Inverzní čtvercový zákon - Inverse-square law

S představuje světelný zdroj, zatímco r představuje měřené body. Čáry představují tok vycházející ze zdrojů a toků. Celkový počet linek toku závisí na síle světelného zdroje a je konstantní s rostoucí vzdáleností, kde větší hustota linií toku (linie na jednotku plochy) znamená silnější energetické pole. Hustota čar toku je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od zdroje, protože povrchová plocha koule se zvyšuje se čtvercem poloměru. Intenzita pole je tedy nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od zdroje.

Ve vědě , An zákon převrácených čtverců je nějaký vědecký zákon uvádí, že specifikované fyzikální veličina je nepřímo úměrná k čtverci o vzdálenosti od zdroje této fyzikální veličiny. Základní příčinou toho může být geometrické ředění odpovídající záření bodového zdroje do trojrozměrného prostoru.

Energie radaru se během přenosu signálu i odraženého návratu rozšiřuje , takže inverzní čtverec pro obě cesty znamená, že radar bude přijímat energii podle inverzního čtvrtého výkonu rozsahu.

Aby se zabránilo ředění energie při šíření signálu, lze použít určité metody, jako je vlnovod , který funguje jako kanál pro vodu, nebo jak hlaveň zbraně omezuje rozpínání horkého plynu do jedné dimenze, aby se zabránilo ztrátě přenosu energie na kulka .

Vzorec

Matematicky notováno (viz ):

Lze to také matematicky vyjádřit jako:

nebo jako formulace konstantního množství:

Divergence z vektorového pole , která je výslednicí radiálních zákon převrácených čtverců pole s ohledem na jeden nebo více zdrojů, je všude úměrná síle místních zdrojů, a tudíž nulový vnějších zdrojů. Newtonův zákon univerzální gravitace se řídí zákonem inverzních čtverců, stejně jako účinky elektrických , světelných , zvukových a radiačních jevů.

Odůvodnění

Zákon inverzního čtverce obecně platí, když je určitá síla, energie nebo jiná konzervovaná veličina rovnoměrně vyzařována ven z bodového zdroje v trojrozměrném prostoru . Vzhledem k tomu, povrch z koule (což je 4π r 2 ) je přímo úměrná druhé mocnině poloměru, neboť emitované záření dostane dále od zdroje, se rozkládá oblast, která se zvyšuje v poměru k druhé mocnině vzdálenost od zdroje. Intenzita záření procházející jakoukoli jednotkovou oblastí (přímo obrácenou k bodovému zdroji) je tedy nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od bodového zdroje. Gaussův zákon pro gravitaci je podobně použitelný a lze jej použít s jakoukoli fyzickou veličinou, která působí v souladu se vztahem inverzních čtverců.

Výskyty

Gravitace

Gravitace je přitažlivost mezi objekty, které mají hmotnost. Newtonův zákon říká:

Gravitační přitažlivá síla mezi dvěma bodovými hmotami je přímo úměrná součinu jejich hmot a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich oddělovací vzdálenosti. Síla je vždy přitažlivá a působí podél linie, která je spojuje.

Pokud je rozložení hmoty v každém těle sféricky symetrické, pak lze s objekty zacházet jako s bodovými hmotami bez aproximace, jak ukazuje skořepinová věta . V opačném případě, pokud chceme vypočítat přitažlivost mezi masivními těly, musíme vektorově přičíst všechny přitažlivé síly bod-bod a čistá přitažlivost nemusí být přesný inverzní čtverec. Pokud je však separace mezi hmotnými tělesy ve srovnání s jejich velikostmi mnohem větší, pak je pro dobrou aproximaci rozumné při výpočtu gravitační síly považovat hmoty za bodovou hmotu umístěnou ve středu hmotnosti objektu .

