší společné dělitele pracuje sledem euklidovských divizí.

Výše uvedené říká, že jde o euklidovskou doménu . To znamená, že jde o hlavní ideální doménu a jakékoli kladné celé číslo lze zapsat jako součin prvočísel v podstatě jedinečným způsobem. Toto je základní teorém aritmetiky .

Řádově teoretické vlastnosti

je zcela uspořádaná sada bez horní nebo dolní hranice . Uspořádání je dáno: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Celé číslo je kladné, pokud je větší než nula , a záporné, pokud je menší než nula . Nula není definována jako záporná ani kladná.

Uspořádání celých čísel je kompatibilní s algebraickými operacemi následujícím způsobem:

  1. jestliže a < b a c < d , pak a + c < b + d
  2. jestliže a < b a 0 < c , pak ac < bc .

Z toho vyplývá, že spolu s výše uvedeným uspořádáním je uspořádaný prsten .

Celá čísla jsou jedinou netriviální zcela uspořádanou abelovskou skupinou, jejíž kladné prvky jsou dobře uspořádané . To je ekvivalentní tvrzení, že jakýkoli noetherovský oceňovací kruh je buď pole — nebo diskrétní oceňovací prstenec .

Konstrukce

Znázornění tříd ekvivalence pro čísla −5 až 5
Červené body představují uspořádané dvojice přirozených čísel . Propojené červené body jsou třídy ekvivalence představující modrá celá čísla na konci řádku.

Ve výuce na základní škole jsou celá čísla často intuitivně definována jako (kladná) přirozená čísla, nula a negace přirozených čísel. Tento styl definice však vede k mnoha různým případům (každá aritmetická operace musí být definována pro každou kombinaci typů celých čísel) a je únavné dokazovat, že celá čísla dodržují různé zákony aritmetiky. Proto se v moderní matematice teorie množin místo toho často používá abstraktnější konstrukce, která umožňuje definovat aritmetické operace bez jakéhokoli rozlišení. Celá čísla tak mohou být formálně konstruovány jako ekvivalence tříd z uspořádaných dvojic z přirozených čísel ( , b ) .

Intuice je taková, že ( a , b ) znamená výsledek odečtení b od a . Abychom potvrdili naše očekávání, že 1 − 2 a 4 − 5 označují stejné číslo, definujeme vztah ekvivalence ~ na těchto párech pomocí následujícího pravidla:

přesně kdy

Sčítání a násobení celých čísel lze definovat pomocí ekvivalentních operací na přirozených číslech; použitím [( a , b )] k označení třídy ekvivalence, která má ( a , b ) jako člen, má:

Negace (nebo aditivní inverze) celého čísla se získá obrácením pořadí dvojice:

Odečítání lze tedy definovat jako sčítání aditivní inverze:

Standardní řazení na celých číslech je dáno:

tehdy a jen tehdy

Lze snadno ověřit, že tyto definice jsou nezávislé na výběru zástupců tříd ekvivalence.

Každá třída ekvivalence má jedinečný člen, který má tvar ( n ,0) nebo (0, n ) (nebo oba najednou). Přirozené číslo n je identifikováno třídou [( n ,0)] (tj. přirozená čísla jsou vložena do celých čísel tak, že mapa posílá n na [( n ,0)] a třída [(0, n ) ] je označeno n (toto pokrývá všechny zbývající třídy a dává třídě [(0,0)] podruhé, protože −0 = 0.

Tedy [( a , b )] se značí

Pokud jsou přirozená čísla identifikována s odpovídajícími celými čísly (pomocí výše uvedeného vložení), tato konvence nevytváří žádnou nejednoznačnost.

Tento zápis obnovuje známou reprezentaci celých čísel jako {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

Některé příklady:

V teoretické informatice jsou jiné přístupy pro konstrukci celých čísel používány automatickými dokazovateli teorémů a přepisovacími stroji . Celá čísla jsou reprezentována jako algebraické členy sestavené pomocí několika základních operací (např. nula , succ , pred ) a případně pomocí přirozených čísel , o kterých se předpokládá, že jsou již sestavena (řekněme pomocí Peanova přístupu ).

Existuje alespoň deset takových konstrukcí celých čísel se znaménkem. Tyto konstrukce se liší několika způsoby: počtem základních operací použitých pro konstrukci, počtem (obvykle mezi 0 a 2) a typy argumentů přijímaných těmito operacemi; přítomnost nebo nepřítomnost přirozených čísel jako argumentů některých těchto operací a skutečnost, že tyto operace jsou nebo nejsou volnými konstruktory, tj. že stejné celé číslo může být reprezentováno pouze jedním nebo mnoha algebraickými termíny.

Technika konstrukce celých čísel uvedená výše v této části odpovídá konkrétnímu případu, kdy existuje jeden základní operační pár, který bere jako argumenty dvě přirozená čísla a , a vrací celé číslo (rovné ). Tato operace není volná, protože celé číslo 0 lze zapsat jako pár (0,0), pár (1,1) nebo pár (2,2) atd. Tuto techniku ​​konstrukce používá asistentka důkazu Isabelle ; mnoho dalších nástrojů však používá alternativní konstrukční techniky, zejména ty založené na volných konstruktorech, které jsou jednodušší a lze je v počítačích implementovat efektivněji.

Počítačová věda

Celé číslo je často primitivní datový typ v počítačových jazycích . Celočíselné datové typy však mohou představovat pouze podmnožinu všech celých čísel, protože praktické počítače mají konečnou kapacitu. Také v běžné reprezentaci doplňku dvou , vlastní definice znaménka rozlišuje mezi „negativním“ a „nezáporným“ spíše než „negativním, pozitivním a 0“. (Je však samozřejmě možné, že počítač k určení, zda celočíselná hodnota je opravdu pozitivní.) Pevná délka integer přiblížení datové typy (nebo podmnožiny) jsou označeny int nebo Integer v několika programovacích jazycích (například Algol68 , C , Jáva , Delphi atd.).

Reprezentace celých čísel s proměnnou délkou, jako jsou velká čísla , mohou uložit jakékoli celé číslo, které se vejde do paměti počítače. Jiné celočíselné datové typy jsou implementovány s pevnou velikostí, obvykle počtem bitů, což je mocnina 2 (4, 8, 16 atd.) nebo zapamatovatelný počet desetinných číslic (např. 9 nebo 10).

Kardinalita

Mohutnost množiny čísel se rovná 0 ( Aleph-null ). To lze snadno demonstrovat konstrukcí bijekce , tj. funkce, která je injektivní a surjektivní od do Taková funkce může být definována jako

s grafem (množina dvojic je

{... (−4,8), (−3,6), (−2,4), (−1,2), (0,0), (1,1), (2,3), (3,5), ...} .

Jeho inverzní funkce je definována pomocí

s grafem

{(0, 0), (1, 1), (2, −1), (3, 2), (4, −2), (5, −3), ...} .

Viz také

Číselné soustavy
Komplex
Nemovitý
Racionální
Celé číslo
Přírodní
Nula : 0
Jedna : 1
prvočísla
Složená čísla
Záporná celá čísla
Zlomek
Konečné desetinné číslo
Dyadický (konečná dvojhvězda)
Opakující se desítkové
Iracionální
Algebraický
Transcendentální
Imaginární

Poznámky pod čarou

Reference

Zdroje

externí odkazy

Tento článek zahrnuje materiál z Integer na PlanetMath , který je licencován pod licencí Creative Commons Attribution/Share-Alike License .