Izoperimetrická nerovnost - Isoperimetric inequality
V matematice, izoperimetrický problém je geometrický nerovnost zahrnující obvod sady a jeho objemu. V -dimenzionálním prostoru nerovnost níže ohraničuje povrchovou plochu nebo obvod množiny svým objemem ,
- ,
kde je jednotková sféra . Rovnost platí pouze tehdy, když je koule v .
V rovině, tedy když se izoperimetrický problém týká čtverec obvodu části uzavřené křivky a oblasti rovinné oblasti se uzavírá. Isoperimetric doslovně znamená „mít stejný obvod “. Konkrétně v , izoperimetrická nerovnost uvádí pro délku L uzavřené křivky a oblast A rovinné oblasti, kterou obklopuje, že
a že rovnost platí právě tehdy, pokud je křivka kruh.
Isoperimetric Problém je určit rovinu postavu co největšího prostoru, jehož hranice má konkrétní délce. Úzce související Didův problém si žádá oblast maximální oblasti ohraničenou přímkou a křivočarým obloukem, jehož koncové body patří této linii. Je pojmenována po Didovi , legendárním zakladateli a první královně Kartága . Řešení izoperimetrického problému je dáno kruhem a bylo známé již ve starověkém Řecku . První matematicky rigorózní důkaz této skutečnosti byl však získán až v 19. století. Od té doby bylo nalezeno mnoho dalších důkazů.
Isoperimetrický problém byl rozšířen několika způsoby, například na křivky na površích a na oblasti ve vyšších dimenzionálních prostorech. Snad nejznámějším fyzickým projevem 3-dimenzionální izoperimetrické nerovnosti je tvar kapky vody. Totiž kapka obvykle předpokládá symetrický kulatý tvar. Protože je množství vody v kapce fixní, povrchové napětí nutí kapku do tvaru, který minimalizuje povrchovou plochu kapky, konkrétně kulatou kouli.
Izoperimetrický problém v rovině
Klasický izoperimetrický problém sahá až do starověku. Problém lze uvést následovně: Která křivka (pokud existuje) ze všech uzavřených křivek v rovině pevného obvodu maximalizuje plochu své uzavřené oblasti? Tuto otázku lze ukázat jako ekvivalent následujícího problému: Která křivka (pokud existuje) ze všech uzavřených křivek v rovině ohraničující pevnou oblast minimalizuje obvod?
Tento problém koncepčně souvisí s principem nejmenšího působení ve fyzice v tom, že jej lze zopakovat: jaký je princip akce, který obklopuje největší oblast s největší úsporou úsilí? Filozof a vědec z 15. století, kardinál Nicholas z Kusy , považoval rotační akci, proces, při kterém se vytváří kruh , za nejpřímější odraz v oblasti smyslových vjemů procesu, při kterém vzniká vesmír. Německý astronom a astrolog Johannes Kepler použil isoperimetrický princip při diskusi o morfologii sluneční soustavy v Mysterium Cosmographicum ( The Sacred Mystery of the Cosmos , 1596).
Přestože se kruh jeví jako zjevné řešení problému, dokázat tuto skutečnost je poměrně obtížné. První pokrok směrem k řešení provedl švýcarský geometr Jakob Steiner v roce 1838 pomocí geometrické metody později pojmenované Steinerova symetrie . Steiner ukázal, že pokud existuje řešení, pak to musí být kruh. Steinerův důkaz doplnilo později několik dalších matematiků.
Steiner začíná některými geometrickými konstrukcemi, které jsou snadno pochopitelné; například může být ukázáno, že jakoukoli uzavřenou křivku obklopující oblast, která není plně konvexní, lze upravit tak, aby uzavřela více oblasti, „převrácením“ konkávních oblastí tak, aby se staly konvexními. Dále lze ukázat, že jakoukoli uzavřenou křivku, která není plně symetrická, lze "naklonit" tak, aby uzavřela větší plochu. Jediným tvarem, který je dokonale konvexní a symetrický, je kruh, ačkoli to samo o sobě nepředstavuje přísný důkaz izoperimetrické věty (viz vnější odkazy).
