Interval (matematika) - Interval (mathematics)

Sčítání x + a na číselném řádku. Všechna čísla větší než X, a méně než x + a , spadají do tohoto otevřeném intervalu.

V matematiky , a ( skutečný ) interval je sada z reálných čísel , který obsahuje všechna reálná čísla, ležící mezi dvěma čísly sady. Například množina čísel x splňující 0 ≤ x ≤ 1 je interval, který obsahuje 0 , 1 a všechna čísla mezi nimi. Dalšími příklady intervalů jsou množina čísel tak, že 0 < x <1 , množina všech reálných čísel , sada nezáporných reálných čísel, sada kladných reálných čísel, prázdná množina a jakýkoli singleton (sada jednoho prvku).

Skutečné intervaly hrají v teorii integrace důležitou roli , protože jsou to nejjednodušší sady, jejichž „velikost“ (nebo „míra“ nebo „délka“) se snadno definuje. Koncept míry pak může být rozšířen na komplikovanější sady reálných čísel, což vede k Borelově míře a nakonec k Lebesgueově míře .

Intervaly jsou klíčové pro intervalovou aritmetiku , obecnou numerickou výpočetní techniku, která automaticky poskytuje zaručené přílohy pro libovolné vzorce, a to i za přítomnosti nejistot, matematických aproximací a aritmetického zaokrouhlování .

Intervaly jsou rovněž definovány na libovolné zcela seřazené sadě, jako jsou celá čísla nebo racionální čísla . Zápis celočíselných intervalů je zvažován ve speciální části níže .

Terminologie

Otevřený interval neobsahuje jeho koncové body a je označena závorkami. Například (0,1) znamená větší než 0 a menší než 1 . To znamená (0,1) = { x | 0 < x <1} .

Uzavřený interval je interval, který zahrnuje všechny jeho mezní body, a je označena hranatými závorkami. Například [0,1] znamená větší nebo rovno 0 a menší nebo rovné 1 .

Interval poloviny otevřené zahrnuje pouze jeden z jeho koncových bodů, a je označován smícháním notace pro otevřenou a uzavřenou intervalech. Například (0,1] znamená větší než 0 a menší nebo rovné 1 , zatímco [0,1] znamená větší nebo rovno 0 a menší než 1 .

Degenerovaný interval je jakákoliv sada se skládá z jednoho reálného čísla (tj interval formě [ , ] ). Někteří autoři obsahují prázdnou množinu v této definici. Říká se, že skutečný interval, který není ani prázdný, ani degenerovaný, je správný a má nekonečně mnoho prvků.

Interval se říká, že je ohraničený vlevo nebo vpravo , pokud existuje nějaké skutečné číslo, které je respektive menší nebo větší než všechny jeho prvky. Říká se, že interval je ohraničený , pokud je ohraničen jak vlevo, tak vpravo; a jinak je prý neomezený . Intervaly, které jsou ohraničeny pouze na jednom konci, se označují jako poloviční . Prázdná množina je ohraničená a množina všech realů je jediným intervalem, který je na obou koncích neomezený. Ohraničené intervaly jsou také běžně známé jako konečné intervaly .

Ohraničené intervaly jsou ohraničené sady v tom smyslu, že jejich průměr (který se rovná absolutnímu rozdílu mezi koncovými body) je konečný. Průměr může být nazýván délkou , šířkou , mírou , rozsahem nebo velikostí intervalu. Velikost neomezených intervalů je obvykle definována jako +∞ a velikost prázdného intervalu může být definována jako 0 (nebo ponechána nedefinována).

Centrum ( střed ) ohraničené intervalu s koncovými body dobu a b je (  +  b ) / 2 , a její poloměr je polovina délky | a  -  b |/2 . Tyto koncepty nejsou definovány pro prázdné nebo neomezené intervaly.