Jako gravitační zákon navrhl tento zákon v roce 1645 Ismael Bullialdus . Bullialdus však neakceptoval Keplerův druhý a třetí zákon , ani neocenil řešení Christiaana Huygense pro kruhový pohyb (pohyb v přímce stažený stranou centrální silou). Bullialdus skutečně tvrdil, že sluneční síla byla atraktivní pro afélium a odpudivá pro perihelion. Robert Hooke a Giovanni Alfonso Borelli vysvětlili gravitaci v roce 1666 jako přitažlivou sílu (Hookeova přednáška „O gravitaci“ v Královské společnosti v Londýně 21. března; Borelliho „Teorie planet“, publikovaná později v roce 1666). Hookeova přednáška Greshama z roku 1670 vysvětlila, že gravitace platí pro „všechna nebeská tělesa“, a dodala zásady, že gravitační síla se vzdáleností klesá a že při absenci jakýchkoli takových silových těles se pohybují po přímkách. V roce 1679 si Hooke myslel, že gravitace má inverzní závislost na čtverci, a sdělil to v dopise Isaacovi Newtonovi : předpokládám, že přitažlivost je vždy ve dvojím poměru k vzdálenosti od středového zpětného volání .

Hooke kvůli Newtonovi tvrdil, že vynález tohoto principu je hořký, přestože Newtonova Principia z roku 1686 uznala, že Hooke spolu s Wrenem a Halleym samostatně ocenili inverzní čtvercový zákon ve sluneční soustavě a také poskytli Bullialdovi jistou zásluhu.

Elektrostatika

Síla přitažlivosti nebo odpudivosti mezi dvěma elektricky nabitými částicemi, kromě toho, že je přímo úměrná součinu elektrických nábojů, je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti mezi nimi; toto je známé jako Coulombův zákon . Odchylka exponentu od 2 je menší než jedna část z 10 15 .

Světelné a jiné elektromagnetické záření

Intenzita (nebo osvětlení nebo ozáření ) ze světelných nebo jiných lineárních vln vyzařujících z bodového zdroje (energie na jednotku plochy kolmo ke zdroji) je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od zdroje, takže předmět (ze stejné velikost) dvakrát tak daleko dostane pouze jednu čtvrtinu energie (ve stejném časovém období).

Obecněji se ozáření, tj. Intenzita (nebo síla na jednotku plochy ve směru šíření ) sférické vlnoplochy mění nepřímo se čtvercem vzdálenosti od zdroje (za předpokladu, že neexistují žádné ztráty způsobené absorpcí nebo rozptylem ) .

Například intenzita záření ze Slunce je 9126 wattů na metr čtvereční ve vzdálenosti Merkuru (0,387 AU ); ale pouze 1367 wattů na metr čtvereční ve vzdálenosti Země (1 AU) - přibližně trojnásobné zvýšení vzdálenosti má za následek přibližně devítinásobné snížení intenzity záření.

U neizotropních zářičů, jako jsou parabolické antény , světlomety a lasery , je skutečný původ umístěn daleko za světelnou závorou. Pokud jste blízko původu, nemusíte chodit daleko, abyste zdvojnásobili poloměr, takže signál rychle klesá. Když jste daleko od původu a stále máte silný signál, jako u laseru, musíte cestovat velmi daleko, abyste zdvojnásobili poloměr a zmenšili signál. To znamená, že máte silnější signál nebo máte zesílení antény ve směru úzkého paprsku vůči širokému paprsku ve všech směrech izotropní antény .

Ve fotografii a scénickém osvětlení se zákon inverzního čtverce používá k určení „odpadnutí“ nebo rozdílu v osvětlení předmětu, když se pohybuje blíže nebo dále od zdroje světla. Pro rychlé přiblížení stačí mít na paměti, že zdvojnásobení vzdálenosti sníží osvětlení na jednu čtvrtinu; nebo podobně pro snížení osvětlení na polovinu zvětšete vzdálenost faktorem 1,4 ( druhá odmocnina 2 ) a pro dvojité osvětlení snížíte vzdálenost na 0,7 (druhá odmocnina 1/2). Když osvětlovací prostředek není bodovým zdrojem, pravidlo inverzního čtverce je často stále užitečnou aproximací; když je velikost světelného zdroje menší než jedna pětina vzdálenosti od subjektu, chyba výpočtu je menší než 1%.

