Inverzní prvek -Inverse element

V matematice pojem inverzního prvku zobecňuje pojmy opačných ( x ) a reciprokých ( 1/ x ) čísel.

Daná operace označená zde a prvek identity označený e , jestliže xy = e , říkáme, že x je levá inverze k y a že y je pravá inverze k x . (Prvek identity je takový prvek, že x * e = x a e * y = y pro všechna x a y , pro která jsou definovány levé strany.)

Když je operace asociativní , má-li prvek x levou i pravou inverzi, pak jsou tyto dvě inverze stejné a jedinečné; nazývají se inverzní prvek nebo jednoduše inverzní . Často se přidává přídavné jméno pro upřesnění operace, jako například inverzní aditivní , multiplikativní inverzní a funkční inverzní . V tomto případě (asociativní operace) je invertibilní prvek prvek, který má inverzní.

Inverze se běžně používají ve skupinách — kde je každý prvek invertibilní a prstenech — kde se invertibilní prvky také nazývají jednotky . Běžně se také používají pro operace, které nejsou definovány pro všechny možné operandy, jako jsou inverzní matice a inverzní funkce . Toto bylo zobecněno k teorii kategorií , kde, podle definice, izomorfismus je invertibilní morfismus .

Slovo „inverzní“ je odvozeno z latiny : inversus , což znamená „převrácený vzhůru nohama“, „převrácený“. To může mít svůj původ v případě zlomků , kde se (násobná) inverzní hodnota získá výměnou čitatele a jmenovatele (převrácená hodnota je ).

Definice a základní vlastnosti

Koncepty inverzního prvku a invertibilního prvku jsou běžně definovány pro binární operace , které jsou definovány všude (tj. operace je definována pro libovolné dva prvky své domény ). Tyto pojmy se však běžně používají u dílčích operací , tedy operací, které nejsou všude definovány. Běžnými příklady jsou maticové násobení , funkční složení a složení morfismů v kategorii . Z toho vyplývá, že společné definice asociativity a prvku identity musí být rozšířeny na dílčí operace; to je předmětem prvních pododdílů.

V této sekci je X množina ( možná vlastní třída ), na které je definována částečná operace (možná celková), která je označena

Asociativnost

Částečná operace je asociativní , jestliže

pro každé x , y , z v X , pro které je definován jeden z členů rovnosti; rovnost znamená, že musí být definován i druhý člen rovnosti.

Příklady netotálních asociativních operací jsou násobení matic libovolné velikosti a složení funkcí .

Prvky identity

Dovolit být možná částečná asociativní operace na množině X .

Prvek identity nebo jednoduše identita je prvek e takový, že

pro každé x a y , pro které jsou definovány levé strany rovnosti.

Pokud e a f jsou dva prvky identity takové, které jsou definovány, pak (Toto vyplývá bezprostředně z definice, podle )

Z toho vyplývá, že celková operace má nejvýše jeden prvek identity, a pokud e a f jsou různé identity, pak není definována.

Například v případě násobení matic existuje jedna matice identity n × n pro každé kladné celé číslo n a dvě matice identity různé velikosti nelze násobit dohromady.

Podobně, funkce identity jsou prvky identity pro složení funkcí a složení funkcí identity dvou různých souborů není definováno.

Levá a pravá inverze

Jestliže kde e je prvek identity, říká se, že x je levá inverze k y a x je pravá inverze k y .

Levé a pravé inverze neexistují vždy, i když je operace totální a asociativní. Například sčítání je totální asociativní operace na nezáporných celých číslech , která má 0 jako aditivní identitu a 0 je jediný prvek, který má aditivní inverzní hodnotu . Tento nedostatek inverzí je hlavní motivací pro rozšíření přirozených čísel na celá čísla.

Prvek může mít několik levých inverzí a několik pravých inverzí, i když je operace totální a asociativní. Zvažte například funkce od celých čísel po celá. Funkce zdvojení má nekonečně mnoho levých inverzí pod funkcí složení , což jsou funkce, které vydělují dvěma sudá čísla a lichým číslům přidělují libovolnou hodnotu. Podobně každá funkce, která mapuje n buď na nebo je pravou inverzí funkce spodní funkce , která mapuje n na nebo v závislosti na tom, zda je n sudé nebo liché.