Interval je údajně ponechán otevřený právě tehdy, pokud neobsahuje žádné minimum (prvek, který je menší než všechny ostatní prvky); otevřeno zprava, pokud neobsahuje maximum ; a otevřete, pokud má obě vlastnosti. Interval [0,1) = { x | Například 0 ≤ x <1} je zavřeno vlevo a otevřeno doprava. Prázdná množina a množina všech realů jsou otevřené intervaly, zatímco množina nezáporných realů je interval otevřený zprava, ale ne zle otevřený. Otevřené intervaly jsou otevřené sady skutečné linie v její standardní topologii a tvoří základ otevřených sad.

O intervalu se říká, že je ponechán zavřený, pokud má minimální prvek, vpravo uzavřený, pokud má maximum, a jednoduše uzavřený, pokud má obojí. Tyto definice jsou obvykle rozšířeny tak, aby zahrnovaly prázdnou množinu a (levé nebo pravé) neomezené intervaly, takže uzavřené intervaly se v této topologii shodují s uzavřenými množinami .

Interiér z intervalu I je největší otevřený interval, který je obsažen v I ; to je také sada bodů I , které nejsou koncové body I . Uzávěr z I je nejmenší uzavřený interval, který obsahuje I ; což je také množina, kterou jsem rozšířil o její konečné koncové body.

Pro jakékoliv nastavené X reálných čísel je interval pouzdro nebo interval rozpětí z X je jedinečný interval, který obsahuje X a není správně obsahovat jiné interval, který také obsahuje X .

Interval I je podinterval z intervalu J , pokud I je podmnožinou z J . Interval I je správné podinterval z J , pokud I je vlastní podmnožina z J .

Poznámka ke konfliktní terminologii

Termíny segment a interval byly v literatuře použity dvěma v podstatě opačnými způsoby, což vedlo k nejednoznačnosti, když jsou tyto termíny použity. Encyklopedie matematiky definuje interval (bez kvalifikátor) vyloučit oba koncové body (tj otevřený interval) a segmentu zahrnout oba koncové body (tj uzavřený interval), zatímco Rudin je Principy matematické analýzy volání sady formě [ , b ] intervaly a sady segmentů formuláře ( a , b ) . Tyto termíny se obvykle objevují ve starších dílech; moderní texty stále více upřednostňují termín interval (kvalifikovaný jako otevřený , uzavřený nebo napůl otevřený ), bez ohledu na to, zda jsou zahrnuty koncové body.

Zápisy pro intervaly

Interval čísel mezi a a b , včetně a a b , je často označován [ a ,  b ] . Tato dvě čísla se nazývají koncové body intervalu. V zemích, kde jsou čísla psána desetinnou čárkou , může být jako oddělovač použit středník, aby se předešlo nejasnostem.

Zahrnutí nebo vyloučení koncových bodů

Aby bylo naznačeno, že jeden ze koncových bodů má být ze sady vyloučen, lze příslušnou hranatou závorku buď nahradit závorkou, nebo obrátit. Oba zápisy jsou popsány v mezinárodní normě ISO 31-11 . Tak, v nastaveném stavitel notaci ,

Každý interval ( a ,  a ) , [ a ,  a ) a ( a ,  a ] představuje prázdnou množinu , zatímco [ a ,  a ] označuje množinu singletonů  { a } . Když a > b , obvykle se berou všechny čtyři zápisy reprezentovat prázdnou množinu.

Oba zápisy se mohou překrývat s jiným použitím závorek a závorek v matematice. Například zápis ( , b ), se často používá k označení uspořádanou dvojici v teorie množin jsou souřadnice z na místě nebo vektoru v analytické geometrie a lineární algebry , nebo (někdy) a komplexního čísla v algebře . Proto Bourbaki zavedl notaci ] a , b [ k označení otevřeného intervalu. Zápis [ a , b ] se také příležitostně používá pro uspořádané páry, zejména v informatice .

Někteří autoři používají ] a , b [ k označení doplňku intervalu  ( a ,  b ) ; jmenovitě množina všech reálných čísel, která jsou buď menší než nebo rovna a , nebo větší než nebo rovná b .

