Izomorfismus - Isomorphism

V matematice je izomorfismus strukturou zachovávající mapování mezi dvěma strukturami stejného typu, které lze zvrátit inverzním mapováním . Dvě matematické struktury jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje izomorfismus. Slovo izomorfismus je odvozeno ze starověké řečtiny : ἴσος isos „stejný“ a μορφή morphe „forma“ nebo „tvar“.

Zájem o izomorfismy spočívá ve skutečnosti, že dva izomorfní objekty mají stejné vlastnosti (kromě dalších informací, jako je další struktura nebo názvy objektů). Izomorfní struktury tedy nelze odlišit pouze z hlediska struktury a lze je identifikovat. V matematickém žargonu se říká, že dva objekty jsou stejné až do izomorfismu .

Automorphism je izomorfismus od struktury k sobě. Izomorfismus mezi dvěma strukturami je kanonický izomorfismus ( kanonická mapa, která je izomorfismem), pokud mezi oběma strukturami existuje pouze jeden izomorfismus (jak je tomu v případě řešení univerzální vlastnosti ) nebo pokud je izomorfismus mnohem přirozenější (v jistém smyslu) než jiné izomorfismy. Například pro každé prvočíslo p jsou všechna pole s prvky p kanonicky izomorfní, s jedinečným izomorfismem. Tyto izomorfismus věty poskytují kanonické isomorphisms, které nejsou jedinečné.

Termín izomorfismus se používá hlavně pro algebraické struktury . V tomto případě je mapování se nazývají homomorfismů a homomorphism je izomorfismus tehdy a jen tehdy, pokud je to bijective .

V různých oblastech matematiky získaly izomorfismy specializovaná jména v závislosti na typu uvažované struktury. Například:

• Isometry je izomorfismus metrických prostorech .
• Homeomorphism je izomorfismus topologických prostorů .
• Difeomorfismus je izomorfismus míst vybavených diferenciální strukturou , typicky diferencovatelné variety .
• Permutace je automorphism ze sady .
• V geometrii se izomorfismy a automorfismy často nazývají transformace , například rigidní transformace , afinní transformace , projektivní transformace .

Teorie kategorií , na kterou lze pohlížet jako na formalizaci pojmu mapování mezi strukturami, poskytuje jazyk, který lze použít ke sjednocení přístupu k těmto různým aspektům základní myšlenky.

Příklady

Logaritmus a exponenciální

Dovolit být multiplikativní skupina z kladných reálných čísel , a nechť být aditivní skupiny reálných čísel. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Funkce logaritmu vyhovuje všem, takže se jedná o skupinový homomorfismus . Tyto exponenciální funkce splňuje pro všechny , takže to taky je homomorphism. ${\ Displaystyle \ log: \ mathbb {R} ^{+} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ log (xy) = \ log x+\ log y}$${\ Displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^{+},}$ ${\ Displaystyle \ exp: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^{+}}$${\ Displaystyle \ exp (x+y) = (\ exp x) (\ exp y)}$${\ Displaystyle x, y \ in \ mathbb {R},}$

Identity a ukazují, že a jsou navzájem inverzní . Protože je homomorphism, který má inverzi, který je také homomorphism, je izomorfismus skupin. ${\ displaystyle \ log \ exp x = x}$${\ Displaystyle \ exp \ log y = y}$${\ displaystyle \ log}$${\ displaystyle \ exp}$${\ displaystyle \ log}$${\ displaystyle \ log}$

Funkce je izomorfismus který převádí násobení kladných reálných čísel do přidáním reálných čísel. Toto zařízení umožňuje znásobit reálná čísla pomocí pravítka a tabulky logaritmů nebo pomocí posuvného pravidla s logaritmickou stupnicí. ${\ displaystyle \ log}$

Celá čísla modulo 6

Zvažte skupinu celá čísla od 0 do 5 s přídavným modulem  6. Zvažte také skupinu uspořádaných párů, kde souřadnice x mohou být 0 nebo 1 a souřadnice y mohou být 0, 1 nebo 2, kde sčítání v x - souřadnice je modulo 2 a sčítání v souřadnici y je modulo 3. ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {6},+),}$${\ Displaystyle \ left (\ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {3},+\ right),}$

Tyto struktury jsou izomorfní za přidání, podle následujícího schématu:

nebo obecně ${\ Displaystyle (a, b) \ mapsto (3a+4b) \ mod 6.}$

Například, což se v jiném systému překládá jako${\ Displaystyle (1,1)+(1,0) = (0,1),}$${\ Displaystyle 1+3 = 4.}$