Frakční snížení elektromagnetického toku (Φ) pro nepřímo ionizující záření s rostoucí vzdáleností od bodového zdroje lze vypočítat pomocí zákona o inverzních čtvercích. Jelikož emise z bodového zdroje mají radiální směry, zachycují se při kolmém dopadu. Plocha takové skořápky je 4π r 2, kde r je radiální vzdálenost od středu. Zákon je zvláště důležitý v diagnostické radiografii a plánování léčby radioterapií , ačkoli tato proporcionalita neplatí v praktických situacích, pokud nejsou rozměry zdroje mnohem menší než vzdálenost. Jak je uvedeno ve Fourierově teorii tepla „protože bodovým zdrojem je zvětšení na vzdálenosti, jeho záření je zředěné úměrně hříchu úhlu, rostoucího obvodového oblouku od bodu původu“.

Příklad

Nechť P   je celkový výkon vyzařovaný z bodového zdroje (například všesměrový izotropní zářič ). Při velkých vzdálenostech od zdroje (ve srovnání s velikostí zdroje) je tato síla distribuována na větší a větší sférické povrchy, jak se vzdálenost od zdroje zvyšuje. Protože povrchová plocha koule o poloměru r je A  = 4 πr  2 , intenzita I (síla na jednotku plochy) záření ve vzdálenosti r je

Energie nebo intenzita klesá (děleno 4), když se vzdálenost r zdvojnásobí; pokud je měřeno v dB, sníží se o 3,01 dB na zdvojnásobení vzdálenosti. Pokud jde o měření výkonových veličin, může být poměr vyjádřen jako hladina v decibelech vyhodnocením desetinásobku logaritmu báze-10 poměru měřené veličiny k referenční hodnotě.

Zvuk v plynu

V akustice je akustický tlak z kulové vlnoplochy vyzařující z bodového zdroje se sníží o 50%, jak se vzdálenost r je dvojnásobek; měřeno v dB , pokles je stále 6,02 dB, protože dB představuje poměr intenzity. Poměr tlaku (na rozdíl od poměru výkonu) není inverzní čtverec, ale je inverzně proporcionální (zákon o inverzní vzdálenosti):

Totéž platí pro složku rychlosti částic, která je ve fázi s okamžitým akustickým tlakem :

V blízkém poli je kvadraturní složka rychlosti částic, která je 90 ° mimo fázi se zvukovým tlakem a nepřispívá k časově zprůměrované energii ani k intenzitě zvuku. Intenzity zvuku je produkt RMS akustického tlaku a ve fázi složka RMS rychlosti částic, z nichž oba jsou inverzní proporcionální. Intenzita tedy odpovídá chování s inverzními čtverci:

Interpretace teorie pole

Pro irrotační vektorové pole v trojrozměrném prostoru odpovídá zákon inverzního čtverce vlastnosti, že divergence je mimo zdroj nulová. To lze zobecnit na vyšší dimenze. Obecně platí, že pro irrotační vektorové pole v n -dimenzionálním euklidovském prostoru intenzita "I" vektorového pole klesá se vzdáleností "r" podle inverzního ( n  -1) th mocninného zákona

vzhledem k tomu, že prostor mimo zdroj je bez divergence.