Nekonečné koncové body

V některých kontextech může být interval definován jako podmnožina rozšířených reálných čísel , množina všech reálných čísel rozšířená o −∞ a +∞ .

V této interpretaci jsou zápisy [−∞,  b ]  , (−∞,  b ]  , [ a , +∞]  a [ a , +∞) smysluplné a odlišné. Zejména (−∞, +∞) označuje množinu všech běžných reálných čísel, zatímco [−∞, +∞] označuje rozšířená reálná čísla .

I v kontextu běžných realit lze použít nekonečný koncový bod k označení, že v tomto směru není žádná hranice. Například (0, +∞) je množina kladných reálných čísel , psaná také jako . Kontext ovlivňuje některé z výše uvedených definic a terminologie. Například interval (−∞, +∞)  =  je uzavřen v říši obyčejných realit, ale ne v oblasti rozšířených realit.

Celočíselné intervaly

Když a b jsou celá čísla , zápis ⟦ a, b ⟧, nebo [ .. b ] nebo { .. b } , nebo jen .. b , je někdy používán k označení interval všech celých čísel mezi a B zahrnuta. V některých programovacích jazycích se používá zápis [ a .. b ] ; v Pascalu , například se používá k formálně definovat typ subrange nejčastěji používá k určení dolní a horní hranice platných indexů po dosažení pole .

Celočíselný interval, který má konečný dolní nebo horní koncový bod, vždy zahrnuje tento koncový bod. Vyloučení koncových bodů lze tedy výslovně označit zápisem a .. b  - 1  , a  + 1 .. b  nebo a  + 1 .. b  - 1 . Zápisy s alternativní závorkou jako [ a .. b ) nebo [ a .. b [ se zřídka používají pro celočíselné intervaly.

Klasifikace intervalů

Intervaly reálných čísel lze zařadit do jedenácti různých typů uvedených níže, kde a a b jsou reálná čísla, a :

Prázdný:
Degenerovat:
Správné a ohraničené:
Otevřeno:
Zavřeno:
Zle zavřeno, zprava otevřeno:
Levé otevření, pravé zavření:
Levý ohraničený a pravý neomezený:
Ponecháno otevřené:
Zle zavřeno:
Levé neomezené a pravé ohraničení:
Zcela otevřeno:
Vpravo zavřeno:
Bez omezení na obou koncích (současně otevřené a zavřené) :

Vlastnosti intervalů

Intervaly jsou přesně připojené podmnožiny . Z toho vyplývá, že obraz intervalu jakoukoli spojitou funkcí je také interval. Toto je jedna formulace věty o středních hodnotách .

Tyto intervaly jsou také konvexní podmnožiny z . Interval skříň podmnožiny je také konvexní trup z .

Průsečík jakékoli kolekce intervalů je vždy interval. Spojení dvou intervalů je interval tehdy a jen tehdy, pokud mají neprázdný průnik nebo otevřený koncový bod jednoho intervalu je uzavřeným koncovým bodem druhého (např. ).

Pokud je vnímán jako metrický prostor , jeho otevřené koule jsou otevřené ohraničené množiny  ( c  +  r ,  c  -  r ) a její uzavřené koule jsou uzavřené ohraničené množiny  [ c  +  r ,  c  -  r ] .

Jakýkoli prvek  x intervalu  I definuje rozdělení  I do tří nesouvislých intervalů I 1 ,  I 2 ,  I 3 : respektive prvky  I, které jsou menší než  x , singleton  a prvky, které jsou větší než  x . Části I 1 a I 3 jsou oba neprázdná (a mají neprázdné interiéry), a to pouze v případě, x je v interiéru  I . Toto je intervalová verze trichotomického principu .

Dyadické intervaly

Dvojčlenný interval je omezená skutečný interval, jejichž koncové body jsou a , kde a jsou celá čísla. V závislosti na kontextu může být koncový bod do intervalu zahrnut, ale nemusí.

