Iterační metoda - Iterative method

Ve výpočetní matematiky , An iterační metoda je matematický postup , který používá počáteční hodnotu pro generování sekvence zlepšení přibližné řešení pro třídu problémů, ve kterém n je tý aproximace odvozené od předchozích. Specifickou implementací iterativní metody, včetně kritérií ukončení , je algoritmus iterativní metody. Iterativní metoda se nazývá konvergentní, pokud odpovídající posloupnost konverguje pro dané počáteční aproximace. Obvykle se provádí matematicky důsledná konvergenční analýza iterativní metody; nicméně, heuristické bázi iterativní metody jsou také běžné.

Naproti tomu přímé metody se pokoušejí vyřešit problém konečnou posloupností operací. V nepřítomnosti chyby zaokrouhlení , přímé metody by zajistilo přesné řešení (jako řešení lineární soustavy rovnic pomocí Gaussova eliminace ). Iterační metody jsou často jedinou volbou pro nelineární rovnice . Iterativní metody jsou však často užitečné i pro lineární problémy zahrnující mnoho proměnných (někdy řádově milionů), kde by přímé metody byly neúnosně nákladné (a v některých případech nemožné) i při nejlepší dostupné výpočetní síle. ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$

Atraktivní pevné body

Pokud rovnice může být uveden do tvaru f ( x ) = x , a roztok x je atraktivní pevný bod z funkce f , pak se může začít s bodem x ₁ v povodí přitažlivosti z x , a nechat x _{n +1} = f ( x _n ) pro n ≥ 1 a posloupnost { x _n } _{n ≥ 1} bude konvergovat k řešení x . Zde x _n je n- tou aproximací nebo iterací x a x _{n +1} je další nebo n + 1 iterace x . Alternativně se horní číslice v závorkách často používají v numerických metodách, aby neinterferovaly s indexy s jinými významy. (Například, x ^{( n + 1)} = f ( x ^{( n )} ).) V případě, že funkce f je spojitě diferencovatelná , postačující podmínka konvergence je, že spektrální poloměr derivátu je přísně ohraničen jedním v sousedství pevný bod. Pokud tato podmínka platí v pevném bodě, pak musí existovat dostatečně malé sousedství (povodí přitažlivosti).

Lineární systémy

V případě soustavy lineárních rovnic jsou dvěma hlavními třídami iteračních metod stacionární iterační metody a obecnější krylovské podprostorové metody.

Stacionární iterační metody

Úvod

Stacionární iterační metody řeší lineární systém s operátorem přibližujícím se původnímu; a na základě měření chyby ve výsledku ( rezidua ) vytvořte „korekční rovnici“, pro kterou se tento proces opakuje. I když tyto metody lze snadno odvodit, implementovat a analyzovat, konvergence je zaručena pouze pro omezenou třídu matic.

Definice

Iterační metoda je definována

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {k + 1}: = \ Psi (\ mathbf {x} ^ {k}) \ ,, \ quad k \ geq 0}

a pro daný lineární systém s přesným roztokem chyb podle ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$

{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {k}: = \ mathbf {x} ^ {k} - \ mathbf {x} ^ {*} \ ,, \ quad k \ geq 0 \ ,.}

Iterativní metoda se nazývá lineární , existuje-li matice tak, že ${\ displaystyle C \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}$

{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {k + 1} = C \ mathbf {e} ^ {k} \ quad \ forall \, k \ geq 0}

a tato matice se nazývá iterační matice . Iterativní metoda s danou iterační maticí se nazývá konvergentní, pokud platí následující ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} C ^ {k} = 0 \ ,.}

Důležitá věta říká, že pro danou iterační metodu a její iterační matici je konvergentní právě tehdy, pokud je její spektrální poloměr menší než jednota, tj. ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ rho (C)}$

{\ displaystyle \ rho (C) <1 \ ,.}

Základní iterační metody fungují rozdělením matice na ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A = MN}

a zde by měla být matice snadno invertovatelná . Iterativní metody jsou nyní definovány jako ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle M \ mathbf {x} ^ {k + 1} = N \ mathbf {x} ^ {k} + b \ ,, \ quad k \ geq 0 \ ,.}