Obecněji řečeno, funkce má levou inverzi pro složení funkce tehdy a pouze tehdy, když je injektivní , a má pravou inverzi tehdy a pouze tehdy, když je surjektivní .

V teorii kategorií se pravostranné inverze také nazývají sekce a inverze vlevo se nazývají retrakce .

Inverze

Prvek je při operaci invertibilní , pokud má levou-inverzní a pravou-inverzní.

V běžném případě, kdy je operace asociativní, jsou levá a pravá inverze prvku stejné a jedinečné. Pokud l a r jsou v tomto pořadí levá inverzní a pravá inverzní hodnota x , pak

Inverze invertibilního prvku je jeho jedinečná levá nebo pravá inverze.

Je-li operace označena jako sčítání, označuje se inverzní nebo aditivní inverze prvku x . Jinak se obecně označuje inverze k x nebo v případě komutativního násobení Pokud může dojít k záměně mezi několika operacemi, symbol operace může být přidán před exponent, jako například v Notace se běžně nepoužívá pro složení funkce , protože ji lze použít pro multiplikativní inverzi .

Jestliže x a y jsou invertibilní a je definováno, pak je invertibilní a jeho inverzní je

Invertibilní homomorfismus se nazývá izomorfismus . V teorii kategorií se invertibilní morfismus také nazývá izomorfismus .

Ve skupinách

Skupina je množina s asociativní operací , která má prvek identity a pro který má každý prvek inverzní hodnotu.

Inverzní je tedy funkce od skupiny k sobě samé, kterou lze také považovat za operaci arity jedna. Je to také involuce , protože inverzní inverzí k prvku je prvek sám.

Skupina může působit na množinu jako transformace této množiny. V tomto případě inverze elementu skupiny definuje transformaci, která je inverzní transformací definované touto transformací, tedy transformací, která „ruší“ transformaci definovanou

Například skupina Rubikovy kostky je tvořena konečnými sekvencemi elementárních tahů. Inverzní k takové posloupnosti se získá zrušením této posloupnosti tahů, to znamená inverzí elementárních tahů v opačném pořadí.

V polích

V kroužcích

Matrice

Funkce

Inverzní morfismus

Zobecnění

V jednotném magmatu

Nechť je unitální magma , tedy množina s binární operací a prvkem identity . Pokud pro , Máme , Pak se nazývá levá inverzní k a nazývá se pravá inverzní k . Pokud je prvek levou i pravou inverzí k , pak se nazývá oboustranná inverze , nebo jednoduše inverzní k . Prvek s oboustranným inverzním in se nazývá invertibilní v . Prvek s inverzním prvkem pouze na jedné straně je levý invertibilní nebo pravý invertibilní .

Prvky jednotného magmatu mohou mít vícenásobné levé, pravé nebo oboustranné inverze. Například v magmatu dané tabulkou Cayley

* 1 2 3
1 1 2 3
2 2 1 1
3 3 1 1

prvky 2 a 3 mají každý dvě oboustranné inverze.

Jednotné magma, ve kterém jsou všechny prvky invertibilní, nemusí být smyčkou . Například v magmatu dané tabulkou Cayley

* 1 2 3
1 1 2 3
2 2 1 2
3 3 2 1

každý prvek má jedinečnou oboustrannou inverzi (jmenovitě sám sebe), ale nejedná se o smyčku, protože Cayleyova tabulka není latinský čtverec .

Podobně smyčka nemusí mít oboustranné inverze. Například ve smyčce dané tabulkou Cayley

* 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 3 1 5 4
3 3 4 5 1 2
4 4 5 2 3 1
5 5 1 4 2 3

jediný prvek s oboustrannou inverzí je prvek identity 1.

Pokud je operace asociativní , pak pokud má prvek levou i pravou inverzi, jsou si rovny. Jinými slovy, v monoidu (asociativním unitárním magmatu) má každý prvek nejvýše jednu inverzi (jak je definováno v této části). V monoidu je množinou invertibilních prvků skupina , nazývaná skupina jednotek , a označovaná nebo H 1 .