Dyadické intervaly mají následující vlastnosti:

  • Délka dyadického intervalu je vždy celočíselná mocnina dvou.
  • Každý dyadický interval je obsažen přesně v jednom dyadickém intervalu dvojnásobné délky.
  • Každý dyadický interval je překlenut dvěma dyadickými intervaly o polovině délky.
  • Pokud se dva otevřené dyadické intervaly překrývají, pak je jeden z nich podmnožinou druhého.

Dyadické intervaly mají následně strukturu, která odráží strukturu nekonečného binárního stromu .

Dyadické intervaly jsou relevantní pro několik oblastí numerické analýzy, včetně adaptivního upřesnění sítě , multigridových metod a waveletové analýzy . Dalším způsobem, jak takovou strukturu reprezentovat, je p-adická analýza (pro p = 2 ).

Zobecnění

Vícerozměrné intervaly

V mnoha kontextech, An rozměrný interval je definován jako podmnožina , která je kartézský součin z intervalů , po jednom na každé souřadnici osy.

Neboť to lze považovat za oblast ohraničenou čtvercem nebo obdélníkem , jejíž strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami, podle toho, zda je šířka intervalů stejná nebo ne; podobně, protože to může být myšleno jako oblast ohraničená krychlí zarovnanou s osou nebo obdélníkovým kvádrem . Ve vyšších dimenzích je karteziánský součin intervalů ohraničen n-dimenzionální hyperkrychlí nebo hyperrektanglem .

Aspekt tohoto intervalu , je výsledkem nahrazení nedegenerovaný interval faktor o degenerované intervalu sestávající z konečného koncovém bodě . Tyto plochy z zahrnují samotné a všechna tváře podobách. Tyto rohy z jsou plochy, které se skládají z jednoho bodu .

Složité intervaly

Intervaly komplexních čísel lze definovat jako oblasti komplexní roviny , buď obdélníkové nebo kruhové .

Topologická algebra

Intervaly mohou být spojeny s body v rovině, a tudíž oblasti intervalů mohou být spojeny s oblastmi roviny. Interval v matematice obecně odpovídá uspořádané dvojici ( x, y ) převzaté z přímého součinu R × R reálných čísel se sebou samým, kde se často předpokládá, že y > x . Pro účely matematické struktury je toto omezení zrušeno a jsou povoleny "obrácené intervaly", kde y - x <0. Poté lze kolekci všech intervalů [ x, y ] identifikovat s topologickým prstencem tvořeným přímým součtem R se sebou samým, kde sčítání a násobení jsou definovány komponentně.

Algebra přímého součtu má dva ideály , {[ x , 0]: x ∈ R} a {[0, y ]: y ∈ R}. Identita prvek této algebry je kondenzovaná interval [1,1]. Pokud interval [ x, y ] není v jednom z ideálů, pak má multiplikativní inverzní [1/ x , 1/ y ]. Algebra intervalů s obvyklou topologií tvoří topologický prstenec . Skupině jednotek tohoto kroužku se skládá ze čtyř kvadrantů určených osami, nebo ideály v tomto případě. Složka identity této skupiny je kvadrant I.

Každý interval lze považovat za symetrický interval kolem jeho středu . V rekonfiguraci publikované v roce 1956 M Warmusem se používá osa „vyvážených intervalů“ [ x , - x ] spolu s osou intervalů [ x, x ], které se zmenšují do bodu. Místo přímého součtu M. Warmus a DH Lehmer identifikovali prsten intervalů s rovinou rozdělených komplexních čísel pomocí identifikace

z = ( x + y )/2 + j ( x - y )/2.

Toto lineární mapování roviny, které obsahuje prstencový izomorfismus , poskytuje letadlu multiplikativní strukturu, která má některé analogie k běžné komplexní aritmetice, jako je polární rozklad .

Viz také

Reference

Bibliografie

externí odkazy