Dějiny

John Dumbleton z Oxfordských kalkulaček 14. století byl jedním z prvních, kdo vyjádřil funkční vztahy v grafické podobě. Podal důkaz o průměrné větě rychlosti o tom, že „zeměpisná šířka rovnoměrně difformního pohybu odpovídá stupni středového bodu“ a použil tuto metodu ke studiu kvantitativního poklesu intenzity osvětlení v jeho Summa logicæ et philosophiæ naturalis (ca. 1349) s tím, že nebyl lineárně úměrný vzdálenosti, ale nebyl schopen odhalit zákon Inverzní čtverec.

V tvrzení 9 knihy 1 ve své knize Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604) astronom Johannes Kepler tvrdil, že šíření světla z bodového zdroje se řídí zákonem o inverzním čtverci:

Originál: Sicut se habent spharicae superificies, quibus origo lucis pro centro est, amplior ad angustiorem: ita se habet fortitudeo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, conversim. Nam 6. 6. tantundem lucis est in angustiori sphaerica superficie, quantum in fusiore, tanto ergo illie stipatior & densior quam hic.

Překlad : Stejně jako [poměr] sférických povrchů, pro které je zdrojem světla střed, [je] od širšího k užšímu, tak hustota nebo pevnost paprsků světla v užším [prostoru] směrem k prostornější sférické povrchy, tedy obráceně. Neboť podle [propozic] 6 a 7 je na užším sférickém povrchu tolik světla jako na širším, takže je zde o tolik stlačenější a hustší než tam.

V roce 1645 ve své knize Astronomia Philolaica ... francouzský astronom Ismaël Bullialdus (1605–1694) vyvrátil návrh Johannesa Keplera, že „gravitace“ slábne jako inverze vzdálenosti; místo toho Bullialdus tvrdil, že „gravitace“ slábne jako inverzní čtverec vzdálenosti:

Originál: Virtus autem illa, qua Sol prehendit seu harpagat planetas, corporalis quae ipsi pro manibus est, lineis rectis in omnem mundi amplitudinem emissa quasi species solis cum illius corpore rotatur: cum ergo sit corporalis imminuitur, & extenuatur in maiori spatio & interval autem huius imminutionis eadem est, ac luminus, in ratione nempe dupla intervallorum, sed eversa.

Překlad : Pokud jde o sílu, kterou Slunce uchopuje nebo drží planety a která, protože je tělesná, funguje jako ruce, je vyzařována v přímkách po celém rozsahu světa a podobně jako sluneční druhy , otáčí se s tělem Slunce; nyní, když vidíme, že je tělesný, zeslábne a zeslábne na větší vzdálenost nebo interval a poměr jeho poklesu síly je stejný jako v případě světla, jmenovitě duplicitní podíl, ale naopak, vzdáleností [to znamená 1/d²].

V Anglii anglikánský biskup Seth Ward (1617–1689) propagoval myšlenky Bullialda ve své kritice In Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis (1653) a planetární astronomii Keplera propagoval ve své knize Astronomia geometrica (1656).

V letech 1663–1664 psal anglický vědec Robert Hooke svoji knihu Micrographia (1666), v níž mimo jiné diskutoval o vztahu mezi výškou atmosféry a barometrickým tlakem na povrchu. Vzhledem k tomu, že atmosféra obklopuje Zemi, což je sama o sobě koule, objem atmosféry nesoucí na jakékoli jednotkové ploše zemského povrchu je komolý kužel (který sahá od zemského středu do vakua vesmíru; zjevně pouze část kužele ze zemského povrchu do vesmíru medvědi na zemském povrchu). Přestože je objem kužele úměrný krychli jeho výšky, Hooke tvrdil, že tlak vzduchu na zemském povrchu je místo toho úměrný výšce atmosféry, protože gravitace s výškou klesá. Ačkoli Hooke to výslovně neuvedl, vztah, který navrhl, by byl pravdivý pouze tehdy, kdyby gravitace klesala jako inverzní čtverec vzdálenosti od zemského středu.

Viz také

Reference

Veřejná doména Tento článek včlení  materiál public domain z dokumentu General Services Administration : "Federal Standard 1037C" .

externí odkazy