V poloskupině

Definice v předchozí části zobecňuje pojem inverze ve skupině vzhledem k pojmu identity. Je také možné, i když méně zřejmé, zobecnit pojem inverze vypuštěním prvku identity, ale zachováním asociativnosti; tedy v pologrupě .

V pologrupě S se prvek x nazývá (von Neumannův) regulární , pokud v S existuje nějaký prvek z takový, že xzx = x ; z se někdy nazývá pseudoinverzní . Prvek y se nazývá (zjednodušeně) inverzí k x , pokud xyx = x a y = yxy . Každý regulární prvek má alespoň jednu inverzní hodnotu: pokud x = xzx , pak je snadné ověřit, že y = zxz je inverzí k x , jak je definováno v této části. Další snadno dokázatelná skutečnost: je-li y inverzí k x , pak e = xy a f = yx jsou idempotenty , tedy ee = e a ff = f . Každá dvojice (vzájemně) inverzních prvků tedy dává vzniknout dvěma idempotentům a ex = xf = x , ye = fy = y a e působí jako levá identita na x , zatímco f působí jako pravá identita a levá/ pravé role jsou obráceny pro y . Toto jednoduché pozorování lze zobecnit pomocí Greenových vztahů : každé idempotentní e v libovolné pologrupě je levou identitou pro R e a pravou identitou pro L e . Intuitivní popis této skutečnosti je, že každý pár vzájemně inverzních prvků vytváří lokální levou identitu, respektive lokální pravou identitu.

V monoidu je pojem inverze definovaný v předchozí části přísně užší než definice uvedená v této části. Pouze prvky v zelené třídě H 1 mají inverzní hodnotu z pohledu unitárního magmatu, zatímco pro jakékoli idempotentní e mají prvky H e inverzní hodnotu, jak je definováno v této části. Podle této obecnější definice inverze nemusí být jedinečné (nebo existovat) v libovolné pologrupě nebo monoidu. Jsou-li všechny prvky regulární, pak se pologrupa (neboli monoid) nazývá regulární a každý prvek má alespoň jednu inverzi. Pokud má každý prvek přesně jednu inverzní hodnotu, jak je definováno v této části, pak se pologrupa nazývá inverzní pologrupa . Konečně, inverzní pologrupa s pouze jedním idempotentem je grupa. Inverzní pologrupa může mít absorbující prvek 0, protože 000 = 0, zatímco skupina nemusí.

Mimo teorii semigrup se jedinečná inverze, jak je definována v této části, někdy nazývá kvazi inverzní . To je obecně oprávněné, protože ve většině aplikací (například ve všech příkladech v tomto článku) platí asociativita, což z tohoto pojmu dělá zobecnění levé/pravé inverze vzhledem k identitě (viz Zobecněná inverze ).

U -pologrupy

Přirozeným zobecněním inverzní pologrupy je definovat (libovolnou) unární operaci ° takovou, že ( a °) ° = a pro všechna a v S ; to dává S typ ⟨2,1⟩ algebry. Pologrupa vybavená takovou operací se nazývá U -polgrupa . Ačkoli se může zdát, že a ° bude inverzní k , nemusí tomu tak být nutně. Abychom získali zajímavé představy, musí unární operace nějakým způsobem interagovat s operací s poloskupinou. Byly studovány dvě třídy U -pologrup:

  • I -pologrupy , ve kterých je interakční axiom aa ° a = a
  • *-pologrupy , ve kterých je axiom interakce ( ab )° = b ° a °. Taková operace se nazývá involuce a obvykle se označuje *

Je zřejmé, že grupa je jak I -pologrupa, tak *-pologrupa. Třída pologrup důležitých v teorii pologrup jsou zcela pravidelné pologrupy ; toto jsou I -pologrupy, ve kterých má navíc aa ° = a ° a ; jinými slovy každý prvek má dojíždění pseudoinverzní a °. Existuje však málo konkrétních příkladů takových pologrup; většina jsou úplně jednoduché pologrupy . Naproti tomu podtřída *-pologrup, *-pravidelné pologrupy (ve smyslu Drazina), poskytuje jeden z nejznámějších příkladů (unikátní) pseudoinverze, Moore-Penroseovu inverzi . V tomto případě však involuce a * není pseudoinverzní. Pseudoinverzí x je spíše jedinečný prvek y , takže xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx . Protože *-regulární pologrupy zobecňují inverzní pologrupy, jedinečný prvek definovaný tímto způsobem v *-regulární pologrupě se nazývá zobecněná inverze nebo Mooreova–Penroseova inverze .