V letadle
Řešení izoperimetrického problému je obvykle vyjádřeno formou nerovnice, která souvisí s délkou L uzavřené křivky a oblastí A rovinné oblasti, kterou obklopuje. Tyto izoperimetrický problém se uvádí, že
a že rovnost platí právě tehdy, je -li křivkou kruh. Oblast disku o poloměru R je πR 2 a obvod kruhu je 2 πR , takže obě strany nerovnosti se rovná 4 π 2 R 2 je v tomto případě.
Byly nalezeny desítky důkazů o izoperimetrické nerovnosti. V roce 1902 vydal Hurwitz krátký důkaz pomocí Fourierovy řady, která platí pro libovolné opravitelné křivky (nepředpokládá se, že by byly hladké). Elegantní přímý důkaz založený na srovnání hladké jednoduché uzavřené křivky s příslušným kruhem podal E. Schmidt v roce 1938. Používá pouze vzorec délky oblouku , výraz pro oblast rovinné oblasti z Greenovy věty a Cauchyův - Schwarzova nerovnost .
Pro danou uzavřenou křivku je izoperimetrický kvocient definován jako poměr její plochy a kružnice se stejným obvodem. To se rovná
a izoperimetrická nerovnost říká, že Q ≤ 1. Ekvivalentně je izoperimetrický poměr L 2 / A alespoň 4 π pro každou křivku.
Izoperimetrický kvocient pravidelného n -gonu je
Nechť je hladká pravidelná konvexní uzavřená křivka. Potom vylepšená izoperimetrická nerovnost uvádí následující
kde značí délku , plochu, který je ohraničen a orientované oblasti Wigner louhu části , v tomto pořadí, a rovnost platí tehdy a jen tehdy, pokud je křivka konstantní šířku .
Na kouli
Nechť C je jednoduchá uzavřená křivka na kouli o poloměru 1. Označme L je délka C a ze strany A oblasti vymezené C . Sférická izoperimetrický problém se uvádí, že
a že rovnost platí právě tehdy, pokud je křivka kruh. Ve skutečnosti existují dva způsoby, jak měřit sférickou oblast uzavřenou jednoduchou uzavřenou křivkou, ale nerovnost je symetrická s ohledem na přijímání doplňku.
Tuto nerovnost objevil Paul Lévy (1919), který ji také rozšířil do vyšších dimenzí a obecných povrchů.
V obecnějším případě libovolného poloměru R je známo, že
v
Izoperimetrická nerovnost uvádí, že koule má nejmenší povrch na daný objem. Vzhledem k ohraničené množině s povrchem a objemem se izoperimetrická nerovnost uvádí
- ,
kde je jednotková koule . Rovnost platí, když je míč dovnitř . Za dalších omezení sady (jako je konvexita , pravidelnost , hladká hranice ) platí rovnost pouze pro míč. Ale v plné obecnosti je situace komplikovanější. Příslušný výsledek Schmidta (1949 , sekce 20.7) (pro jednodušší důkaz viz Baebler (1957) ) je v Hadwigerovi (1957 , sekce 5.2.5) objasněn následovně. Extrémní sada se skládá z koule a „korony“, která nepřispívá ani k objemu, ani k povrchu. To znamená, že rovnost platí pro kompaktní množinu právě tehdy, pokud obsahuje uzavřenou kouli takovou, že a Například „koróna“ může být křivka.
Důkaz nerovnosti vyplývá přímo z Brunn – Minkowského nerovnosti mezi sadou a míčkem s poloměrem , tzn . Tím, že vezmeme Brunn – Minkowského nerovnost k moci , odečteme z obou stran, rozdělíme je a vezmeme mez jako ( Osserman (1978) ; Federer (1969 , §3.2.43)).
V plné obecnosti ( Federer 1969 , §3.2.43) izoperimetrická nerovnost uvádí, že pro každou množinu, jejíž uzavření má konečnou Lebesgueovu míru
kde je ( n -1) -dimenzionální obsah Minkowski , L n je n -dimenzionální Lebesgueova míra a ω n je objem jednotkové koule v . V případě, že hranice S je opravitelný , pak je obsah Minkowského je ( n -1) rozměrný opatření Hausdorff .