Přestože tyto dvě skupiny „vypadají“ odlišně v tom, že sady obsahují různé prvky, jsou skutečně izomorfní : jejich struktury jsou naprosto stejné. Obecněji řečeno, přímý produkt dvou cyklických skupin a je izomorfní v případě, a pouze v případě, m a n jsou coprime , dle Čínské věty . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {mn},+)}$

Izomorfismus zachovávající vztah

Pokud jeden objekt sestává z množiny X s binárním vztahem R a druhý objekt sestává z množiny Y s binárním vztahem S, pak je izomorfismus od X do Y bijektivní funkcí tak, že: ${\ Displaystyle f: X \ až Y}$

S je reflexivní , nereflexivní , symetrický , antisymetrický , asymetrický , tranzitivní , celkový , trichotomický , částečný řád , celkový řád , řád v pořádku , přísný slabý řád , celkový předobjednávka (slabý řád), vztah ekvivalence nebo vztah s jakýmkoli jiným speciální vlastnosti, právě když R je.

Například R je uspořádání ≤ a S uspořádání, pak izomorfismus od X do Y je bijektivní funkce taková, že ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sqsubseteq,}$${\ Displaystyle f: X \ až Y}$

Takový izomorfismus se nazývá příkaz izomorfismus nebo (méně často) izoton izomorfismus .

Pokud je to tedy automorfismus zachovávající vztahy . ${\ displaystyle X = Y,}$

Aplikace

V algebře jsou izomorfismy definovány pro všechny algebraické struktury . Některé jsou konkrétněji studovány; například:

• Lineární izomorfismy mezi vektorovými prostory ; jsou specifikovány invertibilními maticemi .
• Skupinové izomorfismy mezi skupinami ; klasifikace izomorfismu tříd na konečných skupin je otevřený problém.
• Izomorfismus prstenů mezi prstenci .
• Polní izomorfismy jsou stejné jako kruhový izomorfismus mezi poli ; jejich studium, a konkrétněji studium terénních automorfismů je důležitou součástí Galoisovy teorie .

Stejně jako automorphisms o o algebraické struktuře tvoří skupinu se isomorphisms mezi dvěma algebry sdílející společnou strukturu tvoří hromadu . Necháním určitého izomorfismu identifikovat dvě struktury změní tuto hromadu na skupinu.

V matematické analýze je Laplaceova transformace izomorfismem mapujícím tvrdé diferenciální rovnice na jednodušší algebraické rovnice.

V teorii grafů , izomorfismus mezi dvěma grafy G a H je bijective mapa f z vrcholů G s vrcholy H , který zachová „struktura hrana“ v tom smyslu, že je okraj od vrcholu u do vrcholu V v G právě tehdy, když je v H hrana od do . Viz graf izomorfismus . ${\ displaystyle f (u)}$${\ Displaystyle f (v)}$

V matematické analýze je izomorfismus mezi dvěma Hilbertovými prostory bijekcí zachovávající sčítání, skalární násobení a vnitřní součin.

V raných teoriích logického atomismu formalizoval vztah mezi fakty a pravdivými tvrzeními Bertrand Russell a Ludwig Wittgenstein jako izomorfní. Příklad této linie myšlení lze nalézt v Russellově úvodu do matematické filozofie .

V kybernetice je dobrý regulátor nebo Conantova – Ashbyho věta uvedeno „Každý dobrý regulátor systému musí být modelem tohoto systému“. Ať už regulované nebo samoregulační, mezi regulátorem a zpracovávajícími částmi systému je vyžadován izomorfismus.

Kategorie teoretický pohled

V teorii kategorií , vzhledem ke kategorii C , je izomorfismus morfismus, který má inverzní morfismus, který je, a Například bijektivní lineární mapa je izomorfismus mezi vektorovými prostory a bijektivní spojitá funkce, jejíž inverzní je také spojitá, je izomorfismus mezi topologickými prostory , kterému se říká homeomorfismus . ${\ displaystyle f: a \ to b}$${\ Displaystyle g: b \ do a,}$${\ displaystyle fg = 1_ {b}}$${\ displaystyle gf = 1_ {a}.}$

Dvě kategorie C a D jsou izomorfní, pokud existují funktory a které jsou navzájem inverzní, tj. (Funktor identity na D ) a (funktor identity na C ). ${\ Displaystyle F: C \ až D}$${\ Displaystyle G: D \ to C}$${\ displaystyle FG = 1_ {D}}$${\ displaystyle GF = 1_ {C}}$

Izomorfismus vs. bijektivní morfismus

V konkrétní kategorii (tj. Kategorii, jejíž objekty jsou množiny (možná s extra strukturou) a jejichž morfismy jsou funkce zachovávající strukturu), jako je kategorie topologických prostorů nebo kategorie algebraických objektů (jako kategorie skupin , kategorie prstenů a kategorie modulů ), izomorfismus musí být bijektivní na podkladových sadách . V algebraických kategoriích (konkrétně kategoriích odrůd ve smyslu univerzální algebry ) je izomorfismus stejný jako homomorfismus, který je bijektivní na podkladových množinách. Existují však konkrétní kategorie, ve kterých bijektivní morfismy nemusí být nutně izomorfismy (například kategorie topologických prostorů).