Z toho vyplývá, že iterační matice je dána vztahem

{\ displaystyle C = IM ^ {- 1} A = M ^ {- 1} N \ ,.}

Příklady

Základní příklady stacionárních iteračních metod používají rozdělení matice , jako je ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A = D + L + U \ ,, \ quad D: = {\ text {diag}} ((a_ {ii}) _ {i})}

kde je pouze diagonální část , a je přísný dolní trojúhelníková část z . Respektive je přísná horní trojúhelníková část . ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle A}$

Richardsonova metoda : ${\ displaystyle M: = {\ frac {1} {\ omega}} I \ quad (\ omega \ neq 0)}$
Jacobiho metoda : ${\ displaystyle M: = D}$
Tlumená Jacobiho metoda : ${\ displaystyle M: = {\ frac {1} {\ omega}} D \ quad (\ omega \ neq 0)}$
Metoda Gauss – Seidel : ${\ displaystyle M: = D + L}$
Postupná metoda nadměrné relaxace (SOR): ${\ displaystyle M: = {\ frac {1} {\ omega}} D + L \ quad (\ omega \ neq 0)}$
Symetrická postupná nadměrná relaxace (SSOR): ${\ displaystyle M: = {\ frac {1} {\ omega (2- \ omega)}} (D + \ omega L) D ^ {- 1} (D + \ omega U) \ quad (\ omega \ neq \ { 0,2 \})}$

Lineární stacionární iterační metody se také nazývají relaxační metody .

Krylovské podprostorové metody

Krylovské podprostorové metody fungují tak, že tvoří základ posloupnosti postupných maticových sil krát počáteční reziduum ( Krylovova posloupnost ). Aproximace řešení jsou poté vytvořeny minimalizací zbytku nad vytvořeným podprostorem. Prototypovou metodou v této třídě je metoda konjugovaného gradientu (CG), která předpokládá, že systémová matice je symetrická kladně definitivní . Pro symetrické (a případně neurčité) se pracuje s minimální reziduální metodou (MINRES). V případě nesymetrických matic byly odvozeny metody, jako je metoda generalizovaného minimálního rezidua (GMRES) a metoda biconjugate gradient (BiCG). ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$

Konvergence krylovských podprostorových metod

Protože tyto metody tvoří základ, je evidentní, že metoda konverguje v N iteracích, kde N je velikost systému. Za přítomnosti chyb zaokrouhlování však toto tvrzení neplatí; v praxi může být navíc N velmi velký a iterační proces dosahuje dostatečné přesnosti již mnohem dříve. Analýza těchto metod je těžká, v závislosti na komplikované funkci spektra operátora.

Předpoklady

Aproximující operátor, který se objevuje ve stacionárních iterativních metodách, lze také začlenit do krylovských podprostorových metod, jako je GMRES (alternativně lze předpokládané Krylovovy metody považovat za zrychlení stacionárních iterativních metod), kde se stanou transformacemi původního operátoru na pravděpodobně lépe podmíněný jeden. Konstrukce stabilizátorů je velkou oblastí výzkumu.

Dějiny

Pravděpodobně první iterační metoda řešení lineárního systému se objevila v Gaussově dopise jeho studentovi. Navrhl řešení soustavy rovnic 4 ku 4 opakovaným řešením složky, ve které byl zbytek největší.

Teorie stacionárních iteračních metod byla pevně zakotvena v práci DM Younga od 50. let. Metoda konjugovaného gradientu byla také vynalezena v padesátých letech minulého století s nezávislým vývojem od Cornelia Lanczose , Magnuse Hestenesa a Eduarda Stiefela , ale její povaha a použitelnost byla v té době nepochopena. Teprve v 70. letech bylo zjištěno, že metody založené na konjugaci fungují velmi dobře pro parciální diferenciální rovnice , zejména pro eliptický typ.

Languages

In other projects