N -dimenzionální izoperimetrický problém je ekvivalentní (pro dostatečně hladký domén) Sobolev nerovnosti na optimální konstanty:
pro všechny .
V hadamardských rozvodech
Hadamardovy rozvody jsou kompletní jednoduše připojené rozdělovače s nepozitivním zakřivením. Zobecňují tedy euklidovský prostor , což je Hadamardův rozdělovač s nulovou křivostí. V sedmdesátých a na začátku 80. let Thierry Aubin , Misha Gromov , Yuri Burago a Viktor Zalgaller předpokládali, že euklidovská izoperimetrická nerovnost
platí pro ohraničené množiny v hadamardských varietách, které se staly známými jako Cartan – Hadamardova domněnka . V dimenzi 2 to již stanovil v roce 1926 André Weil , který byl v té době studentem Hadamarda . V dimenzích 3 a 4 tuto domněnku dokázali Bruce Kleiner v roce 1992, respektive Chris Croke v roce 1984.
V metrickém měřítku prostoru
Většina prací na izoperimetrickém problému byla provedena v kontextu hladkých oblastí v euklidovských prostorech nebo obecněji v riemannianských varietách . Isoperimetrický problém však lze formulovat v mnohem větší obecnosti s využitím pojmu Minkowského obsahu . Dovolit být metrický opatření prostor : X je metrický prostor s metrický d , a μ je míra Borel na X . Hranice opatření , nebo obsah Minkowského , o měřitelné podmnožiny A z X, je definován jako lim inf
kde
je ε- rozšíření z A .
Izoperimetrický problém v X se ptá, jak malý může být pro dané μ ( A ). Jestliže X je euklidovská rovina s obvyklou vzdáleností a Lebesgueova míra, pak tato otázka zobecňuje klasický izoperimetrický problém na rovinné oblasti, jejichž hranice není nutně hladká, ačkoli odpověď se ukazuje být stejná.
Funkce
se nazývá izoperimetrický profil metrického měřicího prostoru . Isoperimetric profily byly studovány pro Cayley grafy z jednotlivých skupin a speciálních tříd Riemannových variet (kde je obvykle jen regiony A s pravidelným hranice jsou považovány).
Pro grafy
V teorii grafů jsou izoperimetrické nerovnosti v centru studia expandérových grafů , což jsou řídké grafy, které mají silné vlastnosti konektivity. Expanderové konstrukce přinesly výzkum v čisté a aplikované matematice s několika aplikacemi na teorii složitosti , návrh robustních počítačových sítí a teorii kódů opravujících chyby .
Isoperimetrické nerovnosti pro grafy vztahují velikost vrcholových podmnožin k velikosti jejich hranice, která se obvykle měří počtem hran opouštějících podmnožinu (rozšíření hran) nebo počtem sousedních vrcholů (rozšíření vrcholů). Pro graf a číslo jsou následující dva standardní izoperimetrické parametry pro grafy.
- Izoperimetrický parametr hrany:
- Vrchol je izoperimetrický parametr:
Zde označuje množinu odcházejících hran a označuje množinu vrcholů, v nichž je soused . Izoperimetrický problém spočívá v porozumění tomu, jak se parametry chovají a jak se chovají pro přirozené rodiny grafů.
Příklad: Izoperimetrické nerovnosti pro hyper kostky
-Dimenzionální hypercube je graf, jehož vrcholy jsou všechny logické vektorů délky , to znamená, že množina . Dva takové vektory jsou spojeny hranou, pokud jsou stejné až do jednoho bitového překlopení, to znamená, že jejich Hammingova vzdálenost je přesně jedna. Níže jsou uvedeny izoperimetrické nerovnosti pro booleovskou hyper kostku.
Hrana je izoperimetrická nerovnost
Hrana je izoperimetrická nerovnost hyperkrychle . Tato hranice je těsná, o čemž svědčí každá množina, která je množinou vrcholů jakékoli dílčí krychle .