Vztah s rovností

V určitých oblastech matematiky, zejména v teorii kategorií, je cenné rozlišovat mezi rovností na jedné straně a izomorfismem na straně druhé. Rovnost je, když jsou dva objekty naprosto stejné a vše, co platí o jednom objektu, platí o druhém, zatímco izomorfismus znamená, že vše, co platí o určené části struktury jednoho objektu, platí o tom druhém. Například sady

jsou si rovni ; jsou to pouze různé reprezentace - první intenzivní (v notaci stavitele sady ) a druhá extenzionální (explicitní enumerací) - stejné podmnožiny celých čísel. Naproti tomu, sady a nejsou rovné -První má prvky, které jsou písmena, zatímco druhý má prvky, které jsou čísla. Jsou to izomorfní jako množiny, protože konečné množiny jsou určeny až do izomorfismu jejich mohutností (počtem prvků) a oba mají tři prvky, ale existuje mnoho možností izomorfismu - jeden izomorfismus je ${\ displaystyle \ {A, B, C \}}$${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$

${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 1, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 3,}$ zatímco jiný je ${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 3, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 1,}$

a žádný izomorfismus není ve své podstatě lepší než kterýkoli jiný. Z tohoto pohledu a v tomto smyslu si tyto dvě sady nejsou rovny, protože je nelze považovat za totožné : lze mezi nimi zvolit izomorfismus, ale to je slabší tvrzení než identita - a platí pouze v kontextu zvoleného izomorfismu.

Někdy se izomorfismy mohou zdát zřejmé a přesvědčivé, ale stále nejsou rovnocenné. Jako jednoduchý příklad jsou genealogické vztahy mezi Joeem , Johnem a Bobbym Kennedym ve skutečném smyslu stejné jako mezi

quarterbacky amerického fotbalu v rodině Manningových : Archie , Peyton a Eli . Párování otec-syn a pár starší-bratr-mladší-bratr dokonale korespondují. Tato podobnost mezi oběma rodinnými strukturami ilustruje původ slova izomorfismus (řecký iso -, „stejný“ a - morph , „forma“ nebo „tvar“). Protože ale Kennedyovi nejsou stejní lidé jako Manningsovi, jsou tyto dvě genealogické struktury pouze izomorfní a nejsou si rovny.

Další příklad je formálnější a přímo ilustruje motivaci k rozlišení rovnosti od izomorfismu: rozdíl mezi konečným dimenzionálním vektorovým prostorem V a jeho duálním prostorem lineárních map z

V do jeho skalárního pole Tyto prostory mají stejnou dimenzi, a proto jsou izomorfní jako abstraktní vektorové prostory (protože algebraicky jsou vektorové prostory klasifikovány podle dimenzí, stejně jako sady jsou klasifikovány podle mohutnosti), ale neexistuje žádný „přirozený“ výběr izomorfismu Pokud si člověk zvolí základ pro V , pak to poskytne izomorfismus: Pro všechny${\ Displaystyle V^{*} = \ left \ {\ varphi: V \ to \ mathbf {K} \ right \}}$${\ displaystyle \ mathbf {K}.}$${\ displaystyle \ scriptstyle V \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ to}} V^{*}.}$${\ Displaystyle u, v \ v V,}$

$${\ Displaystyle v \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ mapsto}} \ phi _ {v} \ in V^{*} \ quad {\ text {such that}} \ quad \ phi _ {v} ( u) = v^{\ mathrm {T}} u.}$$

To odpovídá transformaci sloupcového vektoru (prvek V ) na řádkový vektor (prvek V *) transpozicí , ale odlišná volba základu dává jiný izomorfismus: izomorfismus „závisí na volbě základu“. Jemněji, tam je mapa z vektorového prostoru V do jeho double dual , která není závislá na výběru základu: Pro všechny${\ Displaystyle V^{**} = \ left \ {x: V^{*} \ to \ mathbf {K} \ right \}}$${\ Displaystyle v \ in V {\ text {and}} \ varphi \ in V^{*},}$

$${\ Displaystyle v \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ mapsto}} x_ {v} \ in V^{**} \ quad {\ text {such that}} \ quad x_ {v} (\ phi) = \ phi (v).}$$

To vede ke třetí představě, o přirozeném izomorfismu : zatímco a jsou různé sady, existuje mezi nimi „přirozená“ volba izomorfismu. Toto intuitivní pojetí „izomorfismu, který nezávisí na libovolné volbě“ je formalizováno v pojmu

přirozené transformace ; stručně, že je možné konzistentně identifikovat nebo obecněji mapovat z vektorového prostoru konečných rozměrů na jeho dvojitý duál pro jakýkoli vektorový prostor. Formalizace této intuice je motivací pro rozvoj teorie kategorií. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V^{**}}$${\ displaystyle \ scriptstyle V \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ to}} V^{**},}$

Existuje však případ, kdy se rozdíl mezi přirozeným izomorfismem a rovností obvykle nedělá. To je pro objekty, které mohou být charakterizovány univerzální vlastností . Ve skutečnosti mezi dvěma objekty sdílejícími stejnou univerzální vlastnost existuje jedinečný, nutně přirozený izomorfismus. Typickým příkladem je sada reálných čísel , která lze definovat pomocí nekonečné desítkové expanze, nekonečné binární expanze, Cauchyho posloupnosti , Dedekindových řezů a mnoha dalšími způsoby. Formálně tyto konstrukce definují různé objekty, což jsou všechna řešení se stejnou univerzální vlastností. Protože tyto objekty mají přesně stejné vlastnosti, lze zapomenout na způsob konstrukce a považovat je za rovnocenné. To je to, co každý dělá, když se odkazuje na „ v souboru reálných čísel“. Totéž se děje s kvocienty mezer : jsou běžně konstruovány jako sady tříd ekvivalence . Odkazování na množinu množin však může být neintuitivní, a tak jsou kvocientové prostory běžně považovány za dvojici sady neurčených objektů, často nazývaných „body“, a surjektivní mapu na tuto množinu.

Pokud si někdo přeje rozlišovat mezi libovolným izomorfismem (ten, který závisí na volbě) a přirozeným izomorfismem (ten, který lze provádět důsledně), lze psát pro

nepřirozený izomorfismus a ≅ pro přirozený izomorfismus, jak je uvedeno v a Tato konvence je nejsou všeobecně dodržovány a autoři, kteří chtějí rozlišovat mezi nepřirozenými izomorfismy a přírodními izomorfismy, obecně rozdíl výslovně uvedou. ${\ displaystyle \, \ zhruba \,}$${\ Displaystyle V \ cca V^{*}}$${\ Displaystyle V \ cong V^{**}.}$

Obecně platí, že tvrzení, že dva objekty jsou si rovny, je vyhrazeno, když existuje představa většího (okolního) prostoru, ve kterém tyto objekty žijí. Nejčastěji se hovoří o rovnosti dvou podmnožin dané množiny (jako v příkladu celočíselné množiny) výše), ale ne ze dvou objektů abstraktně prezentovaných. Například 2-dimenzionální jednotková sféra v 3-dimenzionálním prostoru

$${\ Displaystyle S^{2}: = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R}^{3} \ mid x^{2}+y^{2}+z^{2 } = 1 \ vpravo \}}$$

a Riemannova sféra, které lze prezentovat jako jednobodové zhutnění komplexní roviny nebo jako komplexní projektivní čáru (kvocient prostoru) ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\ mathbb {C}} ^{1}: = \ left (\ mathbb {C} ^{2} \ setminus \ {(0,0) \} \ right)/\ vlevo (\ mathbb {C} ^{*} \ vpravo)}$$

jsou tři různé popisy pro matematický objekt, z nichž všechny jsou izomorfní, ale nejsou stejné, protože nejsou všechny podmnožinami jednoho prostoru: první je podmnožinou druhého je plus další bod a třetí je dílčí podíl${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3},}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cong \ mathbb {R} ^{2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^{2}.}$

V kontextu teorie kategorií jsou objekty obvykle maximálně izomorfní - motivace pro rozvoj teorie kategorií skutečně ukázala, že různé konstrukce v teorii homologie poskytují ekvivalentní (izomorfní) skupiny. Vzhledem k mapám mezi dvěma objekty X a Y se však člověk ptá, zda jsou stejné nebo ne (oba jsou prvky množiny, a proto je správným vztahem rovnost), zejména v

komutativních diagramech . ${\ displaystyle \ hom (X, Y),}$

Viz také

• Bisimulace
• Vztah ekvivalence
• Halda (matematika)
• Izometrie
• Třída izomorfismu
• Věta o izomorfismu
• Univerzální vlastnictví
• Koherentní izomorfismus

Poznámky

Reference

Další čtení

• Mazur, Barry (12. června 2007), Kdy se jedna věc rovná nějaké jiné věci? (PDF)

externí odkazy

• „Isomorphism“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Izomorfismus“ . MathWorld .