Semirings

Příklady

Všechny příklady v této části zahrnují asociativní operátory, proto budeme používat termíny levá/pravá inverzní pro definici založenou na jednotkovém magmatu a kvaziinverzní pro její obecnější verzi.

Reálná čísla

Každé reálné čísloaditivní inverzi (tj. inverzní s ohledem na sčítání ) danou vztahem . Každé nenulové reálné číslo má multiplikativní inverzní (tj. inverzi s ohledem na násobení ) danou vztahem (nebo ). Naproti tomu nula nemá žádnou multiplikativní inverzi, ale má jedinečnou kvaziinverzi, " " samotnou.

Funkce a dílčí funkce

Funkce je levá (resp. pravá) inverze funkce (pro složení funkce ), právě tehdy, když (resp. ) je funkce identity na doméně (resp. codomain ) . Inverzní funkce je často psána , ale tento zápis je někdy nejednoznačný . Pouze bijekce mají oboustranné inverze, ale jakákoli funkce má kvaziinverzi; to znamená, že úplný transformační monoid je pravidelný. Monoid parciálních funkcí je také regulární, zatímco monoid injektivních parciálních transformací je prototypická inverzní pologrupa.

Galois spojení

Spodní a horní adjointy v (monotónním) Galoisově spojení , L a G jsou kvazi-inverzní navzájem; to znamená, že LGL = L a GLG = G a jedno jednoznačně určuje druhé. Nejsou však levou nebo pravou inverzí k sobě navzájem.

Zobecněné inverze matic

Čtvercová matice se záznamy v poli je invertibilní (v množině všech čtvercových matic stejné velikosti, pod násobením matic ) právě tehdy, když je její determinant odlišný od nuly. Jestliže je determinant of nula, je nemožné, aby měl jednostrannou inverzní hodnotu; proto levá inverzní nebo pravá inverzní implikuje existenci druhé. Více viz invertibilní matice .

Obecněji platí, že čtvercová matice nad komutativním prstencem je invertibilní právě tehdy, když je její determinant invertibilní v .

Nečtvercové matice plné úrovně mají několik jednostranných inverzí:

  • Neboť jsme nechali inverze; například,
  • Neboť máme pravé inverze; například,

Levou inverzní hodnotu lze použít k určení řešení nejmenších norem , což je také vzorec nejmenších čtverců pro regresi a je dán vztahem

Žádná matice s nedostatkem pořadí nemá žádnou (ani jednostrannou) inverzní hodnotu. Moore-Penrose inverze však existuje pro všechny matice a shoduje se s levou nebo pravou (nebo pravdivou) inverzí, pokud existuje.

Jako příklad maticových inverzí zvažte:

Takže, jako m < n , máme pravou inverzi, Podle složek se počítá jako

Levá inverze neexistuje, protože

což je singulární matice a nelze ji převrátit.

Viz také

Poznámky

Reference

  • M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs , De Gruyter Expositions in Mathematics sv. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , s. 15 (def v unitálním magmatu) a str. 33 (def. v semiskupině)
  • Howie, John M. (1995). Základy teorie semigrup . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.obsahuje veškerý materiál pologrupy v tomto dokumentu kromě *-regulárních pologrup.
  • Drazin, MP, Regulární pologrupy s involucí , Proc. Symp. o pravidelných semiskupinách (DeKalb, 1979), 29.–46
  • Miyuki Yamada, P-systémy v pravidelných semigroups , Semigroup Forum , 24(1), prosinec 1982, s. 173–187
  • Nordahl, TE a HE Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum , 16(1978), 369–377.