Vrchol je izoperimetrická nerovnost
Harperova věta říká, že Hammingovy koule mají ze všech množin dané velikosti nejmenší hranici vrcholů. Hammingovy koule jsou sady, které obsahují nejvýše všechny body Hammingovy hmotnosti a žádné body Hammingovy hmotnosti nejsou větší než u některých celých čísel . Tato věta znamená, že jakákoli sada s
splňuje
Jako zvláštní případ zvažte nastavené velikosti formuláře
pro nějaké celé číslo . Pak z výše uvedeného vyplývá, že přesný izoperimetrický parametr vrcholu je
Izoperimetrická nerovnost pro trojúhelníky
Izoperimetrická nerovnost pro trojúhelníky z hlediska obvodu p a plochy T to uvádí
s rovností pro rovnostranný trojúhelník . To je prostřednictvím nerovnosti AM – GM implikováno silnější nerovností, která se také nazývá izoperimetrická nerovnost pro trojúhelníky:
Viz také
- Blaschke – Lebesgueova věta
- Problém chaplyginu
- Průtok zkracující křivku
- Rozbalovací graf
- Gaussova izoperimetrická nerovnost
- Izoperimetrická dimenze
- Izoperimetrický bod
- Seznam trojúhelníkových nerovností
- Věta o rovinném oddělovači
- Smíšený objem
Poznámky
Reference
- Blaschke a Leichtweiß, Elementare Differentialgeometrie (v němčině), 5. vydání, kompletně přepracované K. Leichtweißem. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 1. Springer-Verlag , New York Heidelberg Berlin, 1973 ISBN 0-387-05889-3
- Bollobás, Béla (1986). Kombinatorika: množinové systémy, hypergrafy, rodiny vektorů a kombinatorická pravděpodobnost . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33703-8.
- Burago (2001) [1994], "Isoperimetrická nerovnost" , Encyklopedie matematiky , EMS Press
- Calabro, Chris (2004). „Harperova věta“ (PDF) . Vyvolány 8 February 2011 .
- Capogna, Luca; Donatella Danielli; Scott Pauls; Jeremy Tyson (2007). Úvod do skupiny Heisenberg a sub-Riemannian izoperimetrický problém . Birkhäuser Verlag . ISBN 978-3-7643-8132-5.
- Fenchel , Werner ; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3 . Berlín: 1. Verlag von Julius Springer.
- Fenchel , Werner ; Bonnesen, Tommy (1987). Teorie konvexních těles . Moskva, Idaho: L. Boron, C. Christenson a B. Smith. BCS Associates.
- Federer, Herbert (1969). Geometrická teorie měření . Springer-Verlag. ISBN 3-540-60656-4..
- Gromov, M .: „Isoperimetrická nerovnost Paula Levyho“. Příloha C v metrických strukturách pro riemannianské a neriemannianské prostory . Na základě francouzského originálu z roku 1981. S přílohami M. Katze, P. Pansu a S. Semmese. Přeložil z francouzštiny Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Massachusetts, 1999.
- Hadwiger, Hugo (1957). Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie . Springer-Verlag..
- Hoory, Shlomo; Linial, Nathan ; Widgerson, Avi (2006). „Rozbalte grafy a jejich aplikace“ (PDF) . Bulletin Americké matematické společnosti . Nová řada. 43 (4): 439–561. doi : 10,1090/S0273-0979-06-01126-8 .
- Vůdce, Imre (1991). „Diskrétní izoperimetrické nerovnosti“. Sborník sympozií v aplikované matematice . 44 . s. 57–80.
- Osserman, Robert (1978). „Izoperimetrická nerovnost“ . Býk. Amer. Matematika. Soc . 84 (6): 1182–1238. doi : 10,1090/S0002-9904-1978-14553-4 ..
- Zwierzyński, Michał (2016). „Vylepšená izoperimetrická nerovnost a Wignerova žíravina rovinných oválů“. J. Math. Anální. Appl . 442 (2): 726–739. arXiv : 1512.06684 . doi : 10.1016/j.jmaa.2016.05.016 . S2CID 119708226 .
- Schmidt, Erhard (1949). „Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Hugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. II“. Matematika. Nachr . 2 (3–4): 171–244. doi : 10,1002/man.19490020308 ..
- Baebler, F. (1957). „Zum isoperimetrischen Problem“. Oblouk. Matematika. (Basilej) . 8 : 52–65. doi : 10,1007/BF01898439 . S2CID 123